南京师范大学考研真题数学分析2011

南 京 师 范 大 学

2011年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷A 考试科目： 614数学分析 适用专业： 应用数学 满分150分 考试时间： 2011年1月16日上午8：30——11：30 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效； 请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。

一、 计算题 （共 5 题，每题 8 分，共计 40 分）

（1） 求第二型曲面积分⎰⎰++S

dxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面

1222=++z y x ，方向取外侧。

（2） 设函数)(x f 具有二阶连续导数，且,4)0('',0)(lim 0==→f x

x f x 求x

x x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。 （3） 设),,(x y x y x f w -+=，其中f 有二阶连续偏导数，求y

x w ∂∂∂2。 （4） 在区间)2,0(π内将函数2)(x x f -=

π展开成傅里叶级数。 （5） 求函数2

31)(2+-=

x x x f 的n 阶导数。

二、（共 1题，共计12 分）

设函数)(x f 在区间]1,0[上可导，且)0(2)1(f f =，求证：存在)1,0(∈ξ，使得

)()(')1(ξξξf f =+。

三、（共 1 题，共计12 分）

设函数)(x f 在),(∞+-∞内二次可导，1)(lim 0=→x

x f x ，且0)(">x f ，则 ),(,)(∞+-∞∈∀≥x x x f 。

四、（共 1 题，共计12分）

设函数)(),(x g x f 在[]1,0上连续且单调减少，证明：

⎰

⎰⎰≥10101

0)()()()(dx x g dx x f dx x g x f 。 五、（共 1 题，共计 14 分）

（1）证明级数∑∞

=1)1ln(cos n n 收敛。 （2）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且

,0)0(=f 0)('lim 0=→x x f x ，则级数∑∞=2

)1(n n f n 绝对收敛。

六、（共 1 题，共计12 分）

将直角坐标系下Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y

u x u 化为极坐标下的形式。

七、（共 1 题，共计 12 分）

讨论含参量反常积分⎰

∞+-0sin 2

dx x e x α关于α分别在),[∞+ε和),0(∞+上的一致收敛性，其中0>ε。

八、（共 1 题，共计 12 分） 证明函数x

x x f 1cos )111()(++=在),1[∞+上一致连续。

九、（共 1 题，共计 12 分） 证明：函数∑

∞=+=121cos )(n n nx x f 在)2,0(π内有连续的导函数。

十、（共 1 题，共计 12 分）

设)(x f 在],[b a 上连续，且存在非负整数m ，使得 ⎰==b

a n m n dx x f x ),,1,0(0)( ，

证明：)(x f 在),(b a 内至少有1+m 个零点。