最新初高中数学衔接超好教材(二)演示教学
新课改下做好初、高中数学教学衔接的几点建议
新课改下做好初、高中数学教学衔接的几点建议作者：李怀琴来源：《中学教学参考·下旬》 2014年第8期广西贺州高级中学（542800）李怀琴2012年下半年我校根据全省统一部署将全面使用高中课标教材，由于现行的初中和新课改下的高中在教材教法以及教学理念上存在较大的差异，这对于刚刚升入高中的学生来说，教学的内容衔接，教学方法的衔接以及学习方法的衔接将是一个重大的课题，因此本人认为抓好高中与初中数学教学的衔接，是实施好高中数学新课标教材的第一步。
一、高一新生学习困难的原因（一）学法的原因从跟学生交谈的结果分析，造成高一新生学习困难的原因之一是“学法的原因”。
初中教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，学生习惯于你讲我听，不喜欢独立思考和对规律进行归纳总结，缺乏学习独立性。
到了高中，数学学习要求勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。
如果继续沿用初中学法，就会出现学习困难的问题。
尽管新教材降低了难度，但对一些学生仍无济于事，每做一题都会遇到困难，甚至一道题中会出现多处错误。
部分新生在心理上也发生了微妙的变化，产生了闭锁性，上课不爱举手发言，课内讨论气氛不够热烈。
部分新生存在“只看不想，只想不练，只练不思，只思不悟”的缺点，缺乏良好的心态，情绪浮躁。
（二）教材的原因通过对《新课程标准》的研究，我们发现造成高一新生学习困难的原因之二是“教材的原因”。
初中教材对内容进行了大幅度的调整，数学学习内容由“基本内容”、“拓展内容”和“专题研究与实践”三个部分组成。
而“拓展内容”是进入普通高级中学学生所必须修习的，但是有些初中学校对于这些“可教不考”的内容作了弱化和删减处理，这样就出现了初高中知识衔接上的缺漏。
初中教材内容通俗具体，对许多概念采用描述性定义，教材坡度较缓，直观性强，题型少且简单，多为常量，偏重知识的基础性和普及性；而高中内容注重逻辑性、抽象性，教材叙述严谨规范，知识难度加大且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，多研究变量、字母。
初高中数学衔接教材(共28页)
创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*初高中数学衔接教材目录引入乘法公式第一讲因式分解1.1 提取公因式1.2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3分组分解法1.4十字相乘法（重、难点）1.5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*（1）=-+652x x __________________________________________________。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
初高中数学衔接教材 第2课 数与式的运算(2)
一、比例与齐次式我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证：此三角形为直角三角形．例2 已知：a b ＝c d . 求证：(1)a －b b ＝c －d d ； (2)a ＋b b ＝c ＋d d ； (3)a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d.例3 已知△ABC 中，有AB AD ＝AC AE ，求证：AD DB ＝AE EC.例4 已知：a ＋b ＝1且1b ＝2a，求a 和b .例5 已知y ＝2x (x ≠0)． (1)求x 2－3xy ＋y 2xy ＋y2的值． (2)求证：x 2＋32xy －y 2＝0.例6 已知：x ∶y ∶z ＝1∶2∶3.求x 3－yz 2＋3z 3xyz的值．二、二次根式一般地，形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：1．(a)2＝a(a≥0)．2.a2＝|a|.3.ab＝a·b(a≥0，b≥0)．4. ba＝ba(a>0，b≥0)．例7将下列式子化为最简根式．(1)12b；(2)a2b(a≥0)；(3)4x6y(x<0)．例8试比较下列各组数的大小．(1)12－11和11－10；(2)26＋4和22－ 6.例9化简：(3＋2)2 012·(3－2)2 013.例10化简：(1) 9－45；(2) x2＋1x2－2(0<x<1)．例11已知：x＝3－23＋2，y＝3＋23－2.求：3x2－5xy＋3y2的值．例12已知：x>0，y>0，x＋2xy－15y＝0.求x－yx＋xy的值．例13化简：x2＋6x＋9＋x2－4x＋4.1．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则k ＝________. 2．已知：x 2－3xy ＋2y 2＝0，则x y＝________. 3．已知x ∶y ＝1∶2，求：x 2－3xy ＋4y 2x 2＋y 2的值．4．已知：x 2＋5xy －6y 2＝0，求：2x ＋3y 2x －y的值．5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.求证：此三角形为直角三角形．6．已知：a 2＝b 2＋c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)b a ＝12，求c a的值．(2)b a ≥12，求c a的取值范围．7．已知：a 2＋b 2＝c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)c a ＝2，求b a的值．(2)c a ≥2，求b a的取值范围．8．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 2＋b 2－c 22ab的值．9．化简下列各式．(1) 8－28；(2)12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋1100＋99.10．已知：x ＝3－52，求x 2x 4＋x 2＋1的值．11．计算：23×6－(2－5)2＋15＋2.12．已知：x ＝a ＋1a (a >0)，化简：x ＋2＋x －2x ＋2－x －2.答案精析例1 证明 设三角形的三边分别为a ，b ，c ，∵a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，k >0，∵a 2＋b 2＝9k 2＋16k 2＝(5k )2＝c 2，∴三角形为直角三角形．例2 证明 (1)∵a b ＝c d ，∴a b －1＝c d －1，a －b b ＝c －d d . (2)∵a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋d d . (3)设a b ＝c d ＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd ， a ＋c b ＋d ＝kb ＋kd b ＋d＝k ，∴a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d . 例3 证明 ∵AB AD ＝AC AE ，由例2可知：AB －AD AD ＝AC －AE AE ，∴DB AD ＝EC AE ，即AD DB ＝AE EC. 例4 解 ∵1b ＝2a ＝1＋2a ＋b ＝3，∴b ＝13，a ＝23. 例5 (1)解 原式＝1－3y x ＋(y x )2y x ＋(y x)2＝－16. (2)证明 原式＝x 2[1＋32(y x )－(y x )2]＝0. 例6 解 设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，原式＝k 3－2k ·(3k )2＋3(3k )3k ·2k ·3k ＝323. 例7 解 (1)23b (2)a b (3)－2x 3y .例8 解 (1)∵12＋11>11＋10>0，∴112＋11<111＋10，∴12－11<11－10. (2)∵22－6＝222＋6，又∵4>22，∴24＋6<222＋6＝22－ 6. 例9 解 原式＝(3＋2)2 012(3－2)2 012(3－2)＝3－ 2.例10 解 (1)原式＝22－45＋52＝(2－5)2＝|2－5|＝5－2. (2)原式＝(x －1x )2＝|x －1x |＝1x－x (∵0<x <1)． 例11 解 xy ＝1，x ＋y ＝10，原式＝289.例12 解 x ＋2xy －15y ＝0，(x ＋5y )(x －3y )＝0，∵x ＋5y >0，∴x ＝9y ，原式＝23. 例13 解 原式＝|x ＋3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1 (x ≤－3)5 (－3<x <2)2x ＋1 (x ≥2).强化训练1.122.2或1 3．解 由y ＝2x ，得：原式＝x 2－3x ×(2x )＋4(2x )2x 2＋(2x )2＝115. 4．解 由条件得：x ＝－6y 或x ＝y ，∴原式＝913或5. 5．证明 设a ∶b ∶c ＝5∶12∶13，则a ＝5k ，b ＝12k ， c ＝13k (k >0) a 2＋b 2＝(25＋144)k 2＝(13k )2＝c 2.所以三角形为直角三角形．6．解 (1)c a ＝32 (2)0<c a ≤327．解 (1)c 2a 2＝2,1＋(b a )2＝2，(b a )2＝1，b a＝1(∵a >0，b >0) (2)c 2a 2≥2,1＋b 2a 2≥2，(b a )2≥1，b a≥1(∵a >0，b >0)． 8．解 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，原式＝－14. 9．解 (1)7－1；(2)910．解 x 2＝7－352，1x 2＝7＋352，x 2＋1x2＝7，原式＝1x 2＋1x 2＋1＝18.11．解 原式＝23×2×3－|5－2|＋(5－2)＝2.12．解 x ＋2＝(a ＋1a )2＝a ＋1a ，x －2＝|a －1a|， a >1时，x －2＝a －1a ，原式＝a ＋1a ＋(a －1a )a ＋1a－(a －1a )＝a .a ＝1时，x ＝2，原式＝1. 0<a <1时，x －2＝1a －a ，原式＝a ＋1a ＋1a －a a ＋1a ＋a －1a ＝1a .∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a >11 a ＝11a 0<a <1。
2024年初高中衔接数学-第2节+因式分解进阶+课件
一般地，分组分解大致分三步：
1. 将原式适当分组 2. 对每一组进行因式分解 3. 将经过处理的式子再分解
练习：
(1) x3 + x2 -y3-y2 = (1) abc +ab+bc+ac+ a+b+c+1 =
进阶：拆项、添项法
因式分解：
1. x3+x2+x-3= x3-1+x2-1+x-1
2. x4+4= x4+4x2+4-4x2
拆项：把多项式的某项拆成两项的和或差. 添项：把代数式添上两个互为相反数的项.
进阶：主元法
因式分解：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z=
解：原式=-(x2-2xy+y2)z+2x3-4x2y+2xy2=-(x2-2xy+y2)z+2x(x2-2xy+y2) =(2x-z)(x-y)2
－8x4y＋6x3y2－3x3y＝－__x_3y_(_8_x_－__6_y_＋__3_).
复习：公式法
1. a2－b2＝(a＋b)·(a－b) 2. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. a2－2ab＋b2＝(a－b)2 4. a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2) 5. a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 6. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 7. a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3 8. a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2
口诀：首尾化积，十字相乘，求和凑中，横向书写
进阶：双十字相乘法（二次六项式）
(1) x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝ (x－y＋1)(x＋3y＋2)
最新初高中数学衔接教材[新课标人教A版](学生版)(适用黑龙江)名师优秀教案
(适用黑龙江)名师优秀教案](https://img.taocdn.com/s3/m/1adcd4cf6294dd88d0d26b36.png)
初高中数学衔接教材【学生版】{新课标人教A版}典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点第二部分分章节讲解第一部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:；或2 乘法公式：⑴平方差公式：⑵立方差公式：⑶立方和公式：⑷完全平方公式：，⑸完全立方公式：3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论①当时，方程有唯一解；②当，时，方程无解③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
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数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
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04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
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思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
16
学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源
初高中数学知识点的衔接问题-PPT课件-图文
9.引导学生转变观念、改进学法，提升思维能力 (1)指导学生正确对待学习中遇到的新困难和新问题. (2)教师应注意培养学生的预习习惯，提高听课效率.高中课堂内容多，难度大，需要学生在课前进行预习，以缓解教师授课速度快，课堂容量大，学生接受知识吃力等问题.. (3)在高初中衔接过程中，单凭教师的力量不能解决同学们的所有疑问，这就需要利用同学中的良好资源，开展探讨，互帮互助，这也是新课程倡导的合作学习，探究学习的一种形式.正如哲学家萧伯纳所说：“如果你有一种思想，我有一种思想，我们进行交换，每人可以有两种思想.” (4)荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”
(5)重视培养良好的演算、验算习惯，提高运算能力.学习数学离不开运算，运算是数学学习的基础. (6)数学是关于思维的科学，学习数学的过程就是数学思维形成与发展的过程.高一新生其思维习惯正由直觉形象型向抽象经验型过渡，因此，必须重视抓紧培养. 例如，在学习高一教材《函数》时，我们可借助于二次函数. 首先，画出下列函数的图像，由图像观察函数的值域 ①y=x2-2x ②y=x2-2x，x∈［0，+∞) ③y=x2-2x，x∈(-∞，4) ④y=x2-2x，x∈［0，4) ⑤y=x2-2x，x∈［2，4］ ⑥y=x2-2x，x∈［-1，0］ ⑦y=x2-2x，x∈［a，a+1］ ⑧y=(x-a)2-1，x∈［2，4］ 这样不仅有助于函数概念和性质的学习，还有助于数形结合，化归转化等重要数学思想的培养，从而提高学生的思维能力.
5.思维方式方面 初中学习更多的是记忆与模仿，而高中学习更重要的是发散思维和创新意识.高中强调数学能力和数学思想的运用，其中运算能力、逻辑推理能力、空间想像能力和分析问题、解决问题的能力都有很高的要求.高中数学中渗透四大数学思想方法，即数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论、化归与转化.这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中反映得更充分. 例如解决ax2+4x+6>0这样简单的不等式时，首先要讨论a是否为零，如果不为零，还要讨论a是正数还是负数，这需要学生有分类讨论的思想意识（高一新生往往做不好）.
初高中数学衔接讲座 PPT课件 图文
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） x2 (a b)xy aby2 ；
（4） xy 1 x y ．
课堂练习
1.填空题：把下列各式分解因式：
（1） x2 5x 6 __________________________________________________。
x b b2 4ac , x b b2 4ac
2a
2a
所以： x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac b ，
2a
a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac (b)2 ( b2 4ac)2 4ac c
2.把下列各式分解因式
(1) 2 y2 4 y 6
(2) b4 2b2 8
(3) 62 p q2 11q 2 p 3
4、提取公因式法 例 2 分解因式：
（1） a2 b 5 a5 b
（2） x3 9 3x2 3x
课堂练习： 一、填空题：
2a
2a
2a
当 x＝ b 时，函数取最大值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
y x＝－ b 2a
y
b 4ac b2
A ( ,
)
2a 4a
O
x
A (
b
4ac b2
,
)
2a 4a
图 2.2-3
O
x
x＝－ b 2a
图 2.2-4
例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、 对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该 函数的图象．
初高中数学衔接教材 二次函数PPT课件
c 1
abc5
即 a1,b3,c1
1a 6 4bc5
所以，所求二次函数的表达式为 yx23x1
典型例题
1.已知二次函数的图象经过点 A (0 ,1 )B ,( 1 ,5 )C ,(4 ,5 )，
求其表达式.
解（方法2）
14 3
由因条此件，可可知设:二该次二函次数函表数达的式对为称轴y为a(xx 3)22b,(a 20)
y
y
顶点的函数值最小，
顶点的函数值最大，
自变量离对称轴越
自变量离对称轴越
远函数值越大
远函数值越小
O
x
O x b
x
x b
2a
2a
图1
图2
x b 2a
x y随 x增大而减小 x b 2a
y随 增大而增大
x b 2a
x y随 增大而增大 x b y随x增大而减小 2a
（三） 二次函数的表达式
一般式 ya2x b xc,(a0)
课题
1、二次函数的图象及由图象研究函数的性质 2、二次函数表达式的几种形式的应用
（一）
二次函数 ya2x b xc,(a0)的图象
当 a0 时，抛物线开口方向向上，如图1 当 a0时，抛物线开口方向向上，如图2
y
y
图象关于直线
x
b 2a
对称
O
x
x b
2a
图1
O x b
x
2a
图2
（二）
二次函数的性质
You Know, The More Powerful You Will Be
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
【最新整理】2020初高中数学衔接教材(完整版)-【学生版】
2020初高中数学衔接教材爱的新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。
由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。
面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
初升高数学衔接精品PPT课件
x1
x2
x1(x2)
yax2bxc y
问3：图像与x轴交点的纵坐标是多少？ 此时相应的横坐标是否为ax2+bx+c＝0的根？
0 x1
x2 x
当 y 0， 二次方程为 a2xbxc0
0时，二次函数与x轴有一个交点，说明二次方程有一个根． 0时，二次函数与x轴有两个交点，说明二次方程有两个根． 0时，二次函数与x轴没有交点，说明二次方程无实根．
x
|
x
1
2
观察4x2－4x＋1 <0的解
o●
x
无解
例题讲解
例3 解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
解:∵ －x2 ＋2x－3 > 0 ∴x2 -2x+3 < 0
又∵△<0， ∴原不等式无解.
例题讲解 例4 解不等式： -3x2+6x>2
解：∵ -3x2+6x>2
∴ 3x2-6x+2<0
有两相异实根 x1,x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2= b
2a
{x|x<x1,或x>x2} {x|x≠
b
}
2a
{x|x1<x<x2}
Φ
没有实根
R
Φ
若a＜０，可在不等式的两边同乘以－１
这张表是我们今后求解一元二次不等式的主
要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二 次函数的图像。
记忆口诀：.(a>0且△>0) 大于0取两边，小于0取中间
抛物线
初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)
初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。
} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。
于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。
（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。
高中数学新教材第二册全套教案
核心素养目标
一、情景引入
通过生动的例子及
物理知识，引入本节
1. 老鼠以 10m/s 的速度向东跑，猫以 50m/s 的速度向西追，猫 新课。建立知识间的
能否追上老鼠？
联系，提高学生概
分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的 括、类比推理的能
量.[来源:]
力。
2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？
高中数学
第二册(2021)全套教案 期待你的分享
许多老师认为本课概念多但不难理解,多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂, 教师讲得乏味,学生学得无趣,事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得 头头是道,但概念教学就没词、没招了.我认为,概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的 理由
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向 量及其应用》，本节课是第 1 课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表 示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重 点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、 平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
2.逻辑推理：向量的加法法则； 3.数学运算：求向量的和； 4.直观想象：向量加法的集合意义。
1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义； 2.教学难点：向量加法的运算律。
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的命题是________． 【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确． 【答案】 ④⑥
5.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，找 出与向量A→B相等的向量．
《初高中衔接教材数学》第二讲： 二次根式
初高中衔接教材第二讲： 二次根式一、知识要点0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程2. 的化简()()00a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3．重二次根式：如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做重二次根式。
4．化简重二次根式对于重二次根式，设法找到两个正数x 、y （x ＞y ）使x y a +=，xy b =，则二、典例分析例1 例2、若3b =-，求b a 的值．例3 、比较下列各组数的大小：（1 （2）146+与137+.例4、化简：（1）20042005⋅． （21)x <<例5、求值：（1（2（3（4 （5三、达标检测1．填空：（1＝__ ___；(2）当13x <<+（3(x =-x 的取值范围是_ _ ___；2．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．3成立的条件是 （ ）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<4= （ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<5、计算 （ ）（A （B （C ）（D ）6．若b =，则a b +的值 ．7．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．8、化简232217122-+-等于（ ）A. 542- B. 421- C. 5D. 19、化简242321123+--为（ ）A. 543- B. 431- C. 5 D. 110、化简1983423-++为（ ）A. 23+ B. 23+ C. 3D. 5。
初高中数学衔接课(二)一元二次方程教学设计-2024-2025学年高一上学期
初高中衔接（二）一元二次方程初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平，以解方程为主。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法，以实际应用、解决问题为主；二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节。
教学目标：①知识与技能：一元二次方程的一般形式与解法；用待定系数法解决一元二次方程的问题；韦达定理处理多个待定系数的问题。
②方法与过程：回顾初中对于一元二次方程的学习内容，点出高中数学的学习中一元二次方程的难度在于二次项系数、一次项系数、常数项的不确定，即,,a b c待定，思考该类问题如何解决？思考该类问题如何转换和简化？并开始授课一元二次方程在高中数学中的基础内容。
③情感态度价值观：学生提高数学运算能力；学生提高数学逻辑思维。
教学重点：：一元二次方程的一般形式与解法；用待定系数法解决一元二次方程的问题；韦达定理处理多个待定系数的问题教学难点：待定系数法解决一元二次方程的问题；韦达定理处理多个待定系数的问题教学方法：讲解、讨论、提问、授课教学用具：希沃白板教学过程：（导入）回顾初中对于一元二次方程的学习内容，点出高中数学的学习中一元二次方程的难度在于二次项系数、一次项系数、常数项的不确定，即,,a b c 待定，思考该类问题如何解决？思考该类问题如何转换和简化？借题引入本节课的学习内容。
（授课）知识点一：一元二次方程的一般形式20(0)ax bx c a ++=≠，主要认识二次项系数、一次项系数、常数的作用，点出初中一元二次方程的特点（目标解方程）和高中一元二次方程的特点（目标解决问题），如高中数学解决收益最大化的问题时需要用到一元二次方程的知识；知识点二：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法①配方法：通过配成完全平方公式的形式来求解；②公式法：确定,,a b c 的值，通过计算24b ac ∆=-的值，确定方程的根是否存在，再通过公式12,x x =求出方程的根； ③因式分解法：将方程化为()()0a x m x n ++=的方程，解为12,x m x n =-=-；知识点三：根与系数的关系韦达定理若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则有1212,b c x x x x a a +=-=；需要讲解韦达定理的常见变式，如12x x -=；例题讲解：①配方法：解方程 210x x --=222221110221515()0()242412x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⇒-+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒--=⇒-=⇒-=⇒=解：原式 ②公式法：解方程22730x x -+=12122,7,350(7)5,22213,2a b c b x x a x x ==-=∴∆==>-±--±∴==⨯∴==解：③因式分解法（十字相乘法）：解方程2320x x -+=12(1)(2)01,2x x x x ⇒--=∴==解：原式④韦达定理：已知方程2560x kx +-=的两个根为12,x x ，其中12x =，求2x 与k 的值.112212225,,6,22,56253,75a b k c x b k x x x a c x x x a x k ===-=+=-⇒+=-=⇒=-∴=-=-解：由题可知：课堂小结：知识点一：一元二次方程的一般形式20(0)ax bx c a ++=≠，主要认识二次项系数、一次项系数、常数的作用，点出初中一元二次方程的特点（目标解方程）和高中一元二次方程的特点（目标解决问题）；知识点二：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法①配方法：通过配成完全平方公式的形式来求解；②公式法：确定,,a b c 的值，通过计算24b ac ∆=-的值，确定方程的根是否存在，再通过公式12,2b x x a-=求出方程的根； ③因式分解法：将方程化为()()0a x m x n ++=的方程，解为12,x m x n =-=-；知识点三：根与系数的关系韦达定理若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则有1212,b c x x x x a a +=-=；课后作业：已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．。
初高中数学衔接教材[新课标人教A版]
![初高中数学衔接教材[新课标人教A版]](https://img.taocdn.com/s3/m/9d0f591d647d27284b7351bc.png)
初高中数学衔接教材{新课标人教A版}第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
初高中数学衔接教学课程讲义----第2节集合与元素
初高中衔接课——集合第二讲 集合与元素【元素与集合的概念】（1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 集合是数学中不加定义的原始概念，是最基本的概念之一，它是用描述性语言叙述的。
集合的例子数不胜数，如“高三（1）班学生”就组成一个集合，记为{高三（1）班学生}；又如{本学校的教室}、{1,2,3,4,5}都是集合。
（2）集合常用大写英文字母A ，B ，C ，...表示，元素常用小写英文字母a,b,c,...表示。
（3）为了更好地理解集合与元素，我们讲解下列几组对象：①1,2,3,4,5,6,7,8,9；②某农场所有的拖拉机；③在实数范围内方程052=+x 的解。
经过分析，我们可以看出①是由一些数组成的；②是由一些物体组成的。
比如，①可以看作由数1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的集合，其中的对象1,2,3,4,5,6,7,8,9都是这个集合中的元素；②是由某农场所有的拖拉机组成的集合，其中的对象是每一辆拖拉机，他们都是这个集合的元素；③是一个不包含任何一个元素的集合，是空集。
【集合中元素的性质】确定性 集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一。
这个特征通常被用来判断涉及的总体能否构成集合。
互异性 集合中的元素是互不相同的，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。
无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a,b,c 组成的集合与b,c,a 组成的集合是相同的集合，这个特性通常被用来判断两个集合间的关系。
集合中元素的互异性在解题中应用非常广泛，解题时如果遇到求解字母的值时，一定要将所有的字母的值进行检验，应用集合中元素的互异性判断字母的值是否符合题意。
【例题】下面哪组对象能构成集合__________.①3221,,,；②3421,,,；③新高一个子较高的学员；④全中国身高185厘米以上的男生；⑤和2014非常接近的数；⑥小于2014的整数；⑦比较小的数；⑧长得漂亮的猩猩。
初高中数学知识衔接ppt课件
8
概率与统计基础知识
概率初步知识
事件的概率、概率的加法公式和乘法 公式，以及事件的独立性和互斥性。
机抽样方法、 样本均值和样本方差的计算和应用。
统计图表
数据的收集与整理、概率初步知识与 事件的概率、平均数、中位数和众数 的计算，以及方差和标准差的计算和 应用。
11
三角函数与数列
2024/1/26
三角函数的基本概念
01
包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质、图像和诱导
公式等。
数列的基本概念
02
包括数列的定义、通项公式、递推公式等，以及等差数列和等
比数列的性质和求和公式。
三角函数与数列的应用
03
包括在几何、物理等方面的应用，以及数列在实际问题中的建
模和解决。
函数思想的贯穿与提升
阐述函数思想在初中和高中阶段的贯穿与提升，以及导数作为研究函 数性质的重要工具在高中数学中的地位和作用。
数学思维与方法的培养
通过案例分析，探讨初高中数学在培养数学思维和方法方面的联系与 差异，提出相应的教学建议。
25
THANKS
感谢观看
2024/1/26
26
20
培养良好的学习习惯
01
02
03
04
课前预习
提前预习即将学习的知识点， 为课堂听讲做好准备。
课后复习
及时复习所学内容，巩固记忆 并解决遗留问题。
独立思考
遇到问题时，尝试独立思考并 解决问题，培养解决问题的能
力。
错题总结
对做错的题目进行总结分析， 找出错误原因并避免再次犯错
。
2024/1/26
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初高中数学知识衔接 ppt课件
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（）Leabharlann 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a b)( a b) a2 b2 ；
（2）完全平方公式
(a b)2 a2 2 a b 2．b
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a b) (a2 a b 2 b) 3 a ；3 b
（2）立方差公式
1.1.3 二次根式
1.1. ４ 分式 1．2 分解因式
2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式
2.1.2 2．2 2.2.1 2.2.2
根与系数的关系（韦达定理） 二次函数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
| a | 0, a 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义 ：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义 ： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．
例 1 解不等式： x 1 x 3 ＞4．
解法一 ：由 x 1 0，得 x 1；由 x 3 0 ，得 x 3 ；
（2）如果 a b 5，且 a 1，则 b＝ ________；若 1 c 2，则 c＝ ________.
2．选择题： 下列叙述正确的是
（ A ）若 a b ，则 a b
（ C）若 a b ，则 a b
3．化简： |x－ 5|－ |2x－13|（ x＞ 5）．
（ B）若 a b ，则 a b （ D）若 a b ，则 a b
初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多，而且对
三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到 ,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用 的解题技巧。
2.3.2 一元二次不等式解法
3．1 相似形 3.1.1 ．平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3 圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹
1.1 数与式的运算
1.１ .1．绝对值
１
绝对值的代数意义 ：正数的绝对值是它的本身， 负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值仍是零． 即 a, a 0,
(a b) (a2 a b 2 b) 3 a ；3 b
（3）三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 2c 2 ( a b
（4）两数和立方公式
(a b)3 a3 3 a2 b 3 a2b ；3b
b c ；) a c
２
（5）两数差立方公式
(a b)3 a3 3 a2 b 3 a2b ．b
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例 1 计算： ( x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) ．
,而高中这部分内容视为重难点。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦
定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
目
录
1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等
是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此
解法一： 原式 = (x2 1) ( x2 1)2 x2
= (x2 1)(x4 x2 1)
= x6 1． 解法二： 原式 = (x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)
= (x3 1)(x3 1)
= x6 1．
例 2 已知 a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求 a2 b2 c2 的值．
解： a2 b2 c2 (a b c) 2 2( ab bc ac) 8 ．
练习
1．填空：
（ 1） 1 a2
1 b2
1 (b
1 a) （
94
23
（ 2） (4m
)2 16m2 4m (
）；
)；
（ 3） (a 2b c) 2 a2 4b2 c2 (
)．
2．选择题：
（1）若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于 2
又 x≥３， 点 B 之间的距离 |PB|，即 |PB|＝|x－3|．
所以，不等式 ,
由|AB|＝2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧．
练习
x＜0，或 x＞4．
1．填空：
（1）若 x 5 ，则 x=_________；若 x
4 ，则 x=_________.
类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转
化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、
右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究 方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
①若 x 1，不等式可变为 ( x 1) ( x 3) 4 ，
即 2x 4 ＞4，解得 x＜0，
又 x＜1，
∴x＜0；
②若 1 x 2 ，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4 ，
即 1＞4，
∴不存在满足条件的 x；
③若 x 3，不等式可变为 (x 1) ( x 3) 4 ，
即 2x 4 ＞ 4， 解得 x＞4．
（
）
（ A ） m2
（B） 1 m2 4
（C） 1 m2 3
（2）不论 a ， b 为何实数，
2
a
2
b
2a
4b
8 的值
（D） 1 m2 16
（
）
（ A ）总是正数
（ B）总是负数
（ C）可以是零
（ D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如 a (a 0) 的代数式叫做 二次根式 ．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为