导数压轴题题型(学生版)

导数压轴题题型

引例

【2016高考山东理数】(本小题满分13分)

已知()221()ln ,R x f x a x x a x

-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当1a =时，证明()3()'2

f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.

1. 高考命题回顾

例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2

21x f x x e a x =-+-有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.

例3.（本小题满分12分）

已知函数f （x ）=31,()ln 4

x ax g x x ++=-

(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数

例4.(本小题满分13分)

已知常数0a >,函数2()ln(1).2

x f x ax x =+-

+ (Ⅰ)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性;

(Ⅱ)若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围.

例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例6已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e

f x f x +-=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间；

(2)若b ax x x f ++≥22

1)(，求b a )1(+的最大值。

例7已知函数ln ()1a x

b

f x x x =++，

曲

线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x

>

+-，求k 的取值范围。

例8已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x .

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数

a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.

例2（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1a f x x ax x

-=-+-()a ∈R . ⑴当12

a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14a =

时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

②交点与根的分布

例3（切线交点）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=．

⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例4（综合应用）已知函数

.23)32ln()(2x x x f -

+=

⑴求f (x )在[0,1]上的极值； ⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值

范围；

⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.

③不等式证明

例5 (变形构造法)已知函数1)(+=x a x ϕ，a 为正常数．

⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a

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=，求函数)(x f 的单调增区间； ⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，

线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．

⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，

求a 的取值范围．

例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .

（1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当1=a 时，

设函数x x f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证

42121)(x x x x +<