17年高考数学全国卷导数压轴题
(完整word版)2017年高考数学真题压轴题汇总,推荐文档

2017北京(19)(本小题13分)已知函数f (x )=e x cos x −x .(Ⅰ)求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.2017江苏20.(本小题满分16分)已知函数()321(0,)fx =x ax bx a b +++>∈R 有极值,且导函数()f x ,的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2) 证明:b ²>3a ;(3) 若()f x ,()fx , 这两个函数的所有极值之和不小于7-2,求a 的取值范围.2017全国Ⅰ卷(理)21.(12分)已知函数()f x =a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.2017全国Ⅱ卷(理)21.(12分)已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.(1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且230e()2f x --<<.2017全国Ⅲ卷(理)21.(12分)已知函数()1ln f x x a x =--.(1)若()0f x ≥,求a 的值;(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<,求m 的最小值.2017山东理科(20)(本小题满分13分) 已知函数()22cos f x x x =+,()()cos sin 22x g x e x x x =-+-,其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程;(Ⅱ)令()()()()h x g x af x a =-∈R ,讨论()h x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.2017天津(20)(本小题满分14分)设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数.(Ⅰ)求()g x 的单调区间;(Ⅱ)设00[1,)(,2]m x x ∈U ,函数0()()()()h x g x m x f m =--,求证:0()()0h m h x <; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ,且00[1,)(,2],p x x q∈U 满足041||p x q Aq -≥.2017浙江理科20.(本题满分15分)已知函数f (x )=(x e x -(12x ≥). (Ⅰ)求f (x )的导函数;(Ⅱ)求f(x)在区间1[+)2,上的取值范围.。
数学---全国卷Ⅰ2017届高考压轴卷(理)

全国卷Ⅰ2017届高考压轴卷理科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若集合2{|0},{|(0,1)},x M x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集,则下列选项错误的是( ) A .M N M = B .M N R = C .R M C N =∅D .R C M N R =2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称,且132z i =+,则12z z =( ) A .1251313i + B .1251313i -+ C .1251313i -- D .1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次,记事件A =“三个点数都不同”,B =“至少出现一个6点”,则条件概率P (A |B )是( ) A.B.C.D.4.曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积为( )A .⎠⎜⎛0π2 (sin x -cos x )d xB .2⎠⎜⎛0π4 (sin x -cos x )d xC .⎠⎜⎛0π2 (cos x -sin x )d xD .2⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x )d x5.按如图所示的程序框图,若输入110011a =,则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l 丈为10尺,该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为( )A .10000立方尺B .1 1000立方尺C .12000立方尺D .13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和,若3184=S S ,则168S S 等于( )A.91B.103C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2=++,那么( )A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =9.已知点P x y (,)满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点,则||AB 的最小值为( ) A .2B.C.D .410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若212||||8PF PF a ⋅=,且12PF F ∆的最小内角为30 ,则双曲线C 的离心率是( )A.B.2C.D. 311.数列{a n }的通项公式为a n =11(1)n n++,关于{a n }有如下命题: P 1:{a n }为先减后增数列;P 2:{a n }为递减数列;P 3:*,n n N a e ∀∈>;P 4:*,n n N a e ∃∈<其中正确的是( ) A.P 1,P 3B. P 1,P 4C. P 2,P 3D. P 2,P 412.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ,球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β,则tan()αβ+的值是( )A B. C. D.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上)13. (4的展开式中33x y 的系数为 .14.已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ,*N n ∈则数列}{n a 的前n 项和n S 为 ;15.已知过点)1,1(-M 的直线l 与椭圆13422=+y x 相交于B A ,两点,若点M 是AB 的中点,则直线l 的方程为 .16. 设数列{}n a 为等差数列,且1138a π=,若2()sin 22cos f x x x =+,记()n n b f a =,则数列{}n b 的前21项和为_________.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)四边形ABCD 如图所示,已知2===CD BC AB ,32=AD . (1)求C A cos cos 3-的值;(2)记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ,求2221S S +的最大值.18.(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?19.(本小题满分12分)如图1,等腰梯形ABCD 中,060,4,2=∠=∠==BCD ADC CD AB .取线段CD 中点E ,将A D E ∆沿AE 折起,如图2所示.(Ⅰ)当平面ADE 折到与底面ABCE 所成的二面角为090时,如图3所示,求此时二面角C BD A --平面角的余弦值.(Ⅱ)在将ADE ∆开始折起到与ABE ∆重合的过程中,求直线DC 与平面ABCE 所成角的正切值的取值范围.20.(本小题满分12分)已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C 的圆心到直线x -2y =0的距离的最小值为时,求p 的值.21.(本小题满分12分)11(,)A x y 22(,)B x y 12(0)x x ≠22(0)y px p =>O OA OBOA OB OA OB +=- C 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C已知函数()()()2ln 10af x x a x a=++>+. (I) 当a =1时,求证:()1111x f x e x +>++(其中e 为自然对数的底数)(II) 设函数()f x 存在两个极值点,并记作12,x x ,若()()12+4f x f x >,求正数a 的取值范围;请考生在(22)、(23)题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知点P 的直角坐标是(x ,y ).以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设点P 的极坐标是(ρ,θ),点Q 的极坐标是(ρ,θ+0θ),其中0θ是常数.设点Q 的平面直角坐标是(m ,n ). (I)用x ,y ,0θ表示m ,n ; (Ⅱ)若m ,n 满足mn =1,且0θ=4π,求点P 的直角坐标(x ,y )满足的方程.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知a ,b ,c >0,a +b +c =1.求证:(II)11133131312a b c++≥+++.参考答案一、选择题二、填空题13. 6 14.)12(3-n15 . 0743=--y x 16 . 21三、解答题17.解:(1)在ABD ∆中,A A AD AB AD AB BD cos 3816cos 2222-=⋅-+=, 在BCD ∆中,C C CD BC CD BC BD cos 88cos 2222-=⋅-+=, 所以1cos cos 3=-C A . (2)依题意A A AD AB S 222221cos 1212sin 41-=⋅=,C C CD BC S 222222cos 44sin 41-=⋅=, 所以C C C A S S 22222221cos 4)1(cos 416cos 44cos 1212-+-=-+-=+14)21(cos 812cos 8cos 822++-=+--=C C C ,因为4232<<-BD ,所以)16,3816(cos 882-∈=-BD C .解得13cos 1-<<-C ,所以142221≤+S S ,当21cos -=C 时取等号,即2221S S +的最大值为14.18.解:(1)依题意,p 1=P (40<X <80)=1050=0.2,p 2=P (80≤X ≤120)=3550=0.7,p 3=P (X >120)=550=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p =C 04(1-p 3)4+C 14(1-p 3)3p 3=⎝⎛⎭⎫9104+4×⎝⎛⎭⎫9103×⎝⎛⎭⎫110=0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y =5 000,E (Y )=5 000×1=5 000.②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X <80时,1台发电机运行,此时Y =5 000-800=4 200,因此P (Y =4 200)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当X ≥80时,2台发电机运行,此时Y =5 000×2=10 000,因此P (Y =10 000)=P (X ≥80)=p 2+p 3=0.8;由此得Y 的分布列如下:所以,E (Y )=4 200×0.2+③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X <80时,1台发电机运行,此时Y =5 000-1 600=3 400,因此P (Y =3 400)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,2台发电机运行,此时Y =5 000×2-800=9 200,因此P (Y =9 200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X >120时,3台发电机运行,此时Y =5 000×3=15 000,因此P (Y =15 000)=P (X >120)=p 3=0.1,由此得Y 的分布列如下所以,E (Y )=3 400×0.2+综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. 19.解:(Ⅰ)在图3中取O AE 中点,建立直角坐标系.(Ⅱ)在图2中作点于交F B D B D DF '', .20. (I)证明1:整理得:设M (x ,y )是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则即 整理得: 故线段是圆的直径22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=0MA MB ⋅=1212()()()()0x x x x y y y y --+--=221212()()0x y x x x y y y +-+-+=ABC证明3:整理得: (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C (x ,y ),则又因所以圆心的轨迹方程为 设圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则当y =p 时,d. 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2211222,2(0)y px y px p ==> 22121224y y x x p∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠ 2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+222y px p =-22221|(2)2|y p y d +-===22=5=2p ∴=设直线x -2y +m =0到直线x -2y =0的距离为,则 因为x -2y +2=0与无公共点,所以当x -2y -2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x -2y =0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C 的圆心为C (x ,y ),则圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则又因2552m =±222y px p =-222y px p =-522220(2)2(3)x y y px p --=⎧⎨=-⎩ 222220y py p p -+-=2244(22)0p p p ∴∆=--=02.p p >∴= 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩1212|()|x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==> 22121224y y x x p ∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅=21.解:(Ⅰ)当1=a 时,12)1ln()(+++=x x x f , 不等式11e 1)(1++>+x x f x 可化为1e 111)1ln(+>+++x x x ,所以 要证不等式11e 1)(1++>+x x f x ,即证1e 111)1ln(+>+++x x x ,即证x x x e11ln >+, 设x x x h 1ln )(+=,则22111)(xx x x x h -=-=', 在)1,0(上,h '(x )<0,h (x )是减函数;在)1∞+,(上,h '(x )>0,h (x )是增函数. 所以1)1()(=≥h x h ,设x x e1)(=ϕ,则)(x ϕ是减函数, 所以1)0()(=<ϕϕx ,所以)()(x h x <ϕ,即xx x e 11ln >+, 所以当1=a 时,不等式11e 1)(1++>+x x f x 成立.(Ⅱ)222))(1()2(])(1[211)(a x x a a x a x a x x f ++-+=+-⨯++=',(*) 当2≥a 时,0>x ,∴0))(1()2()(22>++-+='a x x a a x x f ,函数)(x f 在),0(+∞上是增函数; 当20<<a 时,由0)(='x f ,得0)2(2=-+a a x ,解得)2(1a a x --=(负值舍去),)2(2a a x -=,当2≥a 时,0)(>'x f ,函数)(x f 无极值点;要使函数)(x f 存在两个极值点,必有20<<a ,且极值点必为)2(1a a x --=,)2(2a a x -=,又由函数定义域知,1->x ,则有1)2(->--a a ,即1)2(<-a a ,化为0)1(2>-a ,所以1≠a ,所以,函数)(x f 存在两个极值点时,正数a 的取值范围是)2,1()1,0( .由(*)式可知,⎩⎨⎧-=⋅=+),2(,02121a a x x x x,212])1ln[()2(4])1ln[()()2(2)1ln())(()(2)]1)(1ln[(2)1ln(2)1ln()()(222222121212121211221221121+-+-=+-+-=++++++⋅+++=++++++++=+++++++=+a a a a a a a a x x a x x a x x a x x x x a x a x a x a x a x x ax ax a x a x x f x f不等式4)()(21>+x f x f 化为0212])1ln[(2>--+-a a , 令))2,1()1,0((1 ∈=-a t a ,所以)1,0()0,1( -∈t , 令22)ln()(2-+=tt t g ,)1,0()0,1( -∈t . 当)0,1(-∈t 时,22)ln(2)(-+-=t t t g ,02,0)ln(<<-tt ,所以0)(<t g ,不合题意; 当)1,0(∈t 时,22ln 2)(-+=t t t g ,0)1(2)1(212)(22<-=-⨯+⨯='t t t t t g ,所以 )(t g 在)1,0(是减函数,所以02121ln 2)1()(=-+=>g t g ,适合题意,即)2,1(∈a .综上,若4)()(21>+x f x f ,此时正数a 的取值范围是)2,1(.22.解:(Ⅰ)由题意知:⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 和⎩⎨⎧+=+=).sin(),cos(00θθρθθρn m即⎩⎨⎧+=-=,sin cos cos sin ,sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m 所以⎩⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos 0000θθθθy x n y x m(Ⅱ)由题意知,22,m x y n x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以()()22222x y x y -+=.整理得12222=-y x . 23.解:(1)证法一:2()()()()()3a b c a b c a b b c c a =+++≤++++++++=证法二:由柯西不等式得:2222222(111]3≤++++=,(2)证法一:4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+同理得4433,333131b cb c ≥-≥-++,以上三式相加得,1114()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++,11133131312a b c ∴++≥+++.证法二:由柯西不等式得:2111[(31)(31)(31)]()3131319a b c a b c ++++++++++≥= 11133131312a b c ∴++≥+++.。
2017年高考导数压轴题终极解答

四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用1. (2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧)已知函数()()0≠++=x b xax x f ,其中R b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式; ⑵讨论函数()x f 的单调性;⑶若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ,不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立,求b 的取值范围.解:⑴2()1af x x'=-,由导数的几何意义得(2)3f '=,于是8a =-.由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=,解得9b =.所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+.⑵2()1af x x'=-.当0a ≤时,显然()0f x '>(0x ≠),这时()f x 在(,0)-∞,(0,)+∞上内是增函数. 当0a >时,令()0f x '=,解得x a =±. 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:x (,)a -∞- a - (,0)a - (0,)a a (),a +∞ ()f x ' + 0 - - 0 + ()f x ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴()f x 在(,)a -∞-,(),a +∞内是增函数,在(,0)a -,(0,)+∞内是减函数.⑶由⑵知,()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者,对于任意的1[,2]2a ∈,不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立,当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩,即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩,对任意的1[,2]2a ∈成立.从而得74b ≤,所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞.恒成立之分离常数2. (分离常数)已知函数()ln 1,.af x x a R x=+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+,求函数()y f x =的单调区间;(2) 若0a >,且对(0,2]x e ∈时,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围.7654321-1-2-3-4-5-8-6-4-224681012A解: (1) ()ln 1,.af x x a R x =+-∈)(x f 定义域为),0(+∞,直线1y x =-+的斜率为1-, x x a x f 1)('2+-=,11)1('-=+-=a f ,2=∴a .所以22212)('xx x x x f -=+-=由20)('>>x x f 得; 由200)('<<<x x f 得所以函数()y f x =的单调增区间为)2(∞+,,减区间为(0,2). (2) 0a >,且对(0,2]x e ∈时,()0f x >恒成立ln 10(0,2]ax x e x+->∈在恒成立,即(ln 1)a x x >-. 设]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-=.]2,0(,ln 1ln 1)('e x x x x g ∈-=--=当10<<x 时, 0)('>x g ,为增函数)(x g 当e x 20≤<时, 0)('<x g ,为减函数)(x g .所以当1=x 时,函数)(x g 在]2,0(e x ∈上取到最大值,且11ln 1)1(=-=g 所以1)(≤x g ,所以1<a 所以实数a 的取值范围为),1(+∞. (法二)讨论法2()x af x x-'=,()f x 在(0,)a 上是减函数,在(,)a +∞上是增函数. 当a ≤2e 时,()f x ≥()1ln 10f a a =+->,解得1a >,∴1a <≤2e .当2a e >时,()(2)ln(2)102af x f e e e>=+->,解得2ln 2a e >,∴2a e >. 综上1a >.3. (2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数)已知函数12)(2---=ax x e x f x,(其中∈a R ,e 为自然对数的底数).(1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程;(2)当x ≥1时,若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. (改x ≥0时,)(x f ≥0恒成立.a ≤1)解:(1)当0=a 时,12)(2--=x e x f x,x e x f x -=∴)(',1)0(',0)0(==∴f f ,∴切线方程为x y =.(2)[方法一]x ≥1,≥≤,设,则, 设12)1()(2+--=x e x x xϕ,则0)1()('>-=x e x x ϕ,)(x ϕ∴在),1[+∞上为增函数,)(x ϕ∴≥021)1(>=ϕ,012)1()('22>+--=∴x x e x x g x ,x x e x g x12)(2--=∴在),1[+∞上为增函数, )(x g ∴≥23)1(-=e g ,a ∴≤23-e .[方法二]12)(2---=ax x e x f x,a x e x f x --=∴)(', 设a x e x h x --=)(,1)('-=x e x h ,x ≥0,1)('-=∴x e x h ≥0,a x e x h x --=∴)(在),1[+∞上为增函数, )(x h ∴≥a e h --=1)1(.又12)(2---=ax x e x f x ≥0恒成立,23)1(--=∴a e f ≥0,a ∴≤23-e , )(x h ∴≥01)1(>--=a e h ,0)('>--=∴a x e x f x ,12)(2---=ax x e x f x在),1[+∞上为增函数, 此时)(x f ≥23)1(--=a e f ≥0恒成立, a ∴≤23-e .(改x ≥0时,)(x f ≥0恒成立.a ≤1)解:先证明()g x 在(0,)+∞上是增函数,再由洛比达法则20012lim lim 11xx x x x e e x x →→---==,∴1 2) ( 2- - - = ∴ ax xe xf x a ⇔ 0 xx e x1 2 2 - - 2 2 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x e x x g x + - - = xx e x g x 1 2 ) ( 2 - - =()1g x >,∴a ≤1.(正常的讨论进行不了,除非系数调到二次项上2()12x af x e x x =---,分两种情况讨论可得a ≤1)4. (两边取对数的技巧)设函数1()(1(1)ln(1)f x x x x =>-++且0x ≠) (1)求()f x 的单调区间; (2)求()f x 的取值范围;(3)已知112(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立,求实数m 的取值范围。
2017山高考数学压轴试题(含答案)

2017山西高考数学压轴试题(含答案)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,I卷为选择题,卷II为非选择题。
本试卷满分150分,考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共30分)注意事项:1.答卷I前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上,考试结束,考试结束,监考人员将试卷和答题卡一并收回。
2.每题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
答在试卷上无效。
3.考生须独立完成答卷,不得讨论.一、选择题(本小题共12小题,每小题5分,共60分。
)1.设集合BAxxBxxA则},23|{},312|{等于()A.}21|{xx B.}03|{xxC.}213|{xxx或D.}1|{xx2.已知合集NCMNMUU则集合集合集合},5,4,1{},5,3,0{},5,4,3,2,1,0{=()A.{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D.{0,1,3,4,5}3.),()(是定义在xf上的可导的奇函数,且满足0)1(,0)(fxf x,则不等式)(xf的解为()A.)1,0()1,(B.),1()0,1(C.),1()1,(D.),0()0,1(4.已知qpxxqxp是则,65:,2|1:|2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设)(1xf 是函数)22(21)(xxxf的反函数,则使1)(1xf成立的x的取值范围为()A.),43(B.)43,(C.)2,43(D.),2[6.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数()d f l 的图像大 致是 ( )7.不等式0)12(|1| x x 的解集是( )A .),21[B .),21[]1,(C .),21[}1{D .]21,1[ 8.不等式2)1(62x x 的解集是( )A .]21,3[B .]3,21[C .]3,1()1,21[D .]3,1()1,21[9.已知集合0)(:},1,0,1{},,,{ b f Q P f Q c b a P 满足映射的映射的个数共有( )个( ) A .2B .4C .6D .910.设,log 21,log 21,log 2,,,22121c b a c b a cba且均为正数则( )A .c b aB .a b cC .b a cD .c a b11.设)12lg()(a x x f 是奇函数,则使x x f 的0)( 的取值范围是 ( )A .(-1,0)B .(0,1)C .(- ,0)D .(- ,0)),1(12.如果函数y=f(x)的图象如右图,那么导函数)(x f y 的图象可能是 ( )山西高考数学压轴试题第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 注意事项:1.答卷Ⅰ前,将密封线左侧的项目填空清楚。
2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)

2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)D答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】函数的图象,函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解:由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,则由导函数y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,故选D【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f(x)的图象可能2、【答案】A【考点】导数的运算,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解:函数f(x)=(x2+ax﹣1)e x﹣1,可得f′(x)=(2x+a)e x﹣1+(x2+ax﹣1)e x﹣1,x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)e x﹣1的极值点,可得:﹣4+a+(3﹣2a)=0.解得a=﹣1.可得f′(x)=(2x﹣1)e x﹣1+(x2﹣x﹣1)e x﹣1,=(x2+x﹣2)e x﹣1,函数的极值点为:x=﹣2,x=1,当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函数,x=1时,函数取得极小值:f(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1.故选:A.【分析】求出函数的导数,利用极值点,求出a,然后判断函数的单调性,求解函数的极小值即可.3、【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点与方程根的关系,函数的零点【解析】【解答】解:因为f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(e x﹣1+ )=0,所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a (e x﹣1+ )有唯一解,等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(e x﹣1+ )的图象只有一个交点.①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,且y=a(e x﹣1+ )在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(e x﹣1+ )的图象的最高点为B(1,2a),由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a (e x﹣1+ )的图象有两个交点,矛盾;③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,且y=a(e x﹣1+ )在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(e x﹣1+ )的图象的最低点为B(1,2a),由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a= ,符合条件;综上所述,a= ,故选:C.【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(e x﹣1+ )的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.二、解答题4、【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)=(x﹣)e﹣x (x≥ ),导数f′(x)=(1﹣••2)e﹣x﹣(x﹣)e﹣x=(1﹣x+ )e﹣x=(1﹣x)(1﹣)e﹣x;(Ⅱ)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣)e﹣x,可得f′(x)=0时,x=1或,当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,且x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0,则f(x)≥0.由f()= e ,f(1)=0,f()= e ,即有f(x)的最大值为 e ,最小值为f(1)=0.则f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围是[0, e ].【考点】简单复合函数的导数,利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】(Ⅰ)求出f(x)的导数,注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求;(Ⅱ)求出f(x)的导数,求得极值点,讨论当<x <1时,当1<x<时,当x>时,f(x)的单调性,判断f(x)≥0,计算f(),f(1),f(),即可得到所求取值范围.5、【答案】解:(Ⅰ)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x ﹣2sinx,∴f′(π)=2π.∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:y﹣(π2﹣2)=2π(x﹣π).化为:2πx﹣y﹣π2﹣2=0.(Ⅱ)h(x)=g (x)﹣a f(x)=e x(cosx﹣sinx+2x ﹣2)﹣a(x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2)+e x(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)=2(x﹣sinx)(e x﹣a)=2(x﹣sinx)(e x﹣e lna).令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.(i)a≤0时,e x﹣a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.(ii)a>0时,令h′(x)=2(x﹣sinx)(e x﹣e lna)=0.解得x1=lna,x2=0.①0<a<1时,x∈(﹣∞,lna)时,e x﹣e lna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;x∈(lna,0)时,e x﹣e lna>0,h′(x)<0,函数h (x)单调递减;x∈(0,+∞)时,e x﹣e lna>0,h′(x)>0,函数h (x)单调递增.∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h (x)在R上单调递增.③1<a时,lna>0,x∈(﹣∞,0)时,e x﹣e lna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;x∈(0,lna)时,e x﹣e lna<0,h′(x)<0,函数h (x)单调递减;x∈(lna,+∞)时,e x﹣e lna>0,h′(x)>0,函数h (x)单调递增.∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].综上所述:a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.0<a<1时,函数h(x)在x∈(﹣∞,lna)是单调递增;函数h(x)在x∈(lna,0)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna 时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.a>1时,函数h(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].【考点】导数的加法与减法法则,导数的乘法与除法法则,函数的单调性与导数的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(Ⅰ)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x ﹣2sinx,可得f′(π)=2π即为切线的斜率,利用点斜式即可得出切线方程.(Ⅱ)h(x)=g (x)﹣a f(x)=e x(cosx﹣sinx+2x ﹣2)﹣a(x2+2cosx),可得h′(x)=2(x﹣sinx)(e x﹣a)=2(x﹣sinx)(e x﹣e lna).令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,可得函数u(x)在R上单调递增.由u(0)=0,可得x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.对a分类讨论:a≤0时,0<a<1时,当a=1时,a>1时,利用导数研究函数的单调性极值即可得出.6、【答案】(1)解:函数f(x)=e x cosx﹣x的导数为f′(x)=e x(cosx﹣sinx)﹣1,可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(2)解:函数f(x)=e x cosx﹣x的导数为f′(x)=e x (cosx﹣sinx)﹣1,令g(x)=e x(cosx﹣sinx)﹣1,则g(x)的导数为g′(x)=e x(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2e x•sinx,当x∈[0,],可得g′(x)=﹣2e x•sinx≤0,即有g(x)在[0,]递减,可得g(x)≤g(0)=0,则f(x)在[0,]递减,即有函数f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1;最小值为f()=e cos ﹣=﹣.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1.)求出f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求方程;(2.)求出f(x)的导数,再令g(x)=f′(x),求出g(x)的导数,可得g(x)在区间[0,]的单调性,即可得到f(x)的单调性,进而得到f(x)的最值.7、【答案】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x= .当x变化时,g′(x),g (x)的变化情况如下表:x (﹣∞,﹣(﹣1,)(,+∞)1)g′(x)+ ﹣+g(x)↗↘↗所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0, 2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0, 2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0, 2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0, 2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.所以,h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m= ,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0, 2]时,h(x)在区间(x0, m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),于是| ﹣x0|= ≥ = .因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.所以| ﹣x0|≥ .所以,只要取A=g(2),就有| ﹣x0|≥ .【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,不等式的证明,函数的零点【解析】【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),推出h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),求出导函数H′1(x)利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m= ,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,当m∈(x0, 2]时,通过h(x)的零点.转化推出| ﹣x0|= ≥ =.推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出结果.8、【答案】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+ ﹣+1=0,所以b= + (a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b>0,即a2﹣+ >0,解得a>3,所以b= + (a>3).(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a= ﹣+ = (4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1, x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2= ,x1x2= ,所以f(x 1)+f(x2)= + +a(+ )+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2= ﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【考点】导数的运算,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】(Ⅰ)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b= +(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a= ﹣+ = (4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣,因式分解即得结论.9、【答案】(1)解:由f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)e x﹣1,当a=0时,f′(x)=2e x﹣1<0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a>0时,f′(x)=(2e x+1)(ae x﹣1)=2a(e x+ )(e x﹣),令f′(x)=0,解得:x=ln ,当f′(x)>0,解得:x>ln ,当f′(x)<0,解得:x<ln ,∴x∈(﹣∞,ln )时,f(x)单调递减,x∈(ln ,+∞)单调递增;当a<0时,f′(x)=2a(e x+ )(e x﹣)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a>0时,f(x)在(﹣∞,ln )是减函数,在(ln ,+∞)是增函数;(2)由f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x=0,有两个零点,由(1)可知:当a>0时,f(x)=0,有两个零点,则f(x)min=a +(a﹣2)﹣ln ,=a()+(a﹣2)× ﹣ln ,=1﹣﹣ln ,由f(x)min<0,则1﹣﹣ln <0,整理得:a﹣1+alna<0,设g(a)=alna+a﹣1,a>0,g′(a)=lna+1+1=lna+2,令g′(a)=0,解得:a=e﹣2,当a∈(0,e﹣2),g′(a)<0,g(a)单调递减,当a∈(e﹣2,+∞),g′(a)>0,g(a)单调递增,g(a)min=g(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1,由g(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴0<a<1,a的取值范围(0,1).【考点】导数的运算,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理【解析】【分析】(1.)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;(2.)由(1)可知:当a>0时才有个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min<0,g(a)=alna+a﹣1,a>0,求导,由g(a)min=g(e﹣2)=e﹣2lne ﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1,g(1)=0,即可求得a的取值范围.10、【答案】(Ⅰ)解:因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x (ax﹣a﹣lnx)(x>0),则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,因为h′(x)=a﹣,且当0<x<时h′(x)<0、当x>时h′(x)>0,所以h(x)min=h(),又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,所以=1,解得a=1;(Ⅱ)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2﹣,令t′(x)=0,解得:x= ,所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0, x2,且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0, x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,所以f(x 0)= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2x0﹣2 =x0﹣,由x 0<可知f(x0)<(x0﹣)max=﹣+ = ;由f′()<0可知x0<<,所以f(x)在(0,x 0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,所以f(x0)>f()=﹣+ = >;综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.【考点】导数的运算,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用,不等式的综合【解析】【分析】(Ⅰ)通过分析可知f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,进而利用h′(x)=a﹣可得h(x)min=h(),从而可得结论;(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,记t(x)=f′(x)=2x﹣2﹣lnx,解不等式可知t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而可知f′(x)=0存在两根x0,x2,利用f(x)必存在唯一极大值点x0及x0<可知f(x0)<,另一方面可知f(x0)>f()=﹣+ = >.11、【答案】解:(Ⅰ)因为函数f(x)=x﹣1﹣alnx,x>0,所以f′(x)=1﹣= ,且f(1)=0.所以当a≤0时f′(x)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以在(0,1)上f(x)<0,这与f(x)≥0矛盾;当a>0时令f′(x)=0,解得x=a,所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(a),又因为f(x)min=f(a)≥0,所以a=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当a=1时f(x)=x﹣1﹣lnx≥0,即lnx≤x﹣1,所以ln(x+1)≤x当且仅当x=0时取等号,所以ln(1+ )<,k∈N*,所以,k∈N*.一方面,因为+ +…+ =1﹣<1,所以,(1+ )(1+ )…(1+ )<e;另一方面,(1+ )(1+ )…(1+ )>(1+ )(1+ )(1+ )= >2,同时当n≥3时,(1+ )(1+ )…(1+ )∈(2,e).因为m为整数,且对于任意正整数n(1+ )(1+ )…(1+ )<m,所以m的最小值为3.【考点】函数的单调性与导数的关系,利用导数研究函数的单调性,等比数列的前n项和,反证法与放缩法【解析】【分析】(Ⅰ)通过对函数f(x)=x﹣1﹣alnx (x>0)求导,分a≤0、a>0两种情况考虑导函数f′(x)与0的大小关系可得结论;(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知lnx≤x﹣1,进而取特殊值可知ln(1+ )<,k∈N*.一方面利用等比数列的求和公式放缩可知(1+ )(1+ )…(1+ )<e;另一方面可知(1+ )(1+ )…(1+ )>2,且当n≥3时,(1+ )(1+ )…(1+ )∈(2,e).。
2017年全国2卷数学导数

2017年全国2卷数学导数
导数是数学中的重要概念,可以用于研究函数的性质,例如单调性、极值和最值等。
全国卷数学在考察导数时,一般会涉及以下几个方面的知识点:
1. 导数的定义和几何意义:导数描述的是函数在某一点的切线斜率,即函数在该点的变化率。
2. 导数的计算:包括基本初等函数的导数、复合函数的导数、幂函数的导数等。
3. 导数的应用:包括利用导数研究函数的单调性、极值和最值,以及利用导数解决实际问题等。
4. 导数的综合应用:包括导数与其他知识点的综合,例如导数与不等式、导数与数列等。
具体到2017年全国2卷数学导数部分,可能涉及的题目类型包括选择题、填空题和解答题。
题目难度通常为中等或较难,需要学生熟练掌握导数的相关知识和解题技巧。
2017全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)附答案解析

绝密★启封前2017全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分.考试时间为120分钟 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1.若集合2{|0},{|(0,1)},xM x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集,则下列选项错误的是 A .M N M =I B .M N R =U C .R M C N ϕ=I D .R C M N R =U 2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称,且132z i =+,则12z z =() A .1251313i + B .1251313i -+ C .1251313i -- D .1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率P (A|B )是( ) A. B.C.D.4.曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积为( )A .⎠⎜⎛0π2 (sin x -cos x )d x B .2⎠⎜⎛0π4 (sin x -cos x )d xC .⎠⎜⎛0π2 (cos x -sin x)d x D .2⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x)d x 5.按右图所示的程序框图,若输入110011a =,则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l 丈为10尺,该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为A .10000立方尺B .1 1000立方尺C .12000立方尺D .13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和,若3184=S S ,则168S S 等于 A.91B.103 C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且02=++OC OB OA ,那么(A ) AO OD =u u u r u u u r (B ) 2AO OD =u u u r u u u r (C ) 3AO OD =u u u r u u u r D 2AO OD =u u u r u u u r9.已知点P (x,y)满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点,则||AB 的最小值为( )A .2B .26C .25D .410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若212||||8PF PF a ⋅=,且12PF F ∆的最小内角为30o ,则双曲线C 的离心率是把a 的右数第i 位数字赋给t是 否输入6?i >1i i =+输出b0b =1i =12i b b t -=+⋅A.2B.2C.3D. 311数列{a n }的通项公式为an=11(1)n n++,关于{a n }有如下命题:P1:{a n }为先减后增数列;P2:{a n }为递减数列;P3:*,n n N a e ∀∈>P4:*,n n N a e ∃∈<其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ,球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β,则tan()αβ+的值是()AB.C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题—23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (4y x的展开式中33x y 的系数为。
2017全国卷Ⅱ高考压轴卷数学(文)附答案解析

绝密★启封前2017全国卷Ⅱ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1.已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于(A )[1,4)- (B )(2,3] (C )(2,3) (D )(1,4)-2.已知i z i 32)33(-=⋅+(i 是虚数单位),那么复数z 对应的点位于复平面内的 (A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限3.若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-,则m =() A .12 B .2 C .-2 D .12- 4.甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包,金额为三个1元,一个5元,则甲、乙的红包金额不相等的概率为() (A)14(B)12(C)13(D)345.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=()()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -76.下列函数中,与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是()A .ln(y x =B .2y x = C .tan y x =D .xy e =aa(7)若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为(mod )N n m ≡,例如的“孙子104(mod 6)≡,如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中定理”的某一环节,执行该框图,输入2a =,3b =,5c =,则输出的N =()(A)6 (B)9 (C)12 (D)218.已知函数,且f (a )=-3,则f (6-a )=(A )-74(B )-54(C )-34(D )-149.设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =(A )-5 (B )3 (C )-5或3 (D )5或-310.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,其五个顶点都在同一球面上,若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(1+,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π11.直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点,斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是()A .e >2B.1<e <3C.e >5D.1<e <512.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ,若l 也与函数ln y x =,)1,0(∈x 的图象相切,则0x 必满足()A .012x <<0 B .012x <<1 C .2220<<x D0x <第Ⅱ卷注意事项:须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
全国卷Ⅰ2017高考数学压轴卷理20170511012

2017全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分.考试时间为120分钟 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1.若集合2{|0},{|(0,1)},x M x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集,则下列选项错误的是 A .MN M =B .MN R =C .R MC N ϕ=D .R C MN R =2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称,且132z i =+,则12z z =() A .1251313i + B .1251313i -+ C .1251313i -- D .1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率P (A|B )是( ) A. B.C.D.4.曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积为( )A .⎠⎜⎛0π2 (sin x -cos x )d xB .2⎠⎜⎛0π4(sin x -cos x )d x C .⎠⎜⎛0π2 (cos x -sin x)d x D .2⎠⎜⎛0π4(cos x -sin x)d x 5.按右图所示的程序框图,若输入110011a =,则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l 丈为10尺,该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为 A .10000立方尺 B .1 1000立方尺 C .12000立方尺D .13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和,若3184=S S ,则168S S 等于A.91 B.103C.31D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2=++,那么 (A ) AO OD = (B ) 2AO OD =(C ) 3AO OD = D 2AO OD =9.已知点P (x,y)满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点,则||AB 的最小值为( )A .2B .C .D .410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若212||||8PF PF a ⋅=,且12PF F ∆的最小内角为30,则双曲线C 的离心率是B.2D. 311数列{a n }的通项公式为an=11(1)n n++,关于{a n }有如下命题: P1:{a n }为先减后增数列;P2:{a n }为递减数列; P3:*,n n N a e ∀∈>P4:*,n n N a e ∃∈<其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ,球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β,则tan()αβ+的值是()AB.C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题—23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上)13. (4的展开式中33x y 的系数为。
名师讲解:2017年高考数学最难压轴题,难倒了99%的学霸!

名师讲解:2017年高考数学最难压轴题,难倒了99%的学霸!很多学生在做数学压轴题时,都会下意识的想要放弃。
今天,小编就来总结一下2017年高考最难的天津高考理科数学压轴题+详细答案解析,看了这道题,其他压轴题都是小菜一碟!这道题是2017年天津高考理科数学的压轴题,此题一出,难倒无数学霸!小编来分析下这道题为什么难:1、这道题的本质是有理数对无理数的逼近。
题目告诉我们,有理数对整系数多项式根的逼近是做不到“完美”的,究其深层原因,简单理解就是整系数代表着一定的离散性。
所以说,这道题的基础是远远超出高中生知识范围的。
2、就技巧而言,我们不难发现问题的关键其实在于多项式的整系数,这与高中生早已司空见惯的,用来求导的多项式函数有很大的差别,而猜题的想法,构造不等式的想法,每个都是高中生很难完成的逻辑跳跃。
所以,这道题即使是对于高中理科数学学霸,也是几乎不可能完成的难题!现在,咱们来看看这道题的解答:如此复杂的答案解析,真有人做得出来?!不过话说回来,小编还是建议大家在做高考数学最后一道题时,还是要放稳心态,多拿一分是一分,所谓“多拿一分,赶超万人”,为什么非要放弃呢?接下来,小编为大家推荐一些畅销的高中数学教辅书,有兴趣的可以看看。
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2017-2019年高考真题导数压轴题全集(含详细解析)

2017-2019年高考真题导数压轴题全集(含详细解析)1.(2019•全国)已知函数f(x)(x2﹣ax).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间[0,2]的最小值为,求a.2.(2019•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=2x3﹣ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为﹣1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.3.(2019•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=2x3﹣ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M﹣m的取值范围.4.(2019•浙江)已知实数a≠0,设函数f(x)=alnx,x>0.(Ⅰ)当a时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)对任意x∈[,+∞)均有f(x),求a的取值范围.注:e=2.71828…为自然对数的底数.5.(2019•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=(x﹣1)lnx﹣x﹣1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.6.(2019•江苏)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M.7.(2019•天津)设函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)e x,其中a∈R.(Ⅰ)若a≤0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若0<a<,(i)证明f(x)恰有两个零点;(ii)设x0为f(x)的极值点,x1为f(x)的零点,且x1>x0,证明3x0﹣x1>2.8.(2019•天津)设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[,]时,证明f(x)+g(x)(x)≥0;(Ⅲ)设x n为函数u(x)=f(x)﹣1在区间(2nπ ,2nπ )内的零点,其中n∈N,证明2nπ x n<.9.(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=2sin x﹣x cos x﹣x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.10.(2019•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=lnx.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e x的切线.11.(2019•北京)已知函数f(x)x3﹣x2+x.(Ⅰ)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)当x∈[﹣2,4]时,求证:x﹣6≤f(x)≤x;(Ⅲ)设F(x)=|f(x)﹣(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[﹣2,4]上的最大值为M (a).当M(a)最小时,求a的值.12.(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=sin x﹣ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间(﹣1,)存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.13.(2018•北京)设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.14.(2018•北京)设函数f(x)=[ax2﹣(3a+1)x+3a+2]e x.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.15.(2018•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.16.(2018•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae x﹣lnx﹣1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a时,f(x)≥0.17.(2018•新课标Ⅲ)已知函数f(x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.18.(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=e x﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.19.(2018•浙江)已知函数f(x)lnx.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.20.(2018•天津)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2);(Ⅲ)证明当a时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.21.(2018•江苏)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S 点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x).对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.22.(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)x3﹣a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.23.(2018•新课标Ⅰ)已知函数f(x)x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a﹣2.24.(2017•全国)已知函数f(x)=ax3﹣3(a+1)x2+12x.(1)当a>0时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)当a≤0时,讨论方程f(x)=0实根的个数.25.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.26.(2017•天津)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|x0|.27.(2017•新课标Ⅱ)设函数f(x)=(1﹣x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.28.(2017•山东)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x﹣sin x+2x﹣2),其中e≈2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;(Ⅱ)令h(x)=g(x)﹣af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.29.(2017•天津)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=e x f(x).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.30.(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于,求实数a的取值范围.31.(2017•北京)已知函数f(x)=e x cos x﹣x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.32.(2017•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.33.(2017•浙江)已知函数f(x)=(x)e﹣x(x).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.34.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)2.35.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.36.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1)(1)…(1)<m,求m的最小值.37.(2017•山东)已知函数f(x)x3ax2,a∈R,(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cos x﹣sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.38.(2016•山东)设f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求正实数a的取值范围.39.(2016•天津)设函数f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.40.(2016•新课标Ⅲ)设函数f(x)=lnx﹣x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>c x.41.(2016•北京)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.42.(2016•新课标Ⅲ)设函数f(x)=a cos2x+(a﹣1)(cos x+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.43.(2016•山东)已知f(x)=a(x﹣lnx),a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)对于任意的x∈[1,2]成立.44.(2016•四川)设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x),其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.45.(2016•江苏)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,求ab的值.46.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.47.(2016•新课标Ⅱ)(Ⅰ)讨论函数f(x)e x的单调性,并证明当x>0时,(x﹣2)e x+x+2>0;(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.48.(2016•北京)设函数f(x)=xe a﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间.49.(2016•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.50.(2016•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.2017-2019年高考真题导数压轴题全集(含详细解析)参考答案与试题解析一.解答题(共50小题)1.(2019•全国)已知函数f(x)(x2﹣ax).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间[0,2]的最小值为,求a.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)(x2﹣x),则f'(x)(x≥0),令f'(x)=0,则x,∴当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.∴f(x)的单调递减区间为,,单调递增区间为,;(2)f'(x)(0≤x≤2),令f'(x)=0,则x,当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在[0,2]上单调递增,∴,不符合条件;当<时,<,则当0<x<时,f'(x)<0;当<<时,f(x)>0,∴f(x)在,上单调递减,在,上单调递增,∴,∴a,符合条件;当a>时,>,则当0<x<2时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,2)上单调递减,∴,∴a,不符合条件.∴f(x)在区间[0,2]的最小值为,a的值为.2.(2019•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=2x3﹣ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为﹣1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)f′(x)=6x2﹣2ax=6x(x).令f′(x)=6x(x)=0,解得x=0,或.①a=0时,f′(x)=6x2≥0,函数f(x)在R上单调递增.②a>0时,函数f(x)在(﹣∞,0),(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减.③a<0时,函数f(x)在(﹣∞,),(0,+∞)上单调递增,在(,0)上单调递减.(2)由(1)可得:①a≤0时,函数f(x)在[0,1]上单调递增.则f(0)=b=﹣1,f(1)=2﹣a+b=1,解得b=﹣1,a=0,满足条件.②a>0时,函数f(x)在[0,]上单调递减.1,即a≥3时,函数f(x)在[0,1]上单调递减.则f(0)=b=1,f(1)=2﹣a+b =﹣1,解得b=1,a=4,满足条件.③0<<1,即0<a<3时,函数f(x)在[0,)上单调递减,在(,1]上单调递增.则最小值f()a b=﹣1,化为:b=﹣1.而f(0)=b,f(1)=2﹣a+b,∴最大值为b或2﹣a+b.若:b=﹣1,b=1,解得a=3>3,矛盾,舍去.若:b=﹣1,2﹣a+b=1,解得a=±3,或0,矛盾,舍去.综上可得:存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为﹣1且最大值为1.a,b的所有值为:,或.3.(2019•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=2x3﹣ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M﹣m的取值范围.【解答】解:(1)f′(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),令f′(x)=0,得x=0或x.若a>0,则当x∈(﹣∞,0)∪(,)时,f′(x)>0;当x∈(0,)时,f′(x)<0.故f(x)在(﹣∞,0),(,)上单调递增,在(0,)上单调递减;若a=0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;若a<0,则当x∈(﹣∞,)∪(0,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(,0)时,f′(x)<0.故f(x)在(﹣∞,),(0,+∞)上单调递增,在(,0)上单调递减;(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增,∴f(x)在区间[0,1]的最小值为,最大值为f(0)=2或f(1)=4﹣a.于是,m2,M,<<,<.∴M﹣m,<<,<.当0<a<2时,可知2﹣a单调递减,∴M﹣m的取值范围是(,);当2≤a<3时,单调递增,∴M﹣m的取值范围是[,1).综上,M﹣m的取值范围[,2).4.(2019•浙江)已知实数a≠0,设函数f(x)=alnx,x>0.(Ⅰ)当a时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)对任意x∈[,+∞)均有f(x),求a的取值范围.注:e=2.71828…为自然对数的底数.【解答】解:(1)当a时,f(x),x>0,f′(x),∴函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由f(1),得0<a,当0<a时,f(x),等价于2lnx≥0,令t,则t,。
2017全国卷Ⅱ高考压轴卷数学(理)附答案解析

绝密★启封前2017全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈,则A B =()A .[]0,2B .[]1,2-C .(,2]-∞D .[0,)+∞ 2.复数()20173z i i i =-+(为虚数单位),则复数的共轭复数为( )A .2i -B .2i +C .4i -D .4i +3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,则3次摸球所得总分为5的概率为( )A.57. B .67 C 38 D.584.已知向量AB →与向量a =(1,-2)的夹角为π,|AB →|=25,点A 的坐标为(3,-4),则点B 的坐标为( )A .(1,0)B .(0,1)C .(5,-8)D .(-8,5)5.已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4,cos 3π4落在角θ的终边上,且θ∈10,2π),则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π46.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin 22.5°≈513)A .600立方寸B .610立方寸C .620立方寸D .633立方寸7.已知MOD 函数是一个求余函数,记MOD()m n ,表示m 除以n 的余数,例如MOD(83)2=,.右图是某个算法的程序框图,若输入m 的值为48时,则输出的值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 118.已知由不等式0,0,2,40x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7,则的值()A .-1或3B .1-C .3-D .39.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =P ,若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -,则双曲线的离心率是A. 12B. 522C. 312D. 3210.设B A ,在圆122=+y x 上运动,且3=AB ,点P 在直线01243=-+y x上运动,则+的最小值为 A . B .517 C .519D . 11已知球错误!未找到引用源。
2017全国卷Ⅲ高考压轴卷 数学(理) Word版含解析

绝密★启封前2017全国卷Ⅲ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1.设集合M={2|230,x x x x Z --<∈},则集合M 的真子集个数为 A .8 B .7 C . 4 D .32.若复数z 满足i iz 21+=,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点的坐标为() A.)1,2(- B.)1,2(- C.)1,2( D )1,2(--3.若2cos()3cos 3πθθ-=,则tan θ=DA23B.32C.33-D.233 4.在长为3m 的线段AB 上任取一点P ,则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等() A .13 B.23 C .12 D .145.已知点A (1,2),B (3,4),C (—2,0),D (—3,3),则向量AB 在向量CD 上的投影为()A .5102 B .5102- C .510- D .5106.函数2()(1)cos 1xf x x e=-+图象的大致形状是( )7.设12,F F 是双曲线22:19x y C m-=的两个焦点,点P 在C 上,且120PF PF ⋅=,若抛物线216y x =的准线经过双曲线C 的一个焦点,则12||||PF PF ⋅的值等于() A .2 B .6 C .14 D .168.若[]x 表示不超过x 的最大整数,则下面的程序框图运行之后输出的结果为() A .48920B .49660C .49800D .518679. 定义在R 上的函数()f x 满足()2log (4),0(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩,则()3f 的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2(10)榫卯(sŭn măo )是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图,其体积为 (A )21 (B )22.5 (C )23.5 (D )2511.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称,且1212y y =-,则m 的值等于() A .34 B .54 C. 74 D .9412.设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为()()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+第Ⅱ卷注意事项:须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。