初中几何定义定理汇总

l知识点1相交线与平行线对顶角相等（隐含条件，可以直接用）同位角、内错角、同旁内角同位角像英文字母“F ”，内错角像英文字母“Z ”或“N ”，同旁内角像英文字母“U ”. 平行线的性质两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 平行线的判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. 知识点2 三角形三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.与三角形有关的线段：三角形的高、中线、角平分线书写格式：如图3，⑴∵AD 是高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 如图4， ⑵∵AD 是中线，∴BD=DC=21BC ．如图5，⑶∵AD 是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=21∠BAC ． 图3 图4 图5 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 直角三角形的性质书写格式： ∵∠B=90°， ∴∠A+∠C=90°．直角三角形的判定书写格式：∵ ∠A+∠C=90° ∴∠B=90°（或△ABC 为直角三角形）．三角形的外角定义及性质书写格式：∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD=∠A ＋∠B 知识点3 全等三角形全等三角形的性质书写格式： ∵△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF A ＝∠D ， ∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ．知识点7 全等三角形的判定“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL” 书写格式：⑴∵AB=DE ，AC=DF ，BC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）⑵∵ AB=DE ，∠A ＝∠D ，AC=DF ， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）⑶∵ ∠A ＝∠D ， AB=DE ， ∠B ＝∠E ， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）⑷∵ ∠A ＝∠D ， ∠B ＝∠E ，BC ＝EF ， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 直角三角形全等的判定书写格式：在R ｔ△ABC 与R ｔ△DEF 中， ∵AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴ R ｔ△ABC ≌ R ｔ△DEF （HL ） 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 用数学语言表示如下： 如图，∵OP 平分∠AOB ， PE ⊥OA ，PF ⊥OB ， ∴PE ＝PF ． 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．用数学语言表示如下： 如图，∵PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，PE ＝PF ，∴OP 平分∠AOB ． 知识点4 轴对称 轴对称的性质∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称， ∴ △ABC ≌△A′B′C′， l 垂直平分AA′． 线段的垂直平分线定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等．判定：与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 用数学语言表示如下：如图，（1）∵直线l 垂直平分AB ，点P 在直线l 上，∴PA ＝PB ．﹙中垂线的性质﹚D CB ADCBAD C BAEFP O BAAO=BO ，AOP BOP ∠=∠（中垂线的定义） （2）∵PA ＝PB ， ∴点P 在线段AB 的中垂线上．﹙中垂线的判定﹚等腰三角形的性质：等边对等角（1）∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C （等边对等角）． 等腰三角形的性质：三线合一 ①∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ． ②∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ．③∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴AD 平分∠BAC ，BD ＝CD ． 等腰三角形的判定：（1）∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC （或△ABC 为等腰三角形）．（等角对等边）（2）∵AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形． 等边三角形的性质用数学语言表示为： ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∠A ＝∠B ＝∠C=60°．等边三角形的判定用数学语言表示为： ①∵AB ＝BC ＝AC∴△ABC 是等边三角形． ②∵∠A ＝∠B ＝∠C ∴△ABC 是等边三角形．③∵∠A ＝60°﹙或∠B ＝60°或∠C ＝60°﹚，AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形． 等边三角形性质推论在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.（1）∵∠C=90°，∠B=30°， ∴AC=21AB ． 在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.（2）∵∠C=90°， AC=21AB ，∴ ∠B=30°． 知识点5 平行四边形平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分． 平行四边形的判定： ⑴两组对边分别平行的四边形为平行四边形． ⑵两组对边分别相等的四边形为平行四边形． ⑶一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．⑷对角线互相平分的四边形为平行四边形． ⑸两组对角分别相等的四边形为平行四边形． 平行四边形的性质书写格式：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥CD,AD ∥BC,AB=CD,AD=BC, ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BAD=180°，OA=OC ，OB=OD ． 平行四边形的判定书写格式： ⑴∵AB ∥CD,AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． ⑵∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD 为平行四边形． ⑶∵AB ∥CD, AB=CD,∴四边形ABCD 为平行四边形． ⑷∵OA=OC ，OB=OD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． ⑸∵∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．三角形的中位线定义：连接三角形任意两边中点的线段．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于书写格式：∵DE 是△ABC 的中位线，（或D ，E 分别是AB ，AC 的中点）∴DE ∥BC,DE=12 BC ．矩形性质：(1)具有平行四边形的一切性质． (2)矩形的四个角都是直角． (3)矩形的对角线相等． (4)矩形是轴对称图形． 性质书写格式：如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°, AB ∥CD,AD ∥BC,AB=CD,AD=BC, AC=BD,OA=OB=OC=OD,矩形判定：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． (3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定书写格式：ODCB A ODAD A ED AC BA⑴∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC=90°, ∴四边形ABCD 为矩形． ⑵∵∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°, ∴四边形ABCD 为矩形．⑶∵四边形ABCD 为平行四边形，AC=BD, ∴四边形ABCD 为矩形．矩形性质推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．书写格式：∵CD 为Rt △ABC 的斜边上的中线， ∴CD=AD=BD=21AB菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．菱形的性质：1.菱形具有平行四边形的一切性质；2.菱形的四条边都相等；3.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 性质书写格式：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， OA=OC ，OB=BD ，AB=BC=CD=AD ，AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD ．菱形的判定：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定书写格式： ⑴∵AB=BC ，四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为菱形． ⑵∵AB=BC=CD=AD ， ∴四边形ABCD 为菱形．⑶∵AC ⊥BD ，四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为菱形． 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 知识点6 圆 垂经定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分线的直径． 书写格式：∵CD ⊥AB ，CD 为直径， ∴AE=BE ，,AC BC AD BD ==.推论：①CD ⊥AB ，②CD 为直径，③AE=BE ，④ AC BC = ，⑤AD BD =以上五句任意两句成立，其余三句均成立．弧、弦、圆心角在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．书写格式：①∵ AB CD = ， ∴,AB CD AOB COD=∠=∠．②∵AB CD =，∴,AB CD AOB COD =∠=∠．③∵AOB COD ∠=∠， ∴ AB CD = ，AB CD =． 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.书写格式：∵∠BOC 是BC 所对的圆心角，∠D 是BC 所对的圆周角，∴∠D=21∠BOC ．圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.书写格式：∵∠A 、∠D 为同弧所对的圆周角，∴∠A=∠D ．（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 书写格式：①∵AB 为直径，∴∠C=90°． ②∵∠C=90°，∴弦AB 为直径． 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角．书写格式：∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°，∠1=∠A. 点与圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：DC BA E BACDO BACO DO CBA OCBA点P 在圆外⇔d ＞r ， 点P 在圆上⇔d =r ， 点P 在圆内⇔d ＜r ． 直线和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ， 直线l 和⊙O 相切⇔d =r ， 直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ，相交相切 相离 切线的性质：∵直线l 与⊙O 相切于点A ， ∴OA ⊥l ．切线的判定：∵OA ⊥l ，OA 是半径， ∴直线l 是⊙O 的切线．切线长定理：∵PA 、PB 与⊙O 相切于点A 、B ， ∴PA=PB ，OP 平分∠APB ．内切圆的定义：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内心是三角形三条角平分线的交点． 外接圆、外心经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外心是三角形三边的中垂线的交点. 圆与圆的位置关系设大圆的半径为R ，小圆的半径为r ，两圆的圆心距为d ，则有： 若两圆外离⇔d ＞R+r ； 若两圆外切⇔d =R+r ； 若两圆相交⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 若两圆内切⇔d =R-r ； 若两圆内含⇔d ＜R-r ．外离 外切 相交 内切 内含 同心圆 （内含的特殊形式） 正多边形和圆扇形弧长和扇形面积 扇形弧长：180Rn l π=， 扇形面积：2R 1R 3602n S l ==π． 圆锥侧面积与全面积 知识点7 三角形相似平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 书写格式：∵AB ∥CD ∥EF,∴DE BD CF AC =,BE BD AF AC =，BE DEAF CF =． 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况： 图1 图2把图1的4l 看成平行于ABC ∆的边BC 的直线；把图2的3l 看成平行于ABC ∆的边BC 的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 图1，4,,,AD AE AD AE BD CEl BC AB AC BD EC AB AC∴===等. 图2，3,,,AD AE AD AE BD CEl BC AB AC BD EC AB AC∴===相似三角形的定义：三边的比相等、对应角相等的三角形叫相似三角形，对应边的比叫相似比． 相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等、对应角相等，周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 书写格式：∵△ABC ∽△DEF,∴EFBCDF AC DE AB ==, ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F ，ABCDEFC C ∆∆=DEABEF DF DE BC AC AB =++++,O A POB A 2πr 2πrr O nR F ED CB A FE DC BA2DEF ABC DE AB S S ⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆ 性质推论：相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. 书写格式：如图，∵△ABC ∽△AM 、DN 是对应角的角平分线， ∴DEABDN AM =. 如图，∵△ABC ∽△DEF, AM 、DN是对应边上的高，∴DEAB DN AM = 如图，∵△ABC ∽△DEF, AM 、DN∴DEABDN AM = 相似三角形的判定： （1）定义法 （2）平行法如图1， ①∵MN ∥BC ， ∴△AMN ∽△ACB ． ②∵GH ∥BC ，∴△AGH ∽△ABC ． 图1 （3）SSS 法：如图2，∵EFBCDF AC DE AB ==， ∴△ABC ∽△DEF ． （4DFAC=，∠A=∠D, ∴△ABC ∽△DEF ．（5）AA 法：如图2，∵∠A=∠D,∠B=∠E ， ∴△ABC ∽△DEF ． （6）HL 法：如图3，∵DFACDE AB =， ∴R t △ABC ∽t R △DEF ． 图3 几何证明中常用的隐含条件：角形及四边形内角和；⑥半径相等；⑦同弧所对的圆周角相等；⑧一条弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半；⑨圆内接四边形的对角互补．。