西安石油大学现代数值计算方法第1章
西安石油大学计算方法课件1-5章
取x 0 3 取x 0 3 收敛性不同。
x n 1 l g(x n 2) 计算结果见表 2.4
25
2.收敛定理（定理2.2） 设 ( x )在[a, b]
y " 2
y(0) y (0) 1
'
希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 6 数值方法。
un a n
uk xuk 1 a k pn ( x ) u0
则乘法次数仅为n.
1000
( k n-1,n-2 , ,1,0)
又如
17
1000 1 1 1 1 ( ) 1 n ( n 1 ) n1 1001 n 1 n 1 n
2.防止大数“吃掉”小数 当|a|>>|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则
近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将 y f ( x1 , x 2 ) 换为 s=ab, 则
e( s*) s(a*, b*) s(a*, b*) e(a*) e(b*) a b b * e(a*) a * e(b*) | e( s*) || b* || e(a*) | | a* || e(b*) | 60 0.2 120 0.1 24cm 2
x
23
数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
波形通道印刷电路板式换热器流动传热特性研究
第53卷第2期 辽 宁 化 工 Vol.53，No. 2 2024年2月 Liaoning Chemical Industry February，2024波形通道印刷电路板式换热器流动传热特性研究安 雯（西安石油大学， 陕西 西安 710065）摘 要：使用数值模拟方法研究了超临界LNG在波形通道印刷电路板式换热器中的流动传热特性，针对不同质量流量和不同进口温度进行了模拟。
结果显示，在质量流量在0.72 kg/h至1.44 kg/h范围内增加时，流体的质量流量增加对流动传热性能有积极的影响。
此外，在进口温度在120~140 K范围内增加时，进口温度对印刷电路板式LNG气化器的热力性能有积极的影响，对水力性能的影响较小。
因此，适当提高流体的质量流量和进口温度有助于提高波形通道印刷电路板式换热器的热工水力性能。
关 键 词：印刷电路板式换热器； 超临界LNG； 数值模拟中图分类号：TQ052.6 文献标识码： A 文章编号： 1004-0935（2024）02-0214-05选用高效清洁的能源及高性能的换热设备是提高热能利用率、减少损耗的有效途径之一[1]。
为应对传统燃料如煤和石油储量的日益减少以及污染较大的问题，作为低碳清洁的化石能源，天然气在能源体系从化石能源向可再生能源过渡中扮演着重要的角色，成为可再生能源的理想伴侣[2]。
近年来，天然气（Natural Gas，NG）开始被广泛应用于各个领域。
天然气因其环保、清洁的性质以及高效、经济的优势，被普遍认为是目前传统燃料如煤和石油的最佳替代品，需求量迅速增加。
液化天然气（Liquefied Natural Gas，LNG）是目前实现天然气大批量储运的最普遍方式[3-4]。
LNG在使用前必须气化，因此提高换热器的效率对于LNG的实际应用具有重要意义。
印刷电路板式换热器（PCHE）是一种微通道换热器，其流体通道由金属板片通过光化学蚀刻技术加工而成。
相比传统换热器，PCHE具有多个优点，如高换热效率、耐低温高温（-196~900 ℃）和耐高压（60 MPa）等[5-6]。
计算方法——第一章——课后习题答案_刘师少
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x xm -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-⨯⨯=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000⨯<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-⨯⨯=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6110921-⨯⨯=rε＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.10-的近似值是多少？1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,解精确到3故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.6931.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有.即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解（1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字=2，相对误差限（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字=2，相对误差限 =0.0025(3)∵ 9000=0.9000×104, m=4，m-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字＝0.000056(4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4，m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到的近似值是多少？解精确到＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2»0.6932.1 用二分法求方程在[1, 2]的近似根，要求误差不超过至少要二分多少？解：给定误差限e＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝10.2.3 证明方程1 -x–sin x＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f¢(x)=-1－c os x<0 (xÎ[0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限e＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝14.。
西安石油大学数值分析ppt 第1章
11
a12 A12 ... a1n A1n
利用行列式展开法 乘法数目需n!个, 加法数目n个. 问题：估计计算100阶行列式的值所需时间。
上例说明：求解线性方程组的Cramer法则仅 有理论意义，无法应用于实际计算。
例2 n次多项式 an x n
第一章 数值计算中的误差分析
1 数值计算的对象、任务、特点 2 误差与误差估计 3 选择算法应遵循的原则
1.数值计算的对象、任务、特点
1.1 科学计算是继理论推导、科学实验后 的三大科研手段之一。
1.2 数学方法解决实际问题过程 实际问题------假设简化------数学模型-----算 法设计----编程上机-----计算结果---分析应用
1.3
研究算法的意义
算法是数值分析研究的核心。
算法：在计算机上对数学问题的计算步骤（计 算方法）。
示例说明建立专门针对计算机的算法的必要性。
例1 n 阶行列式的计算
a11 D n a 21 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n ... a 2 n ... ... a nn
乘法数目n
上例说明算法不断改进的意义； 算法速度的提高比计算机本身速度的提高更 有意义。
例3 计算正弦曲线一拱长度
2 误差与误差估计
2.1 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差
2.2误差与有效数字
绝对误差 E（x）=x-x * x* x x* 绝对误差限 * * * E ( x ) ( x x ) / x ( x x ) / x r 相对误差 * m 0.a1a2 ....an 10 有效数字 x 1 * x x 10 m n 若 ，称有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系:
数值分析复习提纲 西安石油大学研究生
数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。
第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。
第五章插值法1. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；2. 掌握差商的概念及其性质，Newton插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；3．了解差分与等距节点插值多项式公式；4. 掌握Hermite 插值问题及其构造方法。
第七章数值微积分1. 了解数值求积基本思想；2. 掌握Newton-Cotes公式（梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推导及误差；3. 了解Romberg 求积公式原理；4．了解数值微分的方法。
第八章常微分方程数值解1. 掌握Euler方法（Euler公式，梯形公式，Euler预估-校正公式），局部截断误差，公式的阶；2. 了解Runge-Kutta 方法的基本思想及四阶经典Runge-Kutta 公式；3. 掌握线性多步方法的原理与公式推导。
现代数值计算方法公式的总结
现代数值计算方法公式一、插值法1. 拉格朗日（Lagrange ）插值法a）两点一次：b）三点二次:2. 牛顿（Newton）插值a）n次牛顿法多项式：其中b）向前差分:-------------------------------- A下减上c）向后差分:上减下3.三次埃米尔特Hermite )插值拟合曲线（最小二乘）©©三、数值积分1. 牛顿-柯特思（Newton-Cotes ）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2. 高斯(Gauss)公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解X i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将X i带入求A3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式:积分区间［a,b］变换3•代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x 2,…X m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A 分解为 ，则原式变为 了求解 五、解线性代数方程的迭代法1. 范数向量范数OO 矩阵范数定义：设其中R 为实数域、C 为复数域，若某实值函数 满足条件，那么问题就变为定义: 设足条件1)非负性2) 其次行3) 三角不等式称常见范数: 其中R 为实数域、C 为复数域，若某实值函数 ，||x||=0 当且仅当x=0成立 域上的一个向量范数1） 非负性 2） 其次行3） 三角不等式4） 乘积性质称 为 常见范数：行范数列范数为 的最大按模特征值2. 谱半径3. 雅可比迭代向量:用第i 个方程解出xi 的方程，分量通式如下:矩阵：对于Ax=b,先将A 拆分成对角线矩阵D 减去下三角矩阵L ,再减去上三角矩 阵U 。
其中,||A||=0 当且仅当A=0成立域上的一个矩阵范数4. 高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b,先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角矩阵U。
西安交通大学计算方法(C)讲义
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通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。
本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。
西安石油大学现代数值计算方法第2章
(n) 最后，若 ann 0 ，逐步回代可得到原方程组的解：
xn
b
(n) n
(b
a
(n) nn
xi
(i ) i
j i 1
(i ) a ij x j ) (i ) aii
n
（i=n-1,n-2,…2，1）
上面的求解过程称为Gauss顺序消去法。它通过一 系列消元过程与最后的一步回代过程来得到方程组的 解。 Remark1：在Gauss顺序消去法的消去过程中，可以将 右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A （指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变 换，将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方 程组的解。
xn b / a
(n) n (n) nn
(i ) n (i ) (i ) xi bi aij x j / aii j i 1
i n 1, n 2,...,1
(1) (k ) akk 说明：①当 k a11 （k=1,2,…，n)均不为零时 (k ) 0 或相对 高斯顺序消去法能进行下去，但当 akk (k ) 于 aik （i=k+1,k+2…，n）比较小时，计算时产生的 舍入误差将导致计算结果误差增大。
(k ) 设为 A X b
(k )
Stepk： 若a
(k ) kk
o
,令 lik
(k ) aik
a
用- lik 来乘以第k-1步所得方程中的第k个方程，加到 第i （i=k+1,k+2,…,n）个方程，并保留第k个方程，则得：
(1) (1) ) (1) a11 x1 a12 x2 a1(1 x b n n 1 ( 2) ( 2) ( 2) a x a x b 22 2 2n n 2 (k ) (k ) (k ) a x a x b kk k kn n k ( k 1) ( k 1) ( k 1) a x a x b k 1, k 1 k 1 k 1, n n k 1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) a x a x b n , k 1 k 1 n,n n n
数值计算方法第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§1.1 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如 +++=!21!111e 的计算是无穷过程，当用!1!21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差e e n -．当用计算机计算n e 时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到n e 的近似值*e ，也就是说最终用*e 近似e ，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差． 由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 值的如下快速算法n a s =；k n a t -=；t sx s += ),,2,1(n k = 它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数64x 可以通过如下快速算法计算出其值x s =；s s s ⋅=；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§1.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用*x 作为量x 的近似，则称)(:**x e x x =-为近似值*x 的绝对误差． 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界ε，即有ε≤-=x x x e **)( (1.1) 称正数ε为近似值*x 的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式εε+≤≤-**x x x工程中常用ε±=*x x表示近似值*x 的精度或真值x 所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±= (1.2)为此，我们需要引入相对误差定义1.2 用0*≠x 作为量x 的近似，称)(:**x e xx x r =-为近似值*x 的相对误差． 当*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差***)(xx x x e r -= (1.3) 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值*x 的相对误差限)(*x r ε，它是相对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，*x 相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即***)()(x x x r εε= (1.4)为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量x 的近似值*x 有如下标准形式 p n m a a a a x 21*.010⨯±=()p m p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝(1.5)其中}9,,1,0{}{1 ⊂=p i i a 且01≠a ，m 为近似值的量级． 如果使不等式n m x x -⨯≤-1021* (1.6)成立的最大整数为n ，则称近似值*x 具有n 位有效数字，它们分别是1a 、2a 、… 和 n a ． 特别地，如果有p n =，即最后一位数字也是有效数字，则称*x 是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例1.1 设量π=x ，其近似值141.3*1=x ，142.3*2=x ，722*3=x ． 试回答这三个近似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？ 解 这三个近似值的量级1=m ，因为有312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x所以*1x 和*3x 都有3位有效数字，但不是有效数． *2x 具有4位有效数字，是有效数．二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数),,,(21n x x x f y =有近似值),,,(**2*1*n x x x f y =，利用在点),,,(**2*1n x x x 处的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到)(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x x f y y y e -≈-=∑= )(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x x f ∑== (1.7) 其中ii x ff ∂∂=:，*i x 是i x 的近似值，)(*i x e 是*i x 的绝对误差),,2,1(n i =． 式(1.7)表明函数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式)(),,,()(***1**2*1*i r ini n i r x e y x x x x f y e ∑=≈ (1.8)对于一元函数)(x f y =，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式)()()(***x e x f y e '≈ (1.9))()()(*****x e yx x f y e r r '≈ (1.10)式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的绝对误差(限)、相对误差的近似传播公式，以及{}ni i x 1*0=>时的相对误差限传播公式．解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下∑∑==≈ni i ini ni x e x e x x x f y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.11)∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.12)进而有∑∑∑===≤≤≈ni in i in i ix x e x e y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni i x y 1**)()(εε当{}ni i x 1*0=>时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x y x x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑例1.3 使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值8.704*=b mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限5.0)(*=a εmm ，5.0)(*=b εmm面积ab S =，由式(1.7)得到近似值***b a S =的绝对误差近似为)()()(*****b e a a e b S e +≈ 进而有绝对误差限55.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε mm 2相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§1.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例1.1 表达式)1(1111+=+-x x x x ，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈2.220446×10－16，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739×10－308，1.797693×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 111)(1+-=x x x y 和算法2： )1(1)(2+=x x x y 的误差时，精确解用双精度的计算结果代替． 我们选取点集301}{=i i π中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．从图1.1可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，x 1和11+x 是相近数，用算法1进行计算时出现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x 接近1-时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为{}3011=--i i π． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为710-，因而二者的精度相当．图1.1 算例1.1中两种算法的相对误差图（+∞→x ）图1.2 算例1.1中两种算法的精度比较)1(-→x算例1.2 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的1x 的系数为零，这时可解出2x ；其次将2x 带入第一个方程，进而求得1x (在第三章中称该方法为高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ．算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为...25000187.01=x ，...49999874.02=x ，用不同的算法计算出的结果见表1.1．对于算例1.2，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以00001.0/2－加至第二个方程，从而削去第二个方程中1x 的系数，但在计算2x 的系数时需做如下运算661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－(1.13)对上式用4位尾数进行计算，其结果为6104.0⨯－． 因为舍入误差，给相对较大的数加以相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－(1.14)同样出现了大数吃小数现象，其结果为6102.0⨯－． 这样，得到的变形方程组⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算00001.0/2－，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的．当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例1.3 计算积分⎰+=1055dx x x I n 有递推公式),2,1(511 =-=-n I nI n n ，已知56ln 0=I ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算30I 的近似值．算法1 取0I 的近似值为6793950.18232155*0=I ，按递推公式*1*51--=n n I nI 计算*30I算法2 因为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x ，取39I 的近似值为3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ，按递推公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I 计算*30I 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈-----成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈-成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法 习题一1 已知有效数105.3*1-=x ，4*210125.0⨯=x ，010.0*3=x ． 试给出各个近似值的绝对误差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值*x 是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式x x x -*和**x x x -相差一个和2*⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 同阶的无穷小量．3 设x 的近似值*x 具有如式(1.5)的表示形式，试证明 1) 若*x 具有n 位有效数字，则相对误差n r a x e -⨯≤11*1021)(； 2) 若相对误差n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(，则*x 至少具有n 位有效数字．4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) *3*2*1*1x x x y +=； 2) 3*2*2x y =； 3) *3*2*3/x x y = 6 若例题1.3中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值8.704*=b mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限． 7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确． 1) 0,cos 1≠-x xx 且1<<x 2) 1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算1-e 近似值算法的可靠性．算法1 ∑=--≈m n nn e 01!)1(； 算法2 101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e ； 算法3 101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e ；9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式72.280=y ，251-=-n n y y ， ,2,1=n 在计算时2取为具有5位有效数字的有效数*c ． 试分析近似计算公式**1*5c y y n n -=-的绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
水力压裂理论模型及数值计算方法综述
Crouch[18-19] 最早提出了位移不连续法并用于处理
裂缝壁面间的不连续位移场问题。Dontsov 等 [20-21] 以 边界元方法为基础建立了改进的拟三维模型。Chen 等 [22] 针对边界元法求解拟三维水力压裂模型效率不 高的问题，提出了一种基于 Runge-Kutta-Legendre 方 法的显式时间步长算法。Adachi[23] 利用其提出的拟三 维模型，研究在两个对称应力边界上的水力裂缝的扩 展高度。
水力压裂数值模型的研究工作已经取得了长足的 进步，从二维模型发展到现今的全三维模型甚至真三 维模型，从过去边界元占主导地位的情形发展到现今 边界元方法和有限元方法共同主导的情形。边界元 法 [2] 只在定义域的边界划分单元，因而计算模型单元 个数少，数据准备简单，在处理中小规模问题时求解 效率高。离散元法 [3] 将研究对象离散为刚性块体（或 颗粒）的集合，块体间不必满足连续性条件，在处理 多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。随着 计算机和计算数学的快速发展，传统有限元法 [4] 及其 衍生的扩展有限元法 [5] 在模拟非均质岩石中裂缝的扩 展方面具有极大优势，目前已成为水力压裂数值计算 方法的强大工具。
在处理不连续界面问题时，边界元法的精度较高， 且能够将问题进行降维处理，在水力压裂研究中得到 了广泛应用。边界元法的不足之处在于它需要利用问 题的已知解析解求解，仅适于线性、均质问题求解， 并且它产生的系统方程的系数矩阵为满阵，限制了处 理问题的规模。 2.4 离散元法（DEM）
离 散 元 法 的 概 念 最 早 由 Cundall[24] 于 20 世 纪 70 年代提出，是基于非连续介质力学的数值计算方法。 其主要思想是把研究对象离散为刚性块体 ( 或颗粒 ) 的集合，使每个块体满足牛顿第二定律，各刚性块体 之间通过接触连接以描述运动及相互作用，并且在各 不连续单元之间形成的通道内允许流体流动。由于离 散元法形成的块体间不必满足连续性条件，因此在处 理多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式值法插一、）插值法拉格朗日（Lagrange1.两点一次：a)b)三点二次：）插值牛顿（Newton2.次牛顿法多项式：a)n其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下）插值三次埃米尔特（Hermite3.二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x带入求A ii3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度,…x m2m+1时不成立，则称此f(x)=x若求积公式对f(x)=1,x,x时精确成立，而对求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数设满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立其次行2）3）三角不等式域上的一个向量范数为称常见范数：矩阵范数定义：其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数设满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行三角不等式3）4）乘积性质域上的一个矩阵范数为称常见范数：行范数列范数的最大按模特征值为2.谱半径3.雅可比迭代向量：的方程，分量通式如下：xi个方程解出i用第矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：带入下边的公式，分量个方程解出xi的方程，并将上式得到的用第i通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中5.松弛迭代雅可比松弛（JOR）：时，收敛注：当雅可比方法收敛时，收敛逐次超松弛（SOR）：注：系数矩阵A对称正定，时收敛六、方程求根1.大范围收敛定理a)?(x)在[a,b]上连续；b)当x?[a,b]时，?(x) ?[a,b]；c)?'(x)存在，且对任意x?[a,b]有2.牛顿迭代法牛顿下山法，其中3.割线法七、矩阵特征问题求解1.规范化乘幂法2.原点位移乘幂法，用B=A-I*?替代A，则得到的特征值u=?-?，特征向量不变?取一个00i0i八、常微分方程的数值解法1.欧拉公式2.向后欧拉公式3.梯形公式4.改进欧拉公式。
计算方讲义法第一章绪论
科学计算的意义
❖ 2.Newton（1642-1725）开创了微积分，提出了力 学的三大定律，特别是万有引力定律，是科学发展 进入理论思维的标志。
❖ Einstein（1878-1955）提出的相对论是这种理论思 维的顶峰，在几个世纪中，实验方法和理论分析一 直强有力地推动着科技的发展，科学家们也没有停 止过使用科学计算来进行研究，但由于以前没有计 算机，计算只能是小规模的。
个接收点R的当前位
S3
4
置，卫星Si的位置为
2
S4
0 10
S1 R
(xi, yi,z，i,则ti)得到下
列非线性方程组
S2
8
5
4
6
( x x1 )2 ( y y1 ) 2 ( z z1 ) 2 ( t1 -t ) c 0
N-S positions
2 00
图 7.8
( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t2 -t) c 0
3x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
a11 a12 a1n x 1 b 1
a21
an1
a22
an2
a2n
ann
x2
xn
b2 b n
Ax b
线性方程组的数值方法！
2、天体力学中的Kepler方程
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温
西安石油大学现代数值计算方法第1章
②若有效数x*= 2500，则绝对误差限 η(x*)=0.5 ，相对误差限 δ(x*)= η(x*)/| x*|= 0.0002 x*具有4位有效数字.
③若有效数x*= 25×102，则 η(x*)=50 ， δ(x*)= η(x*)/| x*|= 0.02，x*具有2位有效 数字.
Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。
Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为是 估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对 最后一位进行四舍五入得到有效数。
– 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据 123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据 156.7cm是为了得到有效数157.cm。
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
有效数：当x*为四舍五入得到的近似数， 则称x*为有效数。有效数的绝对误差限、 相对误差限，有效数字位数举例：
例①若有效数x*=1.02,则绝对误差限： η(x*)=0.005相 对误差限： δ(x*)= η(x*)/| x*|= 0.0049，
4.误差度量间的联系
绝对误差与相对误差
E(x*)/x*Er(x*)
绝对误差与有效数字（教材第7页1.2.2式）
E(x*) 121 0mn
相对误差与有效数字（教材第8页1.2.3式）
➢ 定理：
10
若 x*具有 n 位有效数字，则相对误差
Er
(x*)
1 2α1
10
1n
；
20
若相对误差
Er
(x*)
1 2(α1 1)
解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有限
过程，而使得算法必须在有限步内执行结束 而导致的。
《现代数值计算方法(MATLAB版)》习题解答
= 0 0 0 0 0
2.7 提示: Bs = (D − L)−1 U = − 1 2 0 值 λ1 = 0, λ2 = λ3 0 1 BJ = 2 −2 1 Jacobi 迭代发散. = −1 , 2
1 2
0 1
1 2
2.2218 ≤ n ≤ 2.9208 ⇒ n √ = 2. 1.8 提示: x1,2 =
282 − √781 28+ 783
= 28 ±
√
783, x1 = 28 + 27.982 = 55.982 ≈ 55.98, x2 = 28 −
1−cos2 1◦ 1+cos 1◦
=
1 55.982
≈ 0.01786. =
√
5 2
> 1, 故
2.8 提示: (1) A = 1 3 a > 1, ⇒ a3 − 14a + 12 > 0, Seidel 迭代收敛.
a > 0, a 2 − 1 > 0, ⇒ 2 , 当 |a| > 5 时, Jacobi 迭代收敛. (2) a3 − 14a + 12 > 0, a 所以, 当 a ≥ √ 14 时, A 对称正定, 从而 Gauss-
10 +1+10
1.11 (1) (A) 比较准确; (2) (A) 比较准确. 1.12 算法 2 准确. 在算法 1 中, ε0 ≈ 0.2231 带有误差 0.5 × 10−4 , 而这个误差在以后的每次计算中 顺次以 41 , 42 , · · · 传播到 In 中. 而算法 2 中的误差是按
数值计算方法(山东联盟)知到章节答案智慧树2023年中国石油大学(华东)
数值计算方法（山东联盟）知到章节测试答案智慧树2023年最新中国石油大学（华东）第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()参考答案:截断误差;;舍入误差.2.参考答案:只有模型误差、观测误差与舍入误差；3.参考答案:4位4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是参考答案:5.参考答案:第二章测试1.参考答案:0.56252.参考答案:;3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：参考答案:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
;Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：参考答案:;Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
5.参考答案:6第三章测试1.算法的计算量与近似成正比。
2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：参考答案:提高了稳定性，减少了误差的影响。
3.参考答案:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
;只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
4.参考答案:;5.;第四章测试1.给定n+1个互异的插值节点，求插值多项式。
下列命题中正确的是：参考答案:若要求插值多项式的次数等于n，则用不同方法求出的插值多项式是相等的。
;若要求插值多项式的次数小于n，则插值多项式可能不唯一。
2.关于插值多项式对被插值函数的逼近效果，正确的命题是：参考答案:插值点靠近所有插值节点时，插值余项的绝对值较小。
3.关于差商，下列命题中正确的命题是：参考答案:;4.关于多项式插值的Runge现象，下列命题中正确的命题是：参考答案:采用分段低次多项式插值可以避免Runge现象。
;用三次样条函数插值可以避免Runge现象。
5.关于三次样条函数，下列命题中正确的命题是：参考答案:三次样条函数是连续函数。
;三次样条函数具有连续导数。
;三次样条函数具有连续的2阶导数。
第五章测试1.用正交多项式求一个函数的最佳平方逼近多项式的主要优点是节省计算量。
数值分析课件 第一章 绪论
注：
的每一位都是有效数字， 称是有效数 若 x∗ 的每一位都是有效数字，则 x∗称是有效数
特别， 四舍五入” 特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数
Th .1将 x 的近似值 x 表示为x = ±0.a1a2 Lak Lan ×10， 1 1 ×10−(k−1) 是有效数字， 若 ak 是有效数字，则相对误差不超过 ； 21 ∗ ∗ er ，且有 er ≤ ×10−k 反之， 反之，若已知相对误差 ， 2 必为有效数字。 则ak 必为有效数字。
收敛性： 收敛性：方法的可行性
§1
误 差
/* Error */
一、 误差的来源与分类 /* Source & Classification */
1、从实际问题中抽象出数学模型 、 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 、通过观测得到模型中某些参数（或物理量） —— 观测误差 /* Measurement Error */ 3、数学模型与数值算法之间的误差 、 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 截断误差 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 、由于机器字长有限， —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数 0.2300有 位有效数字， 00023只有 位有效数 只有2 12300如果写成0.123× 如果写成0.123 则表示最多只有3 字。12300如果写成0.123×105，则表示最多只有3 位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！ 位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！
二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */
tjm2010第1章数值计算概念
(1 . 000002 ) 1 . 000004 0
2
3）
( 本应（ 1 . 000002 ） 1 . 000004
2
1 . 0000040000 0 . 0000000000
16
x x
* *
来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。
18
tjm
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有
x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有 x-x*=0.0000074… 0.000008=0.810-5 例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3 绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好
6
tjm
数值计算方法这门学科有如下特点： 1.面向计算机 2.有可靠的理论分析 3.要有好的计算复杂性 4.要有数值实验 5.要对算法进行误差分析 本课程主要内容：非线性方程求根，解线性方程组 的直接方法，插值法，曲线拟合，数值微分， 数值 积分，解线性方程组的迭代法，计算矩阵特征值和 特征向量，常微分方程的数值解法。
e
* r
e x
* *
x x x
*
*
x
* *
r (x )
*
则称
r (x )
*
r (x )
*
现代数值计算方法第一章
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
| ε r ( x ) | 1 2 a1 10
n 1
0 . 001 %
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
| r ( x ) |
1 2 a1
'
注2：若所用的方法不恰当，问题无法解决。例如：
方程组阶数n很大，例如n=20。计算机运算速度10亿 次/秒,用不好的方法,大约需算3万年;好方法不到一分钟 (可见书P2)。
希
望：好的算法应该具有以下性质:
(1)结构简单,易于编程; (2)理论上有(全局)收敛性与稳定性;
(3)效率高(运行速度与存储量); (4)经过检验,行之有效.
（4）求积分：
1 0
sin x x
dx
注1：求精确解(值)一般非常困难。例如：
1. 2.
f ( x ) 形式复杂时求根和求积分很困难。
线性微分方程易解， 如
y 2y y 1
" '
y(0) y (0) 1
'
非线性方程难解，如
e y sin y y 1
y " 2
y(0) y (0) 1
例2
* x =0.0270是某数 x 经“四舍五入”所得，则 设
误差 ( x ) 不超过 x *末位的半个单位，即：
x x* 1 2 10
4
又 x
*
0 . 270 10
1
,故该不等式又可写为
1 2 10
*
1 3
x x *
由有效数字定义可知, 是2,7，0。