2020-2021深圳市南山中英文学校高三数学上期中试卷(附答案)

2020-2021深圳市南山中英文学校高三数学上期中试卷(附答案)
一、选择题
1．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
2．已知{}n a 为等差数列，若20
19
1<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S
B ．19S
C ．20S
D ．37S
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
4．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式
2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-1
D ．3 5．设函数
是定义在
上的单调函数，且对于任意正数
有
，已知
，若一个各项均为正数的数列满足
，其中
是数列
的前项和，则数列
中第
18项（ ）
A ．
B ．9
C ．18
D ．36
6．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A ．
33
23
B ．
53
23
C ．
3
23
D ．
83
23
7．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞
B ．()
22,-+∞
C ．[)3,-+∞
D ．)
22,⎡-+∞⎣
8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则14
1x y
++的最小值为（ ） A ．2
B ．
92 C ．
143
D ．5
9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a
=，
4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒
D ．60B =︒
10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4
11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)
()2
n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3
x y
+的最大值为 A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
二、填空题
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n n
n N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）
15．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则
3
2
a a =____. 16．已知数列是各项均不为
的等差数列，为其前项和，且满足(
)2
21n n a S n *
-=∈N
．若
不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．
17．数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．
18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，
，，
则22
x y +的取值范围是 .
19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．
20．已知实数x ，y 满足约束条件20
x y y x y x b -≥⎧⎪
≥⎨⎪≥-+⎩
，若2z x y =+的最小值为3，则实数
b =____ 三、解答题
21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{
n
S n
}的前10项和． 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知
2
4sin 4sin sin 22
A B
A B -+=（1）求角C 的大小；
（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.
23．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
24．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列
且b =
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．
25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：
（2
）若a =2b =．求ABC V 的面积．
26．已知数列{}n a 满足：1=1a ，(
)*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数
为偶数
设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--⋅
+⋅
=.故A 正确.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知条件判断出公差0d <，对20
19
1<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】
已知{}n a 为等差数列，若
20
191<-a a ，则201919
0a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，
19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，
则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】
本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出
,a b ，可得答案.
【详解】
由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().
因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ,
所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b
-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=1
2a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=
a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0
∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以
故选C
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边
HO 即旗杆的高度，最后可得速度．
【详解】
如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，
在HAB ∆中，
sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102
sin 45sin 30HB =
︒︒
，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，
353
4623
v =
=
（米/秒）． 故选B ． 【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
7．D
解析：D 【解析】
由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫
≥-+
⎪⎝⎭
对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦Q
当x 时，2x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
取得最大值m -∴≥-，m 的取
值范围是)
⎡-+∞⎣，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与14
1x y
++相乘，利用基本不等式可求出
141x y
++的最小值． 【详解】
1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，
则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++
=+++=++=+++…， 所以，
149
12
x y ++…， 当且仅当4111
x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当23
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
因此，141x y ++的最小值为92
， 故选B ．
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
将已知代入正弦定理可得1
sin 2
B =
，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】
解：60A =︒Q ，a
=4b =
由正弦定理得：sin 1
sin
2b A B a =
== a b >Q 60B ∴<︒
30B ∴=︒
故选C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
10．D
解析：D 【解析】
∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·
(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2
2
2
2132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝
⎭＋－＋，
∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()
()
120164201320162016201620162
2
a a a a S ++=
=
=.
很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.
11．B
【解析】【分析】
()()
11
22
n n n n
+-
=-
的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.
【详解】
(1)(1)
,(2)
22
n n n n
n n
+-
=-=≥
1
=
，所以
2
,(1),
n
n n a n
=≥=，选B.
【点睛】
给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2
n n n
a S S n
-
=-≥转化为
n
a的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式1
1
,1
{
,2
n
n n
S n
a
S S n
-
=
=
-≥
时，一定要注意分1,2
n n
=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
分析题意，取
3
x y
+
倒数进而求
3
x y
+
的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

【详解】
因为40
x y xy
+-=，化简可得4
x y xy
+=，左右两边同时除以xy得
14
1
y x
+=
求
3
x y
+
的最大值，即求
333
x y x y
+
=+的最小值
所以
14
1
3333
x y x y
y x
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
+⨯=+⨯+
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
414
3333
x y
y x
=+++
14
33
≥+
3≥，当且仅当
433x y y x
=时取等号 所以
3x y +的最大值为1
3
所以选A 【点睛】
本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题
13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
解析：5 【解析】 【分析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，
所以(1)(1)2,12
5(1)13,
13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨
+⋅=+⎩. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减
少.
14．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：
128
【解析】 【分析】
由1113()n n
n N a a *
+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭
⎩通项公式，则10a 可求
【详解】
111
3()n n
n N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()1011
1313228
n n n a a =+-=-∴= 故答案为：1
28
【点睛】
本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题
15．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：
12
【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出
()
()()2
211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出
3
2
a a 的值. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2
211131222S a S a S a ∴-=--，
整理得()()2
211321a a a a a a -=-⋅+-，即()(
)
2
2
11q q q -=-+-，化简得
220q q -=，
0q ≠Q ，解得12q =
，因此，32
12a q a ==. 故答案为：1
2
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
16．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题
解析：77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
得
821
n n n λ
-≤
+，即(8)(21)
n n n
λ-+≤， (8)(21)8
215n n y n n n
-+=
=--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-
当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤
=++，函数8
217y n n
=++，
当3n =时取得最小值为
773
，即77,3λ-≤所以77
3λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．
17．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
解析：1830 【解析】 【分析】
由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结
构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】
解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，
∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，
504997a a -=，
∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，
{}n a 的前60项和为1514
152(15816)18302
⨯⨯+⨯+
⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．
18．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5
【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22
x y +的最小值，为24
55
=，原点
到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为2
2x y +的最大值为13，因
此2
2x
y +的取值范围为4
[,13].5
【考点】 线性规划 【名师点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
19．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：
23
π 【解析】
由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571
cos 2352
C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为
2π
3
. 20．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处
取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主
解析：
9
4
【解析】
【分析】
画出可行域，由图象可知，z的最小值在直线2
y x
=与直线y x b
=-+的交点()
00
,
A x y
处取得，由
00
00
00
23
2
y x
y x
y x b
=-+
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-+
⎩
，解方程即可得结果.
【详解】
由已知作可行域如图所示，
2
z x y
=+化为2
y x z
=-+，
平移直线2
y x z
=-+
由图象可知，z的最小值在直线2
y x
=与直线y x b
=-+的交点()
00
,
A x y处取得，
由
00
00
00
23
2
y x
y x
y x b
=-+
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-+
⎩
，解得
00
339
,,
424
x y b
===,
故答案为
9
4
.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题
21．（1）6n a n =-；（2）552
-. 【解析】 【分析】
（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出
112n S n n -=，令n n S
c n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12
的等差数列，然后求
解数列的和即可． 【详解】
（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2
111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ，
又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；
而5154
5152
S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6．
（2）因为()211112
2
n n n n n
S na d ⋅--=+=
，所以112n S n n -=， 令n
n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12
的等差数列， 所以n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 【点睛】
本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22．（1）4
π
；（2. 【解析】 【分析】
（1）由二倍角的余弦公式把2
4sin
4sin sin 22
A B
A B -+=+的余弦公式求cos()A B +，由三角形三内角和定理可求得cos C ，从而求得角C ； （2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求E 边. 【详解】 试题分析：
（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+
化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=
，
故cos()2
A B +=-
，所以34A B π+=，
因为A B C π++=，所以4
C π
=.
（2）因为1sin 2S ab C ⊥=
，由6ABC S =V ，4b =，4
C π
=，所以a =，
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以c =. 【点睛】
本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.
23．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n
n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()
1233311n n -=⋅+++++L (
)11
231
12
n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n
n a =. （Ⅱ）由3n
n n b na n ==⋅，
得231323333n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()2
3
4
1
3132333133
n
n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()
231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦
∴()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
24．（12）
4
. 【解析】 【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值． 【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，
因为：
sin sin b a
a B A
=⇒=
2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；
ABC ∆∴的面积1
1sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；
即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤
；
即S 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 25．（1）4
A π
=（2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．
详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以sin cos 0A A -=
04A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 又因为()0,A π∈，所以4
A π
=
．
（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，
则2
20442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭
．
即2
160c -=．
解得c =-
c =
所以1242S =
⨯⨯=．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
26．（1）见解析（2）12
42
n n n S -+=- 【解析】 【分析】
（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；
（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】
（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+，
所以()1222n n b b ++=+，即
12
22
n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，
所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，1
232n n b -+=⋅，
11
332322n n n n n n
b --==+⋅，
所以02111222n n n n n S ---=
+++L 02
22222n n n S -=+
++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫
=-=-
+++ ⎪⎝⎭
L 11111221212
n n n --⎛
⎫⋅- ⎪⎝⎭
=-+- 1
2
42n n -+=-
． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题.。