导热基本定律和导热微分方程
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2.5 导热基本定律与稳态导热
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当 Bi→∞ 时，意味着表面传热
系数 h →∞ （Bi=hδ/λ ），对流
换热热阻趋于0。平壁的表面温 度几乎从冷却过程一开始，就 立刻降到流体温度 T∞ 。 定向点O’就在平壁表面上
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当Bi→0时，意味着物体的热导 率很大、导热热阻→ 0
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
t=t0
六、傅里叶准则 Fo 对温度分布的影响
一维非稳定导热无量纲方程：
1 ∂T = ∂2T
a ∂τ ∂x2
引入无量纲参数： θ = T − T∞ ,
Ti − T∞
X=x
δ
FO
=
aτ δ2
∂θ ∂τ
=
a
δ2
∂2θ
∂X 2
∂θ = ∂2θ
∂⎜⎛ ⎝
aτ δ2
⎟⎞ ⎠
传热学
Heat transfer
张靖周
能源与动力学院
第三章
非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念
一、现象和定义
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ)
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
越大
时间常数的进一步讨论
θ
− hA τ − τ
= e ρCV = e τ r
θ0
d (θ θ 0 ) =
dτ
−
1
τr
−τ
e τr
= − (θ θ 0 )
τr
τ → 0 的冷却速率：
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学-第二章-导热基本定律及稳态导热
dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q
q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
导热微分方程
导热微分方程
要了解物体内部各点温度的分布，必须根据能量守恒定律与傅里叶定律，来建立导热物体中的温度场应当满足的数学关系式，即导热微分方程。
1、 原则：
⏹ 付立叶定律和能量守恒定律：
⏹ ——以能量方程为基础
热焓的增加量=传入物体的热量—传出物体的热量
2、 方程推导：
对于各向同性材料，
(1) 在x 方向：
(2) 单位时间内传入微元体内的热量
(3) 单位时间内微元体内能的变化
Or
t a t 2∇=∂∂τ
（3）无内热源、稳态导热：0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
t y t x t ——拉普拉斯(Laplace)方程
(4) 一维不稳定导热: 022
=dx
dt
dydz x t k Q x ∂∂-=dx x Q Q Q x x dx x ∂∂+=+dxdydz x t k Q Q dQ dx x x x 22∂∂=-=+dxdydz z t y t x t k dQ dQ dQ Q z y x )(222222∂∂+∂∂+∂∂=++=∆dxdydz t c Q p ρτ∂∂=∆)(222222z t y t x t c k t P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρτ
3、导温系数（热扩散系数）（Thermal diffusivity）
物理意义——物体在相同加热或冷却条件下，物体内部各部分温度趋向于一致的能力
α也是判断材
及导热方
(如10-8～10s)内产生极大的热流密度的热量传递现象（激光加工过程）；极低温度(接近于0 K)时的导热问题等，则不能再用上述式来描述。
传热学---导热微分方程式
dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学
第1章导热理论讲解
f ( x) f ( x, ) f ( x, y ) f ( x, y, ) f ( x, y, z ) f ( x, y , z , )
梁秀俊
高等传热学
2. 等温面、等温线
等温线
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
3. 温度梯度 温度梯度是矢量，有大小、 方向。
θ t t-Δt l
t+Δt
grad t或者t t t t grad t i j k t x y z t grad t l gradt cos l
高等传热学
第1章 导热理论和导热微分方程
一、基本概念 §1-1导热基本定律
1. 温度场 物体中的温度分布 在直角坐标系下的分类 一维温度场 稳态温度场
t f ( x, y, z )
非稳态温度场
二维温度场 三维温度场
t f ( x, y , z , )
华北电力大学
t t t t t t
t t t Φc [ ( ) ( ) ( )]dxdydz x x y y z z
（3）微元体内热源生成的总热量
dxdydz ΦV Φ
3. 直角坐标系下导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
qx q y qz q x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) qV x x y y z z
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
适用条件 : 物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将 以无限大的速度传播到物体中的各处，即在距离扰动源 无限远处也能瞬时感受到该扰动的作用。
复习导热过程的传热学原理与导热微分方程
T初＝T浇 否则， T初＝T(x, y,z)
这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充 型过程的流场耦合温度场得到。
13
第四节 简化假设与实际问题的模型化
1、简化或假设原因 铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化
或假设。 其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性
的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系
考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 C p C p (T )
随温度变化造成的
C p
T t
项的非线性，以便进行数值求解。
T
方式：定义热焓标量 H H0 CpdT, H0＝H（T0）
T0
H T
Cp
H t
H T
• T t
Cp
• T t
6
第二节 导热微分方程
则无内热源方程：2U Cp • U t
主要内容
1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理
1
第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律
二 、傅立叶（Fourier）定律
表达式：q • gradT • T • n
n
直角坐标系分量：
q • T
x
x
q • T
y
y
q • T
dU
dT 0
U U T T
• •
t T t 0 t
4
第二节 导热微分方程
可得：2U x2
(U ) x x
这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充 型过程的流场耦合温度场得到。
13
第四节 简化假设与实际问题的模型化
1、简化或假设原因 铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化
或假设。 其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性
的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系
考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 C p C p (T )
随温度变化造成的
C p
T t
项的非线性，以便进行数值求解。
T
方式：定义热焓标量 H H0 CpdT, H0＝H（T0）
T0
H T
Cp
H t
H T
• T t
Cp
• T t
6
第二节 导热微分方程
则无内热源方程：2U Cp • U t
主要内容
1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理
1
第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律
二 、傅立叶（Fourier）定律
表达式：q • gradT • T • n
n
直角坐标系分量：
q • T
x
x
q • T
y
y
q • T
dU
dT 0
U U T T
• •
t T t 0 t
4
第二节 导热微分方程
可得：2U x2
(U ) x x
导热
1 / 1 2 / 2
n / n
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
温度场为分段函数
t
t w1
t w2
t tw1
t w,n1
q
t w3
1
x
0 x 1
1
2
n
tw2 t tw2 q
1 tw1 q 1
1 x (1 2 )
第四章
2. 推导
① 物理问题描述
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以 外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
② 假设条件 • 所研究的物体是各向同性的连续介质； • 导热率、比热容和密度均已知； • 内热源均匀分布，强度为 Φ [W/m3]； • 导热体与外界没有功的交换。
西安交通大学热流中心
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
第三类边界条件:给定了边界上物体与周围流体 间的表面传热系数以及流体温度
牛顿冷却定律：
qw h(tw t f )
傅立叶定律：
h qw
tf
qw (t / n)w
t h(tw例：上图中 tf ) n w
0
δ
x
t h(tw t f ) 对于大平板有： x , x x
热工基础与应用
第四章
③ 建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析
dz z y dx x
dy
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
• 导入微元体的热量 沿x轴方向导入微元体的热量：
t Φx dydz x
• 导出微元体的热量
第二章导热基本定律及稳态导热
d 边界条件：第一类
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
高等传热学-2
已知圆柱坐标系与直角坐标系之间的函数关系
x = r cos j , y = r sin j , z = z
令 x1 = r , x2 = j , x3 = z 求出拉梅系数
H1 = Hr = 1 H2 = Hj = r H3 = Hz =1
圆柱坐标系的导热方程
H = H1H 2H3 = r
rc ¶T ¶t
高等传热学
张靖周
南京航空航天大学 能源与动力学院
第二章 导热的理论基础
2-1 导热基本定律
一、 经典傅里叶(Fourier)定律 qv = - l Ñ T = - l gradT = - l ¶ T nv ¶n
Fourier定律作为导热的本构方程，描述了热流量和 温度分布之间的关系。 思考： Fourier定律的适定条件？
r n
方向
温度升高，即
( ¶T ¶n
)w
>
0
，故
-
l(
¶T ¶n
)w
<
0
(2)假设 Tf < Tw ，表面温度比内部温度低，则沿 nr方向
温度降低，即
( ¶T ¶n
)w
<
0
，故
-
l(
¶T ¶n
)w
>0
第二类和第三类边界条件的具体应用
热流密度 导热
q0
=
-l
¶T (0,t ¶x
)
导热 热流密度
-
l
¶T
C 是热传播速度 a 是导温系数
t0
=
a C2
t 0 是弛豫时间：温度场的重新建立滞后于热扰动改
变的时间，反映了系统趋于新的平衡状态的快慢程度
(1) 对于稳态导热过程，热流密度矢量场不随时间变化，传播项 的影响消失
高等传热学_1导热理论和导热微分方程
t ( ) w h(tw t f ) n
（4）第4类边界条件 接触热阻
1.3 各向异性材料中的导热
物性在空间的各个方向上不同的材料— —各向异性材料。 温度场、等温面、温度梯度等概念，以 及各方程仍适用于各向异性材料。 导热系数沿各个方向不同，不再是与方 向无关的标量。
此时，坐标系(ξ , η , ζ )的坐标轴称为导 热系数的主轴， λ ξ 、λ η 、λ ζ 称为各 向异性材料的三个主导热系数。
稳态过程不需要时间条件； 非稳态过程需要给出初始温度分布，即初始条件。
t 0 f ( x, y , z )
边界条件——说明导热体边界上过程进行的 特点，反映过程与周围环境相互作用的条件， 一般可分为三类： （1）规定了边界上的温度值，称为第一类边 界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要 求给出以下关系式：
1.1 导热基本定律
1.1.1 温度场 连续介质假设 温度场——各时刻（时间）物体中各点 （空间）温度分布。可以表示为空间坐 标和时间的函数。
t f ( x, y, z, )Leabharlann 物体各点温度不随时间变化
稳态温度场 稳态导热
t 0 t 0
物体各点温度随时间变化
非稳态温度场 非稳态导热
dQ q dA gradt dA Q q dA gradt dA
A A
dA是面积元向量，方向为表面的外法线方 向。
1.1.5 导热系数 傅立叶定律中定义了导热系数
q
gradt
,
W/(m K)
导热系数是温度的函数，工程上常用线 性关系近似计算 0 (1 bt )
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
传热学第二章
△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。
热工基础-4-(2)-传热-导热基本定律和稳态导热
t1 − q (r1 + r2 + ... + ri )
多层、 多层、第三类边界条件
tf1
∂τ
3.微元体热力学能的增量 = ρ ⋅ c ∂ t d x d y d z
& 4.微元体内热源的生成热 4.微元体内热源的生成热 = Φ d x d y d z
导热微分方程式的导出: 导热微分方程式的导出:
& ∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t Φ = a( 2 + 2 + 2 ) + ρc ∂τ ∂x ∂y ∂z
x t2 δ
带入边界条件
t −t c1 = 2 1 ⇒ δ c2 = t1
o
t 2 − t1 t = δ x + t1 ⇒ d t = t 2 − t1 dx δ
带入Fourier 带入Fourier 定律
t2 − t1 ∆t q = −λ δ = δ λ Φ = ∆t δ ( Aλ )
反映了导热过程中材料的导热能力 热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力 λ 与沿途物质储热能力 ρ c 之间的关系 值大， 值小， a 值大 ， 即 λ 值大或 ρ c 值小 ， 说明物体某部分 获得的热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时， 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部 物体被加热或冷却时 分温度趋向于均匀一致的能力 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大， 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。 内部各处的温度差别越小。
1. 几何条件
说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等 平壁或圆筒壁；厚度、
2. 物理条件
说明导热体的物理特征 的数值， 如 ： 物性参数 λ 、 c 和 ρ 的数值 ， 是否随 温度变化；有无内热源、大小和分布； 温度变化；有无内热源、大小和分布；是否 各向同性
第2章-导热微分方程推导ppt课件
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
2 2 2 t t t t q t q 2 v 或 a t v a ( 2 2 2 ) c x y z c
②若物性参数均为常数，且无内热源
2 2 2 t t t t 或 t 2 a t a ( 2 2 2) x y z ③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热 Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0, ∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
[ [导入与导出净热量]+ ] [内热源发热量]= [热力学能的增加]
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。 a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ， a铝 / a木材 ≈600 a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
t t t t c ( ) ( ) ( ) q v 简化该式： x x y y z z
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
t t t t 简化该式： c ( ) ( ) ( ) q v x x y y z z
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
2 2 2 t t t t q t q v 2 a ( 2 2 2) 或 a t v x y z c c
2 2 2 t t t t q t q 2 v 或 a t v a ( 2 2 2 ) c x y z c
②若物性参数均为常数，且无内热源
2 2 2 t t t t 或 t 2 a t a ( 2 2 2) x y z ③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热 Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0, ∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
[ [导入与导出净热量]+ ] [内热源发热量]= [热力学能的增加]
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。 a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ， a铝 / a木材 ≈600 a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
t t t t c ( ) ( ) ( ) q v 简化该式： x x y y z z
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
t t t t 简化该式： c ( ) ( ) ( ) q v x x y y z z
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
2 2 2 t t t t q t q v 2 a ( 2 2 2) 或 a t v x y z c c
导热的基本定律
导热的基本定律导热的基本定律导热是物体内部热能传递的一种方式，它是指在物体内部由温度高处向温度低处传递热量的过程。
导热的基本定律可以通过研究物体内部温度分布和热流密度之间的关系来描述。
一、傅里叶定律傅里叶定律是描述物体内部温度分布与时间和空间变化之间关系的一个重要定律。
根据傅里叶定律，物体内部温度分布与时间和空间变化之间存在着一种数学关系，即：q=-kA(dT/dx)其中，q表示单位时间内通过面积A传递的热流量，k表示材料的导热系数，dT/dx表示单位长度上温度变化率。
二、傅里叶传导方程傅里叶传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一个偏微分方程。
傅里叶传导方程可以用来求解物体内部温度随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：∂u/∂t=k∇²u其中，u表示物体内部温度分布函数，t表示时间，k表示材料的导热系数，∇²表示拉普拉斯算子。
三、热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间和空间变化的一个偏微分方程。
它可以用来求解物体内部温度随时间和空间变化的规律。
热传导方程可以用以下形式表示：∂u/∂t=k∇²u+q其中，u表示物体内部温度分布函数，t表示时间，k表示材料的导热系数，∇²表示拉普拉斯算子，q表示单位时间内通过面积A传递的热流量。
四、导热系数导热系数是材料特性之一，它描述了材料对于单位面积上单位长度内温度梯度的响应能力。
在傅里叶定律中，k被称为材料的导热系数。
不同材料具有不同的导热系数，在工程设计中需要根据实际情况选择合适的材料。
五、影响导热的因素影响导热的因素主要有以下几个：1. 材料本身特性：不同材料具有不同的导热系数。
2. 温度差：温度差越大，热传导越快。
3. 材料厚度：材料厚度越大，热传导越慢。
4. 材料结构：材料结构的复杂程度会影响热传导的速率。
总之，导热是物体内部热能传递的一种重要方式，傅里叶定律、傅里叶传导方程和热传导方程等基本定律可以用来描述物体内部温度分布与时间和空间变化之间的关系。
高等传热学
导热：相互作用的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热一、导热基本定律1.1温度场：一定的时间和空间域上的温度分布，温度场是标量场。
直角坐标系下温度场可以表示为t=f（x,y,z,t）若温度场不随时间变化，则温度对于时间的偏导数等于零。
该温度场成为稳态温度场。
1.2物体内温度相同的点的集合组成的面叫做等温面。
1.3等温面与任意截面的交线称作等温线。
等温面永远不可能相交。
1.4温度场在等温面方向的方向导数等于0.1.5温度梯度就是温度增加最快的方向，记作gradt或▽t2.1单位时间通过单位表面积的热量称为热流密度，单位是W/m22.2热流密度与温度梯度成正比，方向相反，q=—λgradt2.3温度梯度指向温度升高的方向而热流密度根据热力学定律是指向温度减低的方向。
二．固体导热的数学描述1.1固体导热的数学描述包括两个方面：.导热微分方程和单值性条件1.2导热微分方程可由能量守恒推导出来2.1单值性条件包括四个方面：几何条件即描述物体的形状和大小。
时间条件也就是初始条件，即给出初始时的温度。
物理条件也就是给出热流密度大小或者是有无内热源。
最后就是边界条件，也就是温度场的函数条件。
2.2边界条件也分为第一类边界条件和第二类边界条件，第三类边界条件。
各向异性材料也就是导热系数随着方向二变化。
对于常物性物体导热系数不变，热流密度也就可以根据傅里叶方程计算。
当然各向异性材料也可以利用傅里叶定律算出，不过导热系数随着规定的坐标轴和主轴的变化而变化。
知道热流密度也可以乘以面积就可以得出。
2.3知道了温度分布也就可以计算所求的东西。
三．各向异性材料的导热微分方程。
传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
d x d x d xdx
qxdydz qxdxdydz
qx dxdydz x
q xdx
qx
q x x
dx
2qx x 2
dx 2 2!
0
qx
qx x
dx
2-2 导热微分方程
d = dx + dy + dz
2. 导热问题的数学理模型
t
❖ x方向净导入微元体的热量为： qx x
d x d x d xdx qx dxdydz
x2 y 2 z 2
当导热系数为常数时：
拉普拉斯算子
t
c
ห้องสมุดไป่ตู้
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c
t a 2t
c
a c
热扩散率表征物体被 加热或冷却，物体内 各部分温度趋向于均 匀一致的能力.
❖ 物体无内热源： t a 2t
❖ 稳态导热： a 2t 0 c
❖ 稳态导热、无内热源：
增加的方向。
gradt t n n
等温面法线方向 的单位矢量
在直角坐标系中的温度梯度:
gradt t i t j t k x y z
i、j、k 分别为x、y、z方向的单位矢量。
2.1 导热基本概念
四、热流密度矢量
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
q—W/m2
不同方向上的热流密度的大小不同；
x
同理，
d x
x
t x
dx dydz
d y
y
t y
dxdydz
单位时间内净导入微元体的热流量：
d z
t dxdydz z z
d
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材料成型传输原理－－热量传输
稳态导热： tw = const
非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
tw1 tw2
o
x
2021/3/9
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材料成型传输原理－－热量传输
b.第二类边界条件――给定边界上的热流密度。
q s
qw
f (r, )
4.保温材料：
国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
2021/3/9
6
材料成型传输原理－－热量传输
三、导热的物理本质
1.气体导热――气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果
气体的热导率： 气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
2021/3/9
9
材料成型传输原理－－热量传输
2021/3/9
10
材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418 W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者） 金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
t i
x
t j
y
t k
z
一维导热：qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
2021/3/9
3
材料成型传输原理－－热量传输
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑 料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 — — 各向异性材料
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决实 际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。
微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得特 定解。
（1）定解条件的定义 使微分方程得到特定解的附加条件(数学称谓)。
2021/3/9
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材料成型传输原理－－热量传输
（2）定解条件的分类 A.几何条件――几何形状，如：平壁或圆筒壁；厚度、 直径等（常为已知）。
2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿 度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
2021/3/9
5
材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o(1 t )
(W m1 K 1 )
式中： 为温度为t℃的导热系数；
为温度为0℃的导热系数；
o
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
B.物理条件――说明导热体的物理特征，如：物性参数 、c 和 的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小
和分布；是否各向同性（常为已知）。
2021/3/9
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材料成型传输原理－－热量传输
C.初始条件――初始时刻的温度分布；〔思考〕稳态导热有 无初始条件
稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内
的温度分布：
t 0 f (r)
2021/3/9
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材料成型传输原理－－热量传输
D.边界条件――边界上的温度或换热情况，说明导热体 边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的 条件。
a.第一类边界条件――给定边界上的温度值。如：
t s tw
s — 边界面; tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度
t
a
1 r
r
(r ) r
1 r2
2t
2
2t z 2
qv
C
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材料成型传输原理－－热量传输
（2）球坐标系 （r, ，）
qr
t r
q
1 r
t
q
1
r sin
t
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
t
a
1 r2
r
(r 2
t ) r
1
r 2 sin
材料成型传输原理－－热量传输
第二章 导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程 第三章 稳态导热分析 第四章 非稳态导热分析 第五章 对流换热 第六章 辐射换热
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材料成型传输原理－－热量传输
第一节 导热本质及付立叶定律
一、付立叶导热定律
1822年，法国数学家付里叶（Fourier）在实验研究基础上 ，发现导热基本规律 —— 付里叶定律
8
材料成型传输原理－－热量传输
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa～2.0*103MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）
导出总热量 Qxdx Qydy Qzdz
qxdxdydzd q ydydxdzd qzdzdydxd
qx
q x x
dx dydzd
qy
q y y
dy dxdzd
q
z
q z z
dz dydxd
t x
dydzd
t y
dxdzd
t z
dydxd
t x 2
dxdydzd
t y 2
合金 纯金属
如常温下： 纯铜 398w/m.0c
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
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材料成型传输原理－－热量传输
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；
主要依靠后者
T
与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的 温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t [ W m2 ]
: 热导率（导热系数） W (m C)
（Thermal conductivity）
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2
材料成型传输原理－－热量传输
直角坐标系中：q qx i
qy j
qz k
qw
根据傅里叶定律：
qw
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
据付立叶定律：
qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
Q qAd
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
Qx Qy+dy Qz
Qx+dx
导入总热量 Qx Qy Qz qx dydzd q y dxdzd qz dydxd
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材料成型传输原理－－热量传输
3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3 W (m C)
T
与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构
多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
(sin
t )
1
r 2 sin2
2t
qv
C
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30
材料成型传输Байду номын сангаас理－－热量传输
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
2021/3/9
31
材料成型传输原理－－热量传输
五、导热微分方程的定解条件
2t y 2
2t z 2
qv
C
0
2t x 2
2t y 2
2t z 2
qv
0
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材料成型传输原理－－热量传输
三、导热微分方程的简化
无内热源：
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
a2t
付立叶方程
稳态导热： 2t qv / 0 泊松方程
稳态导热&无内无热源：2t
2t x 2
t dydzd t dxdzd t dydxd
x
y
z
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材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qxdx
qx
qx x
dx
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy
qy
q y y
dy
q z dz
qz
qz z
dz
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22
材料成型传输原理－－热量传输
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:Cu 12000 W (m C)
15K : Cu 7000 W (m C)
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11
材料成型传输原理－－热量传输
2021/3/9
12
材料成型传输原理－－热量传输
（2）合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下 ，热导率随温度的变化规律不一样。