张家港常青藤实验中学2013届九月月考数学试题(教师版)

张家港常青藤实验中学 2013 届九月考模拟试题

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应

位置上.


1． 已知集合U ? ?1， 3， 5， 9? ， A ? ?1， 3， 9? ， B ? ?1， 9? ，则 eU (A U B) ? ▲ ． ?5? ；

2． 若 z ? z ? 9 （其中 z 表示复数 z 的共轭复数），则复数 z 的模为 ▲ ． 3；

3． 在区间 ?1, 2 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ． 2
? ? 3

4． 已知函数 f (x) ? a 在 x ?1处的导数为 ?2 ，则实数 a 的值是 ▲ ．2
x

5． 要得到函数 y ? sin 2x 的函数图象，可将函数 y ? sin 2x ? π 的图象向右至少平移 ▲
? 3 ?
π
个单位． 开始
6

6．在平面直角坐标系 xOy 中，“直线 y ? x ? b ， b? R 与 S←2，i←1

Y
曲线 x ? 1? y2 相切”的充要条件是 “ ▲ ”． b ? ? 2 ； i≥2013
N
7． 运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 是 ▲ ．2
输出 S
S ?1? 1
S

2 结束
x2 y
8． 已知双曲线 ? ?1 （ a ? 0, b ? 0 ）的两个焦点 i←i+1
a2 b2
3 3
为 F ? , 0 、 F , 0 ，点 P 是第一象限内双曲线 （第 7 题图）
1 ? 2 ? 2 ? 2 ?

上的点，且 tan ?PF F ? 1 ， tan ?PF F ? ?2 ，则双曲线的离心率为 ▲ ． 3 5
1 2 2 2 1 5

9． 在△ABC 中，若 tan A: tan B : tan C ?1: 2 : 3 ，则 A ? ▲ ． π
4

10． 已知 y ? f (x) 是 R 上的奇函数，且 x ? 0 时， f (x) ?1 ，则不等式 f (x2 ? x) ? f (0) 的解

集为 ▲ ． (0，1)

11．设正四棱锥的侧棱长为 1，则其体积的最大值为 ▲ ． 4 3 ；
27

12．已知平面向量 a ， b ， c 满足 a ?1， b ? 2 ， a ，

b 的夹角等于 π ，且
3

? 7 ? 3 7 ? 3 ?
(a ? c) ? (b ? c) ? 0 ，则 c 的取值范围是 ▲ ． ? ， ?
? 2 2 ?

13．定义： min {x，y}为实数 x，y 中较小的数．已知 h ? min a， b ，其中 a，b 均
? a2 ? 4b2 ?

- 1 -
为正实数，则 h 的最大值是 ▲ ． 1
2

14．定义在?1, ? ?? 上的函数 f (x) 满足：① f (2x) ? 2 f (x) ；②当 x ??2, 4?时，

f (x) ?1? x ? 3 ，则集合?x f (x) ? f (36)? 中的最小元素是 ▲ ．12



二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知 sin? ? sin ? ?1, cos? ? cos ? ? 3 ．

（1）求 cos?? ? ? ? 的值；

（2）求 cos?? ? ? ? 的值．

（1）因为 sin? ? sin ? ?1 ①， cos? ? cos ? ? 3 ②，

② 2 ? ① 2 得 sin2 ? ? 2sin? sin ? ? sin2 ? ? cos2 ? ? 2cos? cos ? ? cos2 ? ? 4 ，（3

分）

即 2+2 cos?? ? ? ? ? 4 ， 所以 cos?? ? ? ? ?1；（6 分）

（2）② 2 ? ① 2 得 cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos? cos ? ? 2sin? sin ? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2

即 cos 2? ? 2cos(? ? ? ) ? cos 2? ? 2 ，（8 分）

故 cos?(? ? ? ) ? (? ? ? )? ? 2cos(? ? ? ) ? cos?(? ? ? ) ? (? ? ? )? ? 2 ，（12 分）

化简得 cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?1，

由（1）得 cos(? ? ? ) ? 1 . （14 分）
2


16．（本题满分 14 分）

如图，在四面体 ABCD 中， AB ? AC ? DB ? DC ，点 E
A
是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 AF ? ? ．
AC

（1）若 EF∥平面 ABD，求实数 ? 的值；

（2）求证：平面 BCD⊥平面 AED． F
B D

- 2 - E
C
（第 16 题图）

解：（1）因为 EF∥平面 ABD，易得

EF ? 平面 ABC，
平面 ABC I 平面 ABD ? AB ，
所以 EF // AB ，（3 分）
又点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，
所以点 F 为 AC 的中点，

由 AF ? ? 得 ? ? 1 ；（6 分）
AC 2
（2）因为 AB ? AC ? DB ? DC ，点 E 是 BC 的中点，
所以 BC ? AE ， BC ? DE ，（9 分）
又 AE I DE ? E ， AE、DE ? 平面 AED，
所以 BC ? 平面 AED，（12 分）
而 BC ? 平面 BCD，
所以平面 BCD⊥平面 AED．（14 分）


17．（本题满分 14 分）

如图，点 P 在 ?ABC 内， AB ? CP ? 2, BC ? 3, ?P ? ?B ? π ，记 ?B ? ? ．

（1）试用 表示 的长；
? AP A
（2）求四边形 ABCP 的面积的最大值，并写出此时? 的值．

解：（1）△ ABC 与△ APC 中，由余弦定理得，
P
?
C
AC 2 ? 22 ? 32 ? 2? 2? 3cos? ， ① B
（第 17 题图）
AC 2 ? AP2 ? 22 ? 2? AP ? 2cos?? ?? ? ，②（3

分）

由①②得 AP2 ? 4AP cos? ?12cos? ? 9 ? 0， ?，??0 ?? ，解得 AP ? 3 ? 4cos? ；（6 分）

（2） S ? S ? S ? 1 ? 2? 3sin? ? 1 ? 2? APsin ?? ?? ?, ? ??0， ??
?ABC ?APC 2 2

由（1）得 S ? 4sin? ? cos? ? 2sin2?， ? ??0， ?? （11 分）所以当? ? ? 时， S ? 2
4 max
．（14 分）



18．（本题满分 16 分）

2 2 2 2
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1 ： (x ?1) ? y ?16 ，圆 C2 ： (x ?1) ? y ?1 ，点


S 为圆 C1 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心 C2 (?1, 0) 恰与点 S 重合，折痕


与直线 SC1 交于点 P ．

- 3 -
（1）求动点 P 的轨迹方程；


（2）过动点 S 作圆 C2 的两条切线，切点分别为 M、N ，求 MN 的最小值；


（3）设过圆心 C2 (?1, 0) 的直线交圆 C1 于点 A、B ，以点 A、B 分别为切点的两条切线

交于

点 Q ，求证：点 Q 在定直线上．


解：（1）由题意得 PC1 ? PC2 ? PC1 ? PS ? 4 ? C1C2 ，故 P 点的轨迹是以 C1、C2 为焦点，4

为长轴长

2 y2
的椭圆，则 2a ? 4， c ?1 ，所以 a ? 2 ， b ? 3 ， 故 P 点的轨迹方程是 x ? ?1
4 3
．（5 分）

（2）法 1（几何法） 四边形 SMC N 的面积 ? 1 SC ? MN ? 1 SM ? MC ? 2 ? SM ，
2 2 2 2

所以 MN ? 2SM ? 2cos?MSC ? 2 1? sin2 ?MSC ? 2 1? 1 ，（9 分）
SC 2 2 2
2 SC2

从而 SC2 取得最小值时，MN 取得最小值， 显然当 S(?3， 0) 时，SC2 取得最大值

2，

所以 MN ? 2 1? 1 ? 3 ．（12 分）
min 4

法 2（代数法） 设 S(x0，y0)，则以 SC2 为直径的圆的标准方程为
x ?1 2 y 2 x ?1 2 y 2
x ? 0 ? y ? 0 ? 0 ? 0 ，
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

该方程与圆 C2 的方程相减得， ?x0 ?1? x ? y0 y ? x0 ? 0 ，（8 分）

1 1
则圆心 C2 到直线 MN 的距离 d ? ? ，
2 2 x 2 ? y 2 ? 2x ?1
?x0 ?1? ? y0 0 0 0

2 2 2 2 1
因为 ?x0 ?1? ? y0 ?16 ，所以 x0 ? y0 ?15 ? 2x0 ， 从而 d ? ，
16 ? 4x0


x0 ???3， 5? ，

故当 x ? ?3时 d ? 1 ，
0 max 2

2
因为 MN ? 2 1? d 2 ，所以 MN ? 2 1? 1 = 3 ．（12 分）
min ? 2?
（3）设 Q(m， n) ，则“切点弦”AB 的方程为 ?m ?1?(x ?1) ? ny ?16 ，

将点（-1，0）代入上式得 m ? ?7 ， n? R， 故点 Q 在定直线 x ? ?7 上．（16


- 4 -
分）



19．（本题满分 16 分）


已知整数列?an ? 满足 a3 ? ?1 ， a7 ? 4 ，前 6 项依次成等差数列，从第 5 项起依次成等

比数列．


（1）求数列?an ? 的通项公式；


（2）求出所有的正整数 m，使

得 am ? am?1 ? am?2 ? amam?1am?2 ．


解：（1）设数列前 6 项的公差为 d，则 a5 ? ?1? 2d ， a6 ? ?1? 3d ，d 为整数．

2
又 a5，a6，a7 成等比数列，所以 ?3d ?1? ? 4?2d ?1? ，解得 d ?1，


当 n≤6 时， an ? n ? 4 ，（3 分）


由此 a5 ?1， a6 ? 2 ，数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2，

?n ? 4， n，≤4
所以，当 n≥5 时， a 2n?5 . 故 a （7 分）
n ? n ? ? n?5
?2 ， ≥n 5.




（2）由（1）知，数列?an? 为： ? 3， ? 2， ? 1，0，1，2，4，8，16，…

当 m ? 1 时等式成立，即 ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 6 ? ( ? 3)? ( ? 2)? ( ? 1)；

当 m ? 3 时等式成立，即 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0；（11 分） 当 m ? 2 或 4 时，等式均不成

立；（13 分）

3m?12 m?5 3 m?5
当 m≥5 时， amam?1am?2 ? 2 ， am ? am?1 ? am?2 ? 2 (2 ?1) ? 7 ? 2 ，

3m?12 2m?7
因为 2 ? 2 ，而 m≥5， m? Z ，所以 22m?7 是偶数，
7 ? 2m?5 7

3m?12 m?5
所以 2 ? 7 ? 2 ，于是 am ? am?1 ? am?2 ? amam?1am?2 ，故 m ? 1，或 m ? 3．（16

分）



20．（本题满分 16 分）

已知函数 f (x) ? x2 ， g(x) ? a ln x ， a ? R ．


- 5 -