(完整版)19平面向量四心问题(最全).doc
平面向量四心(高考热点)
答案
3：已知O为三角形ABC所在平面内 一点，且满足 OA BC OB CA OC AB 则点O是三角形ABC的（ ）
2 2 2 2 2
2
A．重心B.垂心C.外心D.内心
答案
4：设 是平面上一定点，A、B、C是 平面上不共线的三点， 动点P满足
OP OA ( AB AB cos B AC AC cos C )
(
AB AB cos B
AC AC cos C
)
3.△ABC中 AB AC 一定过 BC
的中点，通过△ABC的重心
必垂直于边BC，该向量必通过 △ABC的垂心
，
O
O 1、是△ABC的外心 OA
2
OB OC
O
2
2
2、是△ABC的重心 OA OB OC 0
A、重心B、垂心C、外心D、内心
答案
D
外心问题
三角形“外心”是三角形外接圆的 圆心，三角形三条边的垂直平分线 的交点，所以“外心”就在垂直平 分线线上.
例4 已知O是△ABC内的一点，若 则O是△ABC的〔 〕 A．重心B.垂心C.外心D.内心
答案 B
O
1：（2003年全国高考题） O 是平面上一定点，A、B、C是平面 上不共线的三点，动点P满足 ：
三角形“垂心”是三角形三条高 的交点，所以“垂心”就在高线 上.
例2 P是△ABC所在平面上一点， 若
则P是△ABC（
）
A．外心B．内心C．重心三角形“内心”是内切圆的圆 心，三角形三条内角平分线的 交点，所以“内心”就在内角 平分线线上.
• 例3 已知P是△ABC所在平面 例3 已知P是△ABC所在平面内的一 动点，且点P满足
平面向量四心问题
近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题例1 已知O 是平面上一 定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若，则P 是△ABC 的（ ）. 例3 已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满足，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕. 例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心与三角形的“四心”相关的一些常见的重要的向量关系式有：① 设()+∞∈,0λ，则向量(AC AB+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心; ② 设()+∞∈,0λ，则向量(AC AB λ必平分∠BAC 的邻补角③ 设()+∞∈,0λ，则向量cos cos (C AC B AB +λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC的垂心④ △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心⑤ 点O 是△ABC 的外心 222==⇔⑥ 点O 是△ABC 的重心 0=++⇔OC OB OA⑦ 点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⑧ 点O 是△ABC 的内心 =⋅+⋅+⋅⇔c b a (其中a 、b 、c 为△ABC 三边)⑨ △ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即∥OH⑩ 设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心， 则有)(31++= c b a OC c OB b OA a ++++= 并且重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ） 内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy C a+b+c） 例4：设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P满足++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心。
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。
在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。
因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。
四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。
2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。
垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。
2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。
外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。
2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。
内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。
2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。
下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。
A。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。
平面向量四心问题(最全)
平面向量四心问题近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕.A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。
平面向量四心问题(全)
平面向量四心问题(全)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心 ，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。
(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)
讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、 四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲 动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。
是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・ 例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩 為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点 在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
平面向量四心问题
1 已知O 是平面上一 定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2 P 是△ABC 所在平面上一点，若，则P 是△ABC 的（ ）. A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3 已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满足，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕.A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心5.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足(AC AC AB ABOA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心（C ）重心 （D ）垂心6.O 为△ABC 所在平面内一点，如果OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 必为△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心7.已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足AB OC CA OB BC OA =+=，则点O 是三角形ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心8.设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P满足AC ABOA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心9.已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===， 123PP P △的形状是10.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．11在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．12.（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12, 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形13.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形14．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）15．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 16．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21-A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（一）三角形各心的概念介绍1、重心——三角形的三条中线的交点；2、垂心——三角形的三条垂线的交点；3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 根据概念，可知各心的特征条件重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．（二）三角形各心的向量表示点O 是△ABC 的重心 0=++⇔OC OB OA点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅设()+∞∈,0λ，则向量AC AB +λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心设()+∞∈,0λ，则向量AC AB+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心; 点O 是△ABC 的外心 222OC OB OA ==⇔设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心， 则有)(31OC OB OA OG ++= 重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ）。
平面向量与四心(向量与三角形内心、外心、重心、垂心),含答案,上课直接用
补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）证明：⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.（2）证明：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.*（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠,(λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21-3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 9.在△ABC 中，已知向量21||||0||||(==⋅+AC ACAB ABBC AC AC AB AB AC AB 满足与，则△ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 10. 在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇答案一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量中的四心问题总结
平面向量中的四心问题总结平面向量中的四心问题是一个数学问题，涉及到平面上的四种特殊点，分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这四个点在平面向量中有着特殊的性质和关系，对于研究平面向量和几何问题有着重要的意义。
首先，三角形的重心是由三角形的三个顶点所确定的三条中线的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的平均值。
重心在平面向量中有着重要的作用，它可以表示为三个顶点向量的和的1/3。
重心是三角形的一个重要特征点，具有平衡的作用，对于平面向量的运算和性质有着重要的影响。
其次，三角形的外心是三条外接圆的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的中点。
外心在平面向量中也有着特殊的性质，它可以表示为三个顶点向量的和的一半。
外心是三角形外接圆的圆心，对于三角形的外接圆方程和性质有着重要的作用。
再次，三角形的内心是三条内切圆的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的加权平均。
内心在平面向量中也有着特殊的性质，它可以表示为三个顶点向量的和，但需要根据三角形的边长进行加权。
内心是三角形内切圆的圆心，对于三角形的内切圆方程和性质有着重要的作用。
最后，三角形的垂心是三条高的交点，它的坐标可以表示为三个顶点坐标的加权平均。
垂心在平面向量中也有着特殊的性质，它可以表示为三个顶点向量的和，但需要根据三角形的边长进行加权。
垂心是三角形的一个重要特征点，对于三角形的高、垂心连线等性质有着重要的影响。
综上所述，平面向量中的四心问题涉及到三角形的重心、外心、内心和垂心，它们在平面向量中有着特殊的性质和关系，对于研究平面向量和几何问题有着重要的意义。
这些特殊的点和它们的性质不仅在数学理论中有着重要的应用，也在实际问题中有着重要的意义。
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
(完整版)平面向量四心问题(最全)
近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔 〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心 ，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。
(完整版)向量四心问题
向量中的三角形“四心"问题学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心.证明：由,得，即，所以。
同理可证。
故O为△ABC的垂心.结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。
证明：由,得，所以。
同理可证。
容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点,满足,则点G为△ABC的重心。
证明：由，得。
设BC边中点为M，则，所以，即点G在中线AM上。
设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上,故点G为△ABC的重心。
结论4:若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心.证明：由，得,得。
由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5:若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，则点P为△ABC的内心。
证明：由于,可得。
设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。
因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。
由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上.故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点,满足，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。
故点O为△ABC的外心.说明:以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。
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1已知 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）
Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心
2 P 是△ ABC所在平面上一点，若，则P是△ ABC的（）.
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3已知 P 是△ ABC所在平面内的一动点，且点P 满足
，则动点P 一定过△ ABC的〔〕.
A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心
4 已知 O是△ ABC内的一点，若，则O是△ ABC的〔〕.
A．重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心5.O 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P 满足
AB AC ) ，0,，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（）OP OA(
AB AC
（ A）外心（B）内心
（ C）重心（D）垂心
6. O为△ ABC所在平面内一点，如果OA OB OB OC OC OA ，则O必为△ABC的（）
（ A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
7.已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足
22222 2
OA BC OB CA OC AB ，则点O是三角形ABC的（）
（ A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
8. 设O是平面上一定点，A、 B、C 是平面上不共线的三点，
动点 P 满足OP OA ( AB AC
) ，0, ，则动点 P 的轨迹一定通
AB cos B AC cosC
过△ ABC的
（）
（ A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
9.已知向量 OP1, OP2 , OP3满足条件OP1 OP2 OP3 0 ， | OP1 | | OP2 | | OP3 | 1 ，△ PP P 的形状是
1 2 3
10.ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ，uuur uuur uuur uuur
OH m(OA OB OC ) ，则实数m = ．
11 在△ ABC内求一点 P ，使AP
2 BP2 CP 2最小．
→ →→→
→
→→
12（. + AC 且 AB ·AC = 1 , 则△ ABC
06 陕西）已知非零向量 AB 与AC 满足 ( AB )·BC =0
→→→→ 2
|AB | |AC | |AB | |AC |
为( )
A ．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
已知三个顶点、、，若 2
，则ABC
为
13. ABC A B CABAB AC AB CB BC CA
（）
A ．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形
14．ABC的外接圆的圆心为O，若OH OA OB OC ，则H是ABC 的（）15．已知ABC 三个顶点 A、 B、 C 及平面内一点P ，满足PA PB PC 0 ，若实数满足： AB AC AP ，则的值为（）
A ． 2
3
D． 6 B ．C． 3
2
16．若ABC 的外接圆的圆心为O，半径为1，OA OB OC 0，则 OA OB ( )
A ．1
B． 0 C．1 D．
1
2 2
A ．外心
B ．内心C．重心 D ．垂心
（一）三角形各心的概念介绍
1、重心——三角形的三条中线的交点；
2、垂心——三角形的三条垂线的交点；
3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；
4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
根据概念，可知各心的特征条件
重心将中线长度分成
2： 1；
垂线与对应边的向量积为
0；
角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
外心到三角形各顶点的距离相等．
（二）三角形各心的向量表示
点 O 是△ ABC 的重心 OA OB OC 0
点 O 是△ ABC 的垂心 OA OB
OB OC OC OA
设
0, ，则向量
AB
AC
) 必垂直于边 BC ，该向量必通过△ ABC
的
(
AB cosB
AC cosC
垂心
设
0, ，则向量
( AB
AC
) 必平分∠ BAC ，该向量必通过△ ABC 的内心 ;
AB
AC
点 O 是△ ABC 的外心
2
OB 2
2
OA OC
设 O 为△ ABC 所在平面内任意一点， G 为△ ABC 的重心，
则有 OG 1 (OA OB OC ) 重心 G （ X A +X B +X C Y A +Y B +Y C
， 3
）
3
3。