有理数的乘方(讲义)(含答案)

合集下载

七年级上册专题04 有理数的乘方及混合运算(知识点串讲)(教师版含解析)

专题04 有理数的乘方及混合运算知识网络重难突破知识点一有理数的乘方1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0【典例1】(2019秋•瑞安市校级月考)下面各式中，计算正确的是()A．﹣22＝4 B．(﹣2)2＝4 C．(﹣3)2＝6 D．(﹣1)3＝﹣3【点拨】根据乘方的运算法则计算即可．【解析】解：A．﹣22＝﹣4≠4，故该选项错误；B．(﹣2)2＝4，故该选项正确；C．(﹣3)2＝9≠6，故该选项错误；D．(﹣1)3＝﹣1≠﹣3，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0，是解题的关键．【变式训练】1．(2019秋•拱墅区校级月考)下列各组数中，相等的一组是()A．(﹣2)2和|﹣2|2B．(﹣3)4和﹣34C．(﹣4)3和|﹣4|3D．(﹣3)4和﹣(﹣3)4【点拨】根据乘方的定义和绝对值的性质逐一计算即可判断．【解析】解：A、(﹣2)2＝4、|﹣2|2＝4，故此选项正确；B、(﹣3)4＝81、﹣34＝﹣81，故此选项错误；C、(﹣4)3＝﹣64、|﹣4|3＝64，此选项错误；D、(﹣3)4＝81、﹣(﹣3)4＝﹣81，此选项错误；故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数乘方的定义和绝对值的性质．2．(2019秋•永定区期中)一个有理数的平方等于它本身，那么这个有理数是() A．0 B．1 C．±1 D．0或1【点拨】直接利用有理数的乘方运算法则得出答案．【解析】解：∵一个有理数的平方等于它本身，∴这个有理数是：0或1．故选：D．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．(2019春•西湖区校级月考)下列说法中正确的是()A．﹣a n和(﹣a)n一定是互为相反数B．当n为奇数时，﹣a n和(﹣a)n相等C．当n为偶数时，﹣a n和(﹣a)n相等D．﹣a n和(﹣a)n一定不相等【点拨】根据有理数的乘方的定义，分n是奇数和偶数两种情况讨论求解即可．【解析】解：当n为奇数时，﹣a n和(﹣a)n相等，当n为偶数时，﹣a n和(﹣a)n一定互为相反数．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论．知识点二科学记数法1.把一个数表示成a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式叫做科学记数法.．2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【典例2】(2019秋•诸暨市期中)在今年的十一黄金周期间，五泄景区共接待海内外游客约11.2万人次，则数据11.2万用科学记数法可表示为()A．11.2×104B．11.2×105C．1.12×104D．1.12×105【点拨】先还原成112000，再用科学记数法表示出来即可．【解析】解：11.2万＝112000＝1.12×105，故选：D．【点睛】本题考查了科学记数法，知道任何绝对值大于10的数都可以表示成a×10n的形式(1≤a＜10，n为正整数)是解此题的关键．【变式训练】1．(2019秋•南浔区期中)据统计，2019年十一期间，湖州市共接待国内外游客约585万人次，数据585万用科学记数法表示为()A．5.85×105B．5.85×106C．0.585×107D．585×106【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：585万＝5850000＝5.85×106，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．(2019秋•富阳区期中)计算机的计算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒()A．384×109次B．38.4×1010次C．3.84×1011次D．0.384×1012次【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：384000000000用科学记数法表示为：3.84×1011．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(2016•富阳市模拟)﹣4.5×10﹣5表示()A．﹣000045 B．﹣0.000045 C．﹣450000 D．﹣45000【点拨】根据将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n 位所得到的数．【解析】解：﹣4.5×10﹣5表示﹣0.000045，故选：B．【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．知识点三近似数1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【典例3】(2018秋•桥西区期末)下列说法错误的是()A．0.350是精确到0.001的近似数B．3.80万是精确到百位的近似数C．近似数26.9与26.90表示的意义相同D．近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205【点拨】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解析】解：A、0.350是精确到0.001的近似数，所以A选项的说法正确；B、3.80万是精确到百位的近似数，所以B选项的说法正确；C、近似数26.9精确到十分位，26.90精确到百分位，所以C选项的说法错误；D、近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205，所以D选项的说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【变式训练】1．(2019秋•慈溪市期中)用四舍五入法对0.4249取近似数，精确到百分位的结果是() A．0.425 B．0.43 C．0.42 D．0.420【点拨】取近似数，看千分位满5进1，不满5舍去即可．【解析】解：0.4249≈0.42，故选：C．【点睛】本题考查了近似数，能理解四舍五入的意义是解此题的关键．2．(2019秋•义乌市期中)由四舍五入得到的近似数3.50万，精确到()A．十分位B．百位C．十位D．百分位【点拨】先将3.50万还原，然后确定0所表示的数位即可；【解析】解：3.50万＝35000，近似数3.50万精确到百位，故选：B．【点睛】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度．3．(2019秋•乐清市期中)数4是4.3的近似值，其中4.3叫做真值，若一个数经四舍五入得到的近似数是12，则下列各数中不可能是12的真值的是()A．12.38 B．12.66 C．11.99 D．12.42【点拨】先找到所给数的十分位，根据四舍五入不能得到12的数即可．【解析】解：∵12.38≈12，12.66≈13，11.99≈12，12.42≈12，∴下列各数中不可能是12的真值的是选项B．故选：B．【点睛】本题主要考查了知道近似数，求真值，只需看近似数的最末位的下一位，采用的方法是四舍五入．4．(2018秋•拱墅区期末)下列由四舍五入法得到的近似数，对其描述正确的是()A．1.20精确到十分位B．1.20万精确到百分位C．1.20万精确到万位D．1.20×105精确到千位【点拨】根据近似数的精确度分别进行判断．【解析】解：A、1.20精确到百分位，所以A选项的说法不正确；B、1.20万精确到百位，所以B选项的说法不正确；C、1.20万精确到百位，所以C选项的说法不正确；D、1.20×105精确到千位，所以D选项的说法正确．故选：D．【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数称为近似数.知识点四有理数的混合运算有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 如果有括号，先进行括号里的运算3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【典例4】(2019秋•慈溪市期中)计算：(1)(﹣7)×5﹣(﹣36)÷4；(2)﹣12020﹣(﹣)×6+32【点拨】(1)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；(2)原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．【解析】解：(1)原式＝﹣35+9＝﹣26；(2)原式＝﹣1﹣(2﹣3)+9＝﹣1﹣2+3+9＝9．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练】1．(2019秋•瑞安市期中)下列运算中正确的个数有()①(﹣5)+5＝0，②﹣3+2＝﹣1，③﹣6÷3×＝﹣6，④74﹣22÷70＝1A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】①根据互为相反数的两个数和为0即可判断正误；②根据有理数的加法运算即可判断正误；③根据有理数的乘除运算顺序进行计算即可判断正误；④根据先算乘方、再算除法、最后算加减的运算顺序进行计算即可判断正误．【解析】解：①(﹣5)+5＝0，正确；②﹣3+2＝﹣1，正确；③﹣6÷3×＝﹣6，错误．原式＝﹣2×＝﹣．④74﹣22÷70＝1，错误．原式＝74﹣＝．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是严格按照有理数的混合运算顺序进行计算．2．(2018秋•拱墅区期末)计算：(1)﹣7﹣3+8(2)【点拨】(1)原式利用加减法则计算即可求出值；(2)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值．【解析】解：(1)原式＝﹣10+8＝﹣2；(2)原式＝﹣×6+4﹣30＝﹣30．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．(2019秋•奉化区期中)计算：(1)(﹣18)+(+12)(2)(3)(4)12÷()【点拨】(1)根据有理数的加法法则计算；(2)先算乘，再算乘除，最后计算加法；(3)根据乘法分配律计算；(4)先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法．【解析】解：(1)(﹣18)+(+12)＝﹣6；(2)＝﹣4×(﹣)+8÷4＝2+2＝4；(3)＝(﹣100+)×26＝﹣100×26+×26＝﹣2600+4＝﹣2596；(4)12÷()＝12÷＝72．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．巩固训练1．(2018秋•西湖区期末)计算：|﹣2019|＝2019，(﹣1)2019＝﹣1．【点拨】根据绝对值的性质和有理数乘方的运算法则计算可得．【解析】解：|﹣2019|＝2019，(﹣1)2019＝﹣1，故答案为：2019，﹣1．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数乘方的定义与运算法则及绝对值的性质．2．(2019秋•瑞安市校级月考)把5×5×5写成乘方的形式53．【点拨】根据有理数乘方的定义解答即可．【解析】解：5×5×5＝53．故答案为：53．【点睛】本题考查了有理数的乘方的定义，注意指数是底数的个数是解题的关键．3．(2018秋•三门县期中)下列各数|﹣2|，﹣22，﹣(﹣2)，(﹣2)3中，负数的个数有2个．【点拨】先对每个数进行化简，然后再确定负数的个数．【解析】解：∵|﹣2|＝2，﹣22＝﹣4，﹣(﹣2)＝2，(﹣2)3＝﹣8，∴负数有﹣22和(﹣2)3这2个数，故答案为：2．【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义及乘方运算法则与相反数的定义．4．(2019秋•吴兴区期中)0.0617(精确到千分位)0.062．近似数3.7×105精确到万位．【点拨】根据近似数的精确度求解．【解析】解：0.0617精确到千分位为：0.062；近似数3.7×105精确到万位．故答案为：0.062；万．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．5．(2019秋•温岭市期中)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，则﹣2mn+﹣x＝﹣4或0．【点拨】根据题意得a+b＝0，mn＝1，x＝2或x＝﹣2，代入原式计算可得．【解析】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，∴a+b＝0，mn＝1，x＝2或x＝﹣2，当x＝2时，原式＝﹣2×1+0﹣2＝﹣4；当x＝﹣2时，原式＝﹣2×1+0﹣(﹣2)＝0．综上所述，﹣2mn+﹣x＝﹣4或0．故答案为：﹣4或0．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，相反数、倒数、绝对值的性质及代数式求值的能力，根据题意得出a+b、mn、x的值是关键．6．(2018秋•慈溪市期中)大于1的正整数m的三次方可“分裂”成若干个连续奇数的和，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是1007，则m的值是32．【点拨】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数1007的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【解析】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3分裂成m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m＝，∵2n+1＝1007，n＝503，∴奇数1007是从3开始的第503个奇数，∵＝495，＝527，∴第503个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝32．故答案为：32．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．7．(2018秋•余杭区期末)计算：(1)7.8+(﹣1.2)﹣(﹣0.2)(2)﹣÷﹣×(﹣3)2+32【点拨】(1)根据有理数的加减法可以解答本题；(2)根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解析】解：(1)7.8+(﹣1.2)﹣(﹣0.2)＝7.8+(﹣1.2)+0.2＝6.8；(2)﹣÷﹣×(﹣3)2+32＝＝﹣3+9＝．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．8．(2019秋•拱墅区校级月考)(1)(﹣﹣+)÷(2)﹣22×+8÷(﹣2)2(3)(﹣)×(﹣4)2﹣0.25×(﹣5)×(﹣4)3．(4)8×(﹣)÷|﹣16|；(5)(﹣1)2008+(﹣5)×[(﹣2)3+2]﹣(﹣4)2÷(﹣)．(6)﹣22﹣(﹣3)3×(﹣1)4﹣(﹣1)5；【点拨】(1)先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律即可解答本题；(2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题；(3)根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题；(4)根据有理数的乘除法可以解答本题；(5)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题；(6)根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题．【解析】解：(1)(﹣﹣+)÷＝(﹣﹣+)×36＝(﹣27)+(﹣20)+21＝﹣26；(2)﹣22×+8÷(﹣2)2＝﹣4×+8÷4＝2+2＝4；(3)(﹣)×(﹣4)2﹣0.25×(﹣5)×(﹣4)3＝(﹣)×16﹣×(﹣5)×(﹣64)＝(﹣10)﹣80＝﹣90；(4)8×(﹣)÷|﹣16|＝8×(﹣)×＝﹣；(5)(﹣1)2008+(﹣5)×[(﹣2)3+2]﹣(﹣4)2÷(﹣)＝1+(﹣5)×(﹣8+2)﹣16×(﹣2)＝1+(﹣5)×(﹣6)+32＝1+30+32＝63；(6)﹣22﹣(﹣3)3×(﹣1)4﹣(﹣1)5＝﹣4﹣(﹣27)×1﹣(﹣1)＝﹣4+27+1＝24．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．。

有理数的乘方知识点以及分类练习(含解析)

有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1：有理数的乘方的概念和计算】1. 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中，a叫做底数， n叫做指数．2. 有理数的乘方特点（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．3.符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如a n≥0．【知识点1：有理数的乘方的概念和计算练习】1. 比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（） A ．它们底数相同，指数也相同 B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 2. 下列说法中，正确的是（）．A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方一定是正数C ．一个数的平方一定小于这个数D ．一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数，那么这个数是（） A ．1B ．0C ．1或0D ．1或1-4. 计算()23-的结果是（） A ．9-B ．9C ．6-D ．65. 下列说法正确的是（） A ．-23的底数是2- B ．23读作：2的3次方 C ．27的指数是0 D ．负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020＝（） A ．1B ．﹣1C ．2020D ．﹣20207. 对于式子（-2）3，下列说法不正确的是：（） A ．指数是3B ．底数是2-C ．幂为6-D ．表示3个2-相乘8. 下列各组数中，互为相反数的有（）①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A ．④B ．①②C ．①②④D ．①③④9. 下列每对数中，相等的一对是（） A ．（-1）3和-13 B ．-（-1）2和12 C ．（-1）4和-14D ．-|-13|和-（-1）310. 下列各组数中互为相反数的是（） A ．2与0.5B ．（-1）2与1C ．-1与（-1）2D ．2与|-2|11. 下列各组数中，结果相等的是（） A ．52与25 B ．﹣22与（﹣2）2 C ．﹣24与（﹣2）4 D ．（﹣1）2与（﹣1）2012. 下列运算中错误的是（） A ．（-2）4＝16 B ．233=827 C ．（-3）3＝-27 D ．（-1）104＝113. 式子−435的意义是（）．A ． 4与5商的立方的相反数B ．4的立方与5的商的相反数C ．4的立方的相反数除5D ．−45的立方 14. （﹣1）2016的值是（） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 15. 下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．016. 在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在235中底数是________，指数是________． 17. 计算：﹣（﹣3）2＝．18. -（-3）＝；-25＝；−(−13)3= ；225= ．19. -[-（-3）]3＝ .20. 已知a ＜2，且|a-2|＝4，则a 3的倒数的相反数是．【知识点：有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.在运算过程中注意运算律的运用．【知识点：有理数的混合运算练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．22. 计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（） A ．﹣2 B.2 C ．﹣22014D ． 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0，则(a −b)2020的值是（） A ．-1B ．1C ．0D ．20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100＝（） A ．223300B ．333300C ．443300D ．4333005. 计算(－2)2009＋3×(－2)2008的值为( ) A ．－22008B ．22008C ．(－2)2009D ．5×220086. 计算−32×(−13)2−（−2）3÷（−12）2的结果是（）． A ．-33 B ．-31 C ．31 D ．337. 如果()()01122=-++b a ，那么()2a b -的值为( ) ．A ．0B ．4C ．－4D ．28. 已知n 表示正整数，则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是（）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法确定，随n 的不同而不同9. 若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（）A ．2B ．3C ．2020D ．202110. 设三个互不相等的实数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，,bb a的形式，则20192020a b +的值是（） A ．0 B ．1- C ．1D ．211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0，且m ＋2n ＝0，则−(n m )2= ． 12. 看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有个孙悟空． 13. 若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，则（a ＋b ）2＋a 2003＝． 14. 如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为．15. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x 的值为． 16. 计算：（1）4×（﹣12−34+2.5）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．17. 计算：（1）-14－（1－0.5）×13－[2－（-3）2]（2）（-2）4÷（-4）×（12）2－1218. 计算：（1）-81÷214-（-94）÷（-16）（2）-15-213+415÷（-3）×（-521）（3）（-2）3×214+（-32）2÷（-12）3 （4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)（5）（-1）5-[-3×（-23）2-113÷（-2）2]19.用简便方法计算：(1)（35−12−712）×（60×37−60×17+60×57）(2)[113×（1-14）2－（-112）2×316]×（-513）20.某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？a⨯的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|＜10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如：42000000＝4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如：-3000＝-3×103；3.把一个数写成a×10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【知识点：科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元，将这个数据用科学记数法表示为( )A．9×1013元B．9×1012元C．90×1012万元D．9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×105人 B．7.6057×106人C．7.6057×107人 D．0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是____________．5.用科学记数法表示：（1）3870000000；（2）3000亿；（3）-287.6.（1）___________（2）________（3）___________1.探索规律的一般方法：（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，大胆猜想，做出结论，并验证结论正确与否；S（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。

上海市六年级(下)数学同步讲义第5讲有理数的乘方及科学记数法(解析版)

有理数的乘方及科学记数法是初中数学六年级下学期第1章第2节的内容，重点是掌握有理数的乘方运算及科学记数法的表示方法．熟练有理数的乘方运算对于下一讲学习有理数的混合运算将会很有帮助．1、乘方（1）一般地，我们把n 个相同因数a 相乘，记作na，即nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．（2）定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在n a 中， a 叫做底数，n 叫做指数．n a 读作a 的n 次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）．（3）读法：n a 读作a 的n 次方，n a 看作运算结果时，读作a 的n 次幂．有理数的乘方及科学记数法内容分析知识结构模块一：有理数的乘方知识精讲n=．（n为正整数）（4）特别地：11n=，00（5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．2/ 18【例1】 23的底数是______，指数是______；434⎛⎫- ⎪⎝⎭的底数是______，指数是______；35-的底数是______，指数是______．【答案】3，2；34-，4；5，3．【解析】乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．【总结】本题主要考察乘方的定义．【例2】平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______．【答案】0和1，1-、0和1．【解析】在有理数中，平方等于它本身的数是0和1；立方等于它本身的数是1-、0和1．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例3】计算：（1）23=______；（2）()23-=______；（3）23-=______；（4）()33-=______．【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27．【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例4】 n 为正整数，则()21n-=______，()211n +-=______，()1n-=______．【答案】1；-1；-1（n 为奇数）或1（n 为偶数）【解析】-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是它本身．【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意分类讨论．【例5】下列各对数中，数值相等的是（）例题解析A．25-与52-B．53-与()53-C．()22-与22-D．()223⨯与223⨯【答案】B．【解析】在n a中，a是底数，n是指数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例6】一个数的平方一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】D．【解析】任何一个数的平方一定是非负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例7】计算：（1）232⎛⎫-=⎪⎝⎭______；（2）332⎛⎫--=⎪⎝⎭______；（3）3112⎛⎫-=⎪⎝⎭______；（4）41.5-=______；（5）332-=______；（6）()40.25-=______．【答案】（1）94；（2）278；（3）278-；（4）8116-；（5）272-；（6）1256．【解析】nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例8】如果一个有理数的平方等于()22-，那么这个有理数等于（）A．2-B．2 C．4 D．2或2-【答案】D．【解析】()22=4-，平方等于4的数是2或2-．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例9】平方等于164的数是______，立方等于164的数是______．4/ 18【答案】18±，14．【解析】根据乘方的定义，n n a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……，平方等于164的数是18±，立方等于164的数是14．【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方的特征．【例10】下列代数式中，值一定是正数的是（） A ．2a B ．6x -+C ．()212a -+D ．42x -+【答案】C ．【解析】正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方．【例11】若20a b ->，则b ______0；若20a b -<，则b ______0．（填“>”或“<”）【答案】<；>．【解析】2200a a ≥∴-≤，，则当20a b ->时，0b <；当20a b -<时，0b >．【总结】本题主要考察有理数的乘法和乘方．【例12】如果22x x -=-，则x =______．【答案】0．【解析】222222000x x x x x x -≤-≥-=-∴-=-=，，，，即0x =．【总结】本题主要考察有理数的乘方和绝对值．【例13】把下列各组数的大小关系用“<”号连接：（1）()21.2，()31.2，()41.2可表示为_________________________；6 / 18（2）()20.2，()30.2，()40.2可表示为_________________________；（3）()21.2-，()31.2-，()41.2-可表示为_________________________；（4）()20.2-，()30.2-，()40.2-可表示为_________________________．【答案】（1）()()()2341.2 1.2 1.2<<；（2）()()()4320.20.20.2<<；（3）()()()3241.2 1.2 1.2-<-<-；（4）()()()3420.20.20.2-<-<-．【解析】在n a 中，当01a <<时，n a 随n 的增大而减小，当1a >时，n a 随n 的增大而增大；当0a <时，先判断正负，再比较大小．【总结】本题主要考察有理数的乘方的大小比较，解答的关键是熟练掌握负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数．【例14】计算：（1）()323⨯-；（2）()2332-⨯-；（3）()22121--⨯-；（4）()2163⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）54-；（2）108-；（3）3-；（4）54-．【解析】（1）()()32322754⨯-=⨯-=-；（2）()2332274108-⨯-=-⨯=-；（3）()22121123--⨯-=--=-；（4）()21166695439⎛⎫-÷-=-÷=-⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除．【例15】计算：（1）2322⨯；（2）()2322-⨯；（3）()3222⨯-；（4）()2322⨯-．【答案】（1）32；（2）32；（3）32-；（4）32-．【解析】nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再乘法，注意符号．【例16】计算：（1）3322÷；（2）()3222-÷；（3）()2322÷-；（4）()3222÷-．【答案】（1）1；（2）2-；（3）2；（4）2-．【解析】（1）3322881÷=÷=；（2）()3222842-÷=-÷=-；（3）()2322842÷-=÷=；（4）()3222842÷-=-÷=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再除法．【例17】计算：（1）()32414554⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭；（2）()()()23323102---÷-+⨯-．【答案】（1）59-；（2）1-．【解析】（1）()()3241455645594⎛⎫÷--÷-=---=- ⎪⎝⎭；（2）()()()233231024301---÷-+⨯-=-++=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号．【例18】计算：()()2232111344113264⎛⎫-+---⋅-÷- ⎪⎝⎭．【答案】114．8 / 18【解析】原式=()519911161610566444-+--⨯÷-=+-=．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号．【例19】某公司常用的A4打印纸的厚度约为0．1毫米，现将一张这样的纸连续对折9次，那么它有多厚？【答案】51.2毫米．【解析】∵一张纸的厚度大约是0．1毫米∴对折一次的厚度是10.12⨯毫米，对折两次的厚度是20.12⨯毫米……， ∴对折9次的厚度是90.1251.2⨯=（毫米）．故答案为：51.2毫米．【总结】本题主要考察有理数的乘方运算法则，根据题意找出每次对折后纸片厚度的规律是解答此题的关键．【例20】已知()2230a b -++=，则()3a b +=______．【答案】1-．【解析】∵()22030a b -≥+≥，，根据题意得：2030a b -=+=，， ∴23a b ==-，，则()()33231a b +=-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及非负数的和为零．【例21】若234a ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()45b +互为相反数，则a =______，b =______．【答案】34，5-．【解析】∵2304a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，()450b +≥，()24354a b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴2304a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ()450b +=，即354a b ==-，．【总结】本题主要考察有理数的乘方及相反数的概念．【例22】已知x 的倒数是5，y 的相反数是2，求代数式221424x x y ⎛⎫++÷ ⎪⎝⎭的值．【答案】81400．【解析】由题意得：125x y ==-，，代入得：22142181181424425541004400x x y ⎛⎫⎛⎫++÷=++÷=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．【例23】 323332235317340.544641843⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】274-．【解析】原式=2725127172727166436464186464⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2725117166436418⎛⎫-⨯+-+ ⎪⎝⎭ =27259341664363636⎛⎫-⨯+-+ ⎪⎝⎭ =271664-⨯ =274-．【总结】本题主要考察有理数的乘方，分数的简便运算．模块二：科学记数法知识精讲10 / 181、科学记数法把一个数写成10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法可以直观地表示一个数的整数的位数．如10n a ⨯（110a ≤<）有n + 1 个整数位数．【例24】用科学记数法表示下列各数：（1）7013 =___________________；（2）123000000 =______________；（3）304500-=________________；（4）101010．1 =_______________；（5）490.04-=________________；（6）0．00036 =________________；（7）4924.7510⨯=______________；（8）50.003110⨯=_______________．【答案】（1）37.01310⨯；（2）81.2310⨯；（3）53.04510-⨯；（4）51.01010110⨯；（5）24.900410-⨯；（6）43.610-⨯；（7）69.247510⨯；（8）23.110⨯．【解析】科学计数法的表示形式为10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是整数），a 与原数相比小数点移动几位，a 的绝对值就是几；原数绝对值小于1时，n 取负数，原数绝对值大于1时，n 取正数．【总结】本题主要考察科学计数法的意义及用科学计数法表示一个数的方法，关键是确定a 与n 的值．【例25】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：例题解析（1）3310⨯=________________；（2）41.3410⨯=________________；（3）53.01210-⨯=________________；（4）39.810-⨯=________________．【答案】（1）3000；（2）13400；（3）-301200；（4）-9800．【解析】将科学计数法10na⨯还原成原来的数时，当n>0时，这个数乘以10的几次方，就把这个数的小数点向右移动几位；当n<0时，这个数乘以10的几次方，就把这个数的小数点向左移动几位．【总结】本题主要考察科学计数法的应用．【例26】若53000 5.310n=⨯，则n的相反数的倒数是______．【答案】14 -．【解析】因为45300 5.310=⨯，所以n=4；4的相反数的倒数是14 -．【总结】本题主要考察科学计数法的应用及相反数、倒数的概念．【例27】（1）若一个数等于95.6210⨯，则这个数的整数位有______位；（2）若一个数等于50.00018510⨯，则这个数的整数位有______位．【答案】（1）10；（2）2．【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断．【总结】本题主要考察科学计数法表示有理数．【例28】我国研制的“曙光300超级服务器”的峰值运算速度达到每秒403200000000次，它的峰值运算速度用科学记数法表示为（）A．120.403210⨯次/秒B．9403.210⨯米/秒C．114.03210⨯米/秒D．114.03210⨯次/秒【答案】D．【解析】用科学计数法表示大数时，10的指数n的值=整数位数-1．【总结】本题主要考察用科学计数法表示实际生活中的数．【例29】2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我12 / 18国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学记数法表示为______帕．【答案】84.58110⨯．【解析】科学计数法的表示形式为()10110na a ⨯≤<，所以4.581亿帕=84.58110⨯帕．【总结】本题主要考察用科学计数法表示实际生活中的数．【例30】地球绕太阳公转的轨道半径约是149000000千米，则地球绕太阳公转一年经过的路程约为多少千米？【答案】89.357210⨯千米．【解析】因为地球围绕太阳公转一周的周期是一年，所以地球绕太阳公转一年经过的路程约为822 3.141490000009357200009.357210r π≈⨯⨯==⨯千米．【总结】本题主要考察用科学计数法在实际生活中的应用．【习题1】如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是______；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是______．【答案】0和1-；1．【解析】如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是0和1-；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是1．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．随堂检测【习题2】如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是（）A．正数B．负数C．非负数D．任何有理数【答案】D．【解析】任何有理数的偶次幂都是非负数，正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【习题3】一个数的科学记数法是73.1410⨯，它的原数是______________．【答案】31400000．【解析】科学计数法中，指数n>0时，将小数点向右移动七位即可．【总结】本题主要考察科学计数法的定义．【习题4】计算：（1）323⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）323⎡⎤⎛⎫---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）334⎛⎫--⎪⎝⎭；（4）3113⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）()42--；（6）()21.375-．【答案】（1）827-；（2）827-；（3）274；（4）6427-；（5）16-；（6）12164．【解析】nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除．【习题5】70.062410⨯是______位数．【答案】6．【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断．【总结】本题主要考察科学计数法表示数．14 / 18【习题6】计算：（1）22512+；（2）()2183-÷-；（3）()()22233322---+--．【答案】（1）169；（2）2-；（3）22-．【解析】（1）原式=25144169+=；（2）原式=1892-÷=-；（3）原式=994822--+-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除．【习题7】我国国土面积约为960万平方千米，用科学记数法可表示为________平方千米，或者__________平方米．【答案】69.610⨯，129.610⨯．【解析】960万平方米=69.610⨯平方千米，因为1平方千米=6110⨯平方米，69.610⨯平方千米=129.610⨯平方米．【总结】本题主要考察科学计数法表示数及单位换算．【习题8】如果把整数a 称为“旧数”，而将旧数先立方，再除以1000所得的数为“新数”，则 “旧数”15按照上述规则运算得到的“新数”为______．【答案】278．【解析】根据题意：新数=31000a ÷=1515152710008⨯⨯=．【总结】本题主要考察有理数的乘方，理解题意是关键．【习题9】计算：44211318.13746⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】0.01．【解析】44211318.13746⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =4424781211210⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =44781812112100⨯⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=1100．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算．【习题10】计算：()()()323313821320.25⎡⎤--÷--+-⨯-÷⎣⎦．【答案】43-．【解析】原式=()()27119842721843----+⨯-÷=-+-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算，注意计算顺序，先乘方再乘除．【作业1】计算：（1）43=______；（2）()35-=______；（3）512⎛⎫- ⎪⎝⎭=______；（4）211-=______；（5）235⎛⎫- ⎪⎝⎭=______；（6）235-=______．【答案】（1）81；（2）-125；（3）132-；（4）-121；（5）925；（6）95-．【解析】nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【作业2】一个数的平方是正数，则这个数的立方是（）A ．正数B ．负数C ．正数或负数D ．非负数【答案】C ．【解析】任何非零有理数的平方都是正数；所以这个数是正数或负数，即它的立方为正数或负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．课后作业16 / 18【作业3】（1）30070000-=______710⨯；（2）5432000 =5．43210n ⨯，则n =______．【答案】（1） 3.007-；（2）6．【解析】用科学计数法表示绝对值大于10的数时，10的指数n 比原数的整数位数少1．【总结】本题主要考察科学计数法表示大数．【作业4】平方等于36的数是______，立方等于127-的数是______．【答案】6或6-，13-．【解析】根据乘方的定义，nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……，平方等于36的数是6或6-，立方等于127-的数是13-．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【作业5】 ()()()()12233420162017-⨯-⨯-⨯⨯-=______．【答案】1．【解析】原式=()()()()1111-⨯-⨯-⨯⨯-…… （共2016个1-） =1．【总结】本题主要考察有理数的乘方，关键是找到规律．【作业6】计算：（1）()33131--⨯-；（2）()2233-÷-；（3）()2233---；（4）222233⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2；（2）1-；（3）18-；（4）89．【解析】（1）()33131132--⨯-=-+=；（2）()2233991-÷-=-÷=-；（3）()22339918---=--=-；（4）222244833399⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意先乘方再乘除．【作业7】据统计，地球上每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，用科学技术法表示每天的排污量为______________千克．【答案】131.22410⨯．【解析】8500000吨=8500000000千克=98.510⨯千克，故每天的排污量为：9138.5106024 1.22410⨯⨯⨯=⨯（千克）．【总结】本题主要考察科学计数法表示数，注意单位换算．【作业8】计算：()()33323332232238-⨯-÷+--．【答案】132819-．【解析】原式=()()319823274182723827812781919⎛⎫-⨯-÷+-=-⨯+-=⨯-- ⎪⎝⎭321327281919=--=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及混合运算．【作业9】计算：()()26422543452854⎛⎫-⨯+-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭．【答案】164-．【解析】原式=654196259962516510108251644444⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯⨯+=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10154164--=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．【作业10】计算：18 / 18（1）10919999⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）()()502520.25-⨯-．【答案】（1）199；（2）1-．【解析】（1）1099911111999919999999999⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()()2525502550251120.2524144⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．。

有理数乘方-【寒假预习】六年级数学核心考点+重难点讲练与测试(沪教版)(解析版)

第08讲有理数乘方目录考点一：有理数幂的概念理解考点二：有理数的乘方运算考点三：有理数的乘方逆运算考点四：乘方运算的符号规律考点五：乘方的应用【基础知识】乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，n a 读作“a 的n 次幂”或者“a 的n 次方”，a 叫做底数，n 叫做指数．【例】n a 表示有n 个a 连续相乘：53表示3⨯3⨯3⨯3⨯3，5-3表示()-3⨯3⨯3⨯3⨯3，()5-3表示()()()()()-3⨯-3⨯-3⨯-3⨯-3．【注】当n 为奇数时，()n n a a -=-；当n 为偶数时，()n n a a -=．【考点剖析】考点一：有理数幂的概念理解一、单选题1．（2022春·上海奉贤·七年级校联考期中）对于式子()2yx -，下列说法正确的是（）.A ．系数是2-B ．指数是2x -C ．底数是2-D ．是()2x -的y 次幂【答案】D【分析】把（−2x ）看作一个整体，根据有理数的乘方的定义解答．【详解】（−2x ）y 表示（−2x ）的y 次幂．故选D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方的定义，整体思想的利用是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）-5.24中底数是______，乘方结果的符号为______．【答案】5.2负号【分析】利用乘方的意义判断即可得到结果．【详解】解：-5.24中底数是5.2，乘方结果的符号为负号，故答案为：5.2，负号．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．3．（2022秋·上海普陀·六年级校考期中）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式__．【答案】4(2)-【分析】根据乘方的定义运算即可．【详解】解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，故答案为：（﹣2）4.【点睛】本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a 相乘，记作an ，这种求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次幂．4．（2022秋·上海徐汇·六年级位育中学校考期中）56-的底数是____________．【答案】6【分析】根据幂的定义解答即可：在n a 中，a 叫底数，n 叫做指数；【详解】解：56-的底数是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了()n a -与n a -两者的区别：()n a -的底数是-a ，表示n 个-a 相乘的积；n a -底数是a ，表示n 个a 相乘的积的相反数．考点二：有理数的乘方运算一、单选题1．（2022秋·上海普陀·六年级校考期中）在()()()322110.1510%021222--------、、、、、、、、这九个数中，非负数有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】B【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为大于或等于0的数，即可进行解答．【详解】解：在10.1、()55--=、1122--=-、10%、0、2、()31-=-1、22-=-4、()224--=-这九个数中，所以非负数有()10.1510%02--、、、、、这5个，故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握非负数即为正数或0．2．（2022秋·上海宝山·六年级校考阶段练习）下列各对数中，数值相等的是（）A ．﹣28与（﹣2）8B ．（﹣3）7与﹣37C ．﹣3×23与﹣33×2D ．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2【答案】B【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．【详解】解：A 、﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故该选项不符合题意；B 、（﹣3）7＝﹣37，故该选项符合题意；C 、﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故该选项不符合题意；D 、﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的乘方和乘法，掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题的关键．3．（2022秋·上海徐汇·九年级统考阶段练习）下列结论中，不能由0a b +=得到的是（）A ．2a ab =-B ．0,0a b ==C ．||||a b =D ．22a b =【答案】B【详解】0a b +=a b ⇒、互为相反数．易得A.2a ab =-；C.a b=；D.22a b =.故选B.二、填空题4．（2022秋·上海·七年级校考期末）如果a 4＝16，那么a ＝_____．【答案】±2【分析】根据有理数的乘方，即可解答．【详解】解：∵（±2）4＝16，∴a ＝±2．故答案为：±2．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．5．（2022春·上海·七年级校考阶段练习）计算：32001(1)(1)(1)=-⋅-⋅-________【答案】1-【详解】32001(1)(1)(1)-⋅-⋅-()()()111=-⨯-⨯-1=-故答案为：1-．【点睛】本题考查了有理数的乘方和乘法运算，解题的关键是掌握运算法则．6．（2022秋·上海嘉定·六年级校考期中）计算：5622-+=______．【答案】32【分析】根据有理数的乘方运算法则，2的5次幂的相反数与2的6次幂的和，由此即可求解．【详解】解：6522326432-+=-+=，故答案为：32．【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，理解有理数的乘方是几个相同数的乘积是解题的关键．7．（2022春·上海·七年级开学考试）计算：243⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】169##7198．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）若｜a -1｜+｜b +3｜=0，则a 2b =______．【答案】-3【分析】利用非负数的性质求出a 与b 的值，即可求得a 2b 的值．【详解】解：∵|a -1|≥0，|b +3|≥0，|a -1|+|b +3|=0，∴a -1=0，b +3=0，∴a =1，b =-3，∴a 2b =12×（-3）=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了绝对值及代数式求值，记住“几个非负数（或式）的和为0，则每一个加数都为0”是解决问题的关键．9．（2022秋·上海杨浦·六年级校考期中）计算：()3232-⨯-=_____．【答案】72【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：()()32329872-⨯-=-⨯-=．故答案为：72．【点睛】本题考查有理数的乘方运算，乘法运算．求几个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．正确化简各数是解题关键．10．（2022春·上海·七年级校考阶段练习）计算：231()(3)3-⋅-=________________11．（2022秋·上海闵行·六年级统考期中）已(m -4)2+3n +=0知，则nm 的值是_________________数的性质求得m 和n 的值．12．（2022秋·上海宝山·六年级校考阶段练习）若()2320a a b -++-=，那么a b =___________．三、解答题13．（2022春·上海·七年级开学考试）计算：2211|3|2⎛⎫---+- ⎪⎝⎭．14．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn ＋1和（n ＋1）n 的大小（的整数），先从分析n ＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①1221；②2332；③3443；④4554；⑤5665；⑥6776；⑦7887．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn ＋1和（n ＋1）n 的大小关系：．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：2016201720172016．【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞(2)见解析(3)＞【分析】(1)先计算每组中的两个数字，然后再比较大小即可；(2)根据(1)中的结果即可总结出数字变化的规律；(3)按照(2)中得到的规律即可求解．（1）①∵12=1，21=2，∴12＜21；②∵23=8，32=9，∴23＜32；③∵34=81，43=64，∴34＞43；④∵45=1024，54=625，∴45＞54；⑤∵56=15625，65=7776，∴56＞65；⑥∵67=279936，76=117649，∴67＞76；⑦∵78=5764801，87=2097152，∴78＞87；（2）当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．考点三：有理数的乘方逆运算2一、填空题1．（2022秋·上海杨浦·七年级校考期末）如果一个数的平方是14，那么这个数是______．2．（2020秋·六年级校考课时练习）若29x =，则x 得值是______；若38a =-，则a 得值是______．【答案】3±2-【分析】根据平方和立方的定义进行求解，平方等于9的有两个数，立方等于-8的数有一个．【详解】∵()239±=，∴x=3±；∵3(2)8-=-，∴a =-2，故答案为：3±；2-．【点睛】本题考查了平方和立方的定义，掌握平方和立方的定义是解题的关键．考点四：乘方运算的符号规律一、单选题1．（2019春·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）对于23－与()23－，下列说法正确的是().A ．底数不同，结果不同B ．底数不同，结果相同C ．底数相同，结果不同D ．底数相同，结果相同【答案】A【分析】n 个相同的因数a 相乘，记作n a ，其中底数是a ，【详解】解：23－的底数为3，()23－的底数为－3，239=-－，()239=－，故23－与()23－底数不同，结果不同，故选A.【点睛】此题考查的是乘方的定义，n 个相同的因数a 相乘，记作n a ，这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在乘方运算n a 中，a 叫做底数，n 叫做a 的幂的指数，简称指数.2．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）下列各式中值必为正数的是（）A ．a b +B ．21a +C ．2aD ．22a b +3．（2022春·上海青浦·七年级校考期中）若()242(4)(3)0ma a a ---＜，那么下列哪种情形一定符合要求（）A ．m 为奇数B ．m 为偶数且 0a >C ．m 为奇数且0a >D ．m 为偶数【答案】C【分析】根据任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数判断即可．【详解】解：因为()242(4)(3)0ma a a ---＜，所以0,(3)0m a a ≠-＜，所以m 是奇数，且30a -＜，所以m 是奇数，且0a >，故选C ．【点睛】本题考查了有理数的幂运算，熟练掌握任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数是解题的关键．二、填空题4．（2020春·上海·七年级上海市进才中学北校校考阶段练习）观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768，86＝262144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82018＋82019的和的个位数字是____．【答案】4【分析】这是一道规律题，通过题目不难发现每间隔四次方，乘方的结果的个位就会按照8,4,2,6的顺序重复，所以在1234201820198888...88++++++中，将其为每四个为一组可分为503组余下201720182019888++，再用循环的个位上的数字相加乘以503，最后再加上8，加上4，加上2得到的数字的个位即为所求.【详解】解：∵通过题目不难发现每间隔四次方，乘方的结果的个位就会按照8,4,2,6的顺序重复，∴在1234201820198888...88++++++中，可将其分成每四个为一组，即：201945033÷=⋅⋅⋅，可分为503组余下201720182019888++，∴得：()842650384210074+++⨯+++=，结果的个位为4，故答案为：4【点睛】本题是一道规律题，解题的关键是通过题意找到数据中的规律，再结合规律通过计算得到最后的答案.5．（2021秋·上海杨浦·六年级期中）若2|3|(1)0x y -++=，则x y =________．【答案】﹣1【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据有理数的乘方，可得答案．【详解】解：由题意，得x ﹣3＝0且y +1＝0，解得x ＝3，y ＝﹣1．∴yx ＝（﹣1）3＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．6．（2019秋·上海徐汇·七年级统考期中）已知44(3)x =-，则实数x=_______.【答案】±3【分析】根据相同偶次方相等的两数，相等或互为相反数即可求解.【详解】解：∵44(3)x =-，∴3x =±，故答案为±3.【点睛】本题考查乘方的相关知识，熟知互为相反数的两数的奇次方互为相反数,偶次方相等是解题关键.7．（2019春·上海黄浦·七年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）310-的4次幂等于________________．考点五：乘方的应用一、单选题1．（2021秋·上海·六年级上海市进才中学北校校考期中）13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（）A ．42B ．49C ．76D ．77【答案】C【分析】有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．【详解】依题意有，刀鞘数为76．故选：C ．二、填空题2．（2022春·上海·七年级校考期中）为计算2342019122222++++++ ，可令2342019122222s =++++++ ，则2342020222222s =+++++ ，因此2020221s s -=-，根据以上解题过程，猜想：23201913333+++++= ____________________4．（2021秋·上海杨浦·六年级校考期末）若()21310a a b -+--=，则=a ______，b =______．5．（2021秋·上海·八年级上海市第四中学校考期中）方程510x -=的根是__________．【答案】x =1【分析】根据乘方的意义，直接求解即可．【详解】解：510x -=，∴x 5=1，∴x =1，故答案是：x =1．【点睛】本题主要考查解方程，掌握乘方的意义，是解题的关键．6．（2019秋·上海浦东新·七年级校联考期末）若481x =，则x 的值是_______．【答案】3±【分析】根据乘方的定义进行计算即可【详解】解：∵481x =∴()443x =±∴3x =±故答案为：3±【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握乘方的意义是解题的关键7．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）若()2250x y -++=，则x y =________.三、解答题8．（2021秋·上海崇明·六年级统考期中）已知：ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，a 是最小的合数，b 、c 满足等式：()2560b c -+-=，点P 是ABC ∆的边上一动点，点P 从点B 开始沿着ABC ∆的边按BA AC CB →→顺序顺时针移动一周，回到点B 后停止，移动的路程为S ，如图1所示．（1）试求出ABC ∆的周长；（2）当点P 移动到AC 边上时，化简：436445S S S -+-+-；【答案】（1）15；（2）35【分析】（1）根据最小的合数求出a ，根据非负数的性质求出b 、c ；（2）先判断S -4>0，3S -6>0，4S -45<0，然后根据绝对值的意义化简．【详解】（1）由题意得4a =，5b =，6c =，所以，周长=4+5+6=15．（2）由题意得611S ≤≤，∴S -4>0，3S -6>0，4S -45<0，原式43645435S S S =-+-+-=．【点睛】本题考查了非负数的性质，绝对值的意义，判断S -4>0，3S -6>0，4S -45<0是解答本题的关键．【过关检测】一．选择题（共8小题）1．（2022春•闵行区校级期中）在（﹣5）2、﹣（﹣2.9）、﹣72、|﹣3|、0、、﹣1中，非负数共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】化简这些数，根据非负数的定义即可得出答案．【解答】解：（﹣5）2＝25，﹣（﹣2.9）＝2.9，﹣72＝﹣49，|﹣3|＝3，非负数有：25，2.9，3，0，共5个，故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，有理数，掌握a n表示n个a相乘是解题的关键．2．（2022春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣28与（﹣2）8B．（﹣3）7与﹣37C．﹣3×23与﹣33×2D．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．【解答】解：A选项，﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故该选项不符合题意；B选项，（﹣3）7＝﹣37，故该选项符合题意；C选项，﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故该选项不符合题意；D选项，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法，掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题的关键．3．（2022春•嘉定区校级期中）下列说法错误的是（）A．相反数等于本身的数只有0B．平方后等于本身的数只有0、1C．立方后等于本身的数是±1、0D．绝对值等于本身的数只有1【分析】根据相反数的定义判断A即可；根据乘方的意义求出即可判断B、C；根据绝对值的意义判断D 即可．【解答】解：A、相反数等于本身的数是0，故本选项正确，不符合题意；B、02＝0，12＝1，故本选项正确，不符合题意；C、03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1，故本选项正确，不符合题意；D、正数和0的绝对值都等于本身，故本选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相反数、绝对值、有理数的乘方的应用，关键是能熟练地运用定义和法则进行说理．4．（2021春•浦东新区校级期末）下列运算正确的是（）A．﹣24＝16B．﹣（﹣24）＝16C．（﹣2）4＝﹣16D．﹣（﹣2）4＝16【分析】A、根据有理数乘方的运算计算判断即可；B、根据相反数的定义判断即可；C、根据有理数乘方的运算计算判断即可；D、根据相反数的定义及有理数乘方的运算计算判断即可．【解答】解：A选项：原式＝﹣16，计算错误，不合题意；B选项：原式＝﹣（﹣16）＝16，计算正确，符合题意；C选项：原式＝16，计算错误，不合题意；D选项：原式＝﹣16，计算错误，不合题意．故选：B．【点评】此题考查的是有理数的乘方、相反数，掌握其运算法则是解决此题的关键．5．（2021春•普陀区校级月考）任何一个有理数的偶次幂必是（）A．负数B．正数C．非正数D．非负数【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断．【解答】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0，故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数．故选：D．【点评】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握．6．（2022春•普陀区校级期中）下列各式中值必为正数的是（）A．|a|+|b|B．a2+b2C．a2+1D．a【分析】四个选项中的值必须为正数，所以无论a、b取何值时都得满足其值为正数这一条件，据此依次判断即可．【解答】解：A、当a＝0，b＝0时，此式不符合条件，故本选项错误；B、当a＝0，b＝0时，此式不符合条件，故本选项错误；C、无论a取何值，a2+1的值都为正数，故本选项正确；D、当a＝0或负数时，此式不符合条件，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘方和绝对值的知识，是道基础题比较简单．7．（2021春•长宁区校级期末）下列各式中，不相等的是（）A．（﹣2021）2和﹣20212B．（﹣2021）2和20212C．（﹣2021）3和﹣20213D．|﹣2021|3和|﹣20213|【分析】将四个选项逐一分析后即可得出结论．【解答】解：∵（﹣2021）2＝20212，∴（﹣2021）2≠﹣20212．∴A选项符合题意；∵（﹣2021）2＝20212，∴B选项不符合题意；∵（﹣2021）3＝﹣20213，∴C选项不符合题意；∵|﹣2021|3＝20213，|﹣2021|3＝20213，∴|﹣2021|3＝|﹣20213|．∴D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的乘方和绝对值的应用．依据乘方的法则和绝对值的意义正确确定结果的符号是解题的关键．8．（2021春•浦东新区月考）在（﹣10）8中，﹣10是（）A．底数B．指数C．幂D．乘方【分析】根据“幂”的意义可得答案．【解答】解：（﹣10）8中表示8个（﹣10）相乘，其中（﹣10）是底数，8是指数，故选：A．【点评】本题考查有理数的乘方，理解幂的意义是正确判断的关键．二．填空题（共13小题）9．（2022春•普陀区校级期中）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式（﹣2）4．【分析】根据乘方的意义即可解答．【解答】解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，故答案为：（﹣2）4．【点评】本题考查乘方的意义，解题的关键是掌握乘方的概念．10．（2022春•徐汇区校级期中）如图为一正方形网，若在第一个点上放1枚棋子，在第二个点上放2枚棋子，在第三个点上放4枚棋子，在第四个点上放8枚棋子，以次类推，则在最后一个点上应放224枚棋子．（结果用幂的形式表示）【分析】第1个点放1枚，即20枚；第2个点放2枚，即21枚；第3个点放4枚，即22枚；第4个点放8枚，即23枚；……此正方形网格格点共5×5＝25个格点，所以，第25个点放224．【解答】解：第1个点放1枚，即20枚；第2个点放2枚，即21枚；第3个点放4枚，即22枚；第4个点放8枚，即23枚；……第n个点放2n﹣1枚．此正方形网格格点共5×5＝25个点，所以，第25个点放225﹣1＝224．故答案为：224．【点评】本题考查的是数字规律题，关键是根据前几个条件，找到规律是：第n个点放2n﹣1枚．11．（2020春•金山区期中）﹣23＝﹣8．【分析】根据有理数的乘方的定义计算即可得解．【解答】解：﹣23＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了有理数的乘方，要注意﹣23与（﹣2）3的区别．12．（2022春•杨浦区校级期中）计算：﹣32×（﹣2）3＝72．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣32×（﹣2）3＝﹣9×（﹣8）＝72．故答案为：72．【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．13．（2022春•徐汇区校级期中）﹣65的底数是6．【分析】根据幂的意义得出答案．【解答】解：﹣65＝﹣6×6×6×6×6，因此﹣65的底数是6，故答案为：6．【点评】本题考查有理数的乘方，掌握幂的意义是得出答案的关键．14．（2021春•徐汇区校级期末）若一个数的平方是25，则这个数的立方是±125．【分析】根据有理数的乘方的概念可得这个数，再根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：∵一个数的平方是25，∴这个数为±5，∴（±5）3＝±125．故答案为：±125．【点评】此题考查的是有理数的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．15．（2021春•静安区期末）计算：（﹣）2＝．【分析】利用乘方的意义进行计算即可．【解答】解：原式＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的意义是解题的关键．16．（2021春•浦东新区校级期末）﹣32＝﹣9．【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．【解答】解：﹣32＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算法则．17．（2021春•宝山区期末）如果有理数a满足a61＜0，在数轴上点A所表示的数是a622，点B所表示的数是a2021；那么在数轴上点A在点B（填点A和点B中哪个点在哪个点）的右边．【分析】利用a61＜0可知a＜0，于是可得a622＞0，a2021＜0，根据原点左边的数为负数，原点右边的数为正数可得结论．【解答】解：∵a61＜0，∴a＜0．∴a622＞0，a2021＜0，∴点A在点B的右边．故答案为：点A在点B．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，数轴．利用负数的偶次方是正数，负数的奇数次方是负数的法则是解题的关键．18．（2021春•杨浦区期末）计算：＝．【分析】先求出（﹣）3，再求它的相反数即可．【解答】解：原式＝﹣（﹣）＝，故答案为：．【点评】本题考查了有理数的乘方，牢记幂的意义是解题的关键．19．（2021春•杨浦区校级期中）阅读理解：①根据幂的意义，a n表示n个a相乘；则a m+n＝a m•a n；②a n＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？对于a n＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．记[5，x]＝4m，[5，y﹣3]＝4m+2；y与x之间的关系式为y＝25x+3．【分析】由题意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，然后根据同底数幂的逆用得问题的答案．【解答】解：由题意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，∴y﹣3＝54m×52＝25x，即y＝25x+3．故答案为：y＝25x+3．【点评】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．20．（2021春•杨浦区校级期末）计算：﹣（﹣2）4＝﹣16．【分析】根据有理数的乘方计算即可．【解答】解：﹣（﹣2）4＝﹣16．故答案为：﹣16．【点评】此题考查有理数乘方问题，关键是根据有理数的乘方法则进行解答．21．（2021春•浦东新区月考）计算：﹣42＝﹣16．【分析】根据有理数的乘方，即可解答．【解答】解：﹣42＝﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．三．解答题（共1小题）22．（2021春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：log a N＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．（1）填空：指数式62＝36对应的对数式是log＝2；对数式log327＝3对应的指数式是33＝27．（2）计算：log232+log5625．【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案；（2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案．【解答】解：（1）指数式62＝36对应的对数式是：log＝2，对数式log327＝3对应的指数式是：33＝27；故答案为：log＝2，33＝27；（2）log232+log5625＝5+4＝9．【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键．。

第07讲有理数的乘方(解析版)-2021-2022学年秋季七年级数学基础学案(苏科版)

第07讲有理数的乘方学习目标1.理解有理数的乘方的意义，会进行有理数的乘方运算.2.了解底数、指数和幂的概念，能说出一个乘方运算的底数、指数和幂，会求一个数的正整数指数幂.3.会用科学记数法表示较大的数，感受用科学记数法表示数带来的方便.考点考频1.能说出一个乘方运算关法的底数、指数、幂（常考点）2.会求一个数的正整数指数幂。

（必考点）3.会用科学记数法表示较大的数。

（必考点）知识点1有理数的乘方（重点；掌握）1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方.乘方运算的结果叫做幂，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数.如图.2.a n读作a的n次方，a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.3.正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，0的任何正整数次幂都得0.特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.[特别提醒]（1）要分清乘方表示的意义，如:（－2）5表示5个－2相乘的积、－25表示5个2相乘的积的相反数、－（－2）5表示5个－2相乘的积的相反数.（2）要注意书写分数的乘方时，底数要加括号.如:(− 23)4表示4个 − 23相乘的积、− 243表示4个2相乘的积的13的相反数.（3）一个数可以看作是它本身的一次方，指数1通常省略不写.例如，51通常写作5，a1写作a.例1把下列各式用幂的形式表示，并指出其底数和指数.（1）（－2021)×(－2021)×(－2021）；（2）（＋ 25 )×(＋25 )×(＋25 )×(＋25 ）；（3）－ 23 ×23 ×23 ×23 ×23 .【答案】（1）3；（2）4；（3）5练习1把下列各式用幂的形式表示，并说出其底数、指数.（1）2×2×2×2×2×2；（2）（－3)×(－3)×(－3)×(－3)×(－3）（3）（－ 13 )×(－13 )×(－13 ）（4）－13 ×13 ×13 .【答案】解:（1）26.底数是2，指数是6. （2）（－3）5，底数是－3，指数是5.（3）（－ 13 ），底数是－13 ，指数是3.（4）－（ 13 ）底数是13 .指数是3.知识点2有理数幂的符号法则（重点；掌握）（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都等于0.[特别提醒]判断乘方符号的步骤:一看底数（正数、负数、0）；二看指数（奇数次幂、偶数次幂）.例2不做运算，判断下列各运算结果的正负.（－5）11，（－4）20，（－1.5）2021，（4）7，－（－6）29.3【答案】负；正；负；正；正知识点3科学记数法（重点；掌握）1.科学记数法的表示形式为a×10n试，其中1≤a < 10，n为整数.2.n的确定方法如下:方法一:整数位数减去1.如3900是一个四位数，用科学记数法表示为3.9×103，则n = 4－1 = 3.方法二:看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位n就等于几.如3900用科学记数法表示为3.9×103，显然从3900到3.9小数点向左移动了3位，所以n = 3.3.用科学记数法表示数时，数的大小没有变化，只是数的书写形式发生了变化、这也是判断科学记数法表示是否正确的标准.4.若原数有“－”号，不能将“－”号丢掉.例3（2019·苏州中考）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（）A.0.26×108B.2.6×108C.26×106D.2.6×107【答案】D练习3（2019·盐城中考）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1400000平方米的航站楼，数据1400000用科学记数法应表示为（）A.0.14×108B.1.4×107C.1.4×106D.14×105【答案】C—— 题型总结 ——题型1根据乘方的法则计算例1计算.（1）（－0.2）3；（2）－54；（3）－(－2)6（4）－( 23 )3；（5）－ 223 ；（6）－|－ 12 |4.【答案】（1）－1 125 ；（2）－625；（3）－64；（4）－ 8 27 ；（5）－ 43；（6）－ 1 16。

有理数的乘方(3种题型)-2023年新七年级数学(苏科版)(解析版)

有理数的乘方（3种题型）1.掌握有理数乘方的意义，正确判断幂的底数，掌握乘方运算的符号法则；2.理解科学记数法的表示，会正确算出科学记数法表示的数的结果；一．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．（将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．二．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．一．有理数的乘方（共11小题）1．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列各组数中，相等的是（）A．+32与+23B．﹣23与（﹣2）3C．﹣32与（﹣3）2D．|﹣3|3与（﹣3）3【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：∵32＝9，23＝8，故选项A不符合题意，∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，故选项B符合题意，∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意，∵|﹣3|3＝27，（﹣3）3＝﹣27，故选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题考查有理数的乘法，有理数的乘方，解题关键在于掌握运算法则．2．（2022秋•盐都区期中）计算：＝．【分析】根据有理数乘方法则进行计算便可．【解答】解：原式＝+，故答案为：．【点评】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数乘方法则是解题的关键．3．（2023•南京二模）与（﹣3）2的值相等的是（）A．﹣32B．32C．（﹣2）3D．23【分析】将原式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：∵（﹣3）2＝9，A．﹣32＝﹣9；B.32＝9；C．（﹣2）3＝﹣8．D．23＝8．∴与（﹣3）2的值相等的是B．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．4．（2022秋•仪征市期末）若一个数的立方为﹣27，则这个数是（）A．﹣3B．3C．±3D．﹣9【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴这个数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型．5．（2023春•泰兴市校级月考）计算：（）3＝．【分析】求n个相同因数积的运算，叫做乘方，由此即可计算【解答】解：（）3＝××＝．故答案为：．【点评】本题考查有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方运算法则．6．（2022春•灌南县期中）已知83＝a9＝2b，试求b a的值．【分析】根据83＝（23）3＝29，即可确定a和b的值，进一步求解即可．【解答】解：∵83＝a9＝2b，又∵83＝（23）3＝29，∴a＝2，b＝9，∴ba＝92＝81．【点评】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方等，熟练掌握这些知识是解题的关键．7．（2023•海陵区一模）﹣32的值等于（）A．﹣9B．9C．6D．﹣6【分析】利用有理数的乘方判断．【解答】解：﹣32＝﹣9，故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．8．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为9，E点表示的数为9100，AB＝BC＝CD＝DE，则数999所对应的点在线段上．【分析】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与999﹣9进行比较即可．【解答】解：∵A点表示数为9，E点表示的数为9100，∴AE＝9100﹣9，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴，∴B点表示的数为，∵＝，∴＞0，∴数999所对应的点在B点左侧，∴数999所对应的点在AB点之间，故答案为：AB．【点评】本题考查了数轴，掌握两点之间的距离是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．9．（2023春•宿豫区期中）已知3＝m5＝（）n，求m+n的值．【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂解决此题．【解答】解：∵310＝m5＝（）n，∴310＝95＝m5＝3﹣n．∴m＝9，n＝﹣10．∴m+n＝9+（﹣10）＝﹣1．【点评】本题主要考查幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知|x|＝5，y2＝16，且x+y＞0，那么x﹣y＝．【分析】利用绝对值的定义，乘方运算确定x、y的可能取值，再代入数据求x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝5，y2＝16，∴x＝±5，y＝±4，∵x+y＞0，∴x＝5，y＝±4，x﹣y＝5﹣4＝1，x﹣y＝5﹣（﹣4）＝9，∴x﹣y的值为1或9．故答案为：1或9．【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的加减，绝对值，解题的关键是掌握有理数的乘方运算，有理数的加减运算，绝对值的定义．11．（2023春•吴江区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，（，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝；（2）有同学在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，∴（3n）x＝4n即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．②若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b＝c；②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（，）（结果化成最简形式）．【分析】（1）根据规定，利用乘方的运算解答即可；（2）①根据规定，利用同底数幂乘方的运算法则证明即可；②根据规定，利用同底数幂乘方的运算法则，以及多项式乘以多项式的运算法则解答即可．【解答】解：（1）∵32＝9，∴（3，9）＝2；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵（﹣2）3＝﹣8，∴（﹣2，﹣8）＝3．故答案为：2，4，3；（2）①∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∴4a×4b＝5×6＝30＝4c，∴4a+b＝4c，即a+b＝c；②设[（x﹣1）n，（y+1）n]＝p，[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝q，由上述结论，知（x﹣1）p＝y+1，（x﹣1）q＝y﹣2，且[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝p+q，∵（x﹣1）p×（x﹣1）q＝（y+1）（y﹣2），即（x﹣1）p+q＝y2﹣y﹣2，∴[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]＝p+q，∴[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]．故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．【点评】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键．二．非负数的性质：偶次方（共7小题）12．（2022秋•姑苏区校级期末）如果|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2022的值是．【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a，b，代入求值即可．【解答】解：因为|a+3|+（b﹣2）2＝0，所以a+3＝0，b﹣2＝0，所以a＝﹣3，b＝2，所以（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查非负数的性质，涉及到有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性．13．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知|ab﹣2|+（b+1）2＝0，则（a﹣b）2023＝．【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a，b，代入求值即可．【解答】解：因为|ab﹣2|+（b+1）2＝0，所以ab﹣2＝0，b+1＝0，所以ab＝2，b＝﹣1，解得a＝﹣2，b＝﹣1，所以（a﹣b）2023＝（﹣2+1）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查代数式求值、有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性．14．（2022秋•射阳县月考）已知（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，求x﹣y的值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，（x﹣3）2≥0，|2x﹣3y+6|≥0，∴x﹣3＝0，2x﹣3y+6＝0，解得x＝3，y＝4，∴x﹣y＝3﹣4＝﹣1．【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．15．（2023春•东台市期中）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，∴x﹣1＝0，2y+1＝0，解得：x＝1，y＝﹣，则x+y的值为：1﹣＝．故选：D．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．16．（2022秋•仪征市期末）若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b a＝．【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出a、b的值即可得到答案．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，|a﹣2|≥0，（b+3）2≥0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∴ba＝（﹣3）2＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，熟知非负数的性质是解题的关键．17．（2023春•东台市期中）已知|x+2y+3|与（2x+y）2的值互为相反数，则x﹣y＝．【分析】根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，即可列出关于x和y的方程，求得x和y的值，进而求得代数式的值．【解答】解：根据题意得：，解得．则原式＝1+2＝3．故答案是3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，理解性质是关键．18．（2022秋•江阴市期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．三．科学记数法—表示较大的数（共4小题）19．（2023•苏州）在比例尺为1：8000000的地图上，量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，即实际距离为28000000厘米．数据28000000用科学记数法可表示为．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：28000000＝2.8×107，故答案为：2.8×107．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．20．（2023•镇江一模）2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：15.95亿＝15.95×108＝1.595×109．故答案为：1.595×109．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．21．（2023春•吴江区校级期中）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．（1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算）（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？（3）如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（1m/s＝3.6km/h）【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可；（2）根据题意列出算式，求出即可；（3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可．【解答】解：（1）3×108×3×107＝9×1015（米），9×1015米＝9×1012千米．答：1光年约是9×1012千米；（2）10万＝100000，100000×9×1012＝9×1017（千米），．答：银河系的直径达10万光年，约是9×1017千米；（3）3×108m/s＝1.08×109km/h，1.08×109÷1000＝1.08×106，答：光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．解此题的关键是能根据题意列出算式．22．（2022春•仪征市校级月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示）（1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？（2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可；（2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算．【解答】解：（1）10亿＝1 000 000 000＝109，∴10亿元的总张数为109÷100＝107张，107÷100×0.9＝9×104（厘米）；（2）107÷（5×8×104），＝（1÷40）×（107÷104），＝0.025×103＝25＝2.5×10（天）．【点评】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数．一、单选题【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：54700000用科学记数法表示为75.4710⨯；故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【答案】A【分析】根据小于0的数是负数，对各选项计算后再计算负数的个数．【详解】因为22−=，()2=2−−，()202311−=−所以负数有112−，()20231−，共计2个故选A【点睛】本题考查负数的概念，解题关键是利用了小于0的数是负数的概念．【答案】D【分析】根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出x 、y 的值，代入计算即可．【详解】解：∵()2510x x y −+−−=，∴50x −=，10x y −−=， ∴5x =，4y =，∴()()20232023514x y −=−=，故选：D ．0，则其中的每一项都为0． 4．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）下列计算结果相等为（） A ．43和34B ．43−和4|3|−C ．25−和2(5)−D ．2022(1)−和 2024(1)−【答案】D【分析】根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可．【详解】解：A ．∵4381=，3464=，且8164≠，∴选项A 不符合题意；B ．∵4381−=−，4|3|81−=，且8181−≠，∴选项B 不符合题意；C ．∵2525−=−，2(5)25−=，且2525−≠，∴选项C 不符合题意；D ．∵()202211−=，2024(1)1−=，且11=，∴选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义，准确进行计算．5．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）()633...33⨯⨯⨯÷−个的结果为（）A ．73B ．73−C ．53 D ．53−【答案】D【分析】根据有理数的乘方与除法运算法则计算即可得到答案．【详解】解：原式633=−÷ 53=−．故选：D ．【点睛】此题考查的是有理数的乘方与除法，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．【答案】A【分析】根据有理数的乘方运算求出x 、y 即可解答．【详解】解：∵x 、y 、z 是三个连续的正整数， ∴y=x+1，∵x2＝44944=2122， ∴x=212， ∴y=213，∴y2=2132=45 369，故选：A ．【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键．二、填空题7．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）倒数等于本身的数是______，相反数等于本身的数是______，平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______．【答案】 1± 0 1和0 1±和0【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、平方、立方的意义，即可得到答案．【详解】解：倒数等于它本身的数是1±，相反数等于它本身的数是0，平方等于它本身的数是1和0，立方等于它本身的数是1±和0，故答案为：1±；0；1和0；1±和0．【点睛】本题考查了倒数、相反数、平方、立方，解题的关键是掌握所学的知识进行解题． 8．（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）数字1920000000用科学记数法表示为____________．【答案】91.9210⨯【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：91920000000 1.9210=⨯．故答案为：91.9210⨯．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如果ab ＝c ，那么我们规定[a ，c ]＝b ．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n ，[9，m ]＝n ；则[3，m +2]＝_______．【答案】3【分析】根据规定可得3n ＝5，9n ＝m ，从而得到m ＝25，然后设[3，m+2]＝x ，则3x ＝m+2=27，再由33＝27，即可求解．【详解】解：∵[3，5]＝n ，[9，m]＝n ， ∴3n ＝5，9n ＝m ， ∴9n ＝（3n ）2＝52＝25， ∴m ＝25，即m+2=27，设[3，m+2]＝x ，则3x ＝m+2=27，∴33＝27， ∴[3，m+2]＝3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键．10．（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）下列情景描述的结果与52相符的是________（填写所有正确选项的序号）①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．【答案】②③/③②【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可．【详解】①把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有12481631++++=条折痕，不符合题意．②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有52根面条，符合题意．③由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为52个，符合题意．故答案为②③．【点睛】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键．11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）根据全国第七次人口普查数据显示，截至2020年11月1日零时，泗阳总人口约1063000人，数据1063000用科学记数法表示____．【答案】61.06310⨯【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10na ⨯的形式即可．【详解】∵61.010*******=10⨯，故答案为：61.06310⨯．【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【答案】3【分析】根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，再相减即可求出答案．【详解】根据题意得，10m −=，20n +=，解得，1m =，2n =−，所以1(2)3m n −=−−=，故答案为3．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，有限个非负数的和为零，那么每一个加数必为零，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．【答案】1−【分析】利用非负数的性质得出x y ，的值，代入计算得出答案．【详解】解：()2130x y ++−=，10x ∴+=，30y −=，解得：=1x −，3y =， 3(1)1y x ∴=−=−，故答案为：1−．【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．14．（2021秋·江苏无锡·七年级无锡市东林中学校考期中）若|2|a −与()21b +互为相反数，则a b −=___________．【答案】3【分析】由题意得知：|a-2|+（b+1）2=0，根据非负数的性质得出a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：根据题意得：|a-2|+（b+1）2=0， ∵|a-2|≥0，（b+1）2≥0， ∴a-2=0，b+1=0， ∴a=2，b=-1，∴2(1)3a b −=−−=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了非负数的性质．解题的关键是掌握相反数定义，利用只有符号不同的两个数互为相反数得出a 、b 的值是解题的关键．三、解答题15．（2023春·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习）记(1)2M =−，(2)(2)(2)M =−⨯−，(3)(2)(2)(2)M =−⨯−⨯−，……()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘，（其中n 为正整数）(1)计算：(5)(6)M M +； (2)求(2022)(2023)2M M +的值； (3)说明()2n M 与(1)n M +互为相反数．【答案】(1)32 (2)0 (3)见解析【分析】（1（2）根据已知条件及乘方的运算，再利用同底数幂的乘法法则即可得到正确结果；（3）根据已知条件及乘方的运算，再利用同底数幂的乘法法则即可得到结论．【详解】（1）解：∵(1)2M =−，(2)(2)(2)M =−⨯−，(3)(2)(2)(2)M =−⨯−⨯−，∴()()552M =−，()662M =−，∴(5)(6)M M +()()5622=−−＋()()5212⎡⎤=−−⎣⎦＋()()521=−−32=；（2）解：∵()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘，∴()()202220232M M +()()20222023222=−−＋()()2022222=−−⎡⎤⎣⎦＋0=；（3）解：∵()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘，∴()12n n M M ＋＋()()1222nn =−−＋＋()()222n=−−⎡⎤⎣⎦＋0=，∴()2n M 与(1)n M +互为相反数．【点睛】本题考查了乘方的意义及同底数幂的乘法法则，理解乘方的意义是解题的关键．【答案】数轴表示见解析，()()21301232−−<<−<<−−【分析】先把各数化简，然后再数轴上表示出来，即可求解．【详解】解：33−−=−，()211−=，()33−−=，各数在数轴上表示出来，如下：按从小到大的顺序用“<”号连接起来为()()21301232−−<<−<<−−．【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、有理数的大小比较．能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．，一般地，把c aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣【答案】（1）3，﹣27；（2）C ；（3）Ⅰ．9；（5 ）4；28；Ⅱ．a ⓝ＝（a ）n ﹣2；Ⅲ．131−．【分析】（1）根据新定义运算的法则进行运算即可；（2）根据新定义运算对每个选项逐一分析判断，即可得到答案；（3）Ⅰ．根据新定义的运算法则进行计算即可；Ⅱ．结合前面的具体计算进行归纳总结可得答案；Ⅲ.根据新定义运算，逐一先计算除方，再转化为有理数的乘除乘方运算，再计算即可. 【详解】解：概念学习：（1）由新定义运算可得：3③＝3÷3÷3＝13，（13−）⑤＝（13−）÷（13−）÷（13−）÷（13−）÷（13−）＝﹣27．故答案为：13，﹣27；（2）A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A 正确； B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1；所以选项B 正确；C 、3④＝3÷3÷3÷3＝19，4③＝4÷4÷4＝14，则 3④≠4③；所以选项C 错误；D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；本题选择说法错误的，故选C ；深入思考：（3）Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3） ()1113333æöæöæöç÷ç÷ç÷=-´-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø＝21319−=⎛⎫⎪⎝⎭； 5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷511111=555555´´´´´ ＝（15）4；同理得：（12−）⑩＝28；故答案为：19；（15）4；28；Ⅱ：由新定义运算及（1）（2）归纳总结可得： a ⓝ＝21n a −⎛⎫ ⎪⎝⎭；故答案为：a ⓝ＝21n a −⎛⎫ ⎪⎝⎭Ⅲ．2112()3÷−④(2)÷−⑤1()3−−⑥33÷ ＝()()324311443332æöç÷¸-¸---¸ç÷èø()1144881279=´´--¸1283131=--=-故答案为：131−【点睛】本题考查的是新定义运算，有理数的除法运算，有理数的乘方运算，理解新定义运算的运算法则，并利用新定义进行计算是解题的关键.【答案】(1)351−，，(2)①122x x −−，；②2BD PC =，理由见解析【分析】（1）根据非负数的性质求出a b 、的值，再根据数轴沿点C 折叠，点A 和点B 重合即点C 为AB 的中点进行求解即可；（2）①根据数轴上两点距离公式即可求出PC ，再求出点D 表示的数即可求出BD ；②分别表示出PC 和BD 即可得到结论．【详解】（1）解：∵()2350a b ++−=，()23050a b +≥−≥，，∴()2350a b +=−=，∴3050a b +=−=，， ∴35a b =−=，，∵数轴沿点C 折叠，点A 和点B 重合， ∴点C 为AB 的中点， ∴12a bc +==，故答案为：351−，，；（2）解：①由题意得1PC x =−，∵将数轴沿点P 折叠，数轴上与点A 重合的点记为D ， ∴点P 是AD 的中点，∴点D 表示的数为()323x x x +−−=+⎡⎤⎣⎦， ∴2352222BD x x x=+−=−=−，故答案为：122x x −−，； ②2BD PC =，理由如下：同①得1PC x =−，2221BD x x =−=−，∴2BD PC =；【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上两点中点公式，非负数的性质，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 19．（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞．(1)在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞继续分裂．现从1个绿藻细胞开始培养，经过15天后，共分裂成4k 个绿藻细胞，求k 的值．(2)已知210＝1024，请判断（1）问中的4k 个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉，并说明理由．【答案】(1)18；(2)足够，理由见解析【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成184个绿藻细胞，故k 之值为18；（2）根据每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞， 60亿介于322与332之间，可得制作10克的绿藻粉需要600亿个绿藻细胞，且352＜600亿362＜，又()1818236422==，即得184个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉．【详解】（1）解∶15天1524=⨯小时360=小时，∴3602018÷=，根据题意得，1844k =，∴18k =；（2）解：（1）问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉．理由如下∶∵每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞，∴制作10克的绿藻粉需要6010600⨯=亿个绿藻细胞，∵352＜600亿362＜，而()1818236422==，∵600亿184<，∴184个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉．【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k 的值．一．选择题1．下列各组数中，相等的是（）A ．（﹣3）2与﹣32B ．|﹣3|2与﹣32C ．（﹣3）3与﹣33D ．|﹣3|3与﹣33【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A 、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；B 、|﹣3|2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C 、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，故本选项正确；D 、|﹣3|3＝27，﹣33＝﹣27，27≠﹣27，故本选项错误．故选：C ．【点评】本题考查了有理数的乘方，要注意（﹣3）2与﹣32的区别．2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A ．0.1692×1012B ．1.692×1011C ．1.692×1012D ．16.92×1010【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：169200000000＝1.692×1011．故选：B ．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．3．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知（[x（x+k）]＝9x2+mx，则m的值是（）A．45B．63C．54D．不确定【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【解答】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝54．故选：C．【点评】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．二．填空题4．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为550055 000 000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：55000000＝5.5×107．故答案为：5.5×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．计算：﹣（﹣）3＝．【分析】根据有理数的乘方解决此题．【解答】解：﹣（﹣）3＝．故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．6．计算：（﹣5）2＝．【分析】根据幂的意义求解即可．【解答】解：（﹣5）2＝（﹣5）×（﹣5）＝25，故答案为：25．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是知道（﹣5）2表示2个（﹣5）相乘．7．若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝10，且|x﹣y|＝x﹣y，则x+y的值为．【分析】根据绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则解决本题．【解答】解：∵x2＝64，|y|＝10，∴x＝±8，y＝±10．又∵|x﹣y|＝x﹣y，∴x﹣y≥0．∴x≥y．∴当x＝8时，y＝﹣10，此时x+y＝8+（﹣10）＝﹣2；当x＝﹣8时，y＝﹣10，此时x+y＝﹣8+（﹣10）＝﹣18．综上：x+y＝﹣2或﹣18．故答案为：﹣2或﹣18．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、有理数的加法，熟练掌握绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则是解决本题的关键．8．1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为米．【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．【解答】解：第一次截去一半，剩下，第二次截去剩下的一半，剩下×＝（）2，如此下去，第8次后剩下的长度是（）8＝．故答案为：．【点评】本题考查的是有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．三．解答题9．（2020秋•滕州市期末）如果x n＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝，（2，）＝；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解答】解：（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2＝，所以（2，）＝﹣2．故答案为：3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答：（b，a）的值为4．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，考核学生的运算能力，熟悉乘方运算是解题的关键．10．若|a+1|+（b﹣2）2＝0．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a b的值．【分析】（1）根据绝对值、偶次方的非负性求得a＝﹣1，b＝2，再代入a2﹣b2求值．（2）由（1）得a＝﹣1，b＝2，根据乘方的定义，代入求值．【解答】解：（1）∵|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，∴当|a+1|+（b﹣2）2＝0时，a+1＝0，b﹣2＝0．∴a＝﹣1，b＝2．。

2-7 有理数的乘方(教师版)2021-2022学年七年级数学上册讲义(苏科版)

第2章有理数2.7 有理数的乘方课程标准课标解读1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；1、有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．2、有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．知识点01 有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在n a中，a叫做底数， n叫做指数．【微点拨】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．【即学即练1】1．计算()23-的结果是（）A．9-B．9C．6-D．6【答案】B【分析】目标导航知识精讲根据乘方的法则即可求解．【详解】解：（-3）2=9．故选：B．知识点02 乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如n a≥0．【微点拨】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【即学即练2】2．下列运算中错误的是（）A．4(2)16-=B ．328327=C．3(3)27-=-D．104(1)1-=【答案】B【分析】利用乘方的意义对各选项进行判断．【详解】解：A、（-2）4=16，正确，故选项不符合；B、323=83，错误，故选项符合；C、（-3）3=-27，正确，故选项不符合；D、（-1）104=1，正确，故选项不符合；故选：B．考法01 有理数的乘方运算1．求n个相同因数的积的运算叫做乘方。

能力拓展2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

有理数的乘方重难点题型归纳总结(含答案)

有理数的乘方-重难点题型即有：.在【题型1 有理数乘方的概念】【例1】（2020秋•甘井子区期末）（−23）3表示的意义是（） A ．（−23）×（−23）×（−23） B ．（−23）×3 C ．−2×2×23 D ．−23×3×3【解题思路】根据题目中的式子和有理数乘方的意义，可以解答本题．【解答过程】解：（−23）3表示的意义是（−23）×（−23）×（−23），故选：A ．【变式1-1】把−(−23)(−23)(−23)(−23)写成乘方的形式是（）A ．−243B ．−(23)4C ．(−23)4D ．−(−23)4【解题思路】根据幂的意义即可得出答案，求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．na a a a n ⋅⋅⋅=个【解答过程】解：−23当底数的时候，要加括号，故A 选项错误；底数是−23，故B 选项错误；在最前面有一个负号，故C 选项错误；原式写成乘方的形式是﹣（−23）4，故D 选项正确；故选：D ．【变式1-2】（2020秋•安居区期中）关于（﹣5）4的说法正确的是（） A ．﹣5是底数，4是幂B ．﹣5是底数，4是指数，625是幂C ．﹣5是底数，4是指数，﹣625是幂D ．5是底数，4是指数【解题思路】利用乘方的意义判断即可．【解答过程】解：关于（﹣5）4的说法正确的是﹣5是底数，4是指数，625是幂．故选：B ．【变式1-3】（2020秋•浑源县期中）将写成幂的形式，正确的是（） A ．2m 3nB ．2m 3nC ．2m n 3D ．m 23n【解题思路】根据有理数的乘方解答即可．【解答过程】解：将写成幂的形式为：2m 3n，故选：A ．【题型2 有理数乘方的运算】【例2】（2020秋•含山县期末）下列各式结果相等的是（） A ．﹣22与（﹣2）2B ．233与（23）3C ．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|D ．﹣12021与（﹣1）2021【解题思路】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答过程】解：A 、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等，不符合题意； B 、233=83，（23）3=827，不相等，不符合题意；C 、﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，不相等，不符合题意；D 、﹣12021＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，相等，符合题意．故选：D ．【变式2-1】（2020秋•镇平县期中）下列各对数中，数值相等的是（） A ．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 B ．﹣32与（﹣3）2 C ．﹣3×23与﹣32×2D ．﹣23与（﹣2）3【解题思路】根据乘方的定义分别求解可得．【解答过程】解：A ．﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，不相等； B ．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等； C ．﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，不相等； D ．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，相等；故选：D ．【变式2-2】（2020春•西湖区校级月考）下列说法中正确的是（） A ．﹣a n 和（﹣a ）n 一定是互为相反数B ．当n 为奇数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等C ．当n 为偶数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等D ．﹣a n 和（﹣a ）n 一定不相等【解题思路】根据有理数的乘方的定义，分n 是奇数和偶数两种情况讨论求解即可．【解答过程】解：当n 为奇数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等，当n 为偶数时，﹣a n 和（﹣a ）n 一定互为相反数．故选：B ．【变式2-3】（2020秋•涞水县期末）设n 是自然数，则(−1)n +(−1)n+22的值为（）A ．1或﹣1B ．0C ．﹣1D ．0或1【解题思路】分n 为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得．【解答过程】解：若n 为奇数，则n +2也是奇数，此时(−1)n +(−1)n+22=−1−12=−1；若n 为偶数，则n +2也为偶数，此时(−1)n +(−1)n+22=1+12=1；故选：A ．【题型3 偶次乘方的非负性】【例3】（2021春•沙坪坝区期中）已知（2x ﹣4）2+|x +2y ﹣8|＝0，则（x ﹣y ）2021＝．【解题思路】由非负数的意义求出x 、y 的值，再代入计算即可．【解答过程】解：∵（2x ﹣4）2+|x +2y ﹣8|＝0， ∴2x ﹣4＝0，x +2y ﹣8＝0，解得，x ＝2，y ＝3，∴（x ﹣y ）2021＝（2﹣3）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式3-1】（2020秋•崇川区校级期中）若a 、b 为整数，且|a ﹣2|+（b +3）2020＝1，则b a ＝．【解题思路】先利用绝对值和乘方的意义得到a ＝1或3，b ＝﹣3或a ＝2，b ＝﹣4或﹣2，然后利用的意义进行计算．【解答过程】解：∵|a ﹣2|≥0，（b +3）2020≥0，而a 、b 为整数，∴|a ﹣2|＝1，（b +3）2020＝0或|a ﹣2|＝0，（b +3）2020＝1，∴a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，当a＝1，b＝﹣3时，b a＝﹣3；当a＝3，b＝﹣3时，b a＝（﹣3）3＝﹣27；当a＝2，b＝﹣4，b a＝（﹣4）2＝16；当a＝2，b＝﹣2时，b a＝（﹣2）2＝4；综上所述，b a＝（﹣3）3＝﹣27；的值为﹣3或﹣27或4或16．故答案为﹣3或﹣27或4或16．【变式3-2】（2020秋•衡水期中）对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2对于以上观点，则（）A．佳佳和音音均正确B．佳佳正确，音音不正确C．佳佳不正确，音音正确D．佳佳和音音均不正确【解题思路】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可．【解答过程】解：因为|a﹣1|≥0，所以|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为﹣3；因为（b+3）2≥0，所以﹣（b+3）2≤0，所以﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2，所以佳佳不正确，音音正确，故选：C．【变式3-3】（2020秋•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：①a2+（b+1）2总是正数；②a2+b2+1总是正数；③9+（a﹣b）2的最小值为9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：①a2+（b+1）2总是非负数，故此选错误；②a2+b2+1总是正数，正确；③9+（a ﹣b ）2的最小值为9，正确；④1﹣（ab +1）2的最大值是1，故此选项错误．故选：B ．【题型4 含乘方的混合运算】【例4】（2021春•金山区期末）计算：−32÷[4−(−1)2]+[23−(12)2]×24．【解题思路】利用有理数混合运算的法则运算：先做乘方，再做乘除，最后做加减，有括号的先做括号里面的．【解答过程】解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（23−14）×24＝﹣9÷3+（23×24−14×24）＝﹣3+（16﹣6）＝﹣3+10 ＝7．【变式4-1】（2020秋•郯城县期末）计算：[2+（﹣5）2]÷3×13−|﹣4|+23．【解题思路】先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算，从左往右计算．【解答过程】解：原式＝[2+25]÷3×13−4+8 ＝27÷3×13−4+8 ＝9×13−4+8 ＝3﹣4+8 ＝7．【变式4-2】（2021春•奉贤区期中）计算：−12012−[2−(−3)2]−(138+213−3.75)×24．【解题思路】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．注意乘法分配律的灵活运用．【解答过程】解：−12012−[2−(−3)2]−(138+213−3.75)×24＝﹣1﹣（2﹣9）−118×24−73×24+154×24 ＝﹣1+7﹣33﹣56+90 ＝7．【变式4-3】（2021春•浦东新区月考）计算：(−1)2021+12÷|−34|×(−4)−(−22)×(−114)．【解题思路】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解答过程】解：(−1)2021+12÷|−34|×(−4)−(−22)×(−114) ＝（﹣1）+12×43×（﹣4）﹣（﹣4）×（−54）＝（﹣1）﹣64﹣5 ＝﹣70．【题型5 乘方的应用规律】【例5】（2020秋•卢龙县期末）一根1m 长的绳子，第一次剪去绳子的23，第二次剪去剩下绳子的23，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（） A ．(13)99mB ．(23)99mC ．(13)100mD ．(23)100m【解题思路】根据有理数的乘方的定义解答即可．【解答过程】解：∵第一次剪去绳子的23，还剩13m ；第二次剪去剩下绳子的23，还剩13(1−23)=(13)2m ，……∴第100次剪去剩下绳子的23后，剩下绳子的长度为（13）100m ；故选：C ．【变式5-1】（2021春•松北区期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过分钟．【解题思路】根据细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，则n 小时后，分裂到22n 个，从而列方程求解．【解答过程】解：设经过n小时，根据题意，得22n＝16，2n＝4，n＝2．2小时＝120分钟，故答案为：120．【变式5-2】看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有多少个孙悟空？【解题思路】根据有理数乘方的定义，可推断出变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．【解答过程】解：变化一次，孙悟空的个数为2＝21（个）；变化两次，孙悟空的个数为2×2＝22＝4（个）；变化三次，孙悟空的个数为2×2×2＝23＝8（个）；变化四次，孙悟空的个数为2×2×2×2＝24＝16（个）；..．以此类推，变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．∴悟空一连变了30次，会有230个孙悟空．【变式5-3】（2020秋•农安县期中）有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为22×0.1毫米．（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折6次后，厚度为多少毫米？【解题思路】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可；（2）根据对折规律确定出所求厚度即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2×22×0.1＝0.8（毫米）；（2）根据题意得：25×22×0.1＝12.8（毫米）．【题型6 乘方应用中的新定义问题】【例6】（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0【解题思路】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答过程】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．【变式6-1】（2020秋•驿城区校级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：log a N＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；（3）计算：log232．【解题思路】（1）根据对数的定义求解；（2）利用对数的定义写成幂的形式；（3）先利用乘方的意义得到25＝32，然后根据对数的定义求解．【解答过程】解：（1）①62＝36；对数式记作：log636＝2；②43＝64；对数式记作：log464＝3；（2）①log525＝2；指数式为52＝25，②log327＝3；指数式为33＝27；（3）∵25＝32，log232＝5．【变式6-2】（2020秋•宁化县月考）（1）计算下面两组算式：①（3×5）2与32×52；②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；（2）根据以上计算结果猜想：（ab）3等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求（﹣4）2020×0.252021的值．【解题思路】（1）根据题意计算出结果即可（2）根据（1）的计算结果写出猜想即可．（3）当n为正整数时，写出猜想的结果，然后根据乘方的意义说明理由即可．（4）利用（3）的结论计算出值即可．【解答过程】解：（1）计算下面两组算式：①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225．②[（﹣2）×3]2＝36；（﹣2）2×32＝4×9＝36．（2）根据（1）计算结果猜想：（ab）3＝a3b3．（3）当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．理由：当n为正整数时．（ab）n=ab⋅ab⋯ab⋅ab︸n个ab的乘积=a⋅a⋯a⋅a︸n个a的积•b⋅b⋯b⋅b︸n个b的积=a n b n．即：当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）（﹣4）2020×0.252021＝（﹣4）2020×0.252020×0.25＝（﹣4×0.25）2020×0.25＝0.25．【变式6-3】（2020秋•聊城期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n 个a （a ≠0）a ÷a ÷a ÷⋯⋯÷a ︸n 个a ，记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究：直接写出计算结果：2③＝，(−12)③= ；深入思考：例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=(−3)×(−13)×(−13)×(−13)=(−13)2=(13)2（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥＝；(−12)⑥= ；（2）算一算：22÷(−13)④×(−2)③−(−13)⑤÷33．【解题思路】（1）利用新定义求解；（2）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．【解答过程】解：2③=12，(−12)③=−2；（1）5⑥=(15)4，(−12)⑥=24；（2）22÷(−13)④×(−2)③−(−13)⑤÷33 =22÷(−3)2×(−12)1−(−3)3÷27=4×19×(−12)+27÷27=79．故答案为：12；﹣2；（1）(15)4；24；（2）79．【题型7 科学记数法的表示】【例7】（2021春•浦东新区期末）如图，是津巴布韦于2009年发行的一张面值为100万亿的津元，但这一张100万亿津元还抵不上1美元的价值，在当地，一张这样的钞票也就顶多能买一个面包．“100万亿”可以用科学记数法表示（）A．1×1010B．1×1012C．1×1013D．1×1014【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：100万亿＝100×104×108＝100000000000000＝1×1014．故选：D．【变式7-1】（2021•深圳模拟）2020年12月17日，嫦娥5号经历了往返76万千米的长途跋涉，顺利回家并在我国内蒙古着陆，同时将在月球采集的土壤样本带回了地球，这标志着我国探月工程嫦娥5号的任务获得了圆满的成功．其中76万千米用科学记数法可表示为（）A．760000米B．7.6×108米C．7.6×107米D．7.6×109米【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：76万千米＝760000000＝7.6×108米．故选：B．【变式7-2】（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6B．5C．4D．3【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答过程】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于5．故选：B．【变式7-3】（2021•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（）A．14280.2万大约是1.4亿B．14280.2万大约是1.4×108C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：A、14280.2万大约是1.4亿，故本选项不合题意；B、14280.2万大约是1.4×108，故本选项不合题意；C、14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故本选项符合题意；D、14280.2万＝142802000＝1.42802×108．故本选项不合题意；故选：C．【题型8 近似数的表示】【例8】（2021春•浦东新区期末）据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（）A．亿位B．千万位C．万分位D．万位【解题思路】根据近似数“14.1178亿”，可知最后的数字8在万位上，从而可以解答本题．【解答过程】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，故选：D．【变式8-1】（2021•江岸区校级自主招生）把4383800精确到万位并用科学记数法表示为（）A．4.38×106B．4.3×106C．4.384×106D．43.8×105【解题思路】首先把4383800精确到万位，然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，判断出用科学记数法表示是多少即可．【解答过程】解：4383800≈4380000，4380000＝4.38×106．故选：A．【变式8-2】（2020秋•高邮市期末）我市某部门2021年年初收入预算为8.24×106元，关于近似数8.24×106，是精确到（）A．百分位B．百位C．千位D．万位【解题思路】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【解答过程】解：因为8.24×106＝8240000，所以近似数8.24×106是精确到万位．故选：D．【变式8-3】（2020秋•宽城区期末）数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是（）A．2.8≤M＜3B．2.80≤M≤3.00C．2.85≤M＜2.95D．2.895≤M＜2.905【解题思路】考虑两方面：①千分位舍去得到2.90；②千分位入得到2.90，据此可得答案．【解答过程】解：数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是2.895≤M＜2.905，故选：D．。

专题1.6 有理数的乘方(含解析)(沪科版)

专题1.6 有理数的乘方一、单选题（共6小题）1.为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A．116×106B．11.6×107C．1.16×107D．1.16×1082.如果（x﹣3）x＝1，则x的值为（）A．0 B．2C．4 D．以上都有可能3.按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，当输入x＝7时，输出的值为（）A．28 B．42 C．52 D．1004.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．6858 B．6860 C．9260 D．92625.观察下列等式：①1＝12②2+3+4＝32③3+4+5+6+7＝52④4+5+6+7+8+9+10＝72…请根据上述规律判断下列等式正确的是（）A．1009+1010+…+3026＝20172B．1009+1010+…+3027＝20182C．1010+1011+…+3028＝20192D．1010+1011+…+3029＝202026.若规定m⊕n＝mn（m﹣n），则（a+b）⊕a＝（）A．2ab2﹣b2B．2a2b﹣b2C．a2b+ab2D．a2b﹣ab2二、填空题（共8小题）7.截止2019年12月13日，中国电影市场2019年电影票房中，电影《哪吒之魔童降世》以约4973000000元登顶，数据4973000000用科学记数法表示为．8.若（2x﹣3）x+3﹣1＝0，则2x+1＝﹣．9.现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为．10.已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，则m+﹣cd的值为﹣．11.如果a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么2a+b﹣1的值为．12.若（x﹣2）x＝1，则x＝．13.一家商店将某种服装按成本价每件160元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是元．14.阅读理解：，，…阅读以上材料后计算：＝．三、解答题（共6小题）15.计算：（1）12﹣（﹣8）+（﹣6）﹣15（2）4+（﹣2）3×5﹣（﹣28）÷4+（﹣6）216.计算17.计算：18.已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求3ab2﹣3[ab2﹣2（ab﹣ab2）+2ab]的值．19.（1）若x﹣1是关于x的二次多项式x2+2ax﹣3a2的其中一个因式，求a的值及另一个因式．（2）若|a+b﹣6|+（ab﹣4）2＝0，求﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3的值．（3）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4﹣2a2c2﹣2b2c2＝0，试确定△ABC的形状．20.若规定这样一种运算：a△b＝（|a﹣b|+a+b），例如：2△3＝（|2﹣3|+2+3）＝3（1）求3△4和（﹣3）△（﹣2）的值；（2）将1，2，3，…，50这50个自然数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，求这25个值的和的最大值是．专题1.6 有理数的乘方参考答案一、单选题（共6小题）1.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【知识点】科学记数法—表示较大的数2.【分析】根据有理数的乘方法则，利用代入法一一检验正确性即可．【解答】解：x＝0时，（0﹣3）0＝（﹣3）0＝1x＝2时，（2﹣3）2＝（﹣1）2＝1x＝4时，（4﹣3）0＝14＝1故选：D．【点评】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘方法则是解题关键．另外，在选择题中，代入法也不失为一种不错的方法．【知识点】零指数幂、有理数的乘方3.【分析】在理解题意的基础上，把x＝7代入式子求值，其结果与40作比较，小于40则重新代入2x﹣4中计算，直到结果大于40就是输出结果．【解答】解：当x＝7时，2x﹣4＝10∵10＜40∴将x＝10继续代入2x﹣4＝16∵16＜40∴将x＝16继续代入2x﹣4＝28∵28＜40∴将x＝28继续代入2x﹣4＝52∵52＞40∴输出结果是52故选：C．【点评】本题主要考查代数式的求值和解方程的能力，难度不大，注意理解题意是解题的关键．【知识点】有理数的混合运算、代数式求值4.【分析】由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n+2≤2019，可得n2≤，再根据和谐数为正整数，得到1≤n≤9，可得在不超过2019的正整数中，“和谐数”共有9个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2≤，∵和谐数为正整数，∴1≤n≤9，则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为33﹣13+53﹣33+…+193﹣173＝193﹣13＝6858．故选：A．【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．【知识点】有理数的乘方5.【分析】根据题目中式子的特点可以发现开头数字是奇数，则最后的数字也是奇数，若开头数字是偶数，最后的数字就是偶数，结果是开头数字与最后数字和的一半的平分，等号坐标有多少个数字，结果就是这个数字个数的平方，由此可以判断各个选项中的式子是否正确．【解答】解：∵①1＝12②2+3+4＝32③3+4+5+6+7＝52④4+5+6+7+8+9+10＝72…∴开头是1009的式子最后的数字是奇数，故选项A错误；开头是1010的式子最后的数字是偶数，故选项D错误；1009+1010+…+3027＝（）2＝20182，而1009到3027有3027﹣1008＝2019个数字，故这列数应该是开头数字是1009，最后的数字是3025，故选项B错误；1010+1011+…+3028＝（）2＝20192，故选项D正确；故选：C．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，可以判断出各个选项中的式子是否正确．【知识点】有理数的混合运算、规律型：数字的变化类6.【分析】先根据新运算得出算式，再根据整式的混合运算法则求出即可．【解答】解：（a+b）⊕a＝（a+b）a（a+b﹣a）＝（a+b）ab＝a2b+ab2，故选：C．【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的混合运算法则进行化简是解此题的关键．【知识点】整式的混合运算、有理数的混合运算二、填空题（共8小题）7.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4 973 000 000＝4.973×109，故答案为：4.973×109．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【知识点】科学记数法—表示较大的数8.【分析】根据有理数乘方即可求出答案．【解答】解：当2x﹣3＝1时，此时x＝2，∴x+3＝5，符合题意，当2x﹣3＝﹣1时，此时x＝1，∴x+3＝4，符合题意，当x+3＝0时，此时x＝﹣3，∴2x﹣3≠0，符合题意，∴2x+1＝3或5或﹣5，故答案为：3或5或﹣5【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是正确理解有理数的乘方，本题属于基础题型．【知识点】零指数幂、有理数的乘方9.【分析】直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．【解答】解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．【知识点】解一元一次不等式、有理数的混合运算10.【分析】根据a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，可以求得a+b、cd、|m|的值，从而可以求得题目中所求式子的值．【解答】解：∵a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝1，∴m＝1或﹣1，∴原式＝m+＝m﹣1，当m＝1时，原式＝1﹣1＝0；当m＝﹣1时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2．故答案为：0或﹣2．【点评】本题考查有理数混合运算，求代数式的值，相反数的应用，绝对值的性质，倒数的性质，有理数的有关概念，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法和正确求出a+b、cd、m的值．【知识点】有理数的混合运算11.【分析】把已知条件根据完全平方公式整理成平方和等于0的形式，然后根据非负数的性质用c表示出a、b，再代入代数式计算即可．【解答】解：a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝a2+2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝（a+c）2+（b﹣c）2＝0，∴a+c＝0，b﹣c＝0，解得a＝﹣c，b＝c，∴2a+b﹣1＝2﹣c+c﹣1＝2﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，整理成平方和的形式，再利用非负数的性质用c表示出a、b的值是解题的关键，是道好题．【知识点】完全平方公式、非负数的性质：偶次方12.【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案．【解答】解：∵（x﹣2）x＝1，∴x＝0时，（0﹣2）0＝1，当x＝3时，（3﹣2）3＝1，则x＝0或3．故答案为：0或3．【点评】此题主要考查了零指数幂以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．【知识点】零指数幂、有理数的乘方13.【分析】根据打折销售中的数量关系，求出标价，再求出售价；【解答】解：160×（1+50%）×80%＝192（元），故答案为：192．【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握打折销售中的成本价、标价、售价、利润之间的关系，理解打折销售中的数量关系是正确解答的关键．【知识点】有理数的混合运算14.【分析】先拆项，再抵消，依此计算即可求解．【解答】解：＝（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（+++++++）＝81+（﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）＝81+＝81．故答案为：81．【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟悉＝﹣的知识点．【知识点】有理数的混合运算三、解答题（共6小题）15.【分析】（1）首先写成省略括号的形式，再计算加减即可；（2）首先计算乘方，再算乘除，后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝12+8﹣6﹣15＝﹣1；（2）原式＝4+（﹣8）×5﹣（﹣7）+36，＝4﹣40+7+36，＝7．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握计算法则，注意计算顺序．【知识点】有理数的混合运算16.【分析】根据有理数的混合运算和运算顺序进行计算便可．【解答】解：原式＝﹣1+16×﹣0.28+0.01＝﹣1+2﹣0.28+0.01＝﹣1﹣0.28+2+0.01＝﹣1.28+2.01＝0.73【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【知识点】有理数的混合运算17.【分析】根据有理数的乘方可得，原式＝﹣4×（﹣）﹣8﹣＝．【解答】解：原式＝﹣4×（﹣）﹣8﹣＝＝8．【点评】本题考查有理数的运算；熟练掌握有理数的乘方、乘法运算是解题的关键．【知识点】有理数的乘方、绝对值、有理数的乘法18.【分析】首先去括号，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值可得答案．【解答】解：原式＝3ab2﹣3ab2+6（ab﹣ab2）﹣6ab＝6ab﹣6ab2﹣6ab＝﹣6ab2，∵|a﹣2|+（b+）2＝0，∴a＝2，b＝﹣，∴原式＝﹣6×2×＝﹣3．【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．【知识点】整式的加减—化简求值、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方19.【分析】（1）设另一个因式为（x+m），将（x+m）与（x﹣1）相乘，展开比较系数得出二元一次方程组，解方程求出相关字母的值即可．（2）根据非负数的性质得到a+b＝6，ab＝4．然后整体代入整理后的代数式进行求值．整理后的代数式为：﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3＝﹣ab（a+b）2．（3）首先等式两边同时乘以2，利用配方法得到（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2＝0，根据非负数的性质得到2a2﹣c2＝0，2b2﹣c2＝0，则a＝b，且a2+b2＝c2．然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断．【解答】解：（1）设另一个因式为（x+m），∵（x+m）（x﹣1）＝x2+（m﹣1）x﹣m＝x2+2ax﹣3a2，∴，解得，或．∴a的值是﹣，另一个因式是（x+）或a的值是1，另一个因式是（x+3）．（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣4）2＝0，∴a+b﹣6＝0且ab﹣4＝0，则a+b＝6，ab＝4．∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3＝﹣ab（a2+2ab+b2）＝﹣ab（a+b）2＝﹣4×62＝﹣144．（3）：∵2a4+2b4+c4﹣2a2c2﹣2b2c2＝0，∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4＝0，∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2＝0，∴2a2﹣c2＝0，2b2﹣c2＝0，∴c＝a，c＝b，∴a＝b，且a2+b2＝c2．∴△ABC为等腰直角三角形．【点评】（1）考查了因式分解的意义及多项式乘法，同时考查了待定系数法求值及解二元一次方程组，本题属于基础题．（2）考查了因式分解的应用．根据非负数的性质得到a+b＝6，ab＝4是解题的突破口．（3）考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键．【知识点】因式分解的应用、因式分解的意义、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：绝对值20.【分析】（1）根据a△b＝（|a﹣b|+a+b），可以求得所求式子的值；（2）根据题意，可以计算出这25个值的和的最大值．【解答】解：（1）∵a△b＝（|a﹣b|+a+b），∴3△4＝×（|3﹣4|+3+4）＝4，（﹣3）△（﹣2）＝×（|﹣3﹣（﹣2）|+（﹣3）+（﹣2））＝﹣2；（2）假设a＞b则（|a﹣b|+a+b）＝（a﹣b+a+b）＝a所以，当25组中的较大的数a恰好是26到50时．这25个值的和最大．最大值为26+27+28+…+50＝＝950．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．【知识点】有理数的混合运算。

(完整word版)有理数的乘方讲义

有理数的乘方引入：棋盘上的数学古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。

为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。

大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放 1 粒米，第 2 格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒⋯，一直到第64格。

”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”设计意图：通过创设故事和问题情境, 吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。

猜想第64 格的米粒是多少？第 1 格: 1第 2 格: 2第 3 格: 4=2 × 2=22第 4 格: 8=2 ×2 × 2=23第 5 格: 16= 2 ×2 ×2 × 2=2463 个2第64 格=2× 2×······× 2=263【知识点二】乘方的意义乘方：求n 个相同因数a的积的运算叫做乘方na·a·⋯ ·a= a42变式训练读出下列个数，并指出其中的底数和指数1）在（－9）7中, 底数是，指数是，读作 , 或读作指数是，读作 , 或读作，指数是，读作，指数是；指数是。

【知识点三】有理数乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数，数；例 2】计算 1) (-3 )42) -344３) 3 4) 1.5 3其中 a 是底数， n 是指数。

【例 1】把下列各数写成乘方的形式（1）（-6 ）×（-6 ） ×（-6） 2×2×2×22）22 3322 333）－2）在 83 中，底数是 343）在 3 中，底数是 4 4）在－2 中，底数是 5）在 5 中, 底数是负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正a n 读作 a 的 n 次幂（或 a 的 n 次方）【例3】计算并对比（ 3=）2___ = ____ 3_2（-1）2n= ___ （-1）2n-1= _________【知识点四】科学记数法：科学记数法的的定义：我们把大于10的数记成a×10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数（即1≤a<10）,n 是正整数。

《有理数的乘方》讲义

《有理数的乘方》讲义一、引入在数学的奇妙世界里，我们经常会遇到各种各样的运算。

加、减、乘、除是我们熟悉的基本运算，而今天，我们要一起探索一种新的运算——有理数的乘方。

想象一下，你有一堆相同的数字，想要快速表示它们连乘的结果，乘方就是一个非常简洁有效的工具。

二、什么是有理数的乘方乘方的定义很简单：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

比如，2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³这个整体就叫做幂。

再举个例子，（－3)×（－3)×（－3)×（－3)可以写成（－3)⁴，这里－3 是底数，4 是指数。

要特别注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，比如 5×5 写成 5²，而 5×1 就直接写成 5 。

三、有理数乘方的运算规则（一）正数的乘方正数的任何次幂都是正数。

例如，3²＝ 9，3³＝ 27 ，不管指数是多少，只要底数是正数，结果都是正数。

（二）负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如，（－2)³＝－8 ，因为 3 是奇数，所以结果为负数；而（－2)⁴＝ 16 ，因为 4 是偶数，结果为正数。

（三）零的乘方0 的任何正整数次幂都是 0 。

这是因为 0 乘以任何数都等于 0 。

四、有理数乘方的运算在进行有理数乘方运算时，我们要先确定底数和指数，然后按照运算规则进行计算。

例如，计算 2³，就是 2×2×2 ＝ 8 ；计算（－4)²，就是（－4)×（－4) ＝ 16 。

对于较复杂的式子，比如（－2)³＋ 3²，我们要分别计算出乘方的结果，再进行加减运算。

（－2)³＝－8 ，3²＝ 9 ，所以（－2)³＋ 3²＝－8 ＋ 9 ＝ 1 。

部编数学七年级上册必刷提高练【有理数的乘方】(解析版) 考点必刷精编讲义含答案

2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第一章《有理数》1.5 有理数的乘方知识点1：有理数的乘方【典例分析01】（2021秋•延边州期末）一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的和是﹣1701，则这三个数中最大的数是　．解：设最小的数为（﹣3）n，则（﹣3）n+（﹣3）n+1+（﹣3）n+2＝﹣1701，解得（﹣3）n＝﹣243＝（﹣3）5，所以这三个数分别是（﹣3）5，（﹣3）6，（﹣3）7．则这三个数中最大的数是（﹣3）6＝729．【变式训练1-1】（2019秋•济南期中）若﹣a2b＞0，且a＜0，则下列式子成立的是（）A．a2+ab＞0B．a+b＞0C．ab2＞0D．＞0解：∵﹣a2b＞0，且a＜0，∴b＜0，则A．a2+ab＞0，此选项正确；B．a+b＜0，此选项错误；C．ab2＜0，此选项错误；D．＜0，此选项错误；故选：A．【变式训练1-2】（2021秋•盱眙县期中）（﹣4）2015（﹣0.25）2016＝　﹣0.25　．解：（﹣4）2015（﹣0.25）2016＝[（﹣4）×（﹣0.25）]2015×（﹣0.25）＝12015×（﹣0.25）＝﹣0.25．故答案为：﹣0.25．【变式训练1-3】（2018秋•东台市月考）看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，他摇身一变，就变成了2个孙悟空；这2个摇身一变，各变成2个孙悟空，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，变成8个孙悟空…假设孙悟空一共变了80次．（1）一共有多少个孙悟空？（2）若已知地球重约5.9×1024kg，假设每个孙悟空的体重为50kg，请你列出算式来估计一下：这些孙悟空体重总和相当于地球重量的多少倍？（280≈1.2×1024）解：（1）：寻找悟空“裂变”的规律，我们发现悟空变了80次，一共有280个悟空；（2）∵280≈1.2×1024．∴280个悟空的重量约为50×280＝50×1.2×1024＝6×1025千克，那么280个悟空的重量总和应该是地球重量的（6×1025）÷（5.9×1024）≈10.2倍，即相当于10.2个地球的重量．答：（1）一共有280个悟空．（2）相当于10.2个地球重量．【变式训练1-4】（2017秋•宣州区校级期中）把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，﹣（﹣2），0，﹣0.6363，﹣（﹣1）2007，1，﹣25%正数集合：{　﹣（﹣2），﹣（﹣1）2007，1　…}负数集合：{　﹣（﹣2）2，，﹣0.6363，﹣25%　…}整数集合：{　﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007　…}分数集合：{　，﹣0.6363，1，﹣25%　…}．解：正数集合：{﹣（﹣2），﹣（﹣1）2007，1…}负数集合：{﹣（﹣2）2，，﹣0.6363，﹣25% …}整数集合：{﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007 …}分数集合：{，﹣0.6363，1，﹣25% …}故答案为：{﹣（﹣2），﹣（﹣1）2007，1…}；{﹣（﹣2）2，，﹣0.6363，﹣25% …}；{﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007 …}；{，﹣0.6363，1，﹣25% …}．知识点2：非负数的性质：偶次方【典例分析02】（2021秋•德州期中）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则（a+b）2015的值是（）A．1B．0C．2015D．﹣1解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得，a＝2，b＝﹣3，则（a+b）2015，＝﹣1，故选：D．【变式训练2-1】（2021秋•弋江区期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b＝　﹣1　．解：由题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，所以，a+b＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式训练2-2】（2021秋•洪江市期末）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，则b a＝．解：由题意得，a﹣2＝0，b+＝0，解得a＝2，b＝﹣，所以，b a＝（﹣）2＝．故答案为：．【变式训练2-3】（2018秋•南昌期中）若|a﹣1|+（b+2）2＝0，求5a﹣b的值．解：由题意得，a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以，5a﹣b＝5×1﹣（﹣2）＝5+2＝7．知识点3：有理数的混合运算【典例分析03】（2021秋•阜新县校级期末）计算（1）12﹣（﹣6）+（﹣7）﹣15．（2）（﹣1）2﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1﹣）．解：（1）12﹣（﹣6）+（﹣7）﹣15＝12+6+（﹣7）+（﹣15）＝﹣4；（2）（﹣1）2﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1﹣）＝1﹣3÷（﹣3）×＝1+1×＝1+＝．【变式训练3-1】（2021秋•郧西县期末）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（）A．1B．C．D．2∵x△（1△3）＝2，x△（1×2﹣3）＝2，x△（﹣1）＝2，2x﹣（﹣1）＝2，2x+1＝2，∴x＝．【变式训练3-2】（2021秋•柯城区校级期中）如图①，在五环图案内，分别填写数字a，b，c，d，e，其中a，b，c表示三个连续偶数（a＜b＜c），d，e表示两个连续奇数（d＜e），且满足a+b+c＝d+e，如图②，2+4+6＝5+7．若b＝﹣12，则d2﹣e2的结果为（）A．﹣72B．72C．﹣56D．56解：∵a，b，c表示三个连续偶数，b＝﹣12，∴a＝﹣14，c＝﹣10，∴a+b+c＝﹣36，∵d，e表示两个连续奇数，∴d＝﹣19，e＝﹣17，∴d2﹣e2＝361﹣289＝72，则d2﹣e2的结果为72．故选：B．【变式训练3-3】（2021秋•安居区期末）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　﹣7　．解：3※（﹣5）＝3×（﹣5）+3﹣（﹣5）＝﹣15+3+5＝﹣7故答案为：﹣7．【变式训练3-4】（2021秋•巫溪县期末）我们规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣3）④＝，＝　﹣27　．（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于　这个数倒数的（n﹣2）次方　．（3）计算．解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27．故答案为：；；﹣27；（2）一个非零有理数的圈n次方等于这个数倒数的（n﹣2）次方．故答案为：这个数倒数的（n﹣2）次方；（3）＝27×+（﹣48）÷8＝3+（﹣6）＝﹣3．故答案为：﹣3．知识点4：近似数和有效数字【典例分析04】（2021秋•江州区期中）近似数1.50精确到　百分　位．解：近似数1.50精确到百分位．故答案为：百分．【变式训练4-1】（2022•路南区二模）用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）C．0.061（精确到千分位）D．0.0605（精确到0.0001）解：A．0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；C．0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；故选：C．【变式训练4-2】．（2020秋•北仑区期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（）A．5.275＜a＜5.285B．5.275≤a＜5.285C．5.275＜a≤5.285D．5.275≤a≤5.285解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，∴5.275≤a＜5.285．故选：B．【变式训练4-3】（2013秋•宜宾县期中）用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：（1）0.6328（精确到0.01）（2）7.9122（精确到个位）（3）130.96（精确到十分位）（4）46021（精确到百位）解：（1）0.6328（精确到0.01）≈0.63；（2）7.9122（精确到个位）≈8（3）130.96（精确到十分位）≈131.0（4）46021≈4.60×104．【变式训练4-4】（2008春•达县校级期中）向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离．（结果保留三个有效数字）解：×2.57×3×105＝3.855×105≈3.86×105（km）．答：地球和月球之间的距离约为3.86×105km．知识点5：科学记数法【典例分析05】（2021秋•渠县期末）根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为　4.7×107　．解：将47 000 000用科学记数法表示为4.7×107．故答案为：4.7×107．【变式训练5-1】149597870（）1.5×107．A．大于B．小于C．等于D．无法确定解：∵149597870有9位整数，1.5×107有8位整数，∴149597870＞1.5×107．故选：A．【变式训练5-2】（2022•瑞金市模拟）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为　8.2×106　．解：将8200000用科学记数法表示为8.2×106．故答案为：8.2×106．【变式训练5-3】（2021秋•岳麓区校级期中）在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000平方米．要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）解：帐篷数：2.5×107÷40＝6.25×105；这些帐篷的占地面积：6.25×105×100＝6.25×107；需要广场的个数：6.25×107÷5000＝1.25×104．【变式训练5-4】（2017秋•广丰区期末）学校组织同学们去参观博物馆，在一块恐龙化石前，小明对小亮说：“这块化石距今已经230000001年了．”解说员听到后用略带嘲讽的口气对小明说：“小朋友！你比科学家厉害，知道得这么准确！”小明说：“我去年也参观了，去年是你说的，这块化石距今约230000000年了．”（1）用科学记数法表示230000000；（2）小明的说法正确吗？为什么？解：（1）230000000＝2.3×108，（2）小明的说法错误，因为解说员说的“这块化石距今已经230000001年”中的230000000是一个近似数，它的精确数位是千万位，增加的这一年是忽略不计的。

有理数的乘除乘方运算(含答案)

有理数的运算(乘、除、乘方)教学目的:1、理解有理数的乘法法则；掌握异号两数的乘除运算的规律：2、会进行有理数的乘法、除法、乘方的运算，能灵活运用运算律进行简化运算。

教学重点:1、有理数的乘法、除法法则：2、熟练的进行有理数乘法、除法、乘方运算。

教学难点:若干个有理数柑乘，积的符号的确定，乘方的符号确世。

有理数的乘法有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例题目的：掌握有理数的乘法法则。

有理数乘法法则的推广：(1) 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负数的个数为奇数时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正。

(2) 几个数相乘，有一个因数为0,积为0. ⑵ 1^X (-1)X (-2.5)X (-A) 3 9 25例®目的：会算两个以上有理数的乘法，并能判定积的符号。

有理数乘法的运算律：衽有理数运算中，乘法的交换律，结合律以及乘法对加法的分配律仍然成立。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位S,积不变，用式子表示为a b=b a例1：计算⑴(-5)x(-3)⑵(一7)x41 7例 2： (I) -X(--)x(-4)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.用式子表示成(a ・b)・c=a ・(b ・c)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘. 用字母表示成-a(b+c)=a ・b+a ・c⑶7唏心)例題目的：掌握有理数乘法的运算律。

有理数的除法法则两个有理数相除，同号得正，异号向负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

倒数与负倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若a, b 互为倒数，则ah = l ；乘积为一1的两个有理数互为负倒数，即若互为负倒褻则a b = -l法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即《4 ="・一0式0) b 例4： 1.求下列各■数的倒数，负倒数。

有理数的乘方知识点及相关巩固

有理数的乘方运算知识点1.乘方的概念：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；（1）n 个相同的因数 a 相乘，即n aa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，记作n a ，读作“a 的n 次方；（2）在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数；（3）当n a 看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂。

2. 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，3就是31，指数是1通常省略不写。

即：1a a =3. 幂的正负规律：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0。

例：3（-3）解：3327=⨯⨯=-（-3）（-3）（-3）（-3）=-3 （1）底数为-3；指数3是奇数，符号为“-”（2）33=3×3×3=27（3）（-3）3=-27知识巩固一、选择题1.计算（-2）5的正确结果是（）A ．-2B ．2 C.32 D.-322.若n 为正整数，（-1）2n =（）A ．-1B ．0 C.1 D.23.计算-14的正确结果是（）A ．-1B ．0 C.1 D.44.在数-（-1），0，（-1）2，|-9|，-1 中，正数的有（）个。

A ．0B ．1 C.2 D.35.下列各式正确的个数是（）①38=（-2）；②41=（-1）；③224-=；④2(3)9--=-；⑤5|1|1-=- A ．1个 B ．2个 C.3个 D.4个二、填空题（6）62= ；（7）（-3）4= ；（8）(-6)0= ；（9）（-2）4= ；（10）-12= ；（11）-（-1）2024= ；三、计算 12.326552÷⨯（-2）（-） 13.352841393-+⨯-÷（-2）（）14.223232|2|4⨯-+-（-2） 15.2222265|34|5÷⨯---+（-3）（）（-5）四、规律探究16.已知一组数：-1，4，-9，16，…；按此规律第n 个数是_________。

北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数的乘除法和乘方讲义(含答案)

有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。

（2）任何数字同0相乘，都得0。

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做______。

3.乘方求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。

参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。

【答案】原式=（-27）×（-37）【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】（1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。

【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

有理数的乘方（讲义）
➢ 课前预习
1. 填空：
边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______．
2. 根据第1题的内容，填空：
22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______．
(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；
3
12⎛⎫
-⎪⎝⎭
=___________________=______． 3. 四则混合运算顺序：先算________，再算________；同级运算，从左向右进行；
如果有括号，先算括号里面的．
➢ 知识点睛
1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做
_____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）．
2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____；
210=____．
3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 4. 科学记数法的定义：_________________________________
_________________________________________________．
5. 有理数混合运算顺序：先________，再________，最后________；同级运算，从
左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
➢ 精讲精练
1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在5
13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中，底数是_____，指数是
________． 2. 对比(-4)3和-43，下列说法正确的是（）
A ．它们的底数相同，指数也相同
B ．它们底数相同，但指数不相同
C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（）
A ．4381-=
B ．2(6)36--=
C ．233
24
-=-
D ．3
225125⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
4. 下列各组数中，值相等的是（）
A ．23与32
B ．22-与2(2)-
C ．2)3(-与2(3)--
D ．232⨯与2)32(⨯ 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（） A ．6 B ．8
C ．-5
D ．5 6. 一个数的平方是16，则这个数是（）
A ．4
B ．-4
C ．±4
D ．8
7. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（）
A ．正数
B ．奇数
C ．负数
D ．偶数
8. 下列各式一定成立的是（）
A ．22()a a =-
B ．33()a a =-
C ．22a a -=-
D ．33a a =-
9. 计算：
（1）2
2
92343⎛⎫
-÷⨯- ⎪⎝⎭
；
（2）322(2)0.54(2)-⨯-÷-；
（3）3332(32)⨯--⨯；（4）235(4)48⎡⎤
⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；
（5）3116(2)(4)8⎛⎫
÷---⨯- ⎪⎝⎭；（6）3
222011(2)492⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭；
（7）22141220.532
-÷-÷⨯-；
（8）42
110.5233
⎡⎤-+(1-)⨯⨯-(-)⎣⎦；
（9）24
3213(0.25)232⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（10）234100(1)(1)(1)(1)(1)-+-+-+-++-…．
10. 2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超
34 200 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34 200 000用科学记数法表示为__________．
11. 2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标
准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42 000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42 000万千克可用科学记数法表示为___________千克．
12. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？
（1）我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约9.6×106平方千米，9.6×106的原数为__________________．（2）人体中约有
2.5×1013个红细胞，则
2.5×1013的原数是
__________________________．
13.乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：
14.某自行车厂计划一周生产自行车1 400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原
因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（单位：辆；超产记为正，减产记为负）：
（1
可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；不足部分每辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【参考答案】 ➢ 课前预习
1. 2a ；3a ；a a a ⨯⨯；32；42；2n
2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024
(3)(3)(3)-⨯-⨯-；-27；
111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；18- 3. 乘除；加减
➢ 知识点睛
1. 幂；a n ；a ；n ；a 的n 次方（或“a 的n 次幂”）
2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024
4. 一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a <10，n 为正整数，
这种记数方法叫做科学记数法 5. 乘方；乘除；加减
➢ 精讲精练
1. 7；4；1
3
-；5
2. D
3. C
4. C
5. D
6. C
7. D
8. A
9. （1）16
9
-；（2）-8；（3）240；
（4）-22；（5）122-；（6）31
4
-；（7）718-；
（8）136-
；（9）132
-；（10）0． 10. 3.42×107 11. 4.2×108
12. （1）9 600 000；
（2）25 000 000 000 000 13. 赚了，赚了2500元．
14. （1）213辆；（2）1 408辆；（3）25辆；（4）84 600元．。