初中数学知识点精讲精析 平面图形的全等变换

第五节平面图形的全等变换
要点精讲
1．全等图形的定义
两个图形重叠在一起的时候，无论是顶点、边、角都与对应的顶点、边、角完全吻合，而且大小也要完全相同．
2．图形重叠的方式
（1）平行移动
以固定的方向移动，也就是所谓的平行移动在平面上透过平行移动或垂直移动，使原对象的位置产生移动的现象．
（2）旋转移动
设一个定点为中心然后旋转，称为旋转移动，平面上透过旋转活动产生位移，而图形与所呈现的图像不变，只是观看的角度变得不一样．
（3）翻转
将平面图形翻转180°，使图形产生位移，此时图的形状并未改变，但图像会从原来的正面转为反面，可以透过从背面看或用镜子反射的方式进行翻转活动，让学生易于理解．
相关链接
1．在全等变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C 三点的简比AC：BC不变．
2．在全等变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．
典型解析
1．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE
重合，那么旋转了_______度．
【答案】60．
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°．
又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置．∴旋转角为60°．
中考案例
1．（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为__________．
【答案】（﹣1，﹣1）．
【解析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称． ∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P ．由图知，P （﹣1，﹣1）．或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（），即（﹣1，﹣1）．
针对训练
1．如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
2．将点A （－3，＋2）先沿轴向上平移5个单位，再沿轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是___________．
3．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为___________．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ABO 是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△Al BlO ，则过A1, B 两点的直线解析式为___________．
y x
5．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时
针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是___________．
6．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=___________．
7． 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 旋转90°后
得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．
8．长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为______．
参考答案
3y x 32=+
﹣
1．【答案】C
【解析】根据平移的基本性质作答．根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD=CF=1个单位，AB+BC+AC=8；AB+BC+CF+DF+AD=10．故其周长为10．
2．【答案】（－7，3）
【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案：∵点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点A′，∴A′的坐标是（－3－4，－2＋5），即：（－7，3）．
3．【答案】10
【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．
∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4．
∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20．
∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5．
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．
4．【答案】y=3x＋5
【解析】设A（a，0），
∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5．∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5．即A（－5，0）．
∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）．
设过A1 、B 两点的直线解析式为y=kx＋b，
则，解得．∴过A 、B 两点的直线解析式为y=3x＋5．
5．【答案】19
【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE．
∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10．∴AE＋AD=AC=10．
又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形．∴DE=BD=9．
∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19．
6．【答案】70°
【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．
又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．
7．【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）．
【解析】当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3．∴点A（2，0），B（0，3）．∴
OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）．综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．
8．【答案】12或15
【解析】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．
此时，分两种情况：
①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．
则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；
②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．
则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．
∴当n=3时，a的值为12或15．
故答案为：12或15．
扩展知识
认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案设计（能画）．应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的．。