传热学B第三讲
传热学传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题
传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题§3 — 3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。
如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。
若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。
一、无限大平板的分析解已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且>t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。
试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。
对于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0<x< , )定解条件：t(x,0)= t0(0 x )（边界条件）（边界条件）引入过余温度：则（0<x< , ）(3-9)(x,0)= (0 x ) （初始条件）（边界条件）（边界条件）对偏微分方程分离变量求解得：（3-10 ）其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。
其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。
由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2时，采用以下简化结果：（3-13 ）其中特征值之值与Bi 有关。
由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ）此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。
传热学课件第三章稳态导热
重点与难点
重点： 平壁、圆筒壁的一维稳态导热 难点： 肋片的导热
内容精粹
§1 通过平壁的导热
§2 通过圆筒壁 的导热
§3 通过球壁的导热
§4 接触热阻
§5 通过肋片的导热
第一节
通过平壁的导热
一、第一类边界条件下的平壁导热
当平壁的两表面分别维持均匀恒定 的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。
1. 单层平壁的稳态导热
圆球型导热仪示意图
在导热过程达到稳态后，通过被测材料层的
热流量Ф 就等于电加热功率P，忽略球壳的导热
热阻，被测材料层的内、外径即为内球壳外径d1 和外球壳内径d2，内外两侧的温度分别等于内、 外球壁的平均壁温tw1、tw2
。则所测材料在tw1～
tw2温度范围内的平均热导率为：
（d 2 d1） m 2d1d（ 2 t w1 t w 2）
2. 多层平壁的稳态导热
多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别维 持均匀恒定的温度时，其导热也是一维稳态导热。 以三层平壁为例，假设 （1）各层厚度分别为1、2、3， 各层材料的导热系数分别为1、2、 3 , 且分别为常数； （2）各层之间接触紧密, 相互 接触的表面具有相同的温度； （3）平壁两侧外表面分别保持 均匀恒定的温度tw1、tw4。 显然，通过此三层平壁的导热为 稳态导热, 各层的热流量相同。
tw1 tw 4 l Rl1 Rl2 Rl3 tw1 tw 4 d3 1 d2 1 1 d4 ln ln ln 21 d1 22 d 2 23 d3
对于 n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热 , 单位 长度的热流量为
l
tw1 tw n 1
三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻 之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得 tw1 tw 4 tw1 tw 4 3 1 2 R1 R 2 R 3 A1 A2 A3
传热学-第三章 new
第三章 非稳态导热
25
2 半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波
微分方程式
周期性边界条件
t 2t a 2 x
2 AW cos T
(0, ) w
利用分离变量法求解 温度分布的表达式
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
第三章 非稳态导热 14
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt hA(t t ) - Vc d
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0 方程式改写为：
dy] w erfc (u )
常热流边界条件下：
解为：
热流渗透厚度：它是随时间而变化的，它反映在所考虑的时间范围内，界 面上热作用的影响所波及的厚度。
第三章 非稳态导热 21
§3-4 其它形状物体的瞬态导热
无限长圆柱体(查表3-13，3-14，3-15)
m f ( Bi, Fo) 0
第三章 非稳态导热 27
地面参数： 最高温度：30.5 最低温度：-3.5 平均温度：13.5 振幅：17 10m处振幅：0.3 15m处振幅：0.04
28
第三章 非稳态导热
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
⑵温度波的延迟
2 T aT 1 T x 2 a
第三章 非稳态导热 3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
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0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
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相当于第一 类边界条件
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任意时刻平板 内温度均匀
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书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
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30
传热学第三章 非稳态导热
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学第三章稳态导热
传热学第三章稳态导热
11
根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
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传热学第三章稳态导热
12
由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
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传热学第三章稳态导热
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通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
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传热学第三章稳态导热
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一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
传热学课件 第三章 非稳定导热
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
传热学-第三章
t = f (x, y, z,τ ) ;
Φ= f(τ )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式： 非稳态导热的导热微分方程式：
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρc = (λ ) + (λ ) + (λ ) + Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
Fov 是傅立叶数
θ =e θ0
hA − τ ρVc
=e
−Biv⋅Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲： 方程中指数的量纲：
W 2 2 ⋅ m hA w 1 m K = = = ρVc kg Jkg 3 J s 3 ⋅ K [m ] m
15
第三章 非稳态导热
1 的量纲相同，当 τ = ρVc 时，则 即与 的量纲相同， hA τ
hA τ⋅ =1 ρVc
此时， 此时，
θ = e−1 = 36.8% θ0
ρVc
时，物体的过
上式表明： 上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 余温度已经达到了初始过余温度的 ％。 ρVc 为时间常数， 表示。 称 为时间常数，用 τ c 表示。 hA
(1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义： 毕渥数的定义：
tf h
δ
δ
tf h
0
x
⇓
t δ
t∞
tf h
rλ δ λ δh Bi = = = rh 1 h λ
第三章 非稳态导热
7
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热第三章非稳态导热第一节非稳态导热的基本概念图3-1 瞬态导热的基本概念图3-2 周期性导热的基本概念第二节无限大平壁的瞬态导热一、加热或冷却过程的分析解法图3－3 第三类边界条件下的瞬态导热图3-4 特征方程的根22xta t ∂∂=∂∂τ τ＞0， 0＜x ＜δ （1） 相应地初始条件为τ=0， t t =0 0≤≤x δ （2） 边界条件为xt∂∂｜x =0 = 0 (对称性) τ＞0 （3） xt∂∂-λ｜x =δ = h t (｜x =δ-t f ) τ＞0 （4） 引用新的变量()()θττx t x t f ,,=-，称为过余温度22x∂∂=∂∂θτθ τ＞0， 0＜x ＜0 （3-1） τ=0， θθ=0 0≤≤x δ （3-2）x∂∂θ｜x =0 = 0 τ＞0 （3-3） x∂∂-θλ｜x =δ= h θ｜x =δ τ＞0 （3-4 ) ()()()θτφτx X x ,= （5）τφφd d a 1=221dx Xd X （6）μτφφ=d d a 1 （7）μ=dxdXX 1 （8） ()φμτ=c a 1exp （9）()φετ=-c a 12exp （10）2221ε-=dxXd X （11） ()()X c x c x =+23cos sin εε （12） ()()()[]()θτεεετx A x x a ,cos sin exp =+-2 （3-5）x∂∂θ｜x =0 =()()A B a εεετsin cos exp 002+- ()()()θτεετx A x a ,cos exp =-2 （13） ()[]()()()---=-λεεδετεδετA a hA a sin exp cos exp 22 ()λεεδ=h cot （14）()εδδλεδh ⎛⎝ ⎫⎭⎪=cot （15）ββBi=cot （3-6）式（3-6）称为特征方程。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
传热学课件-第三章非稳态热传导共66页文档
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
mW2Km2
w1
cV
kg m3
JKkg[m3]
J
s
即与 1 的量纲相同，当
时hVAc，则
hA 1
Vc
此时， e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc时，物体的过余温度已经达
到了初始过余温度的36.8％。hA称 为Vc 时间常数，用 表示 。c
非周期性非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋 近于恒定的值
非周期性非稳态导热实例(汽轮机外壳)
冷态启动前：tf1=tw1=tw2=tf2
进汽后 tf1
内壁 q1=h1(tf1-tw1) 到某一时刻 h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2) 以后为稳态导热
3 温度分布：
问题描述：
3 、了解内容：
①无限大物体非稳态导热的基本特点。 ②二维非稳态导热问题。
§3-1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的特点及类型
1 非稳态导热的定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
例如太阳辐射的周期性变化引起的房屋的墙壁温度随时间的变化。
这 时 ， 由 于 导 热 热 阻 δ/λ几乎可以 忽略，因而任一时刻平板中各点的 温度接近均匀，并随着时间的推移， 整体地下降，逐渐趋近于t∞ 。
（3） δ/λ与 1/h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极 端情况之间。
由此可见，上述两个热阻 的相对大小对于物体中非稳态 导热的温度场的变化具有重要 影响。为此，我们引入表征这 两个热阻比值的无量纲数毕渥 数： Bi h
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
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Bi Fo 22
※毕渥数与傅立叶数的物理意义
Bi hl l 1h
固体内部单位面积导热热阻 固体表面单位面积对流换热热阻
无量纲
热阻
Fo
l
2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需要的时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
扩散项
内热源项
复习
1.边界条件
第一类边界条件：给定壁面温度 tw 第二类边界条件：给定壁面热流密度 qw
第三类边界条件：对流换热条件
2. 平壁导热（单层和多层）
q
tw1
n
t w ( n 1)
i
（多层）
i1 i
——第一类边界条件且无内热源
3.圆筒壁导热（单层和多层）
2 l (t1
ln r2
t2)
2. 特征长度：l V A
※ 厚 2 的大平板 l ※ 半径 R的长圆柱 l R
2
※ 半径 R的球体 l R
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3 16
3. 表面对流换热热阻 1 h
l
4.毕渥数：Bi
1
hl
h
物理意义 固体内部单位面积导热热阻 固体表面单位面积对流换热热阻
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条件三：Bi 0.1M
双曲正切函数
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0
ch m(x H ) ch(mH )
H
0
ch(mH )
8
6.代入导热基本定律中求解热流量或热流密度
x0
Ac
d
dx
x0
Ac0mth(mH )
hP m
0th(mH )
※肋端非绝热时 H ' H
2
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二、其他肋片的导热
实际散热量
f 假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量
复习
1.对流换热：
Aht t R
或 q ht t
RA
R
1
Ah
RA
1 h
2.黑体四次方定律： AT 4
3.传热方程： kA(t fi t fo )
4.导热基本定律（傅利叶定律）
A
t
n
或
q
t
n
n
n
5.直角坐标系导热微分方程
c t
t
x x
y
t y
t
•
z z
非稳态项
无量纲 时间
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四、换热量
1.瞬间换热量：
hA(t
t
)
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
2. 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
exp(
hA
cV
)d
0 cV
1
exp
hA
cV
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厨师吹肉丝
一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从100℃的热炒锅 中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至65ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时再放入口中。 试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为 2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度为30℃，其与鸡肉丝之间
r1
t1
t2 R
R ln r2 r1
2 l
ln d2
t1 t4
d1 / 2l1 ln d3 d2 / 2l2 ln d4
d3 / 2l3
一、等截面直肋的导热
1.建模
假设：a.肋片、Ac、P为常数 等截面肋
b. l 很长 简化成二维的传热
c. 1
简化成一维的传热
h
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实 假
假 hA(t0 t )
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1.查图法
已知参数
已知参数
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横坐标 f
实 假 hA(t0 t )
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2.公式法
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主要内容：
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分析 求解方法。包括：
1. 非稳态导热的集总参数分析法；
2. 一维非稳态导热的分析解法；
0
e mx e mH e mH
e mH e mx e mH
e mx e mH e mH e mx
em(xH) em(xH)
0
2 e mH e mH
0
2 e mH e mH
2
2
sh(x)
ex
ex ; 2
ch(x)
ex
ex ; 2
th
(
x)
e e
x x
ex ex
双曲正弦函数 双曲余弦函数
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三、温度分布
4
t1
3
2
1
t0
0
非正规状况阶段（起始阶段）
※导热过程的阶段 正规状况阶段
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新的稳态
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§2 集总参数法
一、集总参数法使用条件
c t
x
t x
y
t y
t
•
z z
条件一：物体内部温度分布均匀
1. 物体内部导热热阻 l
条件二：物体内部导热热阻可忽略
的表面传热系数为100W/(m2·K)。
鸡肉丝的 810kg / m3、c 3.35kJ /(kg K )、 1.1W /(m K )。
令m2 hP
Ac
则d 2
dx 2
m2
3.求解微分方程，得出温度分布的通解
c1emx c2e mx
4.设定定解条件
x 0时t t0，即 0 t0 t x H时q 0，即 dt 0，又即 d 0
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dx
dx 7
5.求解温度分布公式
0
e mx e 2mH e mx 1 e 2mH
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
0
t t t0 t
exp
hA
cV
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※
时间常数
c
cV
hA
e c
0
时
0
0
即t t
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※ hA hV A2 cV A cV 2
hV A a V A2
Bi Fo
t t exp(Bi Fo) 0 t0 t
平板 M 1 长圆柱 M 1
2
圆球 M 1
3
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三、温度分布
c t
x
t x
y
t y
z
t z
•
•
对
hA(t t )
V
V
c dt hA(t t )
d
V
cV
dt
d
hA(t t )
令 t t
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cV d hA d
求通解 ln hA c cV
5
d. 肋端绝热 q 0，即 dt 0 dx
e. 对流和辐射换热看成是肋片的内热源
对、辐 Aht Pdxh(t t )
•
对、辐
hP(t
t
)
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V
Ac
6
2. 导热微分方程的简化
•
d 2t
dx 2
0
d 2t hP(t t )
dx 2
Ac
令
t t
则d 2
dx2
hP Ac
3. 半无限大物体的非稳态导热。
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第三章 非稳态导热
§1 基本概念
一、非稳态导热问题的类型
（1）瞬态非稳态导热
（2）周期性非稳态导热
二、 瞬态导热过程的特点
（1）非正规状况阶段
温度分布主要受初始温度分布控制
（2）正规状况阶段
物体内初始温度分布消失，温度分布主要取决于边 界条件及物性，各点的温度变化具有一定的规律