人教A版数学选修21： 空间向量与立体几何 6

(3)面面垂直． 设平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝0． 2．空间中直线、平面垂直关系的证明方法 (1)线线垂直．
(2)线面垂直． 方法一：根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直； 方法二：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)面面垂直． 方法一：根据判定定理证明线面垂直； 方法二：证明两个平面的法向量垂直．
的法向量为 n＝(－2，0，4)，则( )
A．l∥α
Hale Waihona Puke Baidu
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l 与 α 斜交
解析：因为 a＝(－1，0，2)，n＝(－2，0，4)，
n＝2a，所以 n∥a，所以 l⊥α.
答案：B
4．若直线 l1 的方向向量为 u1＝(1，3，2)，直线 l2 上有两点 A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关 系是________．
法二(坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A－12，0，0，B12，0，0， C0， 23，0，N0， 23，14， B112，0，1，
因为 M 为 BC 中点，所以 M14， 43，0. 所以M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1，0，1)， 所以M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. 所以M→N⊥A→B1，所以 AB1⊥MN.
归纳升华 用向量法证明线面垂直的方法与步骤
1．基向量法，具体步骤如下： (1)确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示 有关直线的方向向量； (2)找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用 基向量表示； (3)分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线 的向量的数量积，根据数量积为 0，证得线线垂直，然后 由线面垂直的判定定理得出结论．
|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)， A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c， 所以A→B1·M→N＝(a＋c)·－12a＋12b＋14c＝ －12＋12cos 60°＋14＝0. 所以A→B1⊥M→N，所以 AB1⊥MN.
而A→1O＝A→1A＋A→O＝A→1A＋12A→B＋A→D＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1＝12(a＋b)－12c， 所以A→1O·B→D＝c＋12a＋12b·(b－a)＝c·(b－a)＋12(a＋ b)·(b－a)＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0. 所以A→1O⊥B→D，所以 A1O⊥BD.
则由已知条件有 C(1，0，0)，B(0， 3， 0)，E(0，－ 3，0)，D(1，0，1)，A(0， 3，2)．
设平面 ADE 的法向量为 n＝(a，b，c)， 则 n·E→A＝(a，b，c)·(0，2 3，2)＝2 3b＋2c＝0， n·D→A＝(a，b，c)·(－1， 3，1)＝－a＋ 3b＋c＝0. 令 b＝1，则 a＝0，c＝－ 3，
第三章 空间向量与立体几何
第 2 课时 空间向量与垂直关系 [学习目标] 1.求直线的方向向量和平面的法向量 (重点)． 2.利用方向向量和法向量处理线线、线面、面 面间的垂直问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直． 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方 向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1 ＋a2b2＋a3b3＝0． (2)线面垂直． 设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法 向量是 v＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv．
B→C＝(0，2，0)．因此E→F·B→C＝0，从而E→F⊥B→C， 所以 EF⊥BC.
类型 2 证明线面垂直 [典例 2] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O⊥ 平面 GBD.
证明：法一 设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c， 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.
解析：因为A→B＝(1，－1，1)，又 u1·A→B＝(1，3，2)·(1， －1，1)＝0，故两直线的位置关系为垂直．
答案：垂直 5．已知两平面 α，β 的法向量分别为 u1＝(1，0，1)， u2＝(0，2，0)，则平面 α，β 的位置关系为________． 解析：因为 u1·u2＝(1，0，1)·(0，2，0)＝0，所以两 平面的法向量垂直，即两平面垂直．
类型 3 证明面面垂直 [典例 3] 如图所示，在四棱锥 E-ABCD 中，AB⊥平 面 BCE，CD⊥平面 BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠ BCE＝120°. 求证：平面 ADE⊥平面 ABE.
证明：取 BE 的中点 O，连接 OC，则 OC⊥EB， 又 AB⊥平面 BCE，
所以以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示．
所以可取 n＝(0，1，－ 3)． 又 AB⊥平面 BCE， 所以 AB⊥OC， 所以 OC⊥平面 ABE， 所以平面 ABE 的法向量可取为 m＝(1，0，0)． 因为 n·m＝(0，1，－ 3)·(1，0，0)＝0， 所以 n⊥m， 所以平面 ADE⊥平面 ABE.
归纳升华 1．利用空间向量证明面面垂直的方法． (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转 化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题； (2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂 直，从而得到两个平面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性． 主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用 基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结 果，方法很“公式化”．
法三 同法二建系后，设平面 GBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
则BB→→DG··nn＝＝00，，所以－－22xx＋－z2＝y＝0，0. 令 x＝1 得 z＝2，y＝－1， 所以平面 GBD 的一个法向量为(1，－1，2)， 显然A→1O＝(－1，1，－2)＝－n， 所以A→1O∥n，所以 A1O⊥平面 GBD.
答案：垂直
类型 1 证明线线垂直(自主研析) [典例 1] 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
解：法一(基向量法) 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质，得
归纳升华 利用空间向量判断空间两直线垂直的方法
1．基向量法：(1)取三个不共线的已知向量(通常是它 们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；
(2)把两直线的方向向量用基底表示； (3)利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向 量的数量积为 0； (4)由方向向量垂直得到两直线垂直．
2．坐标法：(1)根据已知条件和图形特征，建立适当 的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；
所以O→A1＝(1，－1，2)， O→B＝(1，1，0)， B→G＝(－2，0，1)， 而O→A1·O→B＝1－1＋0＝0， O→A1·B→G＝－2＋0＋2＝0， 所以O→A1⊥O→B，O→A1⊥B→G，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，且 A1O⊄平面 GBD， 所以 A1O⊥平面 GBD.
[变式训练] 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1D1，C1B1 的中点，G 为 CC1 上任一点，tan∠ECD ＝4.
(1)求证：AG⊥EF； (2)在 CC1 上是否存在点 G，使 AG⊥平面 CEF，并说 明理由． 解：因为 ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱，所以 ABCD 是正方形，设其边长为 2a，∠ECD 是 EC 与底面所成的 角，tan∠ECD＝4， 而∠ECD＝∠CEC1，所以 CC1＝4EC1＝4a.
同理可证，A→1O⊥O→G，所以 A1O⊥OG. 又因为 OG∩BD＝O，且 A1O⊄平面 GBD， 所以 A1O⊥平面 GBD. 法二 如图所示，取 D 为坐标原点，DA、 DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为 2， 则 O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2， 0)，D(0，0，0)，
设 G(2a，2a，b)(0≤b≤4a)． (1)A→G＝(2a，2a，b)，E→F＝(a，－a，0)，
A→G·E→F＝2a2－2a2＋0＝0，所以 AG⊥EF. (2)C→E＝(－a，0，4a)，由(1)知，要使 AG⊥平面 CEF， 只需 AG⊥CE，只需A→G·C→E＝(2a，2a，b)·(－a，0， 4a)＝－2a2＋4ab＝0， 所以 b＝12a，即存在点 G，当 CG＝18CC1 时，AG⊥ 平面 CEF.
[思考尝试·夯基]
1．若平面 α，β 的法向量分别为 a＝(－1，2，4)，b
＝(x，－1，－2)，并且 α⊥β，则 x 的值为( )
A．10
B．－10
C.12
D．－12
解析：因为 α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所
以 a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，
解得 x＝－10.
答案：B
求证：EF⊥BC. 证明：以点 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所 在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过点 B 作垂
直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得 B(0，0，0)，A(0，－1， 3)，D( 3，－1，0)，C(0， 2，0)，E0，12， 23，F 23，12，0，E→F＝ 23，0，－ 23，
以 A 为原点，AB，AD，AA1 所在的直线 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系．
则 A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0， 2a，0)，A1(0，0，4a)，B1(2a，0，4a)，C1(2a，2a，4a)， D1(0，2a，4a)，E(a，2a，4a)，F(2a，a，4a)．
2．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝2， AA1＝ 3，AD＝2 2，P 为 C1D1 的中点，M 为 BC 的中 点．则 AM 与 PM 的位置关系为( )
A．平行 C．垂直 答案：C
B．异面 D．以上都不对
3．若直线 l 的方向向量为 a＝(－1，0，2)，平面 α
[变式训练] 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截 得的几何体如图所示，截面为三角形 A1B1C1，∠BAC＝ 90°，A1A⊥平面 ABC.A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 中点．
证明：平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0， 3)，C1(0，1， 3)，
2．坐标法． 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并且坐标表示它们的 方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0； 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
(2) 根 据 所 求 出 点 的 坐 标 求 出 两 直 线 方 向 向 量 的 坐 标；
(3)计算两直线方向向量的数量积为 0； (4)由方向向量垂直得到两直线垂直．
[变式训练] 如图，△ABC 和△BCD 所在 平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E，F 分别为 AC，DC 的中 点．