高考数学玩转压轴题专题7_2创新型问题

专题7.2 创新型问题

一．方法综述

对于创新型问题，包括：

（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）。 （Ⅱ）创新性问题

①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.

③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.

二．解题策略 类型一 实际应用问题

【例1】【北京市石景山区2018届第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）

A ． 点M

B ． 点N

C ． 点P

D ． 点Q 【答案】D

【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．

【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子： ①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1

2

12

c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）

A ． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B

类型二 创新性问题

【例2】设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”．若函数f (x )＝ax 2

－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在

“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，0] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12

C.⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞

【答案】C

【解析】由题意，方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间[1,4]上有解，显然x ≠1，所以方程ax 2

－3x －a ＋52＝－

x 在区间(1,4]上有解，即求函数a ＝2x －

52

x 2－1

在区间(1,4]上的值域，

令t ＝4x －5，则t ∈(－1,11]，a ＝8t

t 2＋10t ＋9

，当t ∈(－1,0]时，a ≤0；

当t ∈(0,11]时，0＜a ＝

8

t ＋9

t

＋10≤8

2

t ×9

t

＋10＝1

2

，当且仅当t ＝3时取等号． 综上，实数a 的取值范围是⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略． 【例3】定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{a n }是以a 1＝(1,3)为首项，公差为d ＝(1,0)的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *

)垂直，则x 10

x 1

＝________. 【答案】－4 480

243

【解析】易知a n ＝(1,3)＋(n －1,0)＝(n,3)，因为向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *

)垂直， 所以

x n ＋1x n ＝－n 3，所以x 10x 1＝x 2x 1·x 3x 2·x 4x 3·x 5x 4·x 6x 5·x 7x 6·x 8x 7·x 9x 8·x 10x 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－73×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－93＝－4 480243.

【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有

x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．

给出下列函数：①y ＝x 2

；②y ＝e x

＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

ln|x |，x ≠0，

0，x ＝0.以上函数是“H 函