导热基本定律和导热微分方程

t
a
1 r
r
(r ) r
1 r2
2t
2
2t z 2
qv
C
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材料成型传输原理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－热量传输
（2）球坐标系 （r, ，）
qr
t r
q
1 r
t
q
1
r sin
t
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
t
a
1 r2
r
(r 2
t ) r
1
r 2 sin
dxdydzd
t z 2
dxdydzd
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材料成型传输原理－－热量传输
内热源发热量＝ qvdxdydzd
式中，qv 内热源发热率（w/㎡），表示每单位体积微元体单
位时间发出的热量，如为吸热, 则qv＜0，qv 可以是坐标、时间
的函数。
微元体热焓的变化（质量为mkg）：
(mcdt dxdydzc t d )
(sin
t )
1
r 2 sin2
2t
qv
C
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材料成型传输原理－－热量传输
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
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材料成型传输原理－－热量传输
五、导热微分方程的定解条件
各向异性材料中：
qx
xx
t x
xy
t y
xz
t z
qy
yx
t x
yy
t y
yz
t z
qz
zx
t x
zy
t y
zz
t z
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二、导热系数
材料成型传输原理－－热量传输
q
-grad t
W (m C) — 物质的重要热物性参数
1.热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、 通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。（实验 测定）
热蓄集＝ C
t
dxdydzd
d 时间内微元体中热力学能的增量。
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材料成型传输原理－－热量传输
导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积
t
at
2at( x 2
x2t2y22ty2t2
z22tz2t2)
qv ;
Cc
or
t a2t qv
c
导热微分方程
a — 热扩散率（导温系数） [ m2 s ] c
2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿 度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
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材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o(1 t )
(W m1 K 1 )
式中： 为温度为t℃的导热系数；
为温度为0℃的导热系数；
o
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
4.保温材料：
国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
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材料成型传输原理－－热量传输
三、导热的物理本质
1.气体导热――气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果
气体的热导率： 气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
的温度分布：
t 0 f (r)
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材料成型传输原理－－热量传输
D.边界条件――边界上的温度或换热情况，说明导热体 边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的 条件。
a.第一类边界条件――给定边界上的温度值。如：
t s tw
s — 边界面; tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度
2 — 拉普拉斯算子
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材料成型传输原理－－热量传输
二、导温系数（热扩散率）
(1)物理意义――综合反映导热能力和蓄热能力。a大则导热能 力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均 匀化；反之则反。
•反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）
之间的关系。
•其值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该
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材料成型传输原理－－热量传输
3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3 W (m C)
T
与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构
多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
B.物理条件――说明导热体的物理特征，如：物性参数 、c 和 的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小
和分布；是否各向同性（常为已知）。
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材料成型传输原理－－热量传输
C.初始条件――初始时刻的温度分布；〔思考〕稳态导热有 无初始条件
稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内
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材料成型传输原理－－热量传输
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa～2.0*103MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）
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材料成型传输原理－－热量传输
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材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418 W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者） 金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
据付立叶定律：
qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
Q qAd
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
Qx Qy+dy Qz
Qx+dx
导入总热量 Qx Qy Qz qx dydzd q y dxdzd qz dydxd
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下 ，热导率随温度的变化规律不一样。
（2）液体的热导率随压力p的升高而增大
p
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材料成型传输原理－－热量传输
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材料成型传输原理－－热量传输
第二节 导热微分方程及单值条件
一、 导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积
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材料成型传输原理－－热量传输
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材料成型传输原理－－热量传输
4.液体导热――气体导热机制＋非导电固体导电机制。
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6 W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动
（1）大多数液体（分子量M不变）：T
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决实 际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。
微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得特 定解。
（1）定解条件的定义 使微分方程得到特定解的附加条件(数学称谓)。
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材料成型传输原理－－热量传输
（2）定解条件的分类 A.几何条件――几何形状，如：平壁或圆筒壁；厚度、 直径等（常为已知）。
材料成型传输原理－－热量传输
第二章 导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程 第三章 稳态导热分析 第四章 非稳态导热分析 第五章 对流换热 第六章 辐射换热
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材料成型传输原理－－热量传输
第一节 导热本质及付立叶定律
一、付立叶导热定律
1822年，法国数学家付里叶（Fourier）在实验研究基础上 ，发现导热基本规律 —— 付里叶定律
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:Cu 12000 W (m C)
15K : Cu 7000 W (m C)
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材料成型传输原理－－热量传输
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材料成型传输原理－－热量传输
（2）合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动
2t y 2
2t z 2
0
拉普拉斯方程
稳态导热&无内无热源&二维：x22t
2t y 2
0
稳态导热&无内无热源&一维：d 2t x 2
0
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材料成型传输原理－－热量传输
四、非直角坐标系的导热微分方程
（1）圆柱坐标系
（r, , z）
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
x r cos; y r sin; z z
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材料成型传输原理－－热量传输
稳态导热： tw = const
非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
tw1 tw2
o
x
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材料成型传输原理－－热量传输
b.第二类边界条件――给定边界上的热流密度。
q s
qw
f (r, )
2t y 2
2t z 2
qv
C
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
qv
0
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材料成型传输原理－－热量传输
三、导热微分方程的简化
无内热源：
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
a2t
付立叶方程
稳态导热： 2t qv / 0 泊松方程
稳态导热&无内无热源：2t
2t x 2
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的 温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t [ W m2 ]
: 热导率（导热系数） W (m C)
（Thermal conductivity）
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材料成型传输原理－－热量传输
直角坐标系中：q qx i
qy j
qz k
合金 纯金属
如常温下： 纯铜 398w/m.0c
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
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材料成型传输原理－－热量传输
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；
主要依靠后者
T
与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
导出总热量 Qxdx Qydy Qzdz
qxdxdydzd q ydydxdzd qzdzdydxd
qx
q x x
dx dydzd
qy
q y y
dy dxdzd
q
z
q z z
dz dydxd
t x
dydzd
t y
dxdzd
t z
dydxd
t x 2
dxdydzd
t y 2
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材料成型传输原理－－热量传输
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
1 3
u
lcv
u ：气体分子运动的均方根速度
l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程 ：气体的密度； cv ：气体的定容比热
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减 小、而两者的乘积保持不变。
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假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质。 (2) 热导率、比热容和密度均为已知。 (3) 物体内具有内热源：内热源均匀分布；qv表示单位 体积的导热体在单位时间内放出的热量[W/m3]。
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材料成型传输原理－－热量传输
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉 、心、肺、肾等多脏器严重损害 的，全身性疾病，而且不少患者 同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表 现如下：
qw
根据傅里叶定律：
qw
t i
x
t j
y
t k
z
一维导热：qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
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材料成型传输原理－－热量传输
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑 料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 — — 各向异性材料
热量能在整个物体中很快扩散。
•热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一
致的能力。
•在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别
越小。
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(2)a与λ的比较
材料成型传输原理－－热量传输
(3)a只在非稳态传热过程中起作用。对稳态传热：
t 0
a
2t x 2
t dydzd t dxdzd t dydxd
x
y
z
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材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qxdx
qx
qx x
dx
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy
qy
q y y
dy
q z dz
qz
qz z
dz
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材料成型传输原理－－热量传输