新乡市第一中学必修第二册第五单元《概率》测试题(包含答案解析)

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人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．163．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A ．恰有1个白球和全是白球B ．至少有1个白球和全是黑球C ．至少有1个白球和至少有2个白球D ．至少有1个白球和至少有1个黑球4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( ) A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件5．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．66．下列说法正确的是（）A ．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D ．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.17．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（） A ．0.7B ．0.5C ．0.3D ．0.68．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A．3172B．712C．2572D．15729．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A．110B．25C．35D．91010．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（）A．1315B．1115C．23D．3511．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（）A．0.24B．0.36C．0.6D．0.8412．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一､周三､周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．325659A AAB．325659C AAC．325659C CCD．325659C CA13．高三年级7位体育老师的身高(单位：cm)数据如茎叶图所示，其中一位老师的身高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm，若从中任选2位老师参加年级的教职工篮球赛，则身高均高于177cm的概率为（）A．27B．37C．1021D．1121二、解答题14．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次是否近视 1~100101~1000近视 40 30 不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.()2P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87922()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.15．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.16．已知从树人中学高三年级的8名优秀年青教师（男教师6名，女教师2名）中任选3名参加养老院志愿服务活动.（1）求“8名优秀年青教师中，优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到”的概率. （2）若所选3名优秀年青教师中女教师人数为ξ，求ξ的分布列.17．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？18．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间（2x s -，2x s +）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s ，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是97cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm 的概率. 19．某中学高一年级由1000名学生, 他们选着选考科目的情况如下表所示：科目人数物理化学生物政治历史地理300 √ √ √200√ √√100 √√√200√ √ √100√√√100√√√从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：A =“该生选了物理”；B =“该生选了化学”；G =“该生选了生物”； D =“该生选了政治”；E =“该生选了历史”；F =“该生选了地理”. （1）求(),()P B P DEF . （2）求(),()PC E P B F ⋃⋃.（3）事件A 与D 是否相互独立？请说明理由.20．某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.(1)完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？愿意不愿意总计男生女生总计(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，再从中抽取2人作为队长，求抽取的2人至少有一名女生的概率. 参考数据及公式：()20P K k ≥ 0.1 0.05 0.025 0.010k2.7063.8415.0246.635()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.21．某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a （a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会.()i 你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；()ii从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在[)7.5,8.5的概率. 22．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率.参考公式：1221ni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，a y bx=-.23．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望. 24．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.25．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某大学为了解学生对民法典的认识程度，选取了120人进行测试，测试得分情况如图所示.（1）试求出图中实数a的值，并求出成绩落在[]90,100的人数；（2）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试.试判断该校能否通过测试；（3）如果在[)80,90中抽取3人，在[]90,100中抽取2人，再从抽取的5人中选取2人进行民法典的宣传，那么选取的2人中恰好1人成绩落在[]90,100的概率是多少？ 26．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图；（i ）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii ）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2．B解析：B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=23×14+13×34=512故选B.3．B解析：B【分析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，进而可分析四个事件的关系；【详解】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选B．【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．4．C解析：C 【分析】对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断．【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．5．B解析：B 【解析】【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P ，得10.90.3n -，由此能求出n 的最小值．【详解】李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1，现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P ，10.90.3n∴-，解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ．【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．D解析：D 【分析】由概率的意义可判断AB 错误，由随机抽样的概念得到D 正确. 【详解】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C 不正确；D 正确．故答案为D. 【点睛】本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ，求出()P B 、(C)P 的值，相加即可求解．【详解】设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ，所以()()0.4,()()0.9P A P B P A P C +=+=，且()()()1P A P B P C ++=，所以()1()()0.6P C P A P B =--=，()1()()0.1P B P A P C =--=，所以()()0.7P B P C += 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式的应用，其中解答中熟记互斥事件的概率加法公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B解析：B 【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果. 【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为11115(1)(1)(1)64312P =-⨯-⨯-=，所以三人中至少有一人被录取的概率为17112P P =-=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式()()1P A P A +=，求得结果.9．D解析：D 【分析】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，从这5位同学中任取3人，所有的基本事件有：ABC 、ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共10种，其中，事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”包含的基本事件有：ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共9种，因此，所求概率为910P =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列、组合数的应用.10．D解析：D 【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项. 【详解】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=，故选：D. 【点睛】方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.11．D解析：D 【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．【详解】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=， ∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．12．A解析：A 【分析】由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，由此能求出7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率．【详解】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．C解析：C 【分析】由平均数求出8x =，进而可得7人中身高高于177cm 的有5人，用古典概型求出概率即可. 【详解】根据题意，得1801811701731701781791777x +++++++=，解得8x =，这7人中取2人的情况共2721C =种，身高高于177cm 的5人中取2人的情况共2510C =种，所以身高的高于177cm 的概率为1021故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.二、解答题14．（1）4.74；（2）能；（3）35.（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；（2）利用题中所给的列联表，求得2K 的值，与表中所给的临界值比较，得到结论；（3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为1000.80.216⨯⨯=人第五组的频数为100 1.20.224⨯⨯=人所以前四组的频数和为()100241660-+=人而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人所以中位数落在第四组，设为x ，因此有4.650(4816)0.232x --++=（或1.6( 4.6)0.22x -=）解得 4.7375x = 所以中位数是4.74（2）因为22100(40203010)50507030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯所以21004.76221K =≈ 所以2 3.841K >因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果；（2）利用公式求得2K 的值，结合临界值得到结果；（3）利用古典概型概率公式求得概率.15．（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）35. 【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以100可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6天，其中超过250元的有2天，记为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过250元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=，按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：10040%40⨯=（家），果蔬类商贩：10015%15⨯=（家）. （2）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为()0.0020.00150406+⨯⨯=天，其中超过250元的有400.001502⨯⨯=天，记日收入超过250元的2天为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，随机抽取两天的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()34,b b ，共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b ，()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b ，共9种.所以，这两天的日收入至少有一天超过250的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）树状图法；（2）列举法；（3）列表法；（4）排列组合数的应用. 16．（1）328；（2）答案详见解析. 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可计算出答案；（2）求出随机变量及其概率，列出分布列即可. 【详解】（1）据题意，从8名优秀年青教师中任选3名共有3856C =种，其中优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到的共有166C =种，设A=“8名优秀年青教师中，优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到”，所求概率635628p A ==（）. （2）ξ的所有可能取值为0，1，2，()0326385014C C P C ξ===， ()12263815128C C P C ξ===，()2126383228C C P C ξ===，所以ξ的分布列为17．（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵. 【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解. 【详解】（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3，则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：10.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=，②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 18．（1）属于“不合格”的零件；（2）35. 【分析】(1)利用频率分布直方图能求出样本的平均数，即可判断；（2）用列举法把所有可能的结果一一列举出来，利用古典概型概率公式进行计算．【详解】（1）由题意()0.005350.01450.015550.03650.02750.015850.005951066.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故()()2,236.5,96.5x s x s -+=， ∵()9736.5,96.5∉，故该零件属于“不合格”的零件；（2）用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，则[)30,40中取1个，[)40,50中取2个，[)50,60中取3个，分别记为1A ，1B ，2B ，1C ，2C ，3C ，从中任取两件，所有可能结果有：()11,A B 、()12,A B 、()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()12,BB 、()11,BC 、()12,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 、()12,C C 、()13,C C 、()23,C C 共15个，满足条件的有()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()11,B C 、()12,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 共9个，故概率93155P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算以及古典概型的概率计算问题，属于基础题． 19．（1）12，15；（2）45，1；（3）相互独立，理由见解析；【分析】（1）B ＝“该生选了化学”，得1000名学生中选化学的学生有500名，由此能求出P。

人教版B版(2019)高中数学必修第二册：第五章统计与概率综合测试(附答案与解析)

第五章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲一定会胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指明天降水的可能性是90%2.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）图1图2A.1%B.2%C.3%D.5%3.如图是容量为100的某样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为（）A.11B.11.5C.12D.12.54.从一批羽毛球中任取一个，如果取到质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.70D.0.685.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的标准，AQI指数与空气质量对应如表所示：下图是某城市2018年11月全月的AQI变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A.从整体上看，这个月的空气质量越来越差B.从整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C.从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D.从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值6.AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度.AQI 共分六级：一级优（0~50）；二级良（51~100）；三级轻度污染（101~150）；四级中度污染（151~200）；五级重度污染（201~300）；六级严重污染（大于300）.如图是某市2019年4月份随机抽取10天的AQI指数的茎叶图，利用该样本估计该市2020年4月份空气质量为优的天数为（）A .3B .4C .12D .217.黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如20组随机数：779 537 113 730 588 506 027 394 357 231 683 569 479 812 842 273 925 191 978 520则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（） A .14B .25C .310D .158.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） A .310B .15C .110D .1209.洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率是（）A .12B .23C .14D .1310.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x L ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（） A .22,100x s +B .22100,100x s ++C .2,x sD .2100,x s +二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），则下列结论中不正确的是（）A .甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B .甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C .甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D .甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高12.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C .2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D .2019年3月全国居民消费价格环比变化最快三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工的年龄作为样本，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取________人.14.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b −≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为________.16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a = ________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）直接根据茎叶图判断哪个班学生的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.18.（12分）改革开放40年来，体育产业的蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.如图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）.（1）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（2）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（只写结论，不要求证明）19.（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的情况，通过抽样，获得了100位L分成9组，制成了如图所示的频率居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.20.（12分）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每枝2元，云南空运来的百合花每枝进价1.6元，本地供应商处百合花每枝进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量（单位：枝）依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（1）求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（2）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（1）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250枝还是255枝百合花，才能使四月后20天百合花销售总利润更大？21.（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄（单位：岁）分成7段：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这40人年龄的平均数和中位数的估计值；（2）①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.,两道题目22.（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A B中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001—900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差。

人教B版(2019)必修第二册《第五章_统计与概率》(有答案)(2)

人教B版（2019）必修第二册《第五章统计与概率》2020年单元测试卷（2）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A.400B.40C.4D.6002. 若x1，x2，…，x8的方差为3，则2x1，2x2，…，2x8的方差为（）A. B.2 C.6 D.123. 为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如表；若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为，则a＝（）A.1B.0.8C.1.09D.1.54. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）C.3.15D.35. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A. B. C. D.6. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=( )A.13B.12C.10D.97. 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图．当空气质量指数高于90时，市民不宜进行户外体育运动．则该月不宜进行户外体育运动的天数约为（）A.2天B.3天C.4∼5天D.5∼6天8. 如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分10的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是（）A.87，9.6B.85，9.6C.87，5.6D.85，5.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．法国的数学家费马（PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数2n >时，找不到满足n n n x y z +=的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，则等式n n n x y z +=成立的概率为（） A ．112B ．12625C ．14625D ．76252．“在线学习”是中小学生疫情防控期间的主要学习手段之一.某市有15万名中小学生，为了解中小学生的在线学习情况，市教育主管部门在全市范围内随机调查了5000名中小学生平均每人每天的在线学习时间x （单位：小时），并按2小时以内和2小时以上（含2小时）两个区间段分组统计学生人数.如图所示的程序框图是统计学生在线学习时间在某个区间段人数的一个算法流程图，其输出的结果为2000.用频率估计概率，则该市中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数估计为（）A ．3万B ．6万C ．9万D ．12万3．从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为（）. A ．25B ．15C ．35D ．3104．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382435．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（） A ．3B ．4C ．5D ．66．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则（） A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件7．设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（） A ．Ⅰ和ⅡB ．Ⅱ和ⅢC ．Ⅲ和ⅣD ．Ⅳ和Ⅰ8．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（） A ．①B ．②④C ．③D ．①③9．下列说法正确的是（）A ．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D ．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.110．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为A ．310B ．25C ．12D ．3511．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（） A ．310B ．25C ．12D ．35第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．2313．高三年级7位体育老师的身高(单位：cm )数据如茎叶图所示，其中一位老师的身高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm ，若从中任选2位老师参加年级的教职工篮球赛，则身高均高于177cm 的概率为（）A ．27B ．37C ．1021D ．1121二、解答题14．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值()60100k k ≤<为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k 90100k ≤< 8090k ≤<7080k ≤<6070k ≤<产品等级ABCD件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设M =频率组距，当[)()10,101068,k n n n n N∈+≤≤∈时，满足52200nM-=.（1）试估计样本质量指标值k的中位数m；（2）从样本质量指标值不小于80的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件A级品的概率.15．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率.16．6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚焦联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长．自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗埔中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm ），得到以下频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值及众数、中位数；（2）估计苗埔中树苗的平均高度；（3）在样本中从205cm 及以上的树苗中按分层抽样抽出5株，再从5株中抽出两株树苗，其中含有215cm 及以上树苗的概率．17．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表: 锻炼时长（小时） 5 6 7 8 9 男生人数（人） 1 2 4 3 4 女生人数（人）38621（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差21s 与女生锻炼时长的方差22s 的大小.（直接写出结果）18．日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告（2016~2017）》公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上年增长1%，且数字媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率.为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位：小时）：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数字阅读时间 23 58 30 60 41 51 64 53 55 67 51 25 33 45 47 纸质阅读时间28663653456248474252521304242（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.19．某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言. （Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.20．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，得其频率分布直方图如图所示.（1）估计全校学生中课外阅读时间在[)30,40小时内的总人数是多少；（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？21．已知从树人中学高三年级的8名优秀年青教师（男教师6名，女教师2名）中任选3名参加养老院志愿服务活动.（1）求“8名优秀年青教师中，优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到”的概率. （2）若所选3名优秀年青教师中女教师人数为ξ，求ξ的分布列.22．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在[]80,100的居民有900人．满意度评分 [)40,60[)60,80[)80,90[]90,100满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η=（满意程度的平均分）/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[)40,50、[)50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人都是对防疫工作的评分在[)50,60内的概率．23．某企业员工x 人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数x，a，b的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，并且在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，求甲被选中的概率.24．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约5.4km，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22⨯列联表：男性女性合计参加10没参加8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是8 15.（1）完成答题卡上的22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82825．为了保证食品安全，保障公众身体健康和生命安全，2018年国家对《食品安全法》进行了修正.2020，年春节前夕，某市质检部门随机抽取了20包某种品牌的速冻水饺，对某项质量指标进行检测.经统计，质量指标均在区间[0，50]内，将其按[0，10)､[10，20)､[20，30)､[30，40)､[40，50]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求该频率分布直方图中x 的值；（2）若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，估计该品牌速冻水饺的该项质量指标的平均值：（3）从质量指标大于等于30的速冻水饺中任选2包，进行深度检测，求这2包处于不同区间的概率.26．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，使得n n n x y z +=，共有5555625⨯⨯⨯=种不同的情形，当1n =时，可得x y z +=，可得112,123,134,145,213,224,235,314,325,415+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，共有10种情况，满足题意；当2n =时，可得222x y z +=，可得222222345,435+=+=，共有2种情况，满足题意；当3,4,5n =时，没有满足n n n x y z +=成立的情况，所以等式n n n x y z +=成立的概率为12625P =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．C解析：C 【分析】根据程序框图，可知输出的S 是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，可知样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，即可求出在线学习时间在2小时以内人数的频率，进而可求出答案. 【详解】根据程序框图，输出的S 是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，结果为2000，故样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，因此在线学习时间在2小时以内人数的频率为30000.65000=，用频率估计概率，该市15万名中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数大约为150.69⨯=万. 故选：C. 【点睛】本题以现实生活为背景，考查程序框图及数学建模能力，考查概率的理解，属于基础题.3．A解析：A 【分析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有4个，由此能求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率．【详解】解：从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个，基本事件总数2510n C ==，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有：ab ，bc ，cd ，de ，共4个，∴这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为42105p ==．故选：A ．【点睛】本题考概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C解析：C 【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．5．B解析：B 【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确．正确的是①③⑤⑥．故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.6．A解析：A【分析】由互斥事件与对立事件的定义判断即可得出正确答案.【详解】事件A包含的基本事件为向上的点数为1,2；事件B包含的基本事件为向上的点数为3,4,5,6；事件C包含的基本事件为向上的点数为1,3,5；由于事件A，B不可能发生，且事件A，B的和事件为必然事件，A与B是对立事件当向上一面的点数为3时，事件B，C同时发生，则B与C不互斥也不对立故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的判断，对立事件与互斥事件关系的辨析，属于中等题.7．B解析：B【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；在A中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A中的两个事件不能相互为对立事件；在B中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B中的两个事件相互为对立事件；在C中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C中的两个事件不能相互为对立事件；在D中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D中的两个事件不能相互为对立事件．故选：B．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．C解析：C【解析】【分析】依照对立事件的概念，依次判断即可．【详解】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选C．【点睛】本题主要考查对立事件的概念，意在考查学生的数学抽象能力．9．D解析：D【分析】由概率的意义可判断AB错误，由随机抽样的概念得到D正确.【详解】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．故答案为D.【点睛】本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于基础题.10．C解析：C【解析】【分析】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽取的两种物质相克的概率是12，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案.【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有2510C=种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是51102=，故抽取两种物质不相克的概率是11122-=，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．D解析：D【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率.【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．C解析：C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,A B C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162 p==.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏． (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.13．C解析：C 【分析】由平均数求出8x =，进而可得7人中身高高于177cm 的有5人，用古典概型求出概率即可. 【详解】根据题意，得1801811701731701781791777x +++++++=，解得8x =，这7人中取2人的情况共2721C =种，身高高于177cm 的5人中取2人的情况共2510C =种，所以身高的高于177cm 的概率为1021故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.二、解答题14．（1）85m =；（2）57. 【分析】（1）计算出各产品等级的频率，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得m 的值；（2）计算得出7件产品中A 级品共3件，分别记为1A 、2A 、3A ，B 级品共4件，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）当6n =时，[)60,70k ∈，1100M =，频率为11100.1100p =⨯=；当7n =时，[)70,80k ∈，150M =，频率为21100.250p =⨯=；当8n =时，[)80,90k ∈，125M =，频率为31100.425p =⨯=. 各产品等级的频率如下表所示：0.10.20.50.10.20.4+<<++，80,90m ∴∈，所以，800.10.20.40.510m -++⨯=，解得85m =；（2）所抽取的7件产品中，A 级品的数量为0.3730.30.4⨯=+，分别记为1A 、2A 、3A ，B 级品的数量为4，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，从这7件产品中任取2件产品，所有的基本事件有：12A A 、13A A 、11A B 、12A B 、13A B 、14A B 、23A A 、21A B 、22A B 、23A B 、24A B 、31A B 、32A B 、33A B 、34A B 、12B B 、13B B 、14B B 、23B B 、24B B 、34B B ，共21个基本事件，其中，事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”包含15个基本事件，因此，所求事件的概率为155217P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.15．（1）a =0.030；（2）54分；（3）35. 【分析】（1）由各组频率和为1列方程即可得解；（2）由频率分布直方图结合等级达到C 及以上所占排名等级占比列方程即可的解；（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解. 【详解】（1）由题意，(0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005)⨯10=1，所以a =0.030；（2）由已知等级达到C 及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，假设原始分不少于x 分可以达到赋分后的C 等级及以上，易得5060x <<，则有(0.005+0.025+0.030+0.015)⨯10+(60-x )⨯0.015=0.85，解得x ≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C 等级及以上；（3）由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人记得分在[50,60)内的3位学生为a ，b ，c ，得分在[40,50)内的2位学生为D ，E ，则从5人中任选2人，样本空间可记为Ω={ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE },共包含10个样本用A 表示“这2人中恰有一人得分在[40,50)内”，则A ={aD ，aE ，bD ，bE ，cD ，cE }，A 包含6个样本，故所求概率()610P A =35=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对频率分布直方图的准确把握，在使用列举法解决古典概型的问题时，要注意不遗漏不重复.16．（1）0.025a =，众数为190，中位数为190；（2）189.8cm ；（3）25. 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值，利用最高矩形底边的中点值为众数可求得样本的众数，利用中位数左边矩形的面积和为0.5可求得样本的中位数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，即为所求；（3）计算可知5株中在株高205215-这一组抽取的有4株，记为1a 、2a 、3a 、4a ，在株高215225-抽取1株，记为b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“抽取的2株中含有215cm 及以上树苗”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得()0.00150.0110.02250.030.0080.0015101a ++++++⨯=，解得0.025a =.众数为1851952+=190，设中位数为x ，因为()0.00150.01100.0225100.350.5++⨯=<，()0.00150.01100.02250.030100.650.5+++⨯=>，则185195x <<， ()()0.00150.01100.0225100.0301850.5x ++⨯+⨯-=，解得190x =；（2）1600.0151700.111800.2251900.32000.252100.082200.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()189.8cm =.因此，估计苗埔中树苗的平均高度为189.8cm ；（3）在株高205215-这一组应抽取：0.08540.080.02⨯=+株，在株高215225-这一组应抽取：0.02510.080.02⨯=+株，用1a 、2a 、3a 、4a 表示在株高205215-这一组的4株，用b 表示在株高215225-这一组的1株，从中抽调2株的抽法：12a a 、13a a 、14a a 、1a b 、23a a 、24a a 、2a b 、34a a 、3a b 、。

新人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题1．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的结果相互独立，在某局双方10:10平后，甲先发球，则甲以13:11赢下此局的概率为（） A ．29B ．19C ．16D ．1182．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（）． A ．5216B ．25216C ．31216D ．912163．从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为（）. A ．25B ．15C ．35D ．3104．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（） A ．3B ．4C ．5D ．65．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）A ．29B ．15C ．310D ．136．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件7．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（）A．1126B．521C．635D．4218．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为 ( )．A．22213221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．22232233C⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．22112221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．21112221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为（）A．59石B．60石C．61石D．62石10．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为12，则这周能进行决赛的概率为A．18B．38C．58D．7811．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为（）A．0.015 B．0.005 C．0.985 D．0.99512．如果从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则这2个数的和能被3整除的概率为（）A．25B．310C．15D．1213．五一节放假期间，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）A ．5960B ．35C ．12D ．160二、解答题14．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）记事件A 为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求()P A ；（2）记事件B 为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件C 为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：1()()()5P C P B P A -=. 15．随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用越来越多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫，已知某种药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：°C ）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：m ，n ，求事件“m ，n 均不小于26”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y 关于x 的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验；①若选取的是3月2日和30日这两组数据，请根据7日、15日、22日这3组数据求出y 关于x 的线性回归方程；②若由线性回归方程得到的估计产卵数与所选出的检验数据的误差不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的．按照此标准①中得到的线性回归方程是否可靠？说明理由．参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 16．甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m 行､第n 列的数据是甲队第m 号队员能战胜乙队第n 号队员的概率.3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？17．日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告（2016~2017）》公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上年增长1%，且数字媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率.为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位：小时）：（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.18．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在A类科目：物理、化学、生物和B类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门．（1）求小明同学选A类科目数X的分布列．（2）求小明同学从A类和B类科目中均至少选择1门科目的概率．19．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．附：临界值表参考公式：22()=)()()()n ad bc K a b c d a c b d （-++++，+n a b c d =++．20．2018年2月9~25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行，4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看奥运会开幕式进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与收看了开幕式的学生中，采用分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动. ①问男、女学生各选取多少人？②若从这8人中随机选取2人到校广播站宣传冬奥会，求恰好选到一名男生为主播一名女生为副播的概率P .附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间（2x s -，2x s +）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s ，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是97cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm的概率.22．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约5.4km，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22⨯列联表：男性女性合计参加10没参加8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是8 15.（1）完成答题卡上的22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 23．某中学高一年级由1000名学生, 他们选着选考科目的情况如下表所示：科目人数物理化学生物政治历史地理从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：A =“该生选了物理”；B =“该生选了化学”；G =“该生选了生物”； D =“该生选了政治”；E =“该生选了历史”；F =“该生选了地理”. （1）求(),()P B P DEF . （2）求(),()PC E P B F ⋃⋃.（3）事件A 与D 是否相互独立？请说明理由.24．某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：男性：女性：（1）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（2）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率.25．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，一轮游戏中，若“摸出的两个都是红球”出现3次获得200积分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20积分，若“摸出的两个都是红球”出现0次则扣除10积分（即获得-10积分）.（1）求每次游戏中，“摸出的两个都是红球”的概率p；（2）设每轮游戏获得的积分为X，求X的分布列与数学期望；（3）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的积分0相比，积分没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.26．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】本题先判断所求事件的两种情况，根据事件的独立性，直接求解即可.【详解】在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为121211 32329P=⋅⋅⋅=；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为211211 323218P=⋅⋅⋅=，所以，所求事件概率为：121119186P P +=+=，故选：C. 【点睛】本题考查事件的独立性，分类讨论思想，是中档题.2．D解析：D 【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案. 【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，记事件A 为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，则A 为“抛掷3次都没有出现6点向上”，记事件i B 为“第i 次中，没有出现6点向上”，1,2,3i =，则123A B B B =，又()56i P B =，所以()351256216P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()()1259111216216P A P A =-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.3．A解析：A 【分析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有4个，由此能求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率．【详解】解：从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个，基本事件总数2510n C ==，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有：ab ，bc ，cd ，de ，共4个，∴这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为42105p ==．故选：A ．【点睛】本题考概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．B解析：B 【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确．正确的是①③⑤⑥．故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.5．A解析：A 【解析】【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为4575；乙的成绩为：86，88，90+x ，90+y ，99 （x ≤y ）； ∵甲，乙中位数相同；∴90+x ＝91⇒x ＝1；乙的平均数为4545y+； ∵乙的平均成绩低于甲； ∴1≤y ＜3；⇒y ＝1或2． ∴乙的平均成绩低于甲的概率p 29=；故选：A ．【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断．【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．7．D解析：D 【分析】对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有2224C C 种方法，当男生来自高二时，有2234C C 种方法，并求概率.【详解】当两名男生来自高一年级，2224149121C C P C ==，当两名男生来自高二，223424917C C P C == 1211421721P P P =+=+=, 故选D. 【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.8．C解析：C 【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2121233C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，若前两局都是甲赢，所求概率为223⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，甲获胜的概率为22112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．9．A解析：A 【分析】运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果【详解】由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：61549=，则这批米内夹谷为115325999⨯=，约为59石故选A 【点睛】本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单．10．D解析：D 【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解. 【详解】设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =⋃⋃，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有()()()()34511111171112222228P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D ．【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.11．D解析：D 【分析】设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案. 【详解】设 “甲考生达标” 为事件A ， “乙考生达标” 为事件B ， “丙考生达标” 为事件C ，则()0.9P A =，()0.8P B =，()0.75P C =，()10.90.1P A =-=，()10.80.2P B =-=，()10.750.25P C =-=，设 “三人中至少有一人达标” 为事件D ，则()()110.10.20.2510.0050.995P D P ABC =-=-⨯⨯=-=，故选：D. 【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】从5个数中任取两个不同数，取法为2510C =，列举和能被3整除的情况有4种，利用古典概型得解【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数，取法总数为2510C =这2个数的和能被3整除的情况有：()()()()1,21,52,44,5,，， ∴这2个数的和能被3整除的概率为：42105= 故选：A 【点睛】本题考查古典概型求概率，属于基础题.13．B解析：B 【分析】根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．【详解】解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15． ∴他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游∴至少有1人去北京旅游的概率为234313455P =-⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查相互独立事件和对立事件的概率，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．二、解答题14．（1）35；（2）证明见解析. 【分析】（1）列举出从袋中一次摸出2个球的所有基本事件，找出其中满足事件A 的基本事件有6个，即可求解()P A ；（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件B 的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件C 的基本事件，即可计算出1()()()5P C P B P A -=. 【详解】解：（1）记这3个红球为123,,a a a ，2个白球记为12,b b ，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b 共10个，其中满足事件A 的基本事件有6个，所以()63105P A ==. （2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()11,a a ，()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()22,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()33,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()11,b b ，()12,b b ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()21,b b ，()22,b b 共25个，满足事件B 的基本事件有12个，所以()1225P B =. 从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()12,b b ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()21,b b 共20个，满足事件C 的基本事件有12个，所以()123205P C ==. 因此：()()312352525P C P B -=-=，又()35P A =，所以()()()15P C P B P A -=. 【点晴】方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率.15．（1）110；（2）①532y x ∧=-；②可靠，理由见解析.【分析】（1）根据题意写出所有的基本事件，即可求解：“不小于26”的概率；（2）①由题意求出x ，y ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； ②分别将x 的值代入，检验数据的误差均是否不超过2个，即可判断．【详解】（1）依题意得，m 、n 的所有情况有：{}23,25、{}23,30、{}23,26、{}23,16、{}25,30、{}25,26、{}25,16、{}30,26、{}30,16、{}26,16共有10个；则“m 、n 均不小于26”的事件只有{}30,26，所以110P =，即事件“m 、n 均不小于26”的概率为110；（2）①由数据得111312123x ++==，253026273y ++==， ()322221(1112)(1312)(1212)2i i x x =-=-+-+-=∑，()()31(1112)(2527)(1312)(3027)05iii x x y y =--=--+--+=∑，()()()31321522iii ii x x y y b x x ∧==--==-=∑∑，552712322a y x ∧=-=-⨯=-.所以y 关于x 的线性回归方程为532y x ∧=-.②可靠；由①知，y 关于x 的线性回归方程为532y x ∧=-.对于2日数据，将10x =代入线性回归方程得5103222y ∧=⨯-=，其误差为|2223|12-=<，对于30日数据，将8x =代入线性回归方程得583172y ∧=⨯-=，其误差为|1716|12-=<，所以，所得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】方法点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，求线性回归方程的步骤：（1）首先求出x 的平均数x 和y 的平均数y（2）代入公式求回归方程的斜率()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（3）代入公式求出回归方程的截距ˆˆay bx =-，考查学生的计算能力，属于基础题. 16．（1）0.045；（2）甲队队员获胜的概率更大一些. 【分析】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队1号输给乙队1号，然后甲队2号上场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得；（2）第三局比赛甲胜可分为3个互斥事件：甲队1号胜乙队3号，甲队2号胜乙队2号，甲队3号胜乙队1号，分别计算概率后相加可得．然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论．【详解】解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为0.50.60.50.30.045⨯⨯⨯= （2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件（i ）甲队1号胜乙队3号，概率为0.50.30.20.03⨯⨯=；（ii ）甲队2号胜乙队2号，概率为0.50.70.50.50.60.50.325⨯⨯+⨯⨯=； (iii )甲队3号胜乙队1号，概率为0.50.40.80.16⨯⨯= 故第3局甲队队员胜的概率为0.030.3250.160.515++=. 则第3局乙队队员胜的概率为10.5150.485-= 因为0.5150.485>，故甲队队员获胜的概率更大一些．【点睛】关键点点睛：本题考查相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．解题关键是把事件“第3局比赛甲队队员获胜”分斥成3个互斥事件，然后分别求得概率后易得出结论． 17．（1）8；（2）答案见解析；（3）710. 【分析】（1）根据分层抽样的原理计算可得答案；（2）由已知数据得出被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图，由表中的数据可得统计结论；（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生的编号是1，3.运用列举法所有的基本事件，再由古典概率公式可得答案．【详解】（1）450210158450-⨯=（名）.所以被调查的15名学生中共有8名男生.（2）被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图如下：通过观察比较分析可知，平均每周的数字阅读时间比纸质阅读时间长，纸质阅读时间数据更集中；（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生的编号是1，3.从这5名学生中，随机抽取两名学生，所有可能的抽取结果为(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共10个基本事件，设“从这5名学生中随机抽取两名学生，这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时”为事件A ，共有7个基本事件，分别为(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(3,5)，(3,6)，则7()10P A =. 【点睛】方法点睛：在解决概率统计的应用问题时，注意理解问题的情景，将生活中的数据转化成数学统计中的数据，再运用相应的统计知识解决． 18．（1）分布列见解析；（2）910. 【分析】（1）确定X 的所有取值为0，1，2，3，X 服从超几何分布，代入超几何分布的概率公式，计算每个X 的取值对应的概率，列出X 的分布列即可；（2）即两门A 类科目一门B 类科目或者一门A 类科目两门B 类科目的概率，则概率()()12P P X P X ==+=，从而计算可得；【详解】解：（1）小明同学选A 类科目数X 可能的取值为0，1，2，3，则X 服从超几何分布，()0333361020C C P X C ===， ()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===． X 的分布列为：()()()99912202010P C P X P X ==+==+= 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，考查了超几何分布，古典概型的概率计算，计数原理．属于中档题． 19．（1）见解析；（2）0.4 【分析】(1)根据独立性检验求出()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．【详解】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名，不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d ），（c ，1），（c ，2），（d ，1），（d ，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故其概率为P （A ）=60.415= 【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.20．（1）有99%的把握；（2）①男生6人，女生2人；②37. 【分析】（1）列出22⨯列联表，求出2k 的值，根据附表可得答案；。

(人教版B版最新)高中数学必修第二册第五章综合测试03-答案

第五章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】D 【解析】由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，故每名学生被抽到的概率相等，故选 D。 2.【答案】B
6 【解析】 0.6 是正面朝上的频率，不是概率。故选 B。
10 3.【答案】D
【解析】必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0，随机事件的概率在0,1 上，故选 D。
4.【答案】C
【解析】事件 A 包含的样本点有 2,6 ， 3,5 ， 4, 4 ， 5,3 ， 6, 2 ，共 5 个。
5.【答案】B 【解析】因为摸到黑球的频率为 0.49，所以摸到白球的频率为 0.51，从而摸到白球的次数为100 0.51 51 。故选 B。 6.【答案】C
【解析】根据题意，放回式抽取两次，所有可能的结果有 6 6 36（种），事件 A 包含 1,6 ，2,3 ，3, 2 ，
14.【答案】 2
【解析】任取一个“十全十美三位数”包含的基本事件有 109，190，901，910，127，172，271，217，721，
712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，
352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共 40 个，其中奇数有 20 个，∴任取一 20 1
6,1 ，共 4 种，由概率计算公式，得 P A
4
1 =。
36 9
7.【答案】C
81 【解析】由分层抽样的方法可设样本容量为 x ，则，解得 x 32 。故选 C。
x4
8.【答案】B
【解析】由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有 191，271，932，812，393，共 5 组，

新人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．法国的数学家费马（PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数2n >时，找不到满足n n n x y z +=的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，则等式n n n x y z +=成立的概率为（）A ．112B ．12625C ．14625D ．76252．下列命题正确的是（）A ．用事件A 发生的频率()n f A 估计概率()P A ，重复试验次数n 越大，估计的就越精确.B ．若事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立.C ．事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.D ．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大. 3．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为111,,236，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（）A ．536B ．56C ．512D ．124．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382435．从1,2,3,4这四个数字中依次取（不放回）两个数字,a b ，使得()()lg 3lg 4a b ≥成立的概率是（） A ．13B ．512C ．12D ．7126．已知{0,1,2}a ∈,{1,1,35}b ∈-，,则函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率是（） A ．512B ．13C ．14D ．167．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩，有实数解的概率为（）A ．29 B ．79 C ．736 D ．9368．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件9．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为（）A．59石B．60石C．61石D．62石10．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为12，则这周能进行决赛的概率为A．18B．38C．58D．7811．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．310B．25C．12D．35第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案12．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A．16B．13C．12D．2313．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X，已知16(1)45P X==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品数为（）A．2件B．4件C．6件D．8件二、解答题14．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．15．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：空气质量指数 050 51100 101150 151200 201300300>空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如下：甲 48 65 104 132 166 79乙80 67 10815020562（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（3）记甲城市这6天空气质量指数的方差为20S ．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a ，若99a =，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为21S ；若169a =，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为22S ，试比较20S 、21S 、22S 的大小．（结论不要求证明）16．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.18．2018年2月9~25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行，4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看奥运会开幕式进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生 60 20 女生2020（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与收看了开幕式的学生中，采用分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动. ①问男、女学生各选取多少人？②若从这8人中随机选取2人到校广播站宣传冬奥会，求恰好选到一名男生为主播一名女生为副播的概率P .附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥ 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87919．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在[50，100]内，按成绩分为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的a值；（2）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（3）用分层抽样的方法从成绩在[80，100]内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率.20．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军(决赛只赛一场).以八支战队的比赛为例(如图所示)，第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.双败流程示意图（以八支战队为例）（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.21．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．22．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.23．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？24．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．25．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在6090分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在7590之间的概率．26．某重点中学为了了解学生在期末市统考中的数学考试情况，抽取了100名学生的数学成绩．以[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150分组的频率分布直方图如下图所示：（1）求直方图中x 的值；（2）求数学成绩的中位数；（3）在数学成绩为[)120130,，[)130140,，[]140,150的三组学生中，用分层抽样的方法抽取6名学生，在这6名学生中选出2名学生参加数学竞赛，求至少有一名学生在[)130140,分组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，使得n n n x y z +=，共有5555625⨯⨯⨯=种不同的情形，当1n =时，可得x y z +=，可得112,123,134,145,213,224,235,314,325,415+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，共有10种情况，满足题意；当2n =时，可得222x y z +=，可得222222345,435+=+=，共有2种情况，满足题意；当3,4,5n =时，没有满足n n n x y z +=成立的情况，所以等式n n n x y z +=成立的概率为12625P =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B【分析】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．【详解】在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近. n越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说n越大，估计的精度越精确，A错；事件A与事件B相互独立，即A是否发生与B是否发生无关，∴事件A是否发生与事件B是否发生也无关，它们相互独立，B正确；抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件A，出现的点为不小于2记为事件B，则事件A与事件B同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为4263=，而事件A与B中恰有一个发生是指点为1或6，概率为212633=<．C错；抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．故选：B．【点睛】本题考查概率的定义，考查事件的独立性．掌握概念的定义是解题关键．3．C解析：C【分析】概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率，计算到答案.【详解】根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.即3331115 162312 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．C解析：C【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．5．C解析：C 【分析】列出样本空间Ω,以及事件A =“()()lg 3lg 4a b ≥”包含的基本事件，计算概率. 【详解】因为()()lg 3lg 4a b ≥，所以34a b ≥.从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,2,1,1,3,3,1 ,1,4,4,1,2,3,3,2,2,4,4,2,3,4,4,3Ω=，共12个样本点，符合条件34a b ≥的样本点有()()()()()()2,1,3,1,4,1,3,2,4,2,4,3，共6个，所以所求概率为12，故选C . 【点睛】本题考查了古典概型，考查了学生实际应用以及数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】利用枚举法分情况将所有满足条件的情况举出,再利用古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】{0,1,2}a ∈,{1,1,3,5}b ∈-,∴基本事件总数3412n =⨯=.用(,)a b 表示,a b 的取值.若函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数,则①当0a =时,()2f x bx =-,符合条件的只有(0,1)-,即0a =,1b =-;②当0a ≠时,则由题意0a >，只需满足1ba,符合条件的有(1,1)-,(1,1),(2,1)-,(2,1),共4种.∴函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率512P =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想以及古典概型求概率的方法,属于中等题型.7．B解析：B 【分析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得,a b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(),a b 个数，利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】因为方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩有解，故直线80ax by +-=与圆224x y +=有公共点，2≤即2216a b +≥，当1a =时，4,5,6b =，有3种情形；当2a =时，4,5,6b =，有3种情形；当3a =时，3,4,5,6b =，有4种情形；当4,5,6a =时，1,2,3,4,5,6b =，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(),a b 共有36种不同的情形，故所求的概率为287369=. 故选：B. 【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.8．C解析：C 【分析】对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断．【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．9．A解析：A 【分析】运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果【详解】由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：61549=，则这批米内夹谷为115325999⨯=，约为59石故选A 【点睛】本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单．10．D解析：D 【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解. 【详解】设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =⋃⋃，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有()()()()34511111171112222228P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D ．【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.11．D解析：D 【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．C解析：C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,A B C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162 p==.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.13．A解析：A【分析】设10件产品中存在n件次品，根据题意列出方程求出n的值．【详解】设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为X，由16(1)45P X==得，11102101645n nC CC-=，化简得210160n n -+=，解得2n =或8n =；又该产品的次品率不超过40%，4n ∴；应取2n =，故选：A 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．二、解答题14．（1）49；（2）分布列见解析，195()9E ξ=；（3）49. 【分析】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =，则这位参赛者仅回答正确两个问题的情况有123A A A ，123A A A ，123A A A ，然后利用互斥事件的概率和公式求解即可；（2）由题意可得30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望；（3）由（2）可得这位参赛者闯关成功的概率为(30)(50)(60)P P P P ξξξ==+=+= 【详解】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =， ∴()()()123123123P P A A A P A A A P A A A =++22121112143323323329=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=-- ()1231(30)18P P A A A ξ=-==，()1231(20)9P P A A A ξ=-==， ()1231(0)9P P A A A ξ===，()1232(10)9P P A A A ξ===，()1231(20)18P P A A A ξ===，()1231(30)9P P A A A ξ===， ()1231(50)9P P A A A ξ===，()1232(60)9P P A A A ξ===， ∴ξ的分布列为：()30200102030506018999189999E ξ=-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4(30)(50)(60)9P P P P ξξξ==+=+==．【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件和独立事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，正确利用互斥事件和独立事件的概率公式，属于中档题 15．（1）13；（2）19；（3）222102S S S <<．【分析】（1）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，利用频率估计概率的思想可求得结果；（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）根据题意可得出20S 、21S 、22S 的大小关系. 【详解】（1）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率为13；（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：()48,80、()48,67、()48,108、()48,150、()48,205、()48,62、()65,80、()65,67、()65,108、()65,150、()65,205、()65,62、()104,80、()104,67、()104,108、()104,150、()104,205、()104,62、()132,80、()132,67、()132,108、()132,150、()132,205、()132,62、()166,80、()166,67、()166,108、()166,150、()166,205、()166,62、()79,80、()79,67、()79,108、()79,150、()79,205、()79,62，共36个，用A 表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则事件A 包含的基本事件有：()104,108、()104,150、()132,108、()132,150，共4个基本事件，所以，()41369P A ==；（3）222102S S S <<．【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.16．（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）35. 【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以100可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6天，其中超过250元的有2天，记为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过250元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=，按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：10040%40⨯=（家），果蔬类商贩：10015%15⨯=（家）. （2）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为()0.0020.00150406+⨯⨯=天，其中超过250元的有400.001502⨯⨯=天，记日收入超过250元的2天为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，随机抽取两天的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()34,b b ，共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b ，()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b ，共9种.所以，这两天的日收入至少有一天超过250的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）树状图法；（2）列举法；（3）列表法；（4）排列组合数的应用.17．（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25. 【分析】（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i ii x x p ==∑（其中ix 表示第i 组的中间值，i p 表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；（2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 18．（1）有99%的把握；（2）①男生6人，女生2人；②37. 【分析】（1）列出22⨯列联表，求出2k 的值，根据附表可得答案；（2）①根据分层抽样的方法可得，男、女学生各选取的人数；②从这8人中随机选取2人，共有28C 种不同的选法，其中恰好选到一名男生为主播一名女生为副播共有1162C C 种不同的选法，根据古典概型的概率计算公式可得概率. 【详解】（1）22⨯列联表：()22120602020207.5 6.63580408040k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. （2）①根据分层抽样的方法可得，男生抽取：860=680⨯（人），女生抽取：820=280⨯（人）. ∴选取的8人中，男生6人，女生2人.②从这8人中随机选取2人，共有2828C =种不同的选法；其中恰好选到一名男生为主播一名女生为副播共有116212C C =种不同的选法.根据古典概型的概率计算公式可得，恰好选到一名男生为主播一名女生为副播的概率123287P ==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样和古典概型，属于中档题. 19．（1）0.016；（2）约为74.1；（3）35．【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得a ；（2）频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数；（3）根据频率分布直方图求出成绩在[80,90)和[90,100]上的人数，然后利用对立事件的概率公式计算．【详解】（1）由题意(0.0080.0240.0440.008)101a ++++⨯=，解得0.016a =；（2）在频率分布直方图中前两组频率和为(0.0080.024)100.32+⨯=，第三组频率为0.044100.44⨯=，中位数在第三组，设中位数为x ，则70100.50.320.44x -=-，解得74.1x ≈；（3）由频率分布直方图成绩在[80,90)和[90,100]和频率分别是0.16和0.08，共抽取6人，∴成绩在[80,90)上的有4人，成绩在[90,100]上的有2人，从6人中任意抽取2人共有2615C =种方法，2人成绩都在[80,90)上的方法有246C =种，∴月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率为631155P =-=．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算中位数，考查分层抽样与古典概型，，考查了学生的数据处理能力与运算求解能力，属于中档题．。

2020学年新教材高中数学第5章统计与概率单元质量测评(含解析)新人教B版必修第二册(最新整理)

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第五章统计与概率单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（）A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况答案B解析A选项做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的方式；B选项班级人数有限，比较容易调查因而适合普查；C选项数量大并且耗时长，不适合普查；D选项普查时数量太大,要费太大的人力、物力，得不偿失，不适合普查．故选B.2．近几年来移动支付越来越普遍，为了了解某地10000名居民常用的支付方式，从中抽取了500名居民,对其常用支付方式进行统计分析．在这个问题中，10000名居民的常用支付方式的全体是( ）A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案A解析10000名居民的常用支付方式的全体是总体，样本容量是500，每个居民的常用支付方式是个体,500名居民的常用支付方式是从总体中抽取的一个样本．故选A。

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册章末综合测评5 概率 Word版含解析

章末综合测评（五）概率(时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石，验得米内夹谷,抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ）A．134石B．169石C．338石D．1 365石B［因为样品中米内夹谷的比例为错误!，所以这批米内夹谷为1 534×错误!≈169(石)．]2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是错误!，那么概率是错误!的事件是（）A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡A[至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．] 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”，已知P（A)＝错误!，P（B）＝错误!,则“出现奇数点或2点”的概率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!D[∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，∴P＝P(A)＋P(B）＝错误!＋错误!＝错误!.]4．2019年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!D［最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种,他们选择相同的景点有6种,所以P＝错误!＝错误!,所以选D．] 5．某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C[数字不小于6有6，7，8,9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P＝错误!＝错误!.]6．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B［两名同学分3本不同的书，试验的样本空间为Ω＝{（0，3），(1a，2)，(1b,2)，（1c，2），（2，1a）,（2，1b)，（2，1c)，（3，0)｝,共8个样本点，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个,∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝错误!＝错误!.] 7．电子钟一天显示的时间是从00:00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C[当“时”的两位数字的和小于9时,则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9（即“09”或“18”）,“分”的和为14（“59”);或者“时”的和为10（即“19”），“分”的和为13（“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟,所以概率P＝错误!＝错误!。

必修第二册第五单元《概率》测试(含答案解析)

一、选择题1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（） A ．23B ．13C ．1 2D ．562．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，如图所示的图形表示的数就是他们研究过的三角形数．现从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数，则这3个数恰好都是三角形数的概率为（）A ．3700B ．1350C ．4455D ．39103．斐波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21++=+n n n a a a ，现从数列的前2019项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（） A ．14B ．2522019C ．5042019D ．50520194．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（）． A ．5216B ．25216C ．31216D ．912165．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( ) A ．2pB ．2p C ．1p D ．12p 6．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A ．恰有1个白球和全是白球B ．至少有1个白球和全是黑球C ．至少有1个白球和至少有2个白球D ．至少有1个白球和至少有1个黑球7．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（） A ．1126B ．521C ．635D ．4218．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥9．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（） A ．①B ．②④C ．③D ．①③10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 A ．310B ．25C ．12D ．3511．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B +=12．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一､周三､周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A ．325659A A AB ．325659C A A C ．325659C C CD ．325659C C A 13．我省明年高考将实行312++模式，即语文数学英语必修，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课没有相同科目的概率为（） A ．16B ．112C ．56D ．1112二、解答题14．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.15．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.16．2020年9月份，南京出台了<南京市生活垃圾管理条例>，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者.已知某垃圾站的日垃圾分拣量y (千克)与垃圾分类志愿者人数x (人)满足线性回归直线方程ˆybx a =+，数据统计如下：（1）已知511405i i y y ===∑，120ii x==∑，1885i i i x y ==∑，根据所给数据求t 和线性回归直线方程ˆybx a =+. （2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的口垃圾分拣量的估计值ˆi y.当分拣数据i y 与估计值ˆi y满足ˆi i y y -≤2时，则将分拣数据(i x ，i y )称为一个“正常数据”.现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a 的值．（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的中位数（保留两位小数）．（3）若从年龄在[)15,35的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在[)25,35内的概率．18．2020年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有20家商品销售门店，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在1月~6月的商品销售营业额，发现营业额均分布在600万元~1100万元之间，其频率分布直方图如图.（Ⅰ）估计集团20家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过900万元的门店中抽取若干家对销售额不超过700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过1000万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为950万元，求甲门店被选中的概率.19．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间与性别是否有关，某调查小组随机抽取了30名男生，20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：平均每天使用手机超过3小时平均每天使用手机不超过3小时合计男生 25 5 30 女生 10 10 20 合计351550（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在未使用国产手机的人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有2人.从未使用国产手机的人中任意选取3人，求至多有一人使用手机不超过3小时的概率.()20P K k ≥ 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++（n a b c d =+++）.20．某综艺节目邀请嘉宾进行答题闯关挑战，每位嘉宾挑战时，节目组用电脑出题的方式，从题库中随机出4道题，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，电脑依次出题，嘉宾按规则作答，挑战规则如下：①嘉宾每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②嘉宾若答对第i A 题，则继续作答第1i A +题；嘉宾若答错第i A 题，则失去第1i A +题的答题机会，从第2i A +题开始继续答题；直到4道题目出完，挑战结束；③每位嘉宾初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则嘉宾闯关成功，否则闯关失败．嘉宾小源即将参与挑战，已知小源答对题库中每道题的概率均为23，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（Ⅰ）挑战结束时，小源共答对3道题的概率1P ；（Ⅱ）挑战结束时，小源恰好作答了3道题的概率2P ；（Ⅲ）小源闯关成功的概率3P ．21．某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[)80,90，(]90,100的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[]90,100内的概率.22．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：男居民女居民合计满意 35a +2560不满意a2a（1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；（2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.23．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约5.4km，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22⨯列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是8 15.（1）完成答题卡上的22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.24．甲､乙､丙三名射箭选手每次射箭命中各环的概率分布如下面三个表格所示.甲选手乙选手丙选手（1）若甲､乙､丙各射箭一次，假设三位选手射箭所得环数相互独立，求这三位选手射箭所得总环数为28的概率；（2）经过三个月的集训后，甲选手每次射箭命中各环的概率分布如下表所示：若在集训后甲连续射箭两次，假设每次射箭所得环数相互独立，记这两次命中总环数为X，求X的分布列及数学期望.25．有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[60，70），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加校数学竞赛，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率；（3）分数在[80，100]的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率．26．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020等级A B C D频数28173421（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和．【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．2．A解析：A 【分析】根据图形，归纳出三角形数从小到大可构成数列{}n a ，且()12n n n a +=，n *∈N ，然后利用组合知识以及古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意可得，三角形数从小到大可构成数列{}n a ，且()12n n n a +=，n *∈N ．从1到50这50个整数中，所有的三角形数依次为1,3，6，10，15，21，28，36，45，共9个图形．因此从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数的所有方法种数为35019600C =，其中这3个数恰好都是三角形数的取法种数为3984C =．由古典概型的概率公式，可得概率393503700C P C ==．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了古典概型概率公式，同时考查了数形结合思想以及特殊与一般思想的应用，属于中档题.3．C解析：C【分析】依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论．【详解】根据斐波纳契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,，余数数列是周期数列，周期为8，201925283=⨯+，所以数列的前2019项中能被3整除的项有2522504⨯=，所求概率为5042019P =．故选：C ．【点睛】本题考查古典概型，考查斐波纳契数列，考查数列的周期性．解题关键是依次写出波纳契数列各项除以3所得余数形成的新数列．4．D解析：D 【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案. 【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，记事件A 为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，则A 为“抛掷3次都没有出现6点向上”，记事件i B 为“第i 次中，没有出现6点向上”，1,2,3i =，则123A B B B =，又()56i P B =，所以()351256216P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()()1259111216216P A P A =-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.5．C解析：C 【分析】利用A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，事件A 和B 同时不发生的概率是p ，建立方程，即可求得事件A 发生的概率．【详解】根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有(1)(1)(1)(1)a b p a b a b --=⎧⎨-=-⎩①②由②知a b =，代入①得1a =故选：C . 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.6．B解析：B 【分析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，进而可分析四个事件的关系；【详解】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件， ②至少有1个白球和全是黑球是对立事件； ③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件， ④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选B ．【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．7．D解析：D 【分析】对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有2224C C 种方法，当男生来自高二时，有2234C C 种方法，并求概率.【详解】当两名男生来自高一年级，2224149121C C P C ==，当两名男生来自高二，223424917C C P C == 1211421721P P P =+=+=, 故选D. 【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.8．B解析：B 【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，C为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件；A与C是包含关系，不是互斥事件；B与C是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．9．C解析：C【解析】【分析】依照对立事件的概念，依次判断即可．【详解】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选C．【点睛】本题主要考查对立事件的概念，意在考查学生的数学抽象能力．10．C解析：C【解析】【分析】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽取的两种物质相克的概率是12，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案.【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有2510C=种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是51102=，故抽取两种物质不相克的概率是11122-=，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A B +，然后计算概率．【详解】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()P A B P A P B +≠+．12．A解析：A 【分析】由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，由此能求出7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率．【详解】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．B解析：B 【分析】基本事件总数22221144144n C C C C ==，他们选课他们选课没有相同科目的基本事件个数122412m C C ==，由此能求出他们选课没有相同科目的概率．【详解】解：由题意知，基本事件总数22221144144n C C C C ==，他们选课没有相同科目包含的基本事件个数122412m C C ==∴他们选课没有相同科目的概率为：12114412m P n ===．故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型概率求解，考查了组合的思想，考查了分类的思想.本题的关键是结合组合的思想计算事件数量，属于中档题.二、解答题14．（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）35. 【分析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；（2）先根据频率分布表求出z 的值，再根据高二年级学生样本人数计算出x ，从而得到其频率y 的值；（3）记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为123,,b b b ，先列出从这5名高二学生中任选3人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解. 【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人.（2）由题意0.2050z=，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=，0.1650xy ==. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ，故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35. 【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有： ①n N =样本容量该层抽取的个体数总体个数该层个体数；②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比；（2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数n ； ②求出事件A 所包含的基本事件个数m ； ③代入公式mP n=，求出概率值. 15．（1）25；（2）不影响比赛的公平性.. 【分析】（1）将甲的可能取球基本事件一一列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计算即可；（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论. 【详解】解：（1）记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况，故平局的概率182205P ==. （2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，故先取者（甲）获胜的概率2632010P ==，后取者（乙）获胜的概率3233151010P =--=，所以23P P =，故先取后取获胜的概率一样. 【点睛】求古典概型概率的步骤：（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；（3）利用公式()mP A n=，求出事件A 的概率． 16．（1）60t =，ˆ8.56yx =+；（2）310P = 【分析】（1）根据40y =，求t ，再根据参考公式求ˆˆ,ba ，求回归直线方程；（2）首先计算“正常数据”的个数，再求两个都是“正常数据”的概率. 【详解】（1）由条件可知25304045405t++++=，解得：60t =，2045x ==， ()()()()()()()()51242540343040 (646040i)ii x x y y =--=--+--++--∑85=()()()()()()52222221243444546410ii x x =-=-+-+-+-+-=∑，()()()12185ˆ8.510niii ni i x x y y bx x==--∴===-∑∑，ˆˆ408.546a y bx=-=-⨯=，所以回归直线方程是ˆ8.56yx =+；（2）12x =时，1ˆ23y=，232522-=≤，是正常数据，23x =时，2ˆ31.5y =，31.530 1.52-=≤是正常数据，34x =时，3ˆ40y=，404002-=≤，是正常数据， 45x =时，4ˆ48.5y= 48.545 3.52-=>，不是正常数据，56x =时，5ˆ57y =，576032-=>，不是在正常数据，则5个数据中正常数据是3个，不正常数据是2个，现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率2325310C P C ==. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确理解题意，并能根据参考公式计算求值. 17．（1）0.035；（2）42.14；（3）35. 【分析】（1）由频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解.（2）由频率分布直方图得[)15,35的频率，[)35,45的频率，然后再利用中位数的定义求解。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试题(答案解析)(3)

一、选择题1．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．法国的数学家费马（PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数2n >时，找不到满足n n n x y z +=的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，则等式n n n x y z +=成立的概率为（） A ．112B ．12625C ．14625D ．76253．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（） A ．581B ．1481C ．2281D ．25814．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（） A ．12B ．14C ．16D ．185．一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率依次为12，13，14，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（）A ．124 B ．1124C ．1724D ．16．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数()224f x x ax =++至多有一个零点的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．567．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( )A ．2pB ．2p C ．1 D ．18．设集合{0,1,2}A =，{0,1,2}B =，分别从集合A 和B 中随机抽取一个数a 和b ，确定平面上的一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 满足a b n +=”为事件n C (04,)n n N ≤≤∈，若事件n C 的概率最大，则n 的可能值为（） A ．2B ．3C ．1和3D ．2和49．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A ．512B ．12C ．712D ．3410．若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，则直线0ax y b -+=一定．．经过第四象限的概率为( ) A ．29B ．13C ．49D ．5911．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（） A ．49B ．59C ．23D ．7912．我省明年高考将实行312++模式，即语文数学英语必修，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课没有相同科目的概率为（） A ．16B ．112C ．56D ．111213．高三年级7位体育老师的身高(单位：cm )数据如茎叶图所示，其中一位老师的身高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm ，若从中任选2位老师参加年级的教职工篮球赛，则身高均高于177cm 的概率为（）A ．27B ．37C ．1021D ．1121二、解答题14．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次是否近视 1~100101~1000近视 40 30 不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.()2P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87922()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.15．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.16．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差21s 与女生锻炼时长的方差22s 的大小.（直接写出结果）17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.18．某学习研究机构调研数学学习成绩对物理学习成绩的影响，随机抽取了100名学生的数学成绩和物理成绩(单位：分).率；（2）完成下面的2×2列联表.附()()()()() 2n ad bcKa b c d a c b d-=++++19．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如下：（1）估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率；（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；（3）记甲城市这6天空气质量指数的方差为20S ．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a ，若99a =，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为21S ；若169a =，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为22S ，试比较20S 、21S 、22S 的大小．（结论不要求证明）20．甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m 行､第n 列的数据是甲队第m 号队员能战胜乙队第n 号队员的概率.3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？21．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在A 类科目：物理、化学、生物和B 类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门．（1）求小明同学选A 类科目数X 的分布列．（2）求小明同学从A 类和B 类科目中均至少选择1门科目的概率．22．某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言. （Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.23．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．24．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x2 45 6 8 y 3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率.参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，a y bx =-.25．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在6090分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在7590之间的概率．26．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，再从中选取2人，求身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由任取{},,,1,2,3,4,5x y z n ∈，使得n n n x y z +=，共有5555625⨯⨯⨯=种不同的情形，当1n =时，可得x y z +=，可得112,123,134,145,213,224,235,314,325,415+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，共有10种情况，满足题意；当2n =时，可得222x y z +=，可得222222345,435+=+=，共有2种情况，满足题意；当3,4,5n =时，没有满足n n n x y z +=成立的情况，所以等式n n n x y z +=成立的概率为12625P =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．【详解】分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的基本事件总数事件是53，满足条件的事件数是131342C C C∴这种结果发生的概率是13134258381C C C =同理求得第二种结果的概率是12234256381C C C =根据互斥事件的概率公式得到8614818181P =+=. 故选：B ．【点睛】此题考查根据古典概型求解概率，关键在于准确分类，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.4．C解析：C 【分析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有2510C =种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10220⨯=种.而基本事件总数为55120A =,所以所求概率为2011206=，故选C. 【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.5．B解析：B 【分析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A 解出而其余两人没有解出，一是B 解出而其余两人没有解出，一是C 解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解. 【详解】()()()1231131211123423423424P P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：B 【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】由函数()f x 至多有一个零点，求得22a -≤≤，得到a 的取值有1，2，共2个可能结果，结合古典概型及概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，抛掷一枚质地的均匀的骰子，正面向上的点数包含6个可能结果，又由函数()224f x x ax =++至多有一个零点，则24160a ∆=-≤，解得22a -≤≤，又因为a 为正整数，故a 的取值有1，2，共2个可能结果，所以函数()224f x x ax =++至多有一个零点的概率为13. 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，解题时准确找出试验包含的基本事件的个数，求得函数至多一个零点所包含的的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，事件A 和B 同时不发生的概率是p ，建立方程，即可求得事件A 发生的概率．【详解】根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有(1)(1)(1)(1)a b p a b a b --=⎧⎨-=-⎩①②由②知a b =，代入①得1a =故选：C . 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.8．A解析：A 【分析】列出所有的基本事件，分别求出事件0C 、1C 、2C 、3C 、4C 所包含的基本事件数，找出其中包含基本事件数最多的，可得出n 的值．【详解】所有的基本事件有：()0,0、()0,1、()0,2、()1,0、()1,1、()1,2、()2,0、()2,1、()2,2，事件0C 包含1个基本事件，事件1C 包含2个基本事件，事件2C 包含3个基本事件，事件3C 包含2个基本事件，事件4C 包含1个基本事件，所以事件2C 的概率最大，则2n =，故选A ．【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键在于列举所有的基本事件，常用枚举法与数状图来列举，考查分析问题的能力，属于中等题．9．C解析：C 【解析】试题分析：由题意可知，事件A 与事件B 是相互独立的，而事件A 、B 中至少有一件发生的事件包含AB 、AB 、AB ，又()12P A =，()16P B =，所以所事件的概率为()()()()11711112612P P AB P AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫=++=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．考点：相互独立事件概率的计算．10．D解析：D 【分析】由题意，利用列举法求得基本事件(),a b 的总数，再列举出所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，得到(),a b 的取值的所有可能了结果共有：()()()()()()()()()2,1,2,1,2,3,1,1,1,1,1,3,2,1,2,1,2,3------，共计9种结果，由直线0ax y b -+=，即y ax b =+，其中当00a b ≥⎧⎨≥⎩时，直线不过第四象限，共有()()()()1,1,1,3,2,1,2,3，共计4种，所以当直线0ax y b -+=一定．．经过第四象限时，共有5中情况，所以概率为59P =，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及直线方程的应用，其中解答中根据题意列举出基本事件的总数，进而利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.12．B解析：B 【分析】基本事件总数22221144144n C C C C ==，他们选课他们选课没有相同科目的基本事件个数122412m C C ==，由此能求出他们选课没有相同科目的概率．【详解】解：由题意知，基本事件总数22221144144n C C C C ==，他们选课没有相同科目包含的基本事件个数122412m C C ==∴他们选课没有相同科目的概率为：12114412m P n ===．故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型概率求解，考查了组合的思想，考查了分类的思想.本题的关键是结合组合的思想计算事件数量，属于中档题.13．C解析：C 【分析】由平均数求出8x =，进而可得7人中身高高于177cm 的有5人，用古典概型求出概率即可. 【详解】根据题意，得1801811701731701781791777x +++++++=，解得8x =，这7人中取2人的情况共2721C =种，身高高于177cm 的5人中取2人的情况共2510C =种，所以身高的高于177cm 的概率为1021故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.二、解答题14．（1）4.74；（2）能；（3）35. 【分析】（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；（2）利用题中所给的列联表，求得2K 的值，与表中所给的临界值比较，得到结论；（3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为1000.80.216⨯⨯=人第五组的频数为100 1.20.224⨯⨯=人所以前四组的频数和为()100241660-+=人而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人所以中位数落在第四组，设为x ，因此有4.650(4816)0.232x --++=（或1.6( 4.6)0.22x -=）解得 4.7375x = 所以中位数是4.74（2）因为22100(40203010)50507030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯所以21004.76221K =≈ 所以2 3.841K >因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果；（2）利用公式求得2K 的值，结合临界值得到结果；（3）利用古典概型概率公式求得概率.15．（1）34p =，23q =；（2）512.【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得,p q ；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．【详解】解：（1）设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，则()P A p =，()P B q =.设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB =，D AB AB =+.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与B 相互独立，AB 与AB 相互互斥，所以()()()()P C P AB P A P B ==，()()P D P AB AB =+()()()()()()()()()()()()11P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =+=+=-+-.由题意可得()()1,2511,12pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩即1,217.12pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得3,42,3p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,33.4p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于p q >，所以34p =，23q =.（2）设=i A {甲同学答对了i 道题}，i B ={乙同学答对了i 道题}，0i =，1，2. 由题意得，()11331344448P A =⨯+⨯=，()23394416P A =⨯=， ()12112433339P B =⨯+⨯=，()2224339P B =⨯=.设E ={甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+. 由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，所以()()()()()()()12211221349458916912P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512. 【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB =，D AB AB =+．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．16．（Ⅰ）6.5小时（Ⅱ）35（Ⅲ）2212s s >【分析】（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出2212s s > 【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为53687682911306.53862120⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++小时（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有3人，记为,,a b c ，女生有2人，记为,A B从中任选2人的所有情况为{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B ，{,},{,},{,}b c b A b B ，{,},{,},{,}c A c B A B ，共10种，其中选到男生和女生各1人的共有6种故选到男生和女生各1人的概率63105P == （Ⅲ）2212s s > 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.17．（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）35. 【分析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；（2）先根据频率分布表求出z 的值，再根据高二年级学生样本人数计算出x ，从而得到其频率y 的值；（3）记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为123,,b b b ，先列出从这5名高二学生中任选3人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解. 【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人. （2）由题意0.2050z=，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=， 0.1650xy ==. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ，故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35. 【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有： ①n N =样本容量该层抽取的个体数总体个数该层个体数；②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比；（2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数n ； ②求出事件A 所包含的基本事件个数m ； ③代入公式mP n=，求出概率值. 18．（1）0.42；（2）见解析；（3）有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响. 【分析】（1）先求得“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生”的人数，再由古典概率公式可求得所求的概率；（2）由已知的数据可得出2×2列联表；（3）由（2）中的数据，计算210.5306>6.6354K ≈，可得结论. 【详解】（1）数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生有：12+16+6+842=人，所以 “数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率为420.42100P ==；（2）2×2列联表如下表所示：（3）由（2）中的数据，得：()210010.5306>6.63544852442102246436K ⨯-⨯⨯⨯=≈⨯⨯，所以有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响. 【点睛】关键点点睛：本题考查求古典概率，独立性检验的问题，关键在于对数据处理，准确地运用相应的公式，并且理解其数据的实际意义． 19．（1）13；（2）19；（3）222102S S S <<．【分析】（1）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，利用频率估计概率的思想可求得结果；（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）根据题意可得出20S 、21S 、22S 的大小关系. 【详解】（1）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率为13；（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：()48,80、()48,67、()48,108、()48,150、()48,205、()48,62、()65,80、()65,67、()65,108、()65,150、()65,205、()65,62、()104,80、()104,67、()104,108、()104,150、()104,205、()104,62、()132,80、()132,67、()132,108、()132,150、()132,205、()132,62、()166,80、()166,67、()166,108、()166,150、()166,205、()166,62、()79,80、()79,67、()79,108、()79,150、()79,205、()79,62，共36个，用A 表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则事件A 包含的基本事件有：()104,108、()104,150、()132,108、()132,150，共4个基本事件，所以，()41369P A ==；。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试(包含答案解析)(4)

A． B． C． D．以上都不正确
13．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中随机取出3个球，用完后装回盒中，用表示此时盒中旧球个数，则的值为（）
A． B． C． D．
二、解答题
14．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.
5.024
6.635
7.879
10.828
22．甲､乙､丙三名射箭选手每次射箭命中各环的概率分布如下面三个表格所示.
甲选手
环数
7
8
9
10
概率
0.1
0.2
0.4
0.3
乙选手
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
0.3
0.2
丙选手
环数
7
8
9
10
概率
0.1
0.4
0.4
0.1
（1）若甲､乙､丙各射箭一次，假设三位选手射箭所得环数相互独立，求这三位选手射箭所得总环数为28的概率；
（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数（的值精确到0.01）；
（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.
你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；
从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在的概率.
24．有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[60，70），[90，100]的数据）．

新乡市第一中学九年级数学上册第五单元《概率初步》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥，⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．452．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有一“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是（）A ．12B ．13C ．23D ．143．下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（）A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①②都正确D ．①②都错误 4．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( ) A ．能中奖一次 B ．能中奖两次C ．至少能中奖一次D ．中奖次数不能确定 5．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（）A ．15B ．310C ．13D ．126．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）A ．13B ．415C ．15D ．2157．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有( )A ．6个B ．16个C ．18个D ．24个8．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）个．A．20 B．16 C．12 D．159．“明天的降水概率为90%”的含义解释正确的是()A．明天90%的地区会下雨B．90％的人认为明天会下雨C．明天90%的时间会下雨D．在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨10．在一个不透明的口袋中装有5个黑棋子和若干个白棋子，它们除颜色外完全相同，小明与他的朋友经过多次摸棋子试验后，发现摸到白色棋子的频率稳定在80%附近，则口袋中白色棋子的个数可能是（）A．25个B．24个C．20个D．16个11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝12S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP．（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（）A．1个B．3个C．14D．3412．掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，以下结果机会最大的是（）A．点数为3的倍数B．点数为奇数C．点数不小于3D．点数不大于3二、填空题13．综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为__________．（结果精确到0.01）每批粒数n800100012001400160018002000发芽的频数m76294811421331151817101902发芽的频率mn0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.95114．有两组牌，每组三张，牌面上的数字分别是1，2，3，且除数字外均相同，若从每组摸出一张牌，那么两张牌面数字和是4的概率是________．15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是_________．16．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______．17．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是_____．18．一只小鸟自由自在在空中飞翔，然后随意落在下图中，则落在阴影部分的概率是______。

人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》检测卷(答案解析)

一、选择题1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（） A ．2144B ．1223C ．1225D ．21112．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（）． A ．23B ．34C ．45D ．563．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A ．316B ．34C ．1316D ．144．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{}1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（） A ．23B ．112C ．16D ．135．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数()224f x x ax =++至多有一个零点的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．566．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（）A．2936B．551720C．2972D．291447．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（）A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅢC．Ⅲ和ⅣD．Ⅳ和Ⅰ8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A．512B．12C．712D．349．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（）A．49B．59C．23D．7910．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A．110B．25C．35D．91011．如果从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则这2个数的和能被3整除的概率为（）A．25B．310C．15D．1212．我省明年高考将实行312++模式，即语文数学英语必修，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课没有相同科目的概率为（）A．16B．112C．56D．111213．某校3名教师和5名学生共8人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车坐4人，则恰有两名教师在同一车上的概率（） A ．78B ．67C ．37D ．13二、解答题14．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值()60100k k ≤<为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k 90100k ≤< 8090k ≤<7080k ≤<6070k ≤<产品等级ABCD件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设M =频率组距，当[)()10,101068,k n n n n N ∈+≤≤∈时，满足52200n M -=.（1）试估计样本质量指标值k 的中位数m ；（2）从样本质量指标值不小于80的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件A 级品的概率.15．2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的．（1）分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；（2）记X 表示5人中选择景点的个数，求X 的分布列与数学期望．16．2020年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有20家商品销售门店，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在1月~6月的商品销售营业额，发现营业额均分布在600万元~1100万元之间，其频率分布直方图如图.（Ⅰ）估计集团20家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过900万元的门店中抽取若干家对销售额不超过700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过1000万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为950万元，求甲门店被选中的概率.17．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了同卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计爱好6不爱好 6合计1630（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程）；（2）能否有95%的把握认为爱好运动与性别有关？（3）若在接受调查的所有男生中按照“爱好与不爱好运动”进行分层抽样，现随机抽取8人，再从8人中抽取3人，求至少有2人“爱好运动”的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P k k ≥0.05 0.010 0.005 0k3.8416.6357.87918．为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图：分组 [)85,95[)95,105[)105,115[)115,125[]125,135频数27ab2（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率.19．某企业员工x 人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数x ，a ，b 的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，并且在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，求甲被选中的概率.20．先后抛掷两枚骰子，每次各1枚，求下列事件发生的概率：（1）事件A：“出现的点数之和大于3”（2）事件B：“出现的点数之积是3的倍数”.21．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为2 3，25.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.22．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和数学期望．23．某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：男性：女性：（1）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（2）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率.24．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.25．有n 名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[60，70），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（2）从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加校数学竞赛，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率；（3）分数在[80，100]的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率．26．从4名男生和2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动.（1）设X 表示所选2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（2）已知选出了A ，B 这两人参加此次服务活动，A 的服务满意率为0.87，B 的服务满意率为0.91，用“Y A ＝1，Y B ＝1，”分别表示对A ，B 的服务满意，“Y A ＝0，Y B ＝0，”分别表示对A ，B 的服务不满意，写出方差D （Y A ），D （Y B ）的大小关系.（只需写出结论）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案. 【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C , 则()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=；则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==. 故选：B.本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.2．B解析：B【分析】列举出30以内的素数组成的孪生素数对有4个，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有3个，由此能求了这对孪生素数的积超过20的概率.【详解】30以内的素数组成的孪生素数对有（3，5），(5，7)，(11，13)，(17，19)，从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取—对，基本事件个数n=4，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有:(5，7),(11，13), (17，19），共3个，所以这对孪生素数的积超过20的概率为34 p=，故选：B【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.3．C解析：C【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216 111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616 -=，故选：C．【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．4．D解析：D讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案. 【详解】当十位上的数为4时，共有236A =个；当十位上的数为3时，共有222A =个，共8个.故34881243p A ===. 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.5．A解析：A 【分析】由函数()f x 至多有一个零点，求得22a -≤≤，得到a 的取值有1，2，共2个可能结果，结合古典概型及概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，抛掷一枚质地的均匀的骰子，正面向上的点数包含6个可能结果，又由函数()224f x x ax =++至多有一个零点，则24160a ∆=-≤，解得22a -≤≤，又因为a 为正整数，故a 的取值有1，2，共2个可能结果，所以函数()224f x x ax =++至多有一个零点的概率为13. 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，解题时准确找出试验包含的基本事件的个数，求得函数至多一个零点所包含的的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】先求出A 至B 畅通的概率,再求出B 至C 畅通的概率,再利用独立事件的概率求法求出电路通畅的概率. 【详解】当开关合上时,电路畅通即表示A 至B 畅通且B 至C 畅通,A 至B 畅通的概率1111511114236P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, B 至C 畅通的概率2112915630P =-⨯=,所以电路畅通的概率125292963036P PP =⨯==, 故选:A. 【点睛】本题考查求独立事件的概率,需要学生有一定的计算分析能力,属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件；在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件；在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件；在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件．故选：B ．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】试题分析：由题意可知，事件A 与事件B 是相互独立的，而事件A 、B 中至少有一件发生的事件包含AB 、AB 、AB ，又()12P A =，()16P B =，所以所事件的概率为()()()()11711112612P P AB P AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫=++=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．考点：相互独立事件概率的计算．9．C解析：C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.10．D解析：D 【分析】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，从这5位同学中任取3人，所有的基本事件有：ABC 、ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共10种，其中，事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”包含的基本事件有：ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共9种，因此，所求概率为910P =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列、组合数的应用.11．A【分析】从5个数中任取两个不同数，取法为2510C =，列举和能被3整除的情况有4种，利用古典概型得解【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数，取法总数为2510C =这2个数的和能被3整除的情况有：()()()()1,21,52,44,5,，， ∴这2个数的和能被3整除的概率为：42105= 故选：A 【点睛】本题考查古典概型求概率，属于基础题.12．B解析：B 【分析】基本事件总数22221144144n C C C C ==，他们选课他们选课没有相同科目的基本事件个数122412m C C ==，由此能求出他们选课没有相同科目的概率．【详解】解：由题意知，基本事件总数22221144144n C C C C ==，他们选课没有相同科目包含的基本事件个数122412m C C ==∴他们选课没有相同科目的概率为：12114412m P n ===．故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型概率求解，考查了组合的思想，考查了分类的思想.本题的关键是结合组合的思想计算事件数量，属于中档题.13．B解析：B 【分析】易得出8人乘车，每车4人的乘车方法是48C ，然后考虑从3名教师中选2人，从5名学生中选2人乘同一辆车，注意有两辆车，求出方法后可得概率．【详解】8人乘车，每车4人的乘车方法是4870C =，从3名教师中选2人，从5名学生中选2人乘同一辆车的方法娄得2235260C C ⨯=，∴所求概率为606707P ==．故选：B ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出事件“恰有两名教师在同一车上”的方法数，易错点是不考虑两辆车．二、解答题14．（1）85m =；（2）57. 【分析】（1）计算出各产品等级的频率，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得m 的值；（2）计算得出7件产品中A 级品共3件，分别记为1A 、2A 、3A ，B 级品共4件，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）当6n =时，[)60,70k ∈，1100M =，频率为11100.1100p =⨯=；当7n =时，[)70,80k ∈，150M =，频率为21100.250p =⨯=；当8n =时，[)80,90k ∈，125M =，频率为31100.425p =⨯=. 各产品等级的频率如下表所示：0.10.20.50.10.20.4+<<++，80,90m ∴∈，所以，800.10.20.40.510m -++⨯=，解得85m =；（2）所抽取的7件产品中，A 级品的数量为0.3730.30.4⨯=+，分别记为1A 、2A 、3A ， B 级品的数量为4，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，从这7件产品中任取2件产品，所有的基本事件有：12A A 、13A A 、11A B 、12A B 、13A B 、14A B 、23A A 、21A B 、22A B 、23A B 、24A B 、31A B 、32A B 、33A B 、34A B 、12B B 、13B B 、14B B 、23B B 、24B B 、34B B ，共21个基本事件，其中，事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”包含15个基本事件，因此，所求事件的概率为155217P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用. 15．（1）316；（2）分布列见解析，781256. 【分析】（1）利用排列组合计算方法种数，利用古典概型求概率；（2）先分析X 的所有可能取值，计算概率，写出分布列，套公式计算数学期望即可. 【详解】（1）所有可能的选择方式有54种，“恰有2人选择井冈山”的方式有235C 3⋅种，从而“恰有2人选择井冈山”的概率为2355C 31354512⋅=． “甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有334⋅种，从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为35343416⋅=．（2）X 的所有可能值为1，2，3，4．又145C 1(1)4256P X ===， ()2324245252545(2)4256C C A C A P X +===， 2233335343535C C C A C ?A 2!150(3)4256P X ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===， 24545C ?A 60(4)4256P X ===．故X 的分布列为X ∴的数学期望()1234256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.16．（Ⅰ）835万元；（Ⅱ）2 5 .【分析】（Ⅰ）根据每组数据的区间中点值，直接代入平均数公式，即可得解；（Ⅱ）计算可得营业额不超过700万元的门店有3家，营业额超过900~1000万元的门店有5家，由题意知需要在营业额在900~1000万元的5家门店中再抽取两家，求出所有可能以及甲门店被选中的可能，代入古典概型公式，即可得解.【详解】（Ⅰ）根据频率分布直方图，设该集团20家门店上半年的平均营业额为x，则6500.157500.28500.359500.2510500.05835x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），（Ⅱ）可计算得营业额不超过700万元的门店有3家，营业额在900~1000万元的门店有5家，1000万元以上的有1家，由题意知需要在营业额在900~1000万元的5家门店中再抽取两家.设“甲门店被选中”为事件A，用a，b，c，d表示5家门店中的另4家，则组合方式列举如下：甲a，甲b，甲c，甲d，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共10种情形，其中表示甲门店被选中的有4种情形，故()42 105P A==，∴甲门店被选中的概率为25.【点睛】本题考查了求平均数和古典概型问题，考查了频率分布直方图，同时考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.17．（1）填表见解析；（2）没有；（3）5 7 .【分析】（1）根据题目所给的数据填写22⨯列联表即可；（2）利用公式计算K的观测值2K，对照题目表格中的数据，得出统计结论．（3）利用分层抽样可得抽取的8人中有5人爱好运动，3人不爱好运动，结合组合的应用，由古典概型概率公式计算概率即可；【详解】（1）列联表：由列联表的数据得k 的观测值（2）()()()()()()2223010866 1.158 3.84116141416n ad bc K a b a c a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯∴没有95%的把握认为爱好运动与性别有关. （3）抽取的8人中有5人爱好运动，3人不爱好运动设“从8人中抽取3人，至少有2人爱好运动”为事件A ，则()2135353857C C C P A C +==. 【点睛】本题主要考查列联表、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.18．（1）5a =，4b =；（2）108.5；（3）35. 【分析】（1）由频率分布直方图得频率，从而可得频数,a b ；（2）用每组数据中间值乘以频率相加得均值；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，底部周长在[]125,135上的有2株，编号后用列举法写出所有基本事件，得出“至少有一株树木的底部周长在125cm 以上”含有的基本事件，计数后可计算概率．【详解】（1）底部周长在[)105,115上的频率为0.025100.25⨯=，所以200.255a =⨯=，底部周长在[)115,125上的频率为0.020100.20⨯=，所以200.204b =⨯=；（2）由频率分布直方图，这片经济林树木底部周长的平均值为：(900.011000.0351100.0251200.021300.01)10108.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，记为,,,A B C D ，底部周长在[]125,135上的有2株，记为,a b ，从中任取2株的基本事件为：,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb ,,Da Db ab ，共15个，其中至少有一株树木的底部周长在125cm 以上事件有,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ,,Da Db ab ，共9个，所求概率为93155P ==．【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查用样本估计总体，考查古典概型，列举法是求解古典概型的常用方法．19．（1）500，200，50；（2）41；（3）12. 【分析】（1）根据频率直方图计算得x ，a ，b ；（2）由频率直方图的平均值的计算方法可估计该企业员工的平均年龄；（3）根据比例和分层抽样先求得第3组中抽取的人数.设这四人为甲乙丙丁，列举出所有的基本事件，由古典概率公式可求得答案. 【详解】（1）50500,0.0855002000.025x a ===⨯⨯=⨯，0.02550050b =⨯⨯=，所以x =500，a =200，b =50；（2）300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以估计该企业员工的平均年龄为41；（3）从第3组中抽取的人数为2006=450+50+200⨯人.设这四人为甲乙丙丁，则所有的基本事件为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6个，故甲被选中的概率为31=62P =. 【点睛】本题考查频率直方图的识别，由频率直方图估算平均值，分层抽样，以及古典概率的计算，属于中档题. 20．（1）1112；（2）59. 【分析】（1）设可能出现的点数(,)x y ，则所有的(,)x y 的个数共有6636⨯=个，先求出事件A 的对立事件包含的(,)x y 有3个，从而求得事件A 的概率．（2）把事件B ：“出现的点数之积是3的倍数”所包含的(,)x y 一一列举出来，共有20个，由此求得事件B 的概率．【详解】先后抛掷两枚骰子，设可能出现的点数(,)x y ，则所有的(,)x y 的个数共有6636⨯=个，（1）其中，事件A ：“出现的点数之和大于3”的对立事件所包含的(,)x y 有：(1,1)、(1,2)、(2,1)，共有3个，故事件A 的概率等于31113612-=．（2）事件B ：“出现的点数之积是3的倍数”所包含的(,)x y 有：(1,3)、(1,6)、(2,3)、(2,6)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,3)、(4,6)、(5,3)、(5,6)、(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、 (5,5)、(6,6)，共有20个，故事件B 的概率等于205369=．【点睛】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题． 21．（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）2950. 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得解．（2）设C 表示“甲赢得比赛”， D 表示“乙赢得比赛”， C D 表示“两人中至少有一个赢得比赛”， ()1()1()()P C D P CD P C P D =-=-，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．【详解】解：（1）设1A =“甲在第一轮比赛中胜出”，2A =“甲在第二轮比赛中胜出”，1B =“乙在第一轮比赛中胜出”，2B =“乙在第二轮比赛中胜出”，则12A A =“甲赢得比赛”，()()()1212322535P A A P A P A ==⨯=.12B B =“乙赢得比赛”，()()()12123234510P B B P B P B ==⨯=.因为23510>，所以派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设C =“甲赢得比赛”，D “乙贏得比赛”，则()1223()1155P C P A A =-=-=； ()1237()111010P D P B B =-=-=. 于是CD =“两人中至少有一人赢得比赛”。

人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（）A ．37B ．47C ．314D ．11142．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（）A ．2144B ．1223C ．1225D ．21113．斐波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21++=+n n n a a a ，现从数列的前2019项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（）A ．14B ．2522019C ．5042019D ．50520194．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确定是受A 感染的.对于C 因为难以判定是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A ，B 和C 感染的概率都是13.在这种假定下，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染的概率是（）A ．16B ．13C ．12D ．23 5．教室有4扇编号分别为a b c d ,,,的窗户和2扇编号分别为,x y 的门，窗户d 敞开，其余窗户和门均被关闭.为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇，则至少有1扇门被敞开的概率为（）A ．23B ．49C ．710D ．7126．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则（）A ．A 与B 是对立事件B ．A 与B 是互斥而非对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件8．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（）A ．0.3B ．0.55C ．0.7D ．0.759．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为A ．310B ．25C ．12D ．3510．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（） A ．16 B ．13 C ．15 D ．2511．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B += 12．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一､周三､周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A ．325659A A A B ．325659C A A C ．325659C C C D ．325659C C A 13．高三年级7位体育老师的身高(单位：cm )数据如茎叶图所示，其中一位老师的身高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm ，若从中任选2位老师参加年级的教职工篮球赛，则身高均高于177cm 的概率为（）A ．27B ．37C ．1021D ．1121 二、解答题14．2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的．（1）分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；（2）记X 表示5人中选择景点的个数，求X 的分布列与数学期望．15．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房､子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点税率()% 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除税率()% 1 不超过1500元部分 3 不超过3000元部分 3 2 超过1500元至4500元部分 10 超过3000元至12000元部分 10年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？16．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.18．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在A类科目：物理、化学、生物和B类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门．（1）求小明同学选A类科目数X的分布列．（2）求小明同学从A类和B类科目中均至少选择1门科目的概率．19．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.20．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军(决赛只赛一场).以八支战队的比赛为例(如图所示)，第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.双败流程示意图（以八支战队为例）（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 21．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在[]80,100的居民有900人．满意度评分[)40,60 [)60,80 [)80,90 []90,100 满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η=（满意程度的平均分）/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[)40,50、[)50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人都是对防疫工作的评分在[)50,60内的概率．22．先后抛掷两枚骰子，每次各1枚，求下列事件发生的概率：（1）事件A ：“出现的点数之和大于3”（2）事件B ：“出现的点数之积是3的倍数”.23．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约5.4km ，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22⨯列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是815. （1）完成答题卡上的22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.24．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？25．某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a （a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会.()i 你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；()ii 从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在[)7.5,8.5的概率. 26．从4名男生和2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动.（1）设X 表示所选2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（2）已知选出了A ，B 这两人参加此次服务活动，A 的服务满意率为0.87，B 的服务满意率为0.91，用“Y A ＝1，Y B ＝1，”分别表示对A ，B 的服务满意，“Y A ＝0，Y B ＝0，”分别表示对A ，B 的服务不满意，写出方差D （Y A ），D （Y B ）的大小关系.（只需写出结论）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为28C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=，根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.2．B解析：B【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,则()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=；则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==. 故选：B.【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题. 3．C解析：C【分析】依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论．【详解】根据斐波纳契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,，余数数列是周期数列，周期为8，201925283=⨯+，所以数列的前2019项中能被3整除的项有2522504⨯=，所求概率为5042019P =．故选：C ．【点睛】本题考查古典概型，考查斐波纳契数列，考查数列的周期性．解题关键是依次写出波纳契数列各项除以3所得余数形成的新数列． 4．C解析：C【分析】设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ，分析题意得出()1P B =，1()2P C =，1()3P D =，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染为事件CD CD +，利用公式求得结果. 【详解】根据题意得出：因为直接受A 感染的人至少是B ，而C 、D 二人也有可能是由A 感染的，设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ，则事件B 、C 、D 是相互独立的，()1P B =，1()2P C =，1()3P D =，表明除了B 外，,C D 二人中恰有一人是由A 感染的，所以12111()()()23232P CD CD P CD P CD +=+=⨯+⨯=，所以B 、C 、D 中直接受A 传染的人数为2的概率为12，故选：C.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式，属于简单题目.5．C解析：C【解析】【分析】列出样本空间Ω,以及事件A =“至少有1扇门被敞开”包含的基本事件，计算概率.【详解】样本空间()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a x a y b c b x b y c x c y x y Ω=.记事件A =“至少有1扇门被敞开”，则()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,A a x a y b x b y c x c y x y =，所以()710P A =，故选C . 【点睛】本题考查了古典概型，考查了学生实际应用以及数学运算的能力，属于基础题. 6．B解析：B【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可.【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F =“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确．正确的是①③⑤⑥．故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.7．A解析：A 【分析】由互斥事件与对立事件的定义判断即可得出正确答案. 【详解】事件A 包含的基本事件为向上的点数为1,2；事件B 包含的基本事件为向上的点数为3,4,5,6；事件C 包含的基本事件为向上的点数为1,3,5；由于事件A ，B 不可能发生，且事件A ，B 的和事件为必然事件，A 与B 是对立事件当向上一面的点数为3时，事件B ，C 同时发生，则B 与C 不互斥也不对立故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的判断，对立事件与互斥事件关系的辨析，属于中等题.8．D解析：D 【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解. 【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=，因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式()()()P AUB P A P B =+，属于中档题.9．C解析：C 【解析】【分析】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽取的两种物质相克的概率是12，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案. 【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有2510C =种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是51102=，故抽取两种物质不相克的概率是11122-=，故选C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】本题可以先算出在六个手套中取回两个有多少种可能，再计算出事件A 中有多少种可能，最后得出结果．【详解】分别设3双手套为：121212a a b b c c 、、，111a b c 、、分别代表左手手套，222a b c 、、分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n 6636=⨯=，共有36个基本事件；事件A 包含：()()()()()122112212112a b b a a c c a a b b a ，、，、，、，、，、，、()()()()()()211212212112a c c a b c c b b c c b ，、，、，、，、，、，一共12个基本事件，故事件A 的概率为()121P 363A ==，故选B ．【点睛】在计算过程中，一定要注意左右手的手套是不一样的．11．C解析：C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A B +，然后计算概率．【详解】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()P A B P A P B +≠+．12．A解析：A 【分析】由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，由此能求出7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率．【详解】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．C解析：C 【分析】由平均数求出8x =，进而可得7人中身高高于177cm 的有5人，用古典概型求出概率即可. 【详解】根据题意，得1801811701731701781791777x +++++++=，解得8x =，这7人中取2人的情况共2721C =种，身高高于177cm 的5人中取2人的情况共2510C =种，所以身高的高于177cm 的概率为1021故选：C.本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.二、解答题14．（1）316；（2）分布列见解析，781256. 【分析】（1）利用排列组合计算方法种数，利用古典概型求概率；（2）先分析X 的所有可能取值，计算概率，写出分布列，套公式计算数学期望即可. 【详解】（1）所有可能的选择方式有54种，“恰有2人选择井冈山”的方式有235C 3⋅种，从而“恰有2人选择井冈山”的概率为2355C 31354512⋅=． “甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有334⋅种，从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为35343416⋅=．（2）X 的所有可能值为1，2，3，4．又145C 1(1)4256P X ===， ()2324245252545(2)4256C C A C A P X +===， 2233335343535C C C A C ?A 2!150(3)4256P X ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===， 24545C ?A 60(4)4256P X ===．故X 的分布列为X ∴的数学期望()1234256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验. 15．（1）答案见解析；（2）经过12个月.（1）计算出题中四类人群每月应纳税所得额，结合题意求出每类人群的月缴个税及其概率；（2）计算出在旧政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳税所得额，可求得新政策下，每月少缴个税额，设经过x 个月该市该收入阶层的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入，根据已知条件可得出关于x 的不等式，结合x ∈N 可求得结果. 【详解】（1）由题意，既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1.①既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为240005000100018000--=元，月缴个税为30000.0390000.160000.22190⨯+⨯+⨯=元，其概率为25； ②只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000100017000---=元，月缴个税为30000.0390000.150000.21990⨯+⨯+⨯=元，其概率为15； ③只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000200016000---=元，月缴个税为30000.0390000.140000.21790⨯+⨯+⨯=元，其概率为15； ④既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000500010001000200015000----=元，月缴个税为30000.0390000.130000.21590⨯+⨯+⨯=元，其概率为15；（2）在旧政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳税所得额为24000350020500-=元，故月缴个税为15000.0330000.145000.2115000.254120⨯+⨯+⨯+⨯=元，在新政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳税所得额为()212190199017901590195055⨯+++⨯=元，每月少缴个税412019502170-=元，设经过x 个月该市该收入阶层的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入，则217024000x ≥，又x ∈N ，解得()12x x N ≥∈，所以经过12个月，该市该收入阶层的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入. 【点睛】关键点点睛：解决本题第一问的关键在于理解题中个税新旧政策中的扣税方案，并依据题意计算出各类人群所扣的税额；解决本题第二问的关键在于求出新旧政策下所扣的税额，并结合题意列不等式求解. 16．（1）256种；（2）916；（3）23种. 【分析】（1）用分步乘法计数原理计算，考虑每个球的放法可得；（2）选取2球放在一起作为一个球，共3个球放到3个盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率；（3）4个球的全排列数减去编号全相同的排法1即可得．【详解】（1）每个球都有4种方法，故有4444256⨯⨯⨯=种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法.概率为：144925616= （3）每个盒子不空，共有4424A =，24123-=种．【点睛】关键点点睛：本题考查计数原理，古典概型，排列的应用．难点是事件“4个盒子中恰有一个盒子没放球”，解题关键是确定完成这件事的方法，4个球放到3个盒子中，其中有一个盒子中必有2个球，由此可选取2个球放在一起作为一个球，4个球看作3个球放入4个盒子中的3个中，用排列知识可求解． 17．（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25. 【分析】（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i ii x x p ==∑（其中ix 表示第i 组的中间值，i p 表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；（2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 18．（1）分布列见解析；（2）910. 【分析】（1）确定X 的所有取值为0，1，2，3，X 服从超几何分布，代入超几何分布的概率公式，计算每个X 的取值对应的概率，列出X 的分布列即可；（2）即两门A 类科目一门B 类科目或者一门A 类科目两门B 类科目的概率，则概率()()12P P X P X ==+=，从而计算可得；【详解】解：（1）小明同学选A 类科目数X 可能的取值为0，1，2，3，则X 服从超几何分布，()0333361020C C P X C ===， ()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===． X 的分布列为：()()()99912202010P C P X P X ==+==+= 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，考查了超几何分布，古典概型的概率计算，计数原理．属于中档题．19．（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98. 【分析】（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；（Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解. 【详解】。

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一、选择题1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（）A．2144B．1223C．1225D．21112．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得2p+是素数，素数对(,2)p p+称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（）．A．23B．34C．45D．563．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.14．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中()rand是产生[0,1]内的均匀随机数的函数，*k N∈），则π的值约为（）A．mkB．2mkC．4mkD．4mk5．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）A．12B．14C．16D．186．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为111,,236，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（）A．536B．56C．512D．127．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）A ．29B ．15C ．310D ．138．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( ) A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件9．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（） A ．①B ．②④C ．③D ．①③10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为A ．310B ．25C ．12D ．3511．下列说法正确的是（）A ．天气预报说明天下雨的概率为0900，则明天一定会下雨B ．不可能事件不是确定事件C ．统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强D ．某种彩票的中奖率是11000，则买1000张这种彩票一定能中奖 12．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（） A ．19B ．29C ．39D ．4913．高三年级7位体育老师的身高(单位：cm )数据如茎叶图所示，其中一位老师的身高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm ，若从中任选2位老师参加年级的教职工篮球赛，则身高均高于177cm 的概率为（）A ．27B ．37C ．1021D ．1121二、解答题14．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值()60100k k ≤<为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k 90100k ≤< 8090k ≤<7080k ≤<6070k ≤<产品等级ABCD件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设M =频率组距，当[)()10,101068,k n n n n N ∈+≤≤∈时，满足52200n M -=.（1）试估计样本质量指标值k 的中位数m ；（2）从样本质量指标值不小于80的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件A 级品的概率.15．某校的课外兴趣小组的同学们进行了一次关于全市“双创双修”知识答题的问卷调查活动，收集到的200张问卷统计得分汇总制成了一张频率直方图.（1）求问卷得分的中位数和平均数；（2）若得分不低于80则为优秀，按分层抽样再次回访8名参加过问卷调查并得分优秀的人，在这8人中还需随机挑选2人做深入访谈，求这两名访谈对象中至少有一人问卷得分超过90的概率.16．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？17．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.18．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？19．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在[50，100]内，按成绩分为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的a值；（2）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（3）用分层抽样的方法从成绩在[80，100]内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率.20．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?21．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率.22．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约5.4km，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22列联表：男性女性合计参加10已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是8 15.（1）完成答题卡上的22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.23．在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a，b的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X，求X的分布列及数学期望.24．某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：男性：女性：评分结果 [)0,1 [)1,2 [)2,3 [)3,4 []4,5频数250300150100200（1）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（2）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率.25．某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100 名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为[)40,50，[)50,60，……[90,100].（1）估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；（结果保留两位有效数字）（2）现从评分在[)40,60的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在[)40,50的概率. 26．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案. 【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C , 则()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=；则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.2．B解析：B 【分析】列举出30以内的素数组成的孪生素数对有4个，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有3个，由此能求了这对孪生素数的积超过20的概率. 【详解】30以内的素数组成的孪生素数对有（3，5），(5，7)，(11，13)，(17，19)，从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取—对，基本事件个数n =4，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有:(5，7),(11，13), (17，19），共3个，所以这对孪生素数的积超过20的概率为34p =，故选：B 【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.3．A解析：A 【解析】A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.20.40.1、、,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立，若A 射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中利敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=；或者A 第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 0.90.1? 0.09⨯=,若A 至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1? 0.04? 0.09? 0.23++= ,故选A . 4．D解析：D 【分析】根据[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而221x y +<表示14个圆，则4m k π=，故4mkπ=. 【详解】根据程序框图，知[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而221x y +<表示14个圆，如图所示：则落在阴影部分的面积与正方形面积比为4m k π=，得4mkπ=. 故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图，几何概型，频率的理解与应用，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有2510C =种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10220⨯=种.而基本事件总数为55120A =,所以所求概率为2011206=，故选C. 【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.6．C解析：C 【分析】概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率，计算到答案.【详解】根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.即3331115 162312 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．A解析：A【解析】【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为4575；乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （x≤y）；∵甲，乙中位数相同；∴90+x＝91⇒x＝1；乙的平均数为4545y+；∵乙的平均成绩低于甲；∴1≤y＜3；⇒y＝1或2．∴乙的平均成绩低于甲的概率p29=；故选：A．【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．8．C解析：C【分析】对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断．【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．9．C解析：C【解析】【分析】依照对立事件的概念，依次判断即可．【详解】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选C．【点睛】本题主要考查对立事件的概念，意在考查学生的数学抽象能力．10．C解析：C【解析】【分析】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽取的两种物质相克的概率是12，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案.【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有2510C=种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是51102=，故抽取两种物质不相克的概率是11122-=，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．C解析：C【分析】运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可【详解】对于A，天气预报说明天下雨的概率为90%，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误；对于B ，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；对于C ，统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强，故正确；对于D ，某种彩票的中奖率是11000，每一次买彩票的中奖是独立的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误故选C 【点睛】本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为基础．12．D解析：D 【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯ 共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ， B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯ 其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==；故选：D ．【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题．13．C解析：C 【分析】由平均数求出8x =，进而可得7人中身高高于177cm 的有5人，用古典概型求出概率即可. 【详解】根据题意，得1801811701731701781791777x +++++++=，解得8x =，这7人中取2人的情况共2721C =种，身高高于177cm 的5人中取2人的情况共2510C =种，所以身高的高于177cm 的概率为1021故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.二、解答题14．（1）85m =；（2）57. 【分析】（1）计算出各产品等级的频率，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得m 的值；（2）计算得出7件产品中A 级品共3件，分别记为1A 、2A 、3A ，B 级品共4件，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）当6n =时，[)60,70k ∈，1100M =，频率为11100.1100p =⨯=；当7n =时，[)70,80k ∈，150M =，频率为21100.250p =⨯=；当8n =时，[)80,90k ∈，125M =，频率为31100.425p =⨯=. 各产品等级的频率如下表所示：0.10.20.50.10.20.4+<<++，80,90m ∴∈，所以，800.10.20.40.510m -++⨯=，解得85m =；（2）所抽取的7件产品中，A 级品的数量为0.3730.30.4⨯=+，分别记为1A 、2A 、3A ，B 级品的数量为4，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，从这7件产品中任取2件产品，所有的基本事件有：12A A 、13A A 、11A B 、12A B 、13A B 、14A B 、23A A 、21A B 、22A B 、23A B 、24A B 、31A B 、32A B 、33A B 、34A B 、12B B 、13B B 、14B B 、23B B 、24B B 、34B B ，共21个基本事件，其中，事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”包含15个基本事件，因此，所求事件的概率为155217 P==.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.15．（1）中位数是72.5，平均值为72；（2）13 28．【分析】（1）求出频率0.5对应的数值即为中位数，取各组数据中间值乘以频率相加即得平均值；（2）按分层抽样求出[80,90),[90,100]两组为抽取的人数，然后求挑选2的方法数和至少有一人问卷得分超过90的方法数后可计算出概率．【详解】（1）由题意分数在[50,70)间的频率为(0.0150.025)100.4+⨯=，因此中位数在[70,80]间，设中位数为x，则700.50.4100.4x--=，解得72.5x=．平均值为：(550.015650.025750.04850.015950.005)10⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=72；（2）由频率分布直方图知[80,90),[90,100]两组人数比为0.1530.051=，因此8人中[80,90)这组有6人，[90,100]这组有2人，∴所求概率为112622281328C C CPC+==．【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图，由频率分布直方图求中位数，均值等，考查古典概型．解题关键是正确认识频率分布直方图，由频率分布直方图确定所有数据．然后根据各个数据特征进行计算．16．（1）256种；（2）916；（3）23种.【分析】（1）用分步乘法计数原理计算，考虑每个球的放法可得；（2）选取2球放在一起作为一个球，共3个球放到3个盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率；（3）4个球的全排列数减去编号全相同的排法1即可得．【详解】（1）每个球都有4种方法，故有4444256⨯⨯⨯=种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法.概率为：144925616= （3）每个盒子不空，共有4424A =，24123-=种．【点睛】关键点点睛：本题考查计数原理，古典概型，排列的应用．难点是事件“4个盒子中恰有一个盒子没放球”，解题关键是确定完成这件事的方法，4个球放到3个盒子中，其中有一个盒子中必有2个球，由此可选取2个球放在一起作为一个球，4个球看作3个球放入4个盒子中的3个中，用排列知识可求解．17．（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）35. 【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以100可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6天，其中超过250元的有2天，记为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过250元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=，按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：10040%40⨯=（家），果蔬类商贩：10015%15⨯=（家）. （2）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为()0.0020.00150406+⨯⨯=天，其中超过250元的有400.001502⨯⨯=天，记日收入超过250元的2天为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，随机抽取两天的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()34,b b ，共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b ，()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b ，共9种.所以，这两天的日收入至少有一天超过250的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）树状图法；（2）列举法；（3）列表法；（4）排列组合数的应用.18．（1）0．05；（2）0．45；（3）1200. 【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果. 【详解】把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个. (1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P （E ）=120=0．05. (2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P （F ）=920=0．45. （3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P （G ）=220=0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次．则一天可赚，每月可赚1200元．考点：1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义 19．（1）0.016；（2）约为74.1；（3）35．【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得a ；（2）频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数；（3）根据频率分布直方图求出成绩在[80,90)和[90,100]上的人数，然后利用对立事件的概率公式计算．【详解】（1）由题意(0.0080.0240.0440.008)101a ++++⨯=，解得0.016a =；（2）在频率分布直方图中前两组频率和为(0.0080.024)100.32+⨯=，第三组频率为0.044100.44⨯=，中位数在第三组，设中位数为x ，则70100.50.320.44x -=-，解得74.1x ≈；（3）由频率分布直方图成绩在[80,90)和[90,100]和频率分别是0.16和0.08，共抽取6。