高三导数压轴题题型归纳

高三导数压轴题题型归

纳

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导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

(1)解 f (x )＝e x

－ln(x ＋m )f ′(x )＝e x

－1x ＋m f ′(0)＝e 0

－10＋m

＝0m ＝1，

定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x

－1x ＋m ＝e x x ＋1－1

x ＋1

，

显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x

－

1

x ＋2

(x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －

1x ＋2(x >－2)h ′(x )＝e x ＋1x ＋2?2

>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13

2

<0，g ′(0)＝1－1

2>0，

所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12，0内，

设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －

1t ＋2＝0⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12

所以，e t

＝1

t ＋2

t ＋2＝e －t ，

当x ∈(－2，t )时，g ′(x )g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t

－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝1＋t 2

t ＋2

>0，

当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，

所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2

12

1)0()1(')(x x f e f x f x +

-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间；

(2)若b ax x x f ++≥

2

2

1)(，求b a )1(+的最大值。 （1）1211

()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+

令1x =得：(0)1f =

得：21

()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+

()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增

得：()f x 的解析式为21

()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+

得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

当x =max ()2

e F x =

当1,a b ==时，(1)a b +的最大值为

2

e 例3已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。 解（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=

-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,

1,22

b a b =⎧⎪

⎨-=-⎪⎩

解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1

f ()1x x x x

=

++，所以

22ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)

k x x

--(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤，由22

2

(1)(1)

'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。而

(1)0h = 故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得2

1

()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得

2

11

x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（

1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x

k

. （ii ）设0

244(1)0k ∆=-->，对称轴x=

1

11k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2

11x -h

（x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'

h （x ）>0,而h （1）=0，

故当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得

2

11

x - h （x ）<0,与题设矛盾。