水流量的估计(插值).
水箱的水流量估计【范本模板】
水箱的水流量估计摘要本文主要讨论了水箱在任意时刻流量随时间的变化问题。
对于问题一,应用EXCEL公式将所给的原始数据化为标准形式得到时间中点与平均流量值，用matlab软件的三次样条插值函数计算出水泵工作时空缺的流量值，做出时间-流量散点图，观察点的分布特征,考虑其最佳的拟合函数形式，最后通过matlab曲线拟合得到在一天内时间与流量的函数关系式：f(x)=97566−16.8x3+0.013x5−83143cos(0.1x)−27478sin(0.1x)在该模型中应用曲线插值和曲线拟合得到时间与流量的关系式,最后利用水泵泵水速度为常数这一原理来检验模型的拟合程度，操作简单结果真实.关键字：时间中点平均流量曲线插值多项式拟合一、问题重述准确地对短时段水塔水流量的预测在良好的用水管理机构中越来越成为至关紧要的一个步骤,对各个城镇的发展也具有重要的意义。
许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，只能测量水箱中的水位，试通过测得的某时刻水箱中的水位的数据，估计在任意时刻t流出水箱的流量f(t)。
二、模型假设2)；1、忽略水位高度对流量的影响（根据托里拆利定律V=√2gH2、影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；3、水泵泵水速度为常数；4、从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；5、流量与水泵是否工作无关。
三、符号说明t: 时间V：水箱的水量V t: t时刻水箱的水量f(t)：任意t时刻流出水箱的流量P:水泵的泵水速度四、模型建立与求解4。
1模型分析问题要求是分析水箱流量与时间的关系，因此我们需要得到具体时间点所对应的流量数据,由于原始数据中只有一个时间段所对应的水量变化值，于是我们用一个时间段的平均流量作为该时间段时间中点所对应的流量值，然后再通过曲线插值拟合得出时间和流量的函数关系式。
4。
2数据处理首先我们要将表中数据换算为标准单位制，其中:时间用小时（h）、水箱水量用加仑（G）换算公式有:1E=0.3024m ， 1m3=1000L, 1L=7.481G用EXCEL公式进行换算，结果如表一:平均流量v̅：v̅=(区间左端水量−区间右端水量)÷时间间隔用EXCEL公式进行计算，计算结果为表二:4。
水流量计算公式范文
水流量计算公式范文水流量是指在其中一段时间内流过的水的体积或质量。
根据不同的流体力学原理和条件，可以使用不同的公式来计算水流量。
以下是几种常见的水流量计算公式。
一、口径法口径法是一种常用的计算管道流量的方法。
其公式为：Q=πd²v/4其中，Q表示水流量，d表示管道的内径，v表示水流的速度。
这个公式假设水流是均匀的，且沿着管道的中心线流动。
二、曼宁公式曼宁公式是一种常用于自然河流和开放渠道的流量计算方法。
其公式为：Q=1.485A(Rh²/3)S^(1/2)其中，Q表示水流量，A表示流体横截面积，Rh表示水流横截面湿周的湿界半径，S表示河道或渠道底面的坡度。
曼宁公式的推导基于伯努利定律和流体力学原理，可以较好地适用于实际情况。
三、维修尼斯公式维修尼斯公式是用于计算管道流量的另一种常用方法。
其公式为：Q=CdA(2gh)^(1/2)其中，Q表示水流量，Cd表示流量系数，A表示管道横截面积，g表示重力加速度，h表示水流的压力头。
维修尼斯公式也基于伯努利定律和流体力学原理进行推导，可以较好地适用于实际管道流量的计算。
四、伯努利定律伯努利定律是一种基本的流体力学原理，用于描述在理想条件下流体沿着管道的流动。
根据伯努利定律，可以使用以下公式计算水流量：Q=Av其中，Q表示水流量，A表示管道横截面积，v表示水流的速度。
这个公式适用于理想条件下的均匀流动。
以上是一些常见的水流量计算公式，它们可以根据实际情况的不同选择使用。
在实际应用中，需要考虑流体的性质、管道的条件、流速等因素，以选择适用的公式进行计算，并进行必要的修正和调整。
水塔水流量的估计
水塔水流量的估计一．实验问题某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一次，每次约2h。
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量纪录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量纪录二．问题分析根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。
对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。
对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。
结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。
得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。
对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。
三．程序的设计与求解方法1.数据的单位转换水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。
2.拟合水位——时间函数（1）对第1未供水时段的数据进行拟合。
t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)01234567898.28.48.68.899.29.49.69.8（2）对第2未供水时段的数据进行拟合。
《水流量的估计》课件
《水流量的估计》ppt课件
• 引言 • 水流量估计的基本概念 • 水流量估计的直接法 • 水流量估计的间接法 • 水流量估计的实例分析 • 水流量估计的未来发展
目录
CONTENTS
01
引言
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
详细描述
当水流经过水工建筑物时，会产生水 跃现象。通过观察和分析水跃的形态 ，如跃起的距离、宽度等，可以间接 地估算出流量。这种方法需要一定的 实践经验和专业知识。
利用流速仪或ADCP测流
要点一
总结词
使用流速测量仪器（如流速仪或声学多普勒流速剖面仪 ADCP）直接测量水流的速度，从而计算流量。
要点二
水流量估计技术面临的挑战和机遇
挑战
水流量估计受到多种因素的影响，如河流地形、气候 变化、人类活动等，使得水流量数据具有较大的波动 性和不确定性，对水流量估计的准确性和可靠性提出 了更高的要求。
机遇
随着全球水资源日益紧缺，对水资源的合理配置和高效 利用需求迫切，水流量估计是实现水资源科学管理的重 要手段之一。同时，随着科技的不断进步和应用领域的 拓展，水流量估计技术将迎来更广阔的发展空间和应用 前景。
THANKS
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详细描述
量水槽法是一种精确的水流量测量方法。在 河流上设置适当的量水槽，通过测量进入和 离开量水槽的水流量，可以计算出河流的总 水流量。这种方法需要精确的测量工具和复 杂的计算，但能够提供相对准确的水流量数 据。
04
水流量估计的间接法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
详细描述
水流量计算方法2篇
水流量计算方法2篇水流量计算方法一水流量是指水在一定时间内通过流量管道的体积或质量。
水流量计就是用来测量水流量的工具。
水流量计的种类繁多，包括机械式水流量计、电磁式水流量计、涡街式水流量计、超声波式水流量计等。
不同类型的水流量计有不同的精度和适用范围。
无论采用何种类型的水流量计，水流量的计算都是基于流量管道和流量计的特性进行的。
下面我们将介绍两种常用的水流量计算方法。
第一种方法：通过流量管道内水流平均流速计算液体流量流量管道内水流平均流速是指流量管道内水流在不同点上的流速平均值。
通常情况下，流速应该近似恒定，但水流计算过程中不可能每一点的流速都相同。
因此，需要在流速较高的位置安装流量计，以确保计算结果的准确性。
流量管道内水流平均流速计算液体流量的公式为：Q=Av其中，Q表示液体的流量，A表示流量管道的截面面积，v表示流速的平均值。
例如，假设流量管道的内径为20毫米，水流量计测得的平均流速为0.5米/秒，则液体流量为：Q=3.14×0.01×(0.5/4)×3600=4.39升/分钟此公式适用于圆形截面的流量管道，如果是方形、矩形、梯形或其他形状的管道，则需要对截面面积进行相应的计算。
第二种方法：通过压差和流体密度计算液体流量另一种常见的水流量计算方法是使用压差计算。
根据伯努利定理，液体在管道中流动时会形成一定的压差，分别在管道的入口和出口处进行测量，可以计算液体的流量。
该方法适用于较大的管道，但需要测量两个点的压差，因此需要进行较为繁琐的安装。
压差计算液体流量的公式为：Q=CdA2√2gρ（P1−P2）其中，Cd是孔板的系数（取值一般为0.6~0.7），A2是孔板的流通面积，P1和P2分别是管道的入口和出口的压力，ρ是液体的密度，g是重力加速度。
实际应用中，公式中的ρ可以根据液体的温度或压力进行修正，以提高计算精度。
例如，假设管道的内径为100毫米，孔板流通面积为50平方毫米，流量计算前和后的压力分别为0.5MPa和0.2MPa，液体密度为1000千克/立方米，则液体流量为：Q=0.62×0.05×√2×9.8×1000×（500−200）/10^6 =0.17立方米/小时需要注意的是，使用压差计算液体流量要确保管道的流速不高于临界流速，否则将对流量计算精度产生较大的影响。
水位流量关系的确定方法及误差检验
水位流量关系的确定方法及误差检验作者：刘阳伟来源：《中国科技博览》2013年第17期[摘要]水文站每次观测水位的目的是要得到河槽中某一时刻的流量，而目前的水文测验技术不可能测到每一时刻的流量，因此，就要建立水位流量关系。
主要介绍目前广泛使用的水位流量关系确定方法及误差检验。
[关键词]水位，流量，关系，误差检验中图分类号：P332.3文献标识码：A文章编号：1009-914X（2013）17-0291-01n1R2/3S1/2 （2）式（1）、式（2）中Q為流量，m3/s；A为断面面积，m2；V为断面平均流速，m/s；n 为河床糙率；R为水力半径，m，通常用平均水深d代替；S为水面比降。
由上式可知，要使水位流量关系保持稳定，必须在同一水位下，A，R，S，n均保持不变，或者各因素虽有变化，但对水位流量关系的影响能互相补偿。
这样，同一水位，就只有一个相应流量。
天然河道里，严格讲，在较长时段内，几乎不存在这种简单关系，只是影响程度的大小不同而已，因为各条河流，各个断面的水力因素各不相同，因此，每一测站都有它自己的水位流量关系。
同时，这些水力因素也可能随时间的转移而发生变化，所以同一测站水位流量关系也会因时而异。
3 水位流量关系的建立及推算流量的方法3.1 稳定的水位流量关系先用目估的方法，通过点群中心初定一条线，测点均匀分布于曲线两旁，如果测点多而分散，不易定出曲线方向时，用点群分组计算重心的方法定线，将初步绘制的曲线分为若干水位级，在各水位级的同水位上分别读出流量、面积、流速，如果面积与流速的乘积等于流量，或者其相对误差不超过±2%～±3%，再进行随机不确定度的计算，在水位流量关系曲线的左右两侧，相距为不确定度的一对曲线即误差控制曲线，在这个范围内，如果其上下限的某一边按时间先后顺序或是在某水位级范围内连续出现两个或更多个点子，那么可能需要对水位流量关系作变动重新计算随机不确定度，最后进行3种检验才能确定水位流量关系曲线。
水流量估计课件资料
对估计水塔流量的探究摘要本文是一个关于投资收益和风险权衡规划问题的解答，问题中给出四种（或多种）投资方案供投资者选择，每种方案都有相应的收益率和风险率，我们的目的是关键字：一．问题重述某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2m，直径17.4m的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作．表 1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．二．模型的假设1)假设储水器的空气压力强稳定；2)假设题目涉及的水泵功率恒定；3)假设一天中温度不变或者影响不大；4)居民的用水量没有突变点。
三．符号说明表1未完善四．模型的建立与求解4.1问题一4.1.1问题1分析题目要求描建立每个时刻水塔流出用水流量变化的数学模型，分析水箱水位关于各个时刻的变化规律。
首先通过查阅相关数学建模文献，找寻建模中可能遇到的概念、方法，再挖掘建立模型相关的方法，为之后的建模奠定坚实的基础。
模型建立第一步,理清自变量（时间），因变量（流量）。
先预处理数据，将水位转化为水流量，再处理流量—时间散点图，分段多项式拟合构造对应函数，使之符合题意，同时根据相应的标准进行统计、分析和构建相关的数学模型。
4.1.2数据的预处理将数据导进MATLAB 中并将水塔水位转化为水塔中体积，公式如下;4d L 2H ∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π ①得出的体积与时间关系如下表二未完善4.1.2模型1的建立通过对题目的探讨，我们先利用MATLAB 作出水体积与时间的散点图。
体积—时间散点图图一我们发现，图中散点可以分为五个阶段：未供水第一段，供水第一段，未供水第二阶段，供水第二阶段，未供水第三阶段。
水流量的估计(插值)
试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔流出 的水流量f(t)，并估计一天的总用水量。已知该水塔是一 个高为40ft（英尺），直径为57ft（英尺）的正圆柱，表 5-1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至 约27.00ft水泵开始工作，水位升到35.50ft停止工作。 （注：1ft（英尺）=0.3048m（米））
V v
1
6.2
2
7.3
3
8.2
4
9.0
6.5
9.6
9
10.1
12
10.4
解 由于MATLAB没有提供现成的拉格朗日插值命令， 我们可以编写一个函数lglrcz.m来完成，其他两种插值法 可用现成的命令。 用MATLAB软件进行三种插值计算的程序为szczqx.m。
15
程序lglrcz.m： ： 程序 function y=lglrcz(x0,y0,x) n=length(x0)； ； m=length(x) ； for i=1:m z=x(i) ； s=0.0； ； for k=1:n p=1.0； ； for j=1:n if j～=k ～ p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)) ； end end s=p*y0(k)+s； ； end y(i)=s； ； end
水流量的估计
12.1 实验目的
本实验的主要目的是使学生学会用MATLAB软件进行插值 软件进行插值 本实验的主要目的是使学生学会用 和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。 和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。通过实际问题的 解决， 解决，使学生了解如何利用曲线插值及曲线拟合解决实际问题 的全过程。 的全过程。
17
执行结果是 laglr=9.52988980716254 fendxx=9.70000000000000 sancyt=9.67118039327444 图形如图12.1所示。
几种插值算法在洪水预报、预警发布、水资源综合服务系统中的应用
几种插值算法在洪水预报、预警发布、水资源综合信息服务中的应用陈兵1, 韩曦1,李会会2（1. 北京北科博研科技有限公司, 北京 100053；2.北京金水科技发展有限公司, 北京 100053）摘要：插值算法在工程领域有非常重要的作用，工程测量数据不可能无穷表达对象的所有特征值，因此需要由特征点及连线代表趋势特征，比如只能用小时或者分钟点水位代表水位流量特征。
而实际应用过程中我们要求的数据或要求展示的效果也苛刻，因此在实际应用中采用插值算法，来近似的表达某些特征值用于工程计算。
本文重点描述几种插值算法在洪水预报、预警发布、水资源综合信息服务领域的应用，并起到非常关键的作用。
关键词：直线插值（线性插值）,一元三点,一元多点,拉格朗日,插值插值算法,洪水预报,预警发布,水资源综合信息服务1 引言插值法又称“内插法”，是利用函数 f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。
本文介绍的内容有：直线插值,一元三点，一元多点。
在做工程领域，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。
怎么办，数学家们提出了插值问题。
插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数 y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。
在洪水预报、预警发布、水资源综合信息服务领域的应用中，插值被广泛的应用，如水位流量关系曲线、相关图、API预报模型、动态临界雨量模型、趋势分析、图形操作等应用，都需要插值算法的支持。
相关图实例2 插值算法2.1 直线插值直线插值是一种使用线性多项式进行曲线拟合的方法，多使用在数量分析和计算机制图方面，是内插法的最简单形式。
利用样条插值法进行流量插值计算
利用样条插值法进行流量插值计算
高德伟;黄俊
【期刊名称】《东北水利水电》
【年(卷),期】2000(018)007
【摘要】水文工作中对于水位流量关系等曲线进行的插值计算，一般采用拉格朗日插值公式，但其存在着无法消除的病态现象。
而应用样条插值法进行插值计算，可以解决这一问题，并可获得良好的插值效果。
【总页数】2页(P49-50)
【作者】高德伟;黄俊
【作者单位】中国水利水电第一工程局;东北勘测设计研究院
【正文语种】中文
【中图分类】P333.1
【相关文献】
1.利用样条插值法计算摩擦离合器瞬时转速曲线 [J], 曹进华;栾军英;田广;康海英
2.利用IDL进行地学数据处理的多种插值法 [J], 张珺;李星
3.利用ANSYS进行线性插值计算 [J], 尹艳清;苏志强;艾东辉
4.利用样条插值法绘制选煤分配曲线的研究 [J], 廖祥家;廖祥国
5.利用三次样条插值法求机翼的拟合曲线 [J], 牛旭;李小平
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插值和拟合在水流流量计算中的运用
运行结果：lglrjf = 145.6250fdxxjf =147.1469sancytjf =145.6885
图中曲线lglr、fdxx和scyt分别表示用拉格朗日插值法，分段线性插值法及三次样条插值法得到的曲线。
由表1知，第1未供水时段的总用水高度为146(=968－822)，可见上述三种插值方法计算的结果与实际值（146）相比都比较接近。考虑到三次样条插值方法具有更加良好的性质，建议采取该方法。其他三段的处理方法与第1未供水时段的处理方法类似，这里不再详细叙述，只给出数值结果和函数图像.
131.7074
243.0375
95.1649
1318.616
分段线性插值法
343.3627
604.2993
115.7523
172.1939
95.0928
1235.608
第二类边界条件： 特别地， ,称为自然边界条件。
第三类边界条件： 称为周期边界条件。
三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。样条插值函数的建立。构造满足条件的三次样条插值函数 的表达式可以有多种方法。
下面我们利用 的二阶导数值 表达 ，由于 在区间 上是三次多项式，故 在 上是线性函数，可表示为 （5）
分段线性插值函数（仅连续）与三次样条插值函数（二阶导数连续）虽然光滑性差，但他们都克服了拉格朗日插值函数的缺点，不仅收敛性、稳定性强，而且方法简单实用，计算量小。因而应用十分广泛。分段线性插值，具有良好的稳定性和收敛性，但光滑性较差。在数学上若函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。易见，分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。
试估计任意时刻（包括水泵在输水工作的时候）从水塔流出的流量f（t），并估计一天的总水量。表1给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值。
河流径流量的插值与预测方法
河流径流量的插值与预测方法在水资源管理和气候变化研究中，河流径流量是一个关键指标。
它对于水文模型和水资源管理具有重要的意义。
然而，实际测量河流径流量的站点往往有限，这就需要利用插值方法来对未观测的点进行估计。
同时，预测河流径流量对于水资源管理和防洪工作也非常重要。
本文将探讨河流径流量的插值与预测方法，以期为相关研究和实践提供参考。
1. 插值方法河流径流量的插值方法可以分为传统方法和统计方法。
传统方法主要包括三角形法、重心法和反距离权重法。
三角形法通过连接相邻观测点构建网格，并利用三角形面积来进行插值。
重心法是在三角形法的基础上，利用三角形重心插值估计未观测点的值。
反距离权重法则根据观测点的距离和权重来进行插值。
统计方法包括克里金插值法和回归分析法。
克里金插值法是基于一组观测点的样本值和它们之间的空间关系来估计未观测点的值。
回归分析法则是通过建立河流径流量与一系列自变量（如降雨量、蒸发量等）之间的回归模型，来预测未观测点的值。
2. 预测方法河流径流量的预测方法主要包括时间序列分析和机器学习方法。
时间序列分析是通过分析和建模时间序列数据的规律性，来进行未来河流径流量的预测。
常用的时间序列分析方法包括ARIMA模型和神经网络模型。
机器学习方法则是利用计算机算法和模型，通过对历史数据的学习，来进行未来河流径流量的预测。
常用的机器学习方法包括支持向量机、决策树和随机森林等。
3. 插值与预测方法的选择在选择插值与预测方法时，需要考虑观测点的分布情况、数据的质量和可用的辅助变量等因素。
如果观测点较少且分布较为稀疏，传统方法中的三角形法和重心法可能较为适用。
如果观测点较多且分布较为密集，统计方法中的克里金插值法和回归分析法可能更为准确。
在预测方法的选择上，除了考虑观测点的分布情况，还需要考虑时间序列的长度和特征。
如果时间序列数据较为短暂且规律性不明显，机器学习方法可能更为准确。
如果时间序列数据较长且存在明显的规律性，时间序列分析方法可能更为准确。
水塔用水量的估计—插值
由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？
二、问题分析
根据给出数据，利用插值法建立日期号与距离对数的函数关系。
三、数学模型的建立与求解
根据三次样条插值法，对该题建模。
日期：t0=[18 20 22 24 26 28 30];
距离对数：d0=[9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.92319159.9149925];
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
基础实验
一、实验内容
1.一维插值利用以下函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
，x[-5,5]；
注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
二、实验过程
确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。
表7.3
日期（号）
18
20
22
24
262830源自距离对数9.9617724
9.9543645
9.9468069
9.9390950
9.9312245
9.9231915
t=1:0.1:31;
d=interp1(t0,d0,t,'spline');
y=9.9351799;
plot(t0,d0,'k+',t,d,'r',t,y,'r')
Grid
总结与体会
11-水塔水流量估计模型与数据插值
解为X A1Y .
可以证明，对于n+1个不同结点，必存在唯一的次 数不超过n的满足条件的多项式，这个多项式称为 插值多项式，这种方法称为n次多项式插值（或代 数插值。
为了以后使用方便，先编制一个Lagrange插值函数程序： function p=lagrange(x,y) L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end
结果分析
分段线性插值有效地回避了插值问题中的 “龙格现象”，结果连线也大致描述了已知数 据点的变化规律。但很明显，由分段直线连接 的插值曲线在节点处不光滑，不可导。
(3)3次样条插值
x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1]; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]; plot(x,y,'b.','markersize',30) axis([0 1 -1 16]) grid hold on pause(1) t=0:0.01:1; u=spline(x,y,t); plot(t,u,'r-','linewidth',3)
差商具有如下性质：
（1）m阶差商是零阶差商的线性组合； （2）差商与插值结点的次序无关； （3）若f(x)是m次多项式，则 f[x0,x1,…,xm]=0
由差商公式， f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x ]( x x0 ),
水塔水流量估计模型与数据插值总结
一
数据插值
给定n个数据点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn ),
试求一个较为简单的函 数P ( x )，使得P ( x )满足 yi P ( xi ), i 1,2,, n
称P(x)为插值函数。也即求解一条严格通过各数 据点的曲线，用它来进行分析研究和预测，这种 方法常称为数据插值法。
称为牛顿插值公式，最后一项称为牛顿插值余项， 记为Rn(x)，余项前的多式称为插值多项式，记 为Pn(x)。
牛顿插值多项式具有以下特点：
（1）在插值结点处与拉格朗日插值一样，误差 为零； （2）多项式k次项的系数是f(x)的k阶差商； （3）增加插值节点时，只增加最后一项，不必 像拉格朗日插值公式那样需要重新计算系数。 在做牛顿插值时，一般先做出差商表，然后套 用公式。
n 1 1
解为X A1Y .
可以证明，对于n+1个不同结点，必存在唯一的次 数不超过n的满足条件的多项式，这个多项式称为 插值多项式，这种方法称为n次多项式插值（或代 数插值。
为了以后使用方便，先编制一个Lagrange插值函数程序： function p=lagrange(x,y) L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end
5
4
3
2
1
0
-1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
从结果可以看到，所插值的4次多项式曲线较好地连接了5个 数据点，从而可以用此多项式曲线作为这5个数据的一个近 似变化。
几种常用插值方法对比分析
几种常用插值方法比较分析王玉坤1 彭湘晖1 (1.黑龙江省水文局)提要：水文工作实践中经常采用插值，而数学中插值的计算方法有多种，本文讨论了其中比较简单的线性插值、抛物线插值、拉格朗日插值和逐次线性插值等，并以实际水文应用实例对这几种方法进行了比较，提出了水文中适用插值方法及应用条件关键词：插值；计算方法；关系线1 概述水文工作是经验与理论的结合，生产实际中经常会遇到曲线插值的问题，如水位~流量关系曲线、库水位~蓄水量曲线、单位线中的S 曲线等等，初期的插值是通过量图完成的，随着资料的完善，曲线的节点被摘录出来，为采用数学方法计算插值奠定了基础，特别是计算机技术的普及，利用程序自动插值能够大大提高计算的速度、降低了出错率。
我们常用的插值方法有以下几种：线性插值、抛物线插值、拉格朗日插值、逐次线性插值。
下面对这几种插值方法进行逐一对比分析。
2 几种插值方法的原理 2.1 线性插值函数)(x f y =在两个节点0x 、1x 处的函数值分别为直线插值就是做通过两点（0x 、0y ）、（1x 、1y ）的直线)(x L y =，那么可知任意点x 所对应得函数值y 为：)(001010x x x x y y y y ---+= 可见，上式为满足插值条件的一次方程，故称之为线性插值。
见图1：图1 线性插值示意图2.2抛物线插值[1]，[2]函数)(x f y =在三个节点0x 、1x 、2x 处的函数值分别为抛物线插值就是假设有一个不超过二次的函数)(x L y =，该函数满足以下条件：)(00x L y =，)(11x L y =，)(22x L y =，通过基函数构造求解，可得到函数)(x L 的公式：212021012101200201021))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x L ----+----+----=显然这是一个二次多项式，因此称之为抛物线插值公式，该插值方法成为抛物线插值。
数学建模-插值拟合的案例讲解
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计 与编程
表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');
水流量估计课件
对估计水塔流量的探究摘要本文是一个关于投资收益和风险权衡规划问题的解答，问题中给出四种（或多种）投资方案供投资者选择，每种方案都有相应的收益率和风险率，我们的目的是关键字：一．问题重述某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2m，直径17.4m的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作．表 1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．二．模型的假设1)假设储水器的空气压力强稳定；2)假设题目涉及的水泵功率恒定；3)假设一天中温度不变或者影响不大；4)居民的用水量没有突变点。
三．符号说明表1未完善四．模型的建立与求解4.1问题一4.1.1问题1分析题目要求描建立每个时刻水塔流出用水流量变化的数学模型，分析水箱水位关于各个时刻的变化规律。
首先通过查阅相关数学建模文献，找寻建模中可能遇到的概念、方法，再挖掘建立模型相关的方法，为之后的建模奠定坚实的基础。
模型建立第一步,理清自变量（时间），因变量（流量）。
先预处理数据，将水位转化为水流量，再处理流量—时间散点图，分段多项式拟合构造对应函数，使之符合题意，同时根据相应的标准进行统计、分析和构建相关的数学模型。
4.1.2数据的预处理将数据导进MATLAB 中并将水塔水位转化为水塔中体积，公式如下;4d L 2H ∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π ①得出的体积与时间关系如下表二未完善4.1.2模型1的建立通过对题目的探讨，我们先利用MATLAB 作出水体积与时间的散点图。
体积—时间散点图图一我们发现，图中散点可以分为五个阶段：未供水第一段，供水第一段，未供水第二阶段，供水第二阶段，未供水第三阶段。
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x x0 x x1 P f ( x0 ) f ( x1 ) 1 ( x) x0 x1 x1 x0
6
2、抛物插值 已知 f ( x) 在区间[ a, b] 上的三个结点 x , x , x 0 1 2 和它们的函数值
x
f ( x)
x0
f ( x0 )
x1
f ( x1 )
x2
f ( x2 )
x1 , , xn
xn f ( xn )
x f ( x)
现在求一个次数不超过 n 的多项式
2
x0 f ( x0 )
x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
n
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
，使得满足条件
Pn ( xi ) f ( xi ), i 0, 1, , n
水流量的估计
12.1 实验目的
本实验的主要目的是使学生学会用MATLAB软件进行插值 和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。通过实际问题的 解决，使学生了解如何利用曲线插值及曲线拟合解决实际问题 的全过程。
12.2 实验内容
2.1 实验问题 美国某州的用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加 仑计的用水量以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入 或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时测量水塔中的水位， 其误差不超过5%。需要注意的是，当水塔中的水位下降到最低 水位L时，水泵就自动向水塔输水直到最高水位H，此期间不能 测量水泵的供水量，因此，当水泵正在输水时不容易建立水塔 中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次 1 约2小时。
2
表12.1 某小镇某天水塔水位
时间/s 0 3316 6635 10619 13937 水位/0.01ft 3175 3110 3054 2994 2947 时间/s 46636 49953 53936 57254 60574 水位/0.01ft 3350 3260 3167 3087 3012
2697
水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340
3
2.2 问题分析 本实验所指流量可视为单位时间内流出水的体积。 由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵 不工作时段，流量很容易根据水位相对时间的变化算 出。问题的难点在于如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经 插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我 们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。这此流量大 体上可由两种方法计算，一是直接对表12-1中的水量用 数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连 续时间的流量；二是先用表中数据拟合水位一时间函数， 求导数即可得到连续时间的流量。
这种插值方法称为 n 次多项式插值（或称代数插值），
利用拉格朗日插值插值方法可得
8
Pn ( x) l0,n ( x) f ( x0 ) l1,n ( x) f ( x1 ) l2,n ( x) f ( x2 ) ln,n ( x) f ( xn )
其中 lkn ( x)
j 0 j k n
17921
21240 25223
2892
2850 2795
64554
68535 71854
2927
2842 2767
28543
32284 35932 39332 39435 43318
2752
2697 水泵开动 水泵开动 3550 3445
75021
79254 82649 85968 89953 93270
2 P ( x ) a a x a x 求一个次数不超过2的多项式 2 0 1 2
，使得它在结点上满足条件 P2 ( xi ) f ( xi ), i 0, 1, 2 这种插值方法称为抛物线插值法， 可求出：
( x x0 ) ( x x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) ( x2 x0 )
Байду номын сангаас
试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔流出 的水流量f(t)，并估计一天的总用水量。已知该水塔是一 个高为40ft（英尺），直径为57ft（英尺）的正圆柱，表 5-1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至 约27.00ft水泵开始工作，水位升到35.50ft停止工作。 （注：1ft（英尺）=0.3048m（米））
x xj xk x j
k 0,1,
,n
上述多项式称为 n次拉格朗日（Lagrange）插值多项式， 函数 lk ,n ( x), k 0, 1, ,称为拉格朗日插值基函数。 n
当n=1,2时，n次拉格朗日（Lagrange）插值多项式即 为线性插值多项式和抛物插值多项式。
9
例12.1 已知函数发f(x)的函数表如下： x 1 2 3 4 f ( x) 2.5 1.8 2.1 3 求其拉格朗日插值多项式，并求 f (2.5) 的近似值。 解 由于给出了4个插值结点，所以可做出次数不超 过3的拉格朗日插值多项式。
4
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水 量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录 直接得到，由表12-1中下降水位乘以水搭的截面积就 是这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插 值或拟合的结果。 在具体给出本问题的解答之前，先介绍一个简单 的数据插值方法。
5
2.3 拉格朗日插值 1、线性插值 假设已知 f ( x) 在区间 [ a, b] 上的两个结点 x0 , x1 和它们的函数值
( x x0 ) ( x x2 ) ( x x1 ) ( x x2 ) P2 ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 ) ( x0 x2 ) ( x1 x0 ) ( x1 x2 )
7
3、n次拉格朗日插值 假设取区间[ a, b] 上的 n 1 个结点 x0 , ，并且已知函数 f ( x)在这此点的函数值
x
x0
x1
f ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) P ( x ) 求一个一次多项式 P ，使得多项式 ( x ) a a x 1 1 0 1 在结点上满足条件 P i 0, 1 1 ( xi ) f ( xi ), 这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。 可以求出：