无穷小与无穷大的关系

x? ?
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x ) ? ?? (或 lim f ( x ) ? ?? )
x? x0
x? x0
(x? ? )
(x? ? )
注意 （1）无穷大是变量 ,不能与很大的数混淆 ;
（2）切勿将 lim f ( x ) ? ? 认为极限存在 . x? x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量 ,但是无 界变量未必是无穷大 .
? lim 1 ? 0, x? ? x
? 函数 1 是当x ? ? 时的无穷小. x
? lim (? 1)n n? ? n
?
0,
?
数列{(? 1)n }是当n ? n
? 时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量 ,不能与很小的数混淆 ;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数 .
2、无穷小与函数极限的关系:
M
取 ? ? min{? 1 , ? 2 }, 则当 0 ? x ? x0 ? ?时, 恒有 u ?? ? u ?? ? M ? ? ? ?,
M ? 当x ? x0时, u ?? 为无穷小.
推论1 在同一过程中 ,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 .
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 .
例如, 当x ? 0时, y ? 1 sin 1 xx
是一个无界变量 , 但不是无穷大.
y ? 1 sin 1 xx
(1) 取 x k ?
1 ?
2k? ?
2
?
y( xk )
?
2k?
?
, 2
(2)
取
x k?
?
1 2k ??
(k ? 0,1,2,3,? )
当k充分大时 , y( x k ) ? M . (k ?? 0,1,2,3,? )
其中 ? ( x )是当x ? x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) ? lim ( A ? ? ( x )) ? A ? lim ? ( x ) ? A.
x? x0
x? x0
x? x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
（2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证 设函数u在U 0 ( x 0 , ? 1 )内有界， 则? M ? 0, ? 1 ? 0,使得当0 ? x ? x0 ? ?1时 恒有 u ? M . 又设? 是当x ? x0时的无穷小,
? ? ? ? 0, ? ? 2 ? 0,使得当0 ? x ? x0 ? ? 2时 恒有 ? ? ? .
第六节
无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小 .
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么小 ),
总 存 在 正 数 ? ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 ? x ? x 0 ? ? ( 或 x ? X ) 的一切 x , 对应的函数 值
证 设 lim f ( x ) ? ? . x? x0 ? ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使得当0 ? x ? x0 ? ?时
定理 1 lim f ( x ) ? A ? f ( x ) ? A ? ? ( x ), x? x0
其中? ( x )是当 x ? x 0 时的无穷小 .
证 必要性 设 lim f ( x ) ? A, 令 ? ( x ) ? f ( x ) ? A, x? x0 则有 lim ? ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? A ? ? ( x ). x? x0 充分性 设 f ( x ) ? A ? ? ( x ),
例如,当x ? 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
x
x
源自文库
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大 .
定义 2 设函数 f ( x )在 x0某一去心邻域内有定义（或 x 大
于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M (不
论它多么大),总存在正数? (或正数 X ),使得对于适合不
无界，
当 k ?充分大时 , x k? ? ?,
但 y( x k?) ? 2k ?? sin 2k ?? ? 0 ? M .
不是无穷大．
例 证明 lim 1 ? ? . x? 1 x ? 1
证 ? M ? 0. 要使 1 ? M ,
x?1
y? 1 x?1
只要 x ? 1 ? 1 , 取 ? ? 1 ,
M
M
当0 ? x ? 1 ? ? ? 1 时, 就有 1 ? M . ? lim 1 ? ? .
M
x?1
x? 1 x ? 1
定义 : 如果 lim x? x0
f ( x ) ? ? ,则直线 x ?
x 0是函数y ?
f (x)
的图形的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中 ,无穷大的倒数为无穷小 ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 .
式 f ( x ) ? A, 误差为 ? ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中 ,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小 .
证 设? 及? 是当x ? ? 时的两个无穷小 ,
? ? ? 0, ? N 1 ? 0, N 2 ? 0, 使得
当
x
?
N 1时恒有
?
?
?; 2
当
x
?
N 2时恒有
?
?
?; 2
取 N ? max{ N 1 , N 2 },当 x ? N时, 恒有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,
22
? ? ? ? ? 0(x ? ? )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 .
例如, n ? ? 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
f ( x )都满足不等式 f ( x ) ? ? ,
那末 称函数 f ( x )当 x ? x 0(或 x ? ? )时为无穷小 ,
记作 lim f ( x ) ? 0 (或 lim f ( x ) ? 0).
x? x0
x? ?
例如,
? lim sin x ? 0, ? 函数 sin x是当x ? 0时的无穷小. x? 0
等式0 ? x ? x 0 ? ? (或 x ? X )的一切 x ,对应的函数值
f ( x )总满足不等式 f ( x ) ? M ,
则称函数 f ( x )当 x ? x 0 (或 x ? ? )时为无穷大,记作
lim f ( x ) ? ? (或 lim f ( x ) ? ? ).
x? x0