平面向量四心问题(最全)

近年来,对于三角形的“四心”问题的考察时有发生,尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等,只要对于这方面的知识准备充分,就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：

一、重心问题

三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重

心”就在中线上.

例1 已知Ｏ是平面上一定点,Ａ，B，C是平面上

不共线的三个点,动点P 满足：

，则Ｐ的轨迹一定通过△AＢC

的（

）

Ａ外心 B 内心 C 重心Ｄ垂心

解析:如图1,以ＡＢ，AC为邻边构造平行四边形ABCD,Ｅ为对角线的交点,根据向量平行四边形法则，因为,

所以,上式可化为,E在直线ＡP上,因为AE为的中线，所以选 C.

点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.

二、垂心问题

三角形“垂心”是三角形三条高的交点,所以“垂心”就在高线上.

例２ P是△ABC所在平面上一点,若，则Ｐ是△ABC的( ）.

A．外心 B.内心 C.重

心D．垂心

解析:由.

即．

则，

所以Ｐ为的垂心. 故选Ｄ.

点评：本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识．将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合.

三、内心问题

三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.

例3 已知P是△ABＣ所在平面内的一动点，且点P满足

，则动点P一定过△ABC的〔〕.

A、重心

B、垂心

C、外

心 D、内心

解析:如图2所示,因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又,则原式可化为，由菱形的基本性质知ＡP平分,那么在中,AP平分，则知选Ｂ.

点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”,首先是什么?想想一个非零向量

除以它的模不就是单位向量? 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了．

四、 外心问题

三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点,所以“外心”就在垂直平分线线上.

例4 已知O 是△ＡB Ｃ内的一点,若，则O 是△ABC 的〔 〕．

A.重心

B.垂心

C.外心

D.内心

解析:，由向量模的

定义知

到

的三顶点距离相等.故

是

的外心 ，选C ．

点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合

三角形的“四心”与平面向量

向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法,易于数形结合,而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点,各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： ① 设()+∞∈,0λ，则向量(

AC AB +

λ必平分∠BA Ｃ,该向量必通过△ＡB Ｃ的内心；

② 设()+∞∈,0λ，则向量(

AC

AB

-λ必平分∠B ＡC 的邻补角

③ 设()+∞∈,0λ,

则向量+

λ必垂直于边BC,该向量必通过△ABC

的垂心

④ △ＡＢＣ中+一定过BC 的中点，通过△A ＢC 的重心 ⑤ 点O 是△ＡB Ｃ的外心 2

2

2

OC OB OA ==⇔ ⑥ 点O 是△ABC 的重心 0=++⇔OC OB OA

⑦ 点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅

⑧ 点O 是△ＡBC 的内心 =⋅+⋅+⋅⇔

c b a （其中ａ、ｂ、c 为△AB Ｃ三边)

⑨ △ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线,即∥OH

⑩ 设O 为△ＡBC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，,I 为△ＡBC 的内心， 则有)(3

1

++=

c b a OC c OB b OA a ++++=

并且重心G(错误!，错误!) 内心I(错误!，错误!）

例1:(2003年全国高考题)O 是平面上一定点,A 、B 、Ｃ是平面上不共线的三点，动点P

满足OA OP +

+=λ,()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ＡB Ｃ的( )

（A)外心 （Ｂ)内心

（C ）重心 （Ｄ)垂心

事实上如图设

=

=

都是单位向量

易知四边形A ＥTF 是菱形 故选答案B

例2:（2005年北京市东城区高三模拟题）O 为△ABC 所在平面内一点,如果

⋅=⋅=⋅，则O 必为△ＡＢＣ的( ）

（A)外心 (Ｂ)内心 (C)重心 (D ）垂心

事实上⇒=⋅⇒=⋅-⇒⋅=⋅00)(ＯB ⊥CA 故选答案D

例3:已知O 为三角形A ＢC 所在平面内一点，且满足

=+=，则点O 是三角形ＡＢＣ的（ ）

(A)外心 （B)内心 (C ）重心 （D)垂心

事实上由条件可推出⋅=⋅=⋅ 故选答案Ｄ

例4：设O 是平面上一定点，Ａ、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P

满足+

+=λ，()+∞∈,0λ,则动点P 的轨迹一定通

过△A ＢC 的( ）

(Ａ)外心 （B)内心 (C ）重心 （D ）垂心

事实上0)(=+⋅=•+

BC BC λλ 故选答案D

例

5、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，

123||||||1OP OP OP ===,求证:

123PP P △是正三角形. 分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===,容易想到,点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点O 是

123PP P △的重心. 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1９５１年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与本题实质是相同的．

显然,本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==.

高考原题

例6、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足

()[0,).||||

AB AC

OP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△AB Ｃ的( ).