八年级数学上册第二章实数2.7二次根式第2课时二次根式的运算学案(无答案)(新版)北师大版

八年级数学上册第二章实数2.7二次根式第2课时二次根式的运算学案（无答案）（新版）北师大版

第2课时二次根式的运算

一、二次根式的乘法

一、复习引入

1．填空（1=______；

（2=_______．

（3．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

×_____，×_____，×

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来

例1．计算

（1（2（3（4

例2 化简

（1（2（3（4（5）

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1=

（2=4

二、二次根式的除法

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

=________；（2=________；

（1

（3）

416=________，416=_________； （4）36

81=________，3681=________．

规律：

916______916；1636______1636；416_______416；36

81

_______3681．

一般地，对二次根式的除法规定：

a b =a b （a ≥0，b>0）， 反过来，a b =a b

（a ≥0，b>0）

例1．计算：（1）123 （2）3128÷ （3）11416÷

（4）64

8

例2．化简：

（1）364

（2）22649b a （3）2964x

y （4）25169x y

例3．已知9966

x x

x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22

541x x x -+-的值． 三、分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式；

(3)这两个代数式的积不含有二次根式；

(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。 ①单项：a a a ⨯= （单项二次根式的有理化因式是它本身）； ②两项：()()a b a b a b +-=- （平方差公式）。

在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．

例1. 判断题：(1) 的理化因式是

(2) (3)

的有理化因式

例2. 将进行分母有理化

例3．观察下列各式，通过分母有理化，进行化简：

=

，

32=

-

，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

+……+1）的值． 把形如

a

a 的式子分母有理化，可以应用以下三种方法：

（1）将分子与分母乘以同一个代数式，使分母有理化，即

a a a

a a

a a a a a ==⋅⋅=；

（2）逆用关系式

()

()02

≥=a a a ，把分子与分母中的公因式直接约分，得

()

a a

a a

a

==2

；

（3）逆用关系式

()02≥=a a a ，再根据二次根式的除法法则进行约分，即

a a a a

a a a ===2

2练习：选择恰当的方法把下列各式的分母有理化：

（1）403

；（2）2723-；（3）xy y 422；（4）a

a 105；（5）

b a b a 263++；（6）552--x x ．

四、二次根式的加减

1计算下列各式．

（1）（2）（3） （4）

二次根式加减法的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。

例1.计算：(1) (2)

例2．计算 （1）481

3

12 （2）4820）+125

例3．已知4x 2

+y 2

-4x-6y+10=0，求（

293x x +y 3x y -（x 1x

y

x

例4．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

A

C Q

P

例5．已知

x b a -=2-x a

b

-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，化简

11x x x x +-++11x x

x x

+++-

五、 二次根式运算中的技巧

例1：计算

(1)已知x ＝2－3，y ＝2＋3，求：x 2＋xy ＋y 2的值．

(2)已知x ＋1x ＝－3，求x －1

x 的值．

例2：化简：

例3：化简：