导数压轴题题型(学生版)

导数压轴题题型

引例

【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性；

（II ）当时，证明对于任意的成立.

1. 高考命题回顾

例1.已知函数)f x =（a e 2x

+(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

()2

21

()ln ,R x f x a x x a x -=-+

∈()f x 1a =()3

()'2

f x f x +＞[]1,2x ∈

例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2

21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；

(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.

例3.（本小题满分12分）

已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++

=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{

()min (),()(0)h x f x g x x => ，

讨论h （x ）零点的个数

例4.(本小题满分13分)

已知常数,函数

(Ⅰ)讨论在区间

上的单调性;

(Ⅱ)若存在两个极值点且

求的取值范围.

例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例6已知函数)(x f 满足21

2

1)0()1(')(x x f e

f x f x +

-=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2

2

1)(，求b a )1(+的最大值。

例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

ln ()1a x b

f x x x

=

++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k

f x x x

>+-k

例8已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x.

(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

min ()f x 0<.

(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀

∈D ()()f x g x >恒成立，则有

[]min ()()0f x g x ->.

(10)若对11x I ∀

∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >.

若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.

（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，

若对11x I ∀

∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（）

③

1x e x ≥+ ④

1x e x -≥-

⑤ ln 1(1)12

x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数.

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于

点求证：.

a x x f -=2

)(1=a )()(x xf x g =]

1,0[0>a )(x f y =)))((,(111a x x f x P >l l x )0,(2x A a x x >>21

1 x x

例2（最值问题，两边分求）已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使

，求实数取值范围.

②交点与根的分布

例3（切线交点）已知函数在点处的切线方程

为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数

的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R 1

2

a ≤

()f x 2()2 4.g x x bx =-+1

4

a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥

b ()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈()()

1,1f 20y +=()f x []2,2-12,x x ()()12f x f x c -≤c ()()2,2M m m ≠()y f x =m