2004年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
04年4月全国自学考试高等数学(工本)统一考试试题及答案
-第 1 页 共 6 页-2004年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题（课程代码 0023）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数f(x)=xx1x 37-+-的定义域是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-37,B ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞37,0)0,(C ．)37,0()0,( -∞D ．)37,(-∞2．设是，则数列}a {1n 2n1a n n +-=（ ） A ．单调减而下有界 B ．单调减而下无界 C ．单调增而下有界 D ．单调增而下无界3．极限=---→21x )1x ()1x cos(1lim （ ） A ．21- B ．0 C ．1D ．21 4．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0x ,20x 22x1，在x=0处（ ）A ．左连续B ．右连续C ．连续D ．前三个均不成立5．设函数f(x)在x 0处可导，则极限=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （ ） A ．)x (f 20' B ．)x (f 210'C ．)x (f 0'D ．06．设函数=''+-=⎰)(,11)(x f xxx 则（ ） A ．3)x 1(4+B ．2)x 1(4+--第 2 页 共 6 页-C ．3)x 1(x 2+- D ．3)x 1(x 2+7．下列结论正确的是（ ） A ．函数y=x 2在[)+∞,0上是单调减函数B ．x=0是曲线y=x 3的拐点C ．直线y=0是曲线y=|x|在点（0，0）处的切线D ．.x=0是函数y=x 3的驻点8．不定积分⎰=-dx x311（ ） A ．C x 31+-- B ．C x 31+- C ．C x 3123+--D ．C x 3132+--9．定积分⎰=+10dx x11（ ） A ．2+22lnB ．2lnC ．2-ln 4D ．1-ln 210．曲线2y 2x -=和x=|y|所围成的平面图形面积为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．23π 11．在下列方程中其图形是圆柱面的方程是（ ） A ．x 2+y 2-3=0 B ．x 2+y 2+z 2-3=0 C ．x 2+y 2-z 2-3=0 D ．x 2+y 2-z-3=0 12．与平面3x-4y-5z=0平行的平面方程为（ ） A ．6x-8y+10z-9=0 B ．3x+4y-5z-8=0 C ．6x-8y-10z-7=0 D ．3x-4y+5z-10=0 13．设z=f(x,y)在（x 0,y 0）处的偏导数存在，则=∂∂)y ,x (00xz（ ）A ．x)y ,x (f )y y ,x x (f lim00000x ∆-∆+∆+→∆B ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 000x ∆-∆+→∆C ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 0x ∆-∆+→∆D ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 00000x ∆-∆+→∆14．函数z=(6x-x 2)(4y-y 2)的驻点个数为（ ）-第 3 页 共 6 页-A ．2B ．3C ．4D ．515．设积分区域B 是连结三点（1,1）,（4,1），（4,2）的线段所围成的三角形，则⎰⎰=σBd 4（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1216．设G 是由坐标面和平面x+y+z=1所围成的区域，则三重积分⎰⎰⎰Gdv 化为累积分为（ ） A ．⎰⎰⎰11010dz dy dxB ．⎰⎰⎰--yx 101010dz dxdy C ．⎰⎰⎰---yx 10x 101dz dydxD ．⎰⎰⎰---xy 10z 1010dz dxdy17．微分方程是x sin xydx dy =+（ ） A ．可分离变量的微分方程 B ．齐次微分方程 C ．一阶线性齐次微分方程 D ．一阶线性非齐次微分方程 18．下列函数中，是微分方程0y 3y =-'的通解的是（ ） A ．y=e -3x+CB ．y=Ce 3xC ．y=Ce -3xD ．y=Ce x+319．设a 是非零常数，则当|q|<1时，级数∑∞=-0n n naq )1(收敛于（ ） A ．q 11- B ．q 11+ C ．q1a +D ．q1a - 20．幂级数∑∞=-1n nn )1x (的收敛区间是（ ）A ．（-1,1）B ．[)2,0C ．[)1,1-D ．(0,2)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
成考专升本《高等数学一》章节试题及答案
成考专升本《高等数学一》章节试题及答案极限、连续[单选题]()。
Ay=-xBy=x2Cy=-x2Dy=cosx参考答案：A[单选题]曲线y=x3-6x+2的拐点坐标()。
A(0，4)B(0，2)C(0，3)D(0，-2)参考答案：B[单选题]()。
Acsc2xB-csc2xCsec2xD-sec2x参考答案：B[单选题]()。
A较高阶无穷小量B较低阶无穷小量C等价无穷小量D同阶但不等价无穷小量参考答案：C[单选题]()。
A2B1C0D-1参考答案：C[单选题]设f(x)在点x0的某邻域内有定义，()。
ABC-1D2参考答案：A[单选题]设f(x)有连续导函数，()。
ABCD参考答案：A[单选题]()。
A低阶无穷小B等价无穷小C同阶但不等价无穷小D高阶无穷小参考答案：D[单选题]()。
A2B1CD0参考答案：D[单选题]函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的()。
A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分条件也非必要条件参考答案：B一元函数微分学[单选题]()。
ABCD参考答案：A[单选题]()。
ABCD参考答案：A[单选题]()。
A0B-1C-3D3参考答案：C[单选题]()。
ABCD参考答案：D[单选题]()。
A0BCD参考答案：A[单选题]()。
A高阶无穷小B低阶无穷小C同阶但不等价无穷小D等价无穷小参考答案：B[单选题]()。
A0BCD参考答案：C[单选题]()。
ABCD参考答案：D[单选题]()。
A1B2CD-1参考答案：C[单选题]()。
A2B1C0D-1参考答案：C空间解析几何[单选题]设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为()。
ABCD不能确定参考答案：B[单选题]方程x=z2表示的二次曲面是()。
A球面B椭圆抛物面C柱面D圆锥面参考答案：C[单选题]方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是()。
成人高考专升本(高等数学一)考试真题及答案
成人高考专升本(高等数学一)考试真题及答案-卷面总分：176分答题时间：120分钟试卷题量：35题一、单选题（共16题，共58分）1.当x→0时，sin(x^2+5x^3)与x^2比较是()A.较高阶无穷小量B.较低阶的无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析2.设y=x^-5+sinx，则y′等于()A.B.C.D.正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析3.若事件A与B互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于()A.0.3B.0.4C.0.2D.0.1正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析4.设函数y=2x+sinx,则y'=A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx正确答案：D您的答案：本题解析：暂无解析5.设函数y=e^x-2,则dy=A.B.D.正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析6.设函数y=(2+x)^3，则y'=A.（2+x）^2B.3(2+x)^2C.(2+x)^4D.3(2+x)^4正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析7.设函数y=3x+1,则y'=（）A.0B.1C.2D.3正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析8.设函数z=3x2y，则αz/αy=（）A.6yB.6xyC.3xD.3X^2正确答案：D您的答案：本题解析：暂无解析9.设y=x^4，则y'=（）A.B.C.D.正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析10.设y=x+inx,则dy=（）A.C.D.dx正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析11.设y+sinx，则y''=（）A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析12.在空间直角坐标系中，方程x^2+y^2=1表示的曲面是（）A.柱面B.球面C.锥面D.旋转抛物面正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析13.设z=x^2-3y，则dz=（）A.2xdx-3ydyB.x^2dx-3dyC.2xdx-3dyD.x^2dx-3ydy正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析14.微分方程y'=2y的通解为y=（）A.B.C.D.正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析15.设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的()A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.低阶无穷小量正确答案：D您的答案：本题解析：暂无解析16.函数f(x)=x^3-12x+1的单调减区间为()A.(-∞,+∞)B.(-∞,-2)C.(-2,2)D.(2,+∞)正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析二、填空题（共13题，共52分）17.设函数y=x3,则y/=（）正确答案：3x^2您的答案：18.设函数y=(x-3)^4,则dy=（）正确答案：4(x-3)^3dx您的答案：19.设函数y=sin(x-2)，则y"=（）正确答案：-sin(x-2)您的答案：20.过坐标原点且与直线（x-1）/3=(y+1)/2+(z-3)/-2垂直的平面方程为（）正确答案：3x+2y-2z=0您的答案：21.设函数x=3x+y2，则dz=（）正确答案：3dx+2ydy您的答案：22.微分方程y/=3x2的通解为y=（）正确答案：x^3+C您的答案：23.函数y=1/3x^3-x的单调减少区间为______.正确答案：(-1,1)您的答案：24.过点(1,-1,-2)且与平面2x-2y+3z=0垂直的直线方程为______.正确答案：您的答案：25.微分方程y'=x+1的通解为y=______.正确答案：您的答案：26.函数-e^-x是f(x)的一个原函数，则f(x)=（）正确答案：您的答案：27.函数y=x-e^x的极值点x=（）正确答案：0您的答案：28.设函数y=cos2x，求y″=（）正确答案：-4cos2x您的答案：29.设z=e^xy,则全微分dz=（）正确答案：您的答案：三、计算题（共13题，共52分）30.求曲线y=x^3-3x+5的拐点。
(整理)2004年数学一试题分析、详解和评注.
2004年数学一试题分析、详解和评注1【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .（2） 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。
【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
（3）【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd y d x x d y L]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[22⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】 令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dt dydty d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dydt y d ，解此方程，得通解为 .221221xc x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dx y d ax=++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++-（5）【分析】 可先用公式E A A A =*进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简。
2004数一真题答案解析PDF
2004数一真题答案解析PDF【题目】在学习和备考的过程中，对于历年真题的解析和理解是非常重要的。
特别是对于数学类考试，解析题目，学习解题方法，对于提升自己的数学能力起到关键的作用。
而2004年的数学一科真题，则成为了备考中重要的参考材料之一。
本文将通过对2004年数一真题的解析，解释其中的难点，分析解题思路，帮助读者更好地理解并掌握这部分知识。
首先，我们先来了解一下2004年数一真题的结构和内容。
这份考卷共有三道大题，涵盖了数学的各个领域，分别是代数几何、数列和数论。
每道大题中又细分了若干小题，共计30道小题。
题目难度适中，但蕴含的考点却非常丰富。
因此，理解并掌握这份试卷的解题思路是备考的重要一环。
首先，我们来看代数几何部分。
其中一道关于椭圆的题目可以说是相对难度较大的。
这道题目要求求出与直线y=4x+k交点横坐标为3的椭圆的标准方程。
解决这道题目的关键在于对椭圆方程的掌握和理解。
我们知道，椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² =1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的横向和纵向的半径长度。
因此，我们可以将题目中的条件转化为等式形式，得到方程： (3-h)²/a² + (4(3)+k-h)²/b² =1。
根据题目要求可得， (3-h)²/a² + (4(3)+k-h)²/b² =1 变为 9/a² + (4(3)+k-h)²/b² =1。
通过此方程可将h的值消去，然后根据平行于x轴的直线与椭圆的交点横坐标为3得到 (4(3)+k)²/b² =1-9/a²。
完整的解题过程需要借助一些基本的代数运算和椭圆性质的理解，再进行进一步的推理和计算。
接下来，我们转到数列部分。
2004年数一真题中的数列部分一共有10道小题，涉及到了等差数列和等比数列。
成考高等数学(一)成人高考(专升本)试题及答案指导
成人高考成考高等数学(一)(专升本)自测试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列关于多元函数极值的论述中，正确的是：A. 若函数f(x, y)在点(a, b)的某一邻域内单调增加，则f(x, y)在点(a, b)处取得极小值。
B. 若函数f(x, y)在点(a, b)的某一邻域内单调减少，则f(x, y)在点(a, b)处取得极大值。
C. 若函数f(x, y)在点(a, b)的某一邻域内先增后减，则f(x, y)在点(a, b)处无极值。
D. 若函数f(x, y)在点(a, b)的某一邻域内先减后增，则f(x, y)在点(a, b)处取得极小值。
2、若函数 f(x) = 3x^2 - 4x + 1 在 x = a 上的导数为 4，则 a 的值是（）A. 1/3B. 1C. -1/3D. -13.以下哪个函数是偶函数？A.f(x) = x² - 3xB.f(x) = x³ + 2xC.f(x) = |x|D.f(x) = sin x4、函数y=In（1+x^2）的单调递增区间是：A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.（-∞，-1）和（1，+∞）D.（-1，1）5、设向量 u = (3, 4)，向量 v = (4, -3)，则 u 和 v 的点积是A. 0B. 25C. -25D. 56、设函数f(x)=mx3+nx2+(m+2n)x−1，其中m，n为实数。
若f(x)在x=1处取得极大值，求m+n的值。
A.-1B.0C.1D.27、已知等腰三角形的一条边长为2，另一边长为3，则它的周长等于（C）A. 9B. 10C. 7D. 88、判断下列方程的解集，其中正确的是（）A、x2 + x - 6 = 0的解集是 {-3, 2}B、x2 - 4x + 4 = 0的解集是 {1}C、2x2 - 5x + 2 = 0的解集是 {2, 1}9、函数f(x)={1xx≠02x=0的导数f′(0)为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在10、下列关于函数的单调性和一致性的说法中，正确的是( )A、单调性与一致性是一回事B、所有幂函数都是一致可微的C、函数在某个开区间上单调，则该函数在闭区间上也是单调的D、连续函数不一定有单调区间11、函数 y=sinx 的零点是 _____ 。
[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2004年
![[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2004年](https://img.taocdn.com/s3/m/662687c55a8102d277a22f33.png)
A．
B．ln|lnx|和2lnx
C．
D．
答案:C[解析] 对于每一组答案中的两个函数分别求导，结果一样的，那组答案即为所求．A显然不是，对于B，令lnx＞0，则令lnx＜0，则
C答案正确．
问题:13. 下列等式正确的是______
A．∫f'(x)dx=f(x)
A．
B．
C．
D．
答案:D[解析]
问题:16. 若z=exy，则dz|(1，2)=______
A.exy(ydx+xdy)
B.3e2
C.2e2dx+e2dy
D.0
答案:C[解析]
问题:17. 设f(x，y)=(x-4)2+y2，则点(4，0)______
A.不是驻点
B.是驻点但非极值点
C.极大值点
D.极小值点
四、计算题
(每小题5分，共40分)
问题:1. 计算
答案:[解析]
问题:2. 设y=y(x)是由方程x2ey+y2=1所确定的函数，求
答案:[解析] 令F(x，y)=x2ey+y2-1
Fx=2xey，Fy=x2ey+2y，
另外，也可以注意y是x的函数，方程x2ey+y2=1两边对x求导．2xey+x2eyy'+2y·y'=0，解得所以，
问题:3. 计算∫x3cosx2dx．:[解析]
问题:5. 设z=f(x+y，xy)可微，求全微分dz．
答案:[解析] 令u=x+y，v=xy，z=f(u，v)，du=dx+dy，dv=ydx+xdy，
成人专升本高等数学一真题2004年_真题(含答案与解析)-交互
成人专升本高等数学一真题2004年(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A二、填空题6.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:e7.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:8.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:19.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:10.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:11.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:12.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:213.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:14.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:15.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:三、解答题16.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 617.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 618.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 619.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 620.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 621.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 622.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 623.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 624.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 625.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 626.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1027.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1028.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 101。
2004—数一真题、标准答案及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为(2)已知f(e x) xxe ，且f(1)=0,则f(x)=(3)设L为正向圆周x22在第一象限中的部分，则曲线积分L xdy 2ydx的值为(4)欧拉方程x2d2ydx24x d^ 2y 0(x 0)的通解为•dx(5)2 1 设矩阵A 1 2矩阵，则(6)矩阵B满足ABA*2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X DX} =二、选择题(本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内)4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7)把x 0时的无穷小量X cost2dt,0 '2xtanX 30 si nt dt ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D)(8)设函数f(x)连续，且f (0)0,则存在0，使得(A) f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在( ,0)内单调减少•(C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0).(D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0).(9)设a n为正项级数，下列结论中正确的是n 1(A) 若lim na n=0，则级数na n收敛•n 1(B)若存在非零常数，使得lim na nn ，则级数a n发散•n 1阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?t t(10) 设f(x)为连续函数，F(t) 1 dy y f(x)dx ，则F ⑵等于 (A)2f(2).(B) f(2).(C) -(2).(D) 0.[](11) 设A 是3阶方阵，将 A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,贝U 满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) A 的列向量组线性相关, (B) A 的列向量组线性相关, (C) A 的行向量组线性相关, (D) A 的行向量组线性相关,(A) Cov( X 1,Y)2n(B) Cov(X 1,Y)2.(C)D(X 1 Y)n 2 2 (D)D(X 1Y) n 1nn(15) (本题满分 12分)设ea b e 2 ,证明ln 2 bIn 2a —2(b a)e(16) (本题满分 11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 (C) 若级数2a n 收敛，则lim nn0.(D)若级数a n 发散，则存在非零常数n 1，使得 lim na nn0 1 00 1 00 1 0 0 1 1 (A)1 0 0 . (B)1 0 1 . (C) 1 0 0 .(D)1 0 0 1 0 1 0 0 10 1 10 0 1的任意两个非零矩阵，则必有(12)设A,B 为满足AB=OB 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x}，则x 等于(A) U_.2(B) U .1I(C) u 」. ~2-(D) U 1(14)设随机变量X 1,X 2, 0.令Y 丄 X i ,则n i 1(13)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0,X n ( n 1)独立同分布，且其方差为飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?1F(x, )1x0, x 1,x 1,注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,数 x n 收敛.n 1(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)X 1X 2X n 0, 2x 1 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,并求出其通解9分)试问a 取何值时，该方程组有非零解, (21)(本题满分33的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论5(22)(本题满分9 分)求：(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布;(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为其中是曲面z 1(z 0)的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程x nnx 10，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根X n ,并证明当 1时，级(19)(本题满分 12 分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 22yzz 2 18 0确定的函数，求zz(x, y)的极值点和极值.设矩阵A 11A 是否可相似对角化.设A,B 为随机事件，且P(A) 右P(BA) 3‘P (AB)-，令XA发生, 0, A 不发生;Y 1, B 发生,0, B 不发生.(II ) X 和Y 的相关系数 XY -其中未知参数1,X!,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求: （I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.3 022004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为 y x 1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.1【详解】由y (Inx)1，得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1 (x 1)，即 y x 1.1【评注】本题也可先设切点为 (x 0,|n x 0)，曲线y=lnx 过此切点的导数为 y— 1，得x 0 1，x x 0x 0由此可知所求切线方程为 y0 1(x1)，即yx1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到xx1 2(2) 已知 f (e ) xe ，且 f(1)=0,则 f(x) = (In x).2【分析】 先求出f (X )的表达式，再积分即可.【详解】令e x t ，则x lnt ，于是有ln tr, ln xf (t)，即f (x)t x 积分得f(x)In x, 1 2dx (ln x) C .利用初始条件 f(1)=0,得C=0，故所求函数为 f(x)x 2丄仲x)2. 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分223 (3)设L 为正向圆周x y 2在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 2ydx 的值为 -【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分 2 2【详解】 正向圆周x y2在第一象限中的部分，可表示为x 、 2 cos , 小y -2sin ,：0222si n 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参于是Lxdy 2ydx o 2 [一 2 cos 2 cos2 2sin ■- 2 sin ]d9数法化为定积分计算即可【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x e t 化为常系数线性齐次微分方程即可【详解】令xe t ，则 dy dy dt e 电1 dydx dt dxdt x dtd 2y 1 dy 1 d 2y dt 1[d 2 x 2[dt y dy F dt ]dx 2x 2 dt x dt 2dx 代入原方程，整理得d 2y c dy2y 0，.2 3 - dtdt解此方程，得通解为y tqe c 2e2tC1C22・2x x【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x e t ，则欧拉方程【详解】 已知等式两边同时右乘 A ，得ABA *A 2BA *A A ，而 A 3，于是有3AB 6B A ，即(3A 6E)B A ，再两边取行列式，有3A 6E||B A 3，1而3A 6E 27,故所求行列式为 B(4)欧拉方程2d 2y x dx 24x2y 0(x 0)的通解为y 纟乌dx x x可化为2 axd 2y dx 2cy f (x)，2眷貉哼cy 讪.(5)设矩阵A2 1 01 2 0，矩阵B 满足ABA * 2BA * E ,其中A *为A 的伴随矩阵, 0 0 1E 是单位矩阵，则B【分析】可先用公式A *AA E 进行化简【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A ，一般均应先利用公式A A AA * AE 进行化简.(6)设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则P{X , DX } = 1 .e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可1【详解】 由题设，知DX 冷，于是一1XP{X DX} = P{X -}ie X dx【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算 二、选择题(本题共8小题，每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7 )把x0时的无穷小量Xcost 2dt,2xtan 、tdt,0 ':X 30 si nt dt ,使排在后面的是前(A)(B)(C)(D)【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可【详解】 lim — x 0 tan 一tdt lim 卫厂 x 0cost 2dt 0limtanx 2x 2cosx0，可排除 (C),(D)选项,【评注】 limx 0limx 0=-lim 4 x 0x3sint dt_0 ___________X 2 tan )t dt3 2sin x 2 ，可见 lim2x tanx是比低阶的无穷小量，故应选 (B).本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ,,分别与x n 进行比较，再确定相互的高低次序(8)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在0，使得 (A) f(x)在(0，)内单调增加. (B) f(x)在(，0)内单调减少.(C) 对任意的 x (0,)有 f(x)>f(0)(D)对任意的 x ( ,0)有 f(x)>f(0)【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可•【详解】 由导数的定义，知f(0) lim f(x) f(0)0，x 0 x根据保号性，知存在 0，当x (,0) (0,)时，有f(x) f(0)x即当 x (,0)时，f(x)<f(0);而当 x (0,)时，有 f(x)>f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论 (9) 设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是n 12(C)若级数a n 收敛，则limn a “0.nn 1(E)若级数n1a n 发散，则存在非零常数，使得^m na n* "]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项1 2又取a n ----------------- ，则级数a n 收敛，但lim n a “nUnn1 n【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,a1 lim na n lim n0，而级数发散，因此级数a n 也发散，故应选(B).n n1n 1nn 1n【分析】 先求导，再代入t=2求F (2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有(A)若lim na n =0，则级数na n 收敛.n 1(B )若存在非零常数，使得lim na nn，则级数a n 发散•n 1【详解】 取a n1 nln n，则 lim na n =0，但na nn 111n ln n发散，排除(A)，(D)；，排除(C),故应选(B).(10) 设f(x)为连续函数，F(t) (A)2f(2). (B) f(2).t t1 dy y f(x)dx ，贝U F (2)等于(C) -(2).(D)0.变量 t.【详解 】 交换积分次序，得t t t x tF(t) 1dy y f(x)dx = 1[1 f(x)dy]dx 1 f(x)(x 1)dx于是，F (t) f(t)(t 1)，从而有 F (2)f(2)，故应选(B).评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: b(x)[ a(x) f(t)dt] f [b(x)]b (x) f[a(x)]a(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上 .( 11) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)1 0 0. (B)1 0 1. (C) 1 0 0. (D) 10 0 1 0 10 0 11 10 0 1[ D ]分析 】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等 矩阵， 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 详解 】由题设，有0 1 01 0 0A 1 0 0B ， B 0 1 1C ，0010 0 10 1 0 10 00 1 1 于是，A 1 0 0 0 1 1A 1 0 0 C.0 0 1 0 0 10 0 1可见， 应选 (D). 评注 】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系12) 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关， (E) A 的列向量组线性相关， (F)A 的行向量组线性相关， (D) A 的行向量组线性相关，【详解1】 设A 为m n 矩阵，B 为n s 矩阵，则由AB=O 知,r(A) r(B) n .又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线 性相关，故应选 (A).【详解 2】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关 .B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关【分析 】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 零解进行分析讨论 .A,B 是否行(或列)满秩或 Ax=0 (Bx=0 )是否有非同理，由AB=O知，B T A T O,于是有B T的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1) AB=O r(A) r(B) n；2) AB=O B的每列均为Ax=0的解.(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(0 1)，数u满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于(A) u_2(B) u1 -2(C) u L~2(D) u1(A) Cov(X n Y) (B) Cov(X「Y)Cov(X1, X i) 1Cov(X1,X1) 1 Cov(X1,X i)n i 1 n n i 2【分析】此类问题的求解，可通过u的定义进行分析, 也可通过画出草图, 直观地得到结论【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{XP{X x} P{X x} P{X x} P{X x} 2P{X x}即有P{X x}1，可见根据定义有x2本题【评注】A，故应选(C).u相当于分位数，直观地有2(14)设随机变量X1,X2, ,X n( n 1)独立同分布，且其方差为nX i，则n i 1(C) D(X1 Y) (D)【分析】本题用n方差和协方差D(X1 Y)-n的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有:Cov(X1,X i) 0,i 2,3, n.【详解】Cov( X1,Y)(x) (e 2)= -DX 11 2.n n本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如2n 3n2 nn 2 2n 22n(15) (本题满分12分)$ (b a). e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明In 2 b In 2 a24In x ，则e【证法1】 对函数2In x 在［a,b ］上应用拉格朗日中值定理,设(t)平，则(t)，当t>e 时,0, 所以(t)单调减少，从而2 (e )，即In In e~2e2~~2，e故 In 2 b In 2 a 4(b a).所以当 即当e(x) (x) x>e 时, 2 .x e 时,In x 2 -xJ In x 2 2x(x)0,4_2 ， e (x)单调减少，从而当(x)单调增加.e 2时,【评注】 D(X iY) D(^X 1n-X 2 n^X n ) n(1 n)2 n 2n 1 22nD(X in 1 Y) D( X 1n 1 X n )n(n 1)2 2nn 1 22~n2o2设 e a b e ,证明 In b In ab.【证法2】(x)因此当e x e 2时，(b)(a),v 0解得C v 0，两端积分得通解 v Cek —tm，代入初始条件v即 ln 2beln 2a4 ~~2a，故In 2 b ln 2 af (b e a).【评注】 本题也可设辅助函数为(x) 2 2 42In x In a 2 (x a),e a x e 或 e(x) ln 2 b ln 2 x$(b x),e x b2e ，再用单调性进行证明即可.e(16) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可 【详解1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg ，着陆时的水平速度 v 0 700km/h .从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得dvm kv . dt dv dx dx dt所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.dvvdx ，又史dt由以上两式得dx 积分得x(t) x(t)m .dv ，k mv k m (v0 kC. 由于v(0)V 0, x(0)0，故得C — v °，从而k当 v(t)0时, v(t)). x(t)mv °k9000 700 66.0 101.05(km).【详解2】 根据牛顿第二定律，得 dv m — dtkv ,所以dv±dt. m【详解】取1为xoy 平面上被圆x 2 y 2 1所围部分的下侧，记 为由 与1围成的空间闭区域,(17) (本题满分12分) 计算曲面积分2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中是曲面z 1 x 2 y 2(z 0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直 接投影法求解即可.jkt故 v(t)v 0e m .飞机滑行的最长距离为v(t)dtmv ° ekmv ° k1.05( km).或由dr上t v °e m,知x(t)t0v 0e上tmdtItm1)，故最长距离为当t时，kv ox(t)m1.05(km).【详解3】 根据牛顿第二定律，d 2x m —亏dt 2dx k , dtd 2x dt 2k dx dt其特征方程为解之得m0, 2C 2edxx0,v --t 01 t 0dtkC 2 emV 0，得C 1C 2x(t) mv 0Atm).所以, 时，x(t)mv 0 1.05(km).k飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离， 可理解为t 或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意•由 mv 0t 0C 1 Jkt m3 3 2I 2x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy13 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知3 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy122 1 1 r 2 2=6 d dr (z r )rdz3322x dydz 2y dzdx 3(z1 )dxdy 3dxdy 3x 2 y 2 1故123【评注】 本题选择 1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在 1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).(18) (本题满分11分) 设有方程x nnx 1 0，其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ，并证明当 1时，级数x n 收敛.n 1【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性 .而正项级数的敛散性可用比较法判定 .【证】记 f n (x)x n nx 1.由f n (O) 1 0， f n (1) n 0，及连续函数的介值定理知，方程x n nx 10存在正实数根x n (0,1).当x>0时，f n (x) n x n 1 n 0,可见f n (x)在［0,)上单调增加，故方程x n nx 1 0存在惟一正实数根 X n ・由x n nx1 0与 X n0知1 X ：11 0 X n，故当1 时，0 X n(-).n nn 而正项级数1丄收敛, 所以当1时，级数x n 收敛n 1nn 1【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要2 26( x y z)dxdydz=121[1r(1 r 2) 22、2 r 3(1 r 2)]dr1(9, 3, 3)i ，C2z2x2z2z(9, 3, 3)(9, 3, 3)基本概念清楚，应该可以轻松求证 (19) (本题满分12分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 2 2yz z 218 0确定的函数，求z z(x, y)的极值点和极值【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然 后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值2 2 2因为 x 6xy 10y 2yz z 18 0，所以2x 6y 2^z 2z^0，x x6x 20 y 2z 2y-^ 2z —z 0. y y故 x 3y ， z y.x 9, x 9, y 3, 或 y 3, z 3z3.类似地，由【详解】—0, x —0 yx 3y 0, 3x 10y z 0,将上式代入x 26xy 10y 2 2yz z 218 0，可得由于22 2— 2(上)2x x2z2z2x2z2yx y2z2z0,202— 2二 y y2y- 2z 2y2(二)2 y22z z y 0，2所以 A—z x1 B2 z1，C2z5 (9,3,3)6，x y(9,3,3)2y(9,3,3)3，21 1 故 AC B 236，又A6z(9,3)=3.6xxx y0 ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为21 1 可知AC B 0，又A0 ,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程•(20) (本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)x 1 X 2 X n 0, 2捲 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组， 可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n ,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有1 a 1 1 1 1 a 1 11A2 2 a 2 2 2a aBnnnn ana 0 0 a当a=0时，r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为X i X 2x n 0,由此得基础解系为1( 1,1,0,,0)T,2( 1,0,1, ,0)Tj , n 1 (1,0,0,,1)T ,于是方程组的通解为x k 1 1 k n 1 n 1,其中k 1, ,k n1为任意常数.当a 0时，对矩阵B作初等行变换, 有1 a 11 1a n(n 1)0 0 0 B2 1 0 022 1n 00 1n0 01可知an(n 2 1)时，r(A) n 1 n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为2%X20, 3%X3,n^X n0 ,由此得基础解系为(1,2, ,n)T,于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数. 【详解2】方程组的系数行列式为1 a 1 12 2 a 2An n n当A 0，即a=0或a n(n 1)时，方程组有非零解2当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 1 11 1 1112 2 220 000An n n n0 00 00故方程组的同解方程组为x1x2X n 0,由此得基础解系为1 ( 1,1,0, ,0)T,2 ( 1,0,1,,0)T,,n 1(1,0,0, ,1)T于是方程组的通解为x k1 1 k n 1 n 1 ,其中k1, , k n 1为任意常数a2卫时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 a111 1 a 1112 A 2 a222a a00n n n n a na 00a(a 3)a n112 3E A1 4 31a 511 0 =(2) 14 31a52 (2) 0 14 3 1a522 16 18 3a 0,解得 a= -2.1 a 1 1 1 0 0 0 02 1 0 0 2 1 0 0 n 01n 01故方程组的同解方程组为2% x 2 0,3x 1 X 30,n% x 0,由此得基础解系为(1,2, ,n)T ,于是方程组的通解为x k ，其中k 为任意常数【评注】 矩阵A 的行列式 A 也可这样计算:1 a 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 A2 2 a 2 2 2 =aE +2 22，矩阵2 2 2 2的nnnn an n nn n n nn特征值为0,,0, n(n °，从而A 的特征值为a,a, ,a n(n 1),故行列式 A (a n(n 1))a n 1.2 2 2(21) (本题满分9分)1 23设矩阵A 1 43的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.1 a 5【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可•【详解】 A 的特征多项式为(2)( 2 8 18 3a).2是特征方程的二重根，则有323a2时，A的特征值为2, 4，4,矩阵4E-A= 103秩为2，故4对应的线性无关32113的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II) X和Y的相关系数XY-【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于P(AB) P(A)P(BA) 2，P(B)P(AB) 1 P(AB) 6'所以，P{X1,Y1}1 P(AB)—，12P{X1,Y0}P(AB) P(A)P(AB)1 6P{X0,Y1}P(AB) P(B)P(AB)1 12,1 当a= -2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=12 32 3的秩为1,故2 32对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则18 3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a【评注】n阶矩阵A可对角化的充要条件是: 对于A的任意k i重特征根i，恒有n r( i E A) 而单根一定只有一个线性无关的特征向量•(22) (本题满分9分)1设A,B为随机事件，且P(A) -,P(B A)43,P(AB)1, A发生，0, A不发1, B发生，P{X 0,Y 0} P(AB) 1 P(A B)=1 P(A) P(B) P(AB)(或P{X 0,Y 0}故(X,Y)的概率分布为i 1 1 丄2),12 6 12 3【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强•通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为1,X1,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求:(I) 的矩估计量;(II) 的最大似然估计量•【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可【详解】X的概率密度为——X 1,X 1，40, X「(I)由于则EXX01Y013151P——P一—446611351-,EY DX DY=——,E(XY)=46163612'(II) X, Y的概率分布分别为故Cov(X,Y) E (XY) EX EY —，从而24XYCov(X,Y) 1515F(x,)x0,1,1其中未知参数f(x,)1，X i 1(i 1,2, ,n),(X 1X 2 X n )0,其他 n1) In X i ， i 1dInL()d故的最大似然估计量为 nnIn X ii 1难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性 EX Xf (X ; )dX X — 1 X T dx 令X ，解得 1 1，所以参数 的矩估计量为(II )似然函数为两边对求导，得 令dInL( ) 0，可得 d nn， In x ii 1L() f (X i ； 当x i1(i 1,2, ,n)时, L( 0,取对数得 lnL()n In In X i ，【评注】本题是基础题型,。
广东省专插本-高等数学-2004-2010年-历年题集(含答案)
A. B. C. D.
5、已知函数 ，则dz=
A. B.ydx+xdyC. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、极限 =。
7、曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线方程是=。
8、积分 =。
9、设 ，则 =。
10、微分方程 的通解是。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
5、设 则
A.等于1 B.等于-1 C.等于0 D.不存在
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、极限 。
7、设 ，要使 在 处连续，应补充定义 =。
8、设函数 ，则其函数图像的水平渐近线方程是。
9、微分方程 的通解是y=。
10、设 ，则全微分du=。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、求极限 。
12、计算不定积分 。
13、设函数 。
14、函数y = y(x)是由方程 所确定的隐函数，求 在点（1，0）处的值。
15、计算定积分 。
16、求二重积分 ，其中积分区域 。
17、设函数 ，求 。
18、求微分方程 满足初始条件 的特解。
四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
1、函数 的定义域是
A.（ ，0） （0， ）B.（ ，0）
C.（0， ）D.Ø
2、极限
A.等于-1 B.等于0 C.等于1 D.不存在
3、设 是 在（0， ）内的一个原函数，下列等式不成立的
A. B.
C. D.
4、设函数 ，则下列结论正确的是
A. 的极大值为1 B. 的极小值为1
2004年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2004年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题参考答案：D第2题参考答案：B第3题参考答案：B第4题参考答案：C第5题参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第6题参考答案：e第7题设函数y=x2lnx，则y′=_______参考答案：2xlnx+x第8题曲线y=1+sinx在点(0，1)处的切线的斜率k=____参考答案：1第9题第10题参考答案：xlnx-x+ C第11题参考答案：1/2第12题参考答案：2第13题设函数z=x2+ye x，则δz/δx=______。
参考答案：2x+ ye x第14题微分方程xy′=l的通解为_______参考答案：ln|x|+C第15题参考答案：2x-3y+z=0三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第16题第17题第18题第19题求函数y=x3-3x2-9x+l的极值(6分)第20题设函数y=e x+arctanx+π2，求dy(6分)第21题设函数y=y(x)由方程cos(x+y)+y=l确定，求dy/dx.(6分)第22题第23题第24题第25题求微分方程y″+y′-2y =O的通解.(6分)第26题第27题第28题要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用同一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元问该容器的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省?。
学历类《成考》专升本《高等数学一》考试试题及答案解析
学历类《成考》专升本《高等数学一》考试试题及答案解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________1、若事件A 与B 互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于( )A 、03B 、04C 、02D 、01正确答案：A答案解析：暂无解析2、设y=x5+sinx ，则y′等于( )A 、B 、C 、D 、正确答案：A答案解析：暂无解析3、当 x→0时，sin(x +5x )与 x 比较是( )A 、较高阶无穷小量B 、较l D 、低阶无穷小量正确答案：D答案解析：暂无解析6、微分方程 y ’=2y 的通解为y=（ ）A 、B 、C 、D 、正确答案：A答案解析：暂无解析7、设z=x -3y ，则dz=（ ）A 、2xdx-3ydyB 、x dx-3dyC 、2xdx-3dy正确答案：C答案解析：暂无解析8、在空间直角坐标系中，方程x +y =1表示的曲面是（）A、柱面B、球面C、锥面D、旋转抛物面正确答案：A答案解析：暂无解析9、设y+sinx，则 y’’=（）A、-sinxB、sinxC、-cosxD、cosx正确答案：A答案解析：暂无解析10、B答案解析：暂无解析11、设y=x ，则y’=（）A、B、C、D、正确答案：C答案解析：暂无解析12、设函数z=3x2y，则αz/αy=（）A、6yB、6xyC、3xD、3X正确答案：D答案解析：暂无解析13、设函数y=3x+1,则y’=（）A、0B、1C、2D、3正确答案：A答案解析：暂无解析14、设函数y=(2+x) ，则y’=A、（2+x）C、(2+x)D、3(2+x)正确答案：B答案解析：暂无解析15、设函数 y=e-2 ,则dy=A、B、C、D、正确答案：B答案解析：暂无解析16、设函数y=2x+sinx,则y’=A、1-cosxB、1+cosxC、2-cosxD、2+cosx正确答案：D答案解析：暂无解析17、设z=ey ,则全微分dz=（）正确答案：答案解析：暂无解析18、设函数y=cos2x，求y″=（）正确答案：-4cos2x答案解析：暂无解析19、函数y=x-e的极值点x=（）正确答案：答案解析：暂无解析20、函数-ex 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) =（）正确答案：答案解析：暂无解析21、当x→0时，sin(x +5x )与x 比较是( )A、较高阶无穷小量B、较低阶的无穷小量C、等价无穷小量D、同阶但不等价无穷小量正确答案：答案解析：22、设y=x5+sinx，则y′等于( )A、B、C、D、正确答案：答案解析：23、若事件A与B互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于( )A、03B、04C、02D、01正确答案：答案解析：24、设函数y=2x+sinx,则y’=A、1-cosxB、1+cosxC、2-cosxD、2+cosx正确答案：答案解析：25、微分方程y’=x+1的通解为y= ______.正确答案：答案解析：暂无解析26、过点(1,-1,-2)且与平面2x-2y+3z=0垂直的直线方程为______.正确答案：答案解析：暂无解析27、函数y=1/3x -x的单调减少区间为______.正确答案：(-1,1)答案解析：暂无解析28、微分方程y/=3x2 的通解l正确答案：3x答案解析：暂无解析34、设函数y=x3,则y/=（）正确答案：答案解析：35、设函数y=(x-3) ,则dy=（）正确答案：答案解析：36、设函数y=sin(x-2)，则y”=（）正确答案：答案解析：37、过坐标原点且与直线（x-1）/3=(y+1)/2+(z-3)/-2垂直的平面方程为（）正确答案：答案解析：38、设函数x=3x+y2，则dz=（）正确答案：答案解析：39、微分方程y/=3x2的通解为y=（）正确答案：答案解析：40、函数y=1/3x -x的单调减少区间为______.正确答案：答案解析：41、求曲线y=x -3x+5的拐点。
2004年成人高考数学试题及答案(高起点理工类)
2004年成人高考数学试题及答案(高起点理工类)1.医院最适宜的音响(35_45dB）2.最大安全的氧浓度（40%）3.溃疡性结肠炎患者不宜干嘛（不宜多吃粗纤维的食物）5.亚行心内膜炎采血（10—15ml)6.链霉素中毒易出现什么症状(耳聋-肾衰)7.肌力能抬离床面,但不能对抗阻力是几级(3级)8.当环境温度大于人体温度,主要以什么散热方式(蒸发)9.低胆固醇是少于多少(300mg)10.空气栓塞的摆放体位(左侧头低脚高位）11.异位妊娠最主要的好发部位（输卵管妊娠）13.左心衰最早出现的症状（呼吸困难）14.嗪氯噻嗪类的利尿剂易出现什么（低钾）15.最常见的异位节律（室性期前收缩）16.高血压危象首选什么药物（硝普钠）18.肾盂肾炎经什么感染（上行感染）19.缩窄性心包炎中最常见的是(结核性心包炎)22.肝硬化最严重的并发症(肝性脑病）23.蛋白尿是指尿蛋白超过多少（150mg)24.肾病综合征最常见的症状（水肿）25.医院性获得肺炎除什么菌(l绿脓杆菌）27.再生障碍性贫血的主要死因（颅内出血)28.小儿白血病以什么多见（急淋29.DKA首要干嘛（输液）30.SLE治疗首选什么药（糖皮质激素）31.术后切口裂开时间与啥时(A.3天B.5天C.7天，不知道答案是什么。
书上也没确定的）32.一侧的喉返神经损伤将出现什么症状（声音嘶哑）34.腹膜炎最主要的体征（腹膜刺激征）36.颅内压增高高于多少（200mmHg)40.导尿管几天换一次（7天）41.最严重的输血反应（溶血反应）42.败血症属于什么热型(驰张热)二.判断题(15分)1.右侧支气管粗短,易入异物。
（对）2.肝癌难以确诊，不治疗在半年内死亡。
（对）3.袖带缠着的紧，袖带宽，血压低。
（对）4.伤寒属于肠道传播的疾病。
（对）5.贫血的定义。
（错，应该是单位容积的血液中）6.对痉挛发作患者进行按摩。
（错）7.肝性昏迷的患者长期处于昏睡和精神错乱是在昏迷前期。
04普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题及答案(Word最新版)
04普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题及答案通过整理的04普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题及答案相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若的终边所在象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．对于，给出下列四个不等式① ② ③ ④ 其中成立的是A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 3．已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题 . 则的A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．设复数z满足A．0 B．1 C．D．2 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A．B．C．D．6．已知点、，动点，则点P的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．已知函数，则下列命题正确的是A．是周期为1的奇函数B．是周期为2的偶函数C．是周期为1的非奇非偶函数D．是周期为2的非奇非偶函数8．已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m 则A．B．C．D．9．已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是A．B．C．D．2 10．设A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是A．B．C．D．11．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是A．B．C．D．12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A．234 B．346 C．350 D．363 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 . 14．= . 15．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 . 16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值. 18．（本小题满分12分）设全集U=R （1）解关于x的不等式（2）记A为（1）中不等式的解集，集合，若恰有3个元素，求a的取值范围. 19．（本小题满分12分）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值. 20．（本小题满分12分）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t（吨）满足函数关系.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？21．（本小题满分14分）已知函数的最大值不大于，又当（1）求a的值；（2）设22．（本小题满分12分）已知函数. （1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围. 2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题答案与评分参考一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13．1 14．15．a 16．三、解答题17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 满分12分. （1）证明：连接BD. 为等边三角形. 是AB中点，…………2分面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.…………4分面PAB，面PAB. ……………………6分（2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PED，为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分设AD=2，那么PF=FD=1，DE=. 在即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分12分. 解：（1）由当时，解集是R；当时，解集是……………………3分（2）当时，=；当时，=……………………5分因由…………8分当怡有3个元素时，a就满足解得12分19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组② ① 的解.…………………………2分将①代入②并化简得，，所以于是…………6分设点P的坐标为则消去参数k得③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为………………8分解法二：设点P 的坐标为，因、在椭圆上，所以④ ⑤ ④—⑤得，所以当时，有⑥ 并且⑦ 将⑦代入⑥并整理得⑧ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为………………8分（2）解：由点P的轨迹方程知所以……10分故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为……………………12分注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分. 21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力. 满分14分. （1）解：由于的最大值不大于所以① ………………3分又所以. ② 由①②得………………6分（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；因时不等式也成立. （ii）假设时，不等式成立，因为的对称轴为知为增函数，所以由得………………8分于是有…………12分所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时， (8)分因所以……12分于是因此当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分证法三：（i）当n=1时，不等式成立；（ii）假设时. 若则①…………8分所以都是增函数. 因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得………………12分解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于③…7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式③成立当且仅当即………………12分。
2004年河南专升本高数真题+答案解析
2004年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共50分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 1．函数1ln y x=+的定义域为（ ） A ．(2,2)- B ．[0,1)(1,2]C ．(2,1)(1,2)-D ．(0,1)(1,2)【答案】D【解析】要使函数有意义，须使240x ->，即22x -<<，由ln 0x ≠，得0x >且1x ≠，则行数的定义域为(0,1)(1,2)．2．函数1sin y x=是定义域内的（ ）A ．周期函数B ．单调函数C ．有界函数D ．无界函数【答案】C 【解析】由于1sin 1x≤，显然在其定义域内是一个有界的函数．3．lim sinn xn n→∞⋅=（ ） A ．x B ．0 C ．∞ D ．1【答案】A【解析】变量是n ，则sinsinlim sin lim lim 1n n n x xx n n n x x x n n n→∞→∞→∞⋅==⋅=．中公学员 培训讲义2学员专用 请勿外泄4．当0x →时，sin x x -是比2x （ ） A ．低阶的无穷小 B ．高阶的无穷小C ．等价的无穷小D ．同阶但非等价的无穷小【答案】B【解析】2200001sin 1cos 2lim lim lim lim 0224x x x x xx x x x x xx →→→→--====，所以当0x →时，sin x x -是比2x 高阶的无穷小．5．设2arcsin(1)()1x f x x -=-，则1x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】B【解析】2111arcsin(1)arcsin(1)11lim ()limlim 1112x x x x x f x x x x →→→--==⋅=--+，间断点1x =处函数()f x 的左、右极限都存在且相等，所以1x =是()f x 的可去间断点．6．设()f x '在点0x x =的某个邻域内存在，且0()f x 为()f x 的极大值，则000(2)()limh f x h f x h→+-=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】0000000(2)()(2)()lim 2lim 2()2h h f x h f x f x h f x f x h h→→+-+-'==，而由题目知0()f x '存在，且()f x 在0x x =处取到极大值，则0x x =是()f x 的驻点，所以0()0f x '=．故选A ．7．下列函数中，在1x =处连续但不可导的是（ ）A ．211x y x -=- B ．1y x =-C ．cot(1)y x =-D ．2y x x =-【答案】B【解析】该题采用排除法．A 、C 显然在1x =处不连续，B 、D 都在1x =处连续，但D 在1x =处可导，故只有B 符合要求．8．下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．2ln xB ．xC ．cos xD ．211x - 【答案】C【解析】罗尔定理条件有三个：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在(,)a b 内可导；③()()f a f b =．A 不满足①，2ln x 在0x =处不连续；B 不满足②，x 在0x =处不可导；C 满足罗尔定理得条件；D 不满①、②和③．9．设()f x 点3x =的某个邻域内有定义，若23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，则在3x =处（ ）A ．()f x 的导数存在且(3)0f '≠B ．()f x 的导数不存在C ．()f x 取得极小值D ．()f x 取得极大值【答案】D 【解析】因为23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，所以存在3x =的某个去心邻域，使得2()(3)0(3)f x f x -<-．即无论3x >或3x <都有()(3)f x f <，又()f x 在3x =的某邻域有定义，所以()f x 在3x =处取得极大值．10．曲线232(2)x y x +=-的渐近线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条中公学员 培训讲义4学员专用 请勿外泄【答案】B【解析】232lim 0(2)x x x →∞+=-，所以曲线有水平渐近线0y =；2322lim (2)x x x →+=∞-，所以曲线有垂直渐近线2x =，故y 有两条渐近线．11． 下列函数对应的曲线在定义域内凹的是（ ）A ．x y e -=B ．2ln(1)y x =+C ．23y x x =-D ．sin y x =【答案】A【解析】x y e -=，x y e -'=-，0x y e -''=>，所以曲线x y e -=在定义域内时凹的．12．下列函数中，可以作为同一函数的原函数的是（ ） A ．21sin 2x 和1cos 24xB ．ln ln x 和2ln xC ．21sin 2x 和1cos 24x -D ．2tan 2x 和2csc 2x【答案】C【解析】2111sin 2sin cos sin 2222x x x x '⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，111cos 2(sin 2)2sin 2442x x x '⎛⎫-=--⋅= ⎪⎝⎭，故选C ．13．下列等式正确的是（ ） A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()d df x f xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx =⎰D ．()()d df x f x '=⎰【答案】C【解析】A 未加常数C ，而B 中()()d df x f x dx '=⎰，D 等号右端缺dx ．只有()()df x dx f x dx =⎰是对的，故选C ．14．设()f x '为连续函数，则102x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（ ）A ．12(0)2ff ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．[]2(1)(0)f f -C ．11(0)22f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．[]1(1)(0)2f f - 【答案】A 【解析】1111220000122()2()2(0)2222xu x x x f dx f d f u du f u f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=−−−→==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰．15．下列广义积分收敛的是（ ） A ．2ln e xdx x +∞⎰B ．1ln e dx x x +∞⎰C ．e+∞⎰D ．21ln edx x x+∞⎰【答案】D【解析】选项A ，223ln 1ln ln (ln )3ee e x dx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰；选项B ，11ln ln ln ln ln e ee dx d x x x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰； 选项C ，112(ln )ln 2(ln )eeex d x x +∞+∞-+∞===+∞⎰⎰；选项D ，22111ln 1ln ln ln ee e dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰．16．设xy z e =，则(1,2)dz =（ ）A ．()xy e xdy ydx +B ．23eC ．222e dx e dy +D ．0【答案】C中公学员 培训讲义6学员专用 请勿外泄【解析】22(1,2)(1,2)()2xy xy dz e ydx e xdy e dx e dy =⋅+⋅=+．17．设22(,)(4)f x y x y =-+，则点(4,0)（ ） A ．不是驻点 B ．是驻点但非极值点C ．极大值点D ．极小值点【答案】D【解析】2(4)x f x =-，2y f y =，令两式等于0，解得4x =，0y =．2xx A f ==，0xy B f ==，2yy C f ==，240B AC -=-<，20A =>，所以点(4,0)为(,)f x y 的极小值点．18．设区域D 由y 轴及直线y x =，1y =所围成，则Dxdxdy =⎰⎰（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．16【答案】D【解析】12111300011(1)236x Dx xdxdy dx xdy x x dx x ⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰．19．设直线L 1：1312x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩与直线L 2：234112x y z ---==-的关系是（ ） A ．平行但不重合 B ．重合C ．垂直但不相交D ．垂直相交【答案】A【解析】两直线的方向向量分别为1(1,1,2)=--s ，2(1,1,2)=-s ，且112112--==-，所以两直线平行或重合，将第一条直线上的点(1,3,1)代入第二条直线方程显然不满足，所以两直线平行但不重合．20．方程2221x y -=表示的二次曲面是（ ）A ．球面B ．旋转抛物面C ．柱面D ．圆锥面【答案】C【解析】方程2221x y -=缺一个变量z ，因此表示一个母线平行于z 轴的柱面，由于它在xOy 坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面．21．下列级数中绝对收敛的是（ ）A．n n ∞=B ．13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C ．32111(1)n n n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D ．11(1)nn n n∞=--∑ 【答案】C 【解析】选项A，n n ∞∞===，当n →∞~，级数发散；选项B ，1133(1)22nnnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，公比1q >的等比级数，发散；选项C ，332211111(1)n n n n n ∞∞-==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，1p >的p 级数，收敛，原级数绝对收敛； 选项D ，1111(1)nn n n n n n ∞∞==---=∑∑，1lim1n n n →∞-=，不满足级数收敛的必要条件，级数发散． 故选C ．22．下列级数中发散的是（ ）中公学员 培训讲义8学员专用 请勿外泄A ．1sin 2n n π∞=∑B ．111(1)1n n n ∞-=-+∑ C ．134nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑D ．311n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】A 【解析】limsin02n n π→∞≠，A 不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散．23．级数02!nn n ∞=∑的和为（ ）A ．0B ．eC ．2eD ．不存在【答案】C【解析】因为幂级数0!n x n x e n ∞==∑，(,)x ∈-∞+∞，所以202!n n e n ∞==∑．24．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2()x y ax bx c e =++ B ．*2()x y x ax bx c e =++C ．*2()x y x ax b e =+D ．*22()x y x ax bx c e =++【答案】D【解析】方程2x y y y xe '''-+=对应的齐次方程20y y y '''-+=的特征方程为2210r r -+=，解得121r r ==．由()xf x xe =知1λ=是特征方程的二重根，故特解形式为*22()x y x ax bx c e =++．25．设L 为从点(1,0)A 沿x 轴到点(1,0)B -的直线段，则2L y dx =⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】L ：0y =，x ：11→-，则12100Ly dx dx -==⎰⎰．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）1．设211(0)x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，则()f x =________．【答案】(1)x x - 【解析】令1x u x +=，解得11x u =-，代入原式变为()(1)f u u u =-，即()(1)f x x x =-．2．若lim 1n n x →∞=，则22lim 3n n n n x x x +-→∞++=________． 【答案】1【解析】由lim 1n n x →∞=，得2lim 1n n x +→∞=，2lim 1n n x -→∞=，故22lim 13n n n n x x x +-→∞++=．3．设21cos ,0(),0xx f x x k x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =________．【答案】12【解析】()f x 在0x =处连续，应有lim ()(0)x f x f →=，而22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x →→→-===，(0)f k =，所以12k =．4．设3225x y x x e =++，则(10)y =________． 【答案】1022x e【解析】3225x y x x e =++，223102x y x x e '=++，226102x y x e ''=++，3262x y e '''=+，，(10)1022x y e =．5．设2tx t y e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则22d y dx =________．中公学员 培训讲义10学员专用 请勿外泄【答案】3(1)4t e t t - 【解析】()()2t dy y t e dx x t t '=='，22232(1)()4t te d dy t d y e t dt dx dx dx t t dt'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==='． 6．24sin 2lim x x tdt x→=⎰________．【答案】1 【解析】2220433000sin 2sin 2222lim lim lim 144x x x x tdt x x x x x x x→→→⋅⋅===⎰．7．3272y x x =-+在[]0,1上的最大值为________． 【答案】2【解析】3272y x x =-+，223273(9)y x x '=-=-，因为[]0,1x ∈，所以0y '<，从而函数在[]0,1上单调递减，故最大值为(0)2y =．8．设2()sin x f x tdt π-=⎰，则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________． 【答案】1-【解析】2()sin xf x tdt π-=⎰，则22sin 02f tdt πππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则0022(0)sin cos 12f f f tdt tπππ--⎡⎤⎛⎫===-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰．9．1ln exdx =⎰________．【答案】1【解析】111111ln ln ln (1)1ee e e exdx x x xd x e x dx e dx e e x =-=-⋅=-=--=⎰⎰⎰⎰．10．设2x e 为()f x 的一个原函数，则2()xe f x dx -=⎰________．【答案】2x C +【解析】利用分部积分法，因为()f x 的一个原函数为2x e ，则222222()2x x x x x e f x dx e de e e xdx x C ---==⋅⋅=+⎰⎰⎰．11．广义积分1101qdx x +⎰当________收敛． 【答案】0q <【解析】100111110000lim ln lim(ln1ln ),011lim 111lim lim 1,0q q q q x q dx dx x x q qx q εεεεεεεεεε+++++→→++→→→⎧=-=∞=⎪⎪==⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=--≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎰⎰， 第二式当0q <时极限为1q-，故0q <时，广义积分收敛．12．过原点且与直线L ：113213x y z -++==-垂直的平面方程为________． 【答案】230x y z +-=【解析】该平面的法向量可取直线的方向向量(2,1,3)-，又平面过点(0,0,0)，故平面的点法式方程为230x y z +-=．13．设2xy z e x=+，则2z x y ∂=∂∂________． 【答案】22yx-中公学员 培训讲义12学员专用 请勿外泄【解析】22221x xz y e y e x x x ∂⎛⎫=+⋅-=- ⎪∂⎝⎭，222z z y x y y x x ∂∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂∂∂⎝⎭． 14．2221x y x ydxdy +≤=⎰⎰________．【答案】0【解析】在极坐标系下，区域D 可表示为0201r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以22212222222000111cos sin cos sin cos cos 55x y x ydxdy d r r rdr d d πππθθθθθθθθ+≤=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32011cos 053πθ=-⋅=．15．设222(,)ln(3)x y f x y x y +=--，则10lim (,)x y f x y →→=________． 【答案】2ln 2【解析】函数(,)f x y 在点(1,0)连续，故 2211022102lim (,)limln(3)ln(310)ln 2x x y y x y f x y x y →→→→+⋅+===----．三、判断是非题（每小题2分，共10分）1.若)(x f 在0x x =处连续，则)]([x f f 在点0x x =处一定连续．（ ） 【答案】×【解析】把0x x =代入)]([x f f 中，可得)]([0x f f ．)(x f 在0x x =处连续，并不可以得到)(x f 在)(0x f 处是连续的，故错误． 2. 若数列{}n x 有界，则{}n x 必收敛．（ ） 【答案】×【解析】3. 方程0)1ln(1=+x x 在]1,1[-e 上无实根．（ ）【答案】√ 【解析】 4.⎰⎰-<202cos cos ππxdx xdx ．（ ）【答案】× 【解析】5. 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，则),(y x f z =在点),(00y x 处可微．（ ）【答案】× 【解析】四、计算题 （每小题5 分，共40 分） 1．求极限11lim 1x x x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭．【答案】2e - 【解析】11(2)2212lim lim 111x x x x x e x x ++⋅---→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．2．设()y y x =是由方程221y x e y +=所确定的函数，求(1,0)dydx．【答案】2-【解析】方程221y x e y +=两边对x 求导得2220y y xe x e y y y ''++⋅=，代人1x =，0y =，得 (1,0)(1,0)2dy y dx'==-．中公学员 培训讲义14学员专用 请勿外泄3．计算不定积分32cos x x dx ⎰．【答案】22211sin cos 22x x x C ++【解析】()2322221111cos cos cos sin sin sin 2222x ux x dx x x dx u udu ud u u u udu ==−−−→==-⎰⎰⎰⎰⎰ ()2221111sin cos sin cos 222u u u C x x x C =++=++．4．计算0x⎰． 【答案】233π⎫⎪⎭【解析】x t =，则2x t =，2dx tdt =，当0x =时，0t =，当3x =时，3t =[]33322000012212arctan 23113x t tdt dt t t t t π⎫⎫=⋅=-=-=⎪⎪++⎝⎭⎭⎰．5．设(,)z f x y xy =+可微，求dz ． 【答案】1212()()dz f yf dx f xf dy ''''=+++ 【解析】12121zf f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂，12121z f f x f xf y ∂''''=⋅+⋅=+∂， 1212()()z zdz dx dy f yf dx f xf dy x y∂∂''''=+=+++∂∂．6．计算2112200y dy x y dx -+⎰．【答案】6π【解析】1131201236dy d r rdr r πππθ=⋅=⋅=⎰⎰⎰．7．求幂级数211(1)2n nn x ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点情况）．【答案】(1)【解析】由于缺项，令2(1)x t +=，则2111(1)22nnn n n n t x ∞∞==+=∑∑，11112lim lim 122n n n n nn a a ρ++→∞→∞===，所以收敛半径2R =，所以22t -<<，即2(1)2x +<时级数收敛，解得收敛区间为(1)．8．求微分方程0y y ''-=的积分曲线方程，使其在(0,0)处与直线y x =相切． 【答案】1122x xy e e -=-【解析】0y y ''-=的特征方程为210r -=，得特征根1r =±，所以通解为12x x y C e C e -=+．由已知条件(0)0y =，01x y ='=，解得112C =，212C =-，于是所求积分曲线方程为1122x xy e e -=-．五、应用题 （每小题7 分，共 14 分）1．某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行培训，使其掌握此项技术，并开始在此地域推广．设经过时间t ，已掌握此技术人数为()x t （将()x t 视为连续可微变量）．其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为(0)k k >，求()x t ．【答案】505050()49ktkte x t e =+中公学员 培训讲义16学员专用 请勿外泄【解析】令()y x t =，由题意可知(50)y ky y '=-，(0)1y =， 分离变量(50)dykdt y y =-，两边同时积分(50)dykdt y y =-⎰⎰，解得ln ln(50)50y y kt C --=+．当0t =，1y =时，ln49C =-，故505050()49ktkte y x t e ==+．2．过点(1,0)P 做抛物线2y x =-的切线L ，L 与上述抛物线及x 轴所围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积． 【答案】6π【解析】设切点为00(2)x x -，切线的斜率为0022x x y x ='=-则切线方程为0002)22y x x x x -=--，切线经过(1,0)P ，代入解得03x =，即切点坐标为(3,1)，切线方程为1(1)2y x =-．故3222112(2)36x V x dx πππ=⋅⋅⋅--=⎰．六、证明题 （6 分）证明：当0x >时，22ln(1)1x x x +>+． 【解析】令22()ln(1)1f x x x x =++，则2222222211()10111(1)x x x f x x x x x x +-⎛⎫+'=+=> +++++⎝，所以()f x 单调递增，而0x >，则()(0)0f x f >=，故ln(x >．。
广东专插本2004-10年高数真题及详解 - 副本
2004年专升本插班考试《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→x x xx 52tan 30lim 。
3、若=-=dxdyx x e y x 则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32ai j k b i j k c i j =-+=-+=-和,()()a b b c +⨯+=则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ）（A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(xyx y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰（C ）dx y dx y )2()12(2121-+-⎰⎰（D ）dx x dx x)2()12(2121-+-⎰⎰9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x <<10、⎰⎰=102),(xx dy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）21(,)x x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰1),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰12),(y ydx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分）11、求极限x x x e x x 3sin )2()2(lim ++-→ 12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d 。
2004年河北专接本高等数学答案02
一、填空题1、 函数11-+=x x y 的反函数为（）。
2、 xx x x --+→121lim 0=（）。
3、 xx x 2sin 5sin lim0→＝（）。
4、 =+→n n n )11(lim 0（）。
5、 设x y arctan =，则=dy （）。
6、⎰=dx x 2cos 1（）。
7、 ⎰=exdx 1ln （）。
8、 设函数y x z =，则=dz （）。
9、 微分方程dx y xdy 21sec -=的通解为（）。
10、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131132002A ，则秩序=)(A r （）。
二、单项选择题1、下列函数中，奇函数的是（）。
A 、2)(xx e e x f -+= B 、1)(3+=x x f C 、2)(xx e e x f --= D 、1cos )(+=x x f 2、下列结论正确的是（）。
A 、11sinlim =∞→x x x B 、11sin lim 0=→xx x C 、01sin lim =∞→x x x D 、1)11(lim =+∞→n n n 3、设x xx f =)(，则=→)(lim 0x f x （）。
A 、1 B 、-1 C 、0 D 、不存在4、下列结论正确的是（）。
A 、无穷小量是很小的正数B 、无穷大量是很大数C 、无穷大量的倒数是无穷小量D 、一个很小的正数的倒数是无穷大量5、下列结论不正确的是（）。
A 、dx x x d 1ln =B 、xdx x d sin cos =C 、dx x x d 211arctan += D dx x dx 233= 6、设在（a ，b ）内，0)('>x f ，0)(''<x f ，则曲线)(x f y =是（）。
A 、单调增加凸B 、单调增加凹C 、单调减少凸D 、单调减少凹7、设),(y x f 在点),(00y x 的邻域内具有一阶，二阶连续偏导数，且),,(''),,(''),,('',0),(,0),(0000000000y x f C y x f B y x f A y x f y x f yy xy xx y x ===== AC B H -=2，若),(00y x f 为极大值，则（）。
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一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题
参考答案：D
第2题
参考答案：B
第3题
参考答案：B
第4题
参考答案：C
第5题
参考答案：A
二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第6题
参考答案：e
第7题设函数y=x2lnx，则y′=_______
参考答案：2xlnx+x
第8题曲线y=1+sinx在点(0，1)处的切线的斜率k=____
参考答案：1
第9题
第10题
参考答案：xlnx-x+ C
第11题
参考答案：1/2
第12题
参考答案：2
第13题设函数z=x2+ye x，则δz/δx=______。
参考答案：2x+ ye x
第14题微分方程xy′=l的通解为_______
参考答案：ln|x|+C
第15题
参考答案：2x-3y+z=0
三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第16题
第17题
第18题
第19题求函数y=x3-3x2-9x+l的极值(6分)
第20题设函数y=e x+arctanx+π2，求dy(6分)
第21题设函数y=y(x)由方程cos(x+y)+y=l确定，求dy/dx.(6分)
第22题
第23题
第24题
第25题求微分方程y″+y′-2y =O的通解.(6分)
第26题
第27题
第28题要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用同一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元问该容器的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省?。