二维离散型随机变量的分布律及性质
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解：
16
四、 独立性
下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机
变量的相互独立性的概念，已知任二事件 A, B
相互独立的充分必要条件是: P(AB) P(A)P(B), 从而有如下定义
定义 设 F(x, y)及 FX (x) ，FY ( y)分别是二维随机变
量 (X,Y) 的联合分布函数和边缘分布函数．若对
前面第一章讨论过事件的条件概率．在事件 B发
生的条件下事件A发生的条件概率为
这里 P(B) 0
P( A
B) P(AB) P(B)
对二维随机的变量 (X ,Y)，我们考虑在其中一个变量
取固定值的条件下，另一个变量的概率分布．这样
得到的 X或 Y 的概率分布叫条件分布．
对二维离散型随机变量(X ,Y ) ,设 p j P{Y y j} 0 ,考
X
xi}
P{X xi ,Y y j} P{X xi}
pij pi
,
且 (1) P{Y y j X xi } 0,
j 1, 2, (2.5)
j 1,2,
(2)
i 1,2,,
j1wenku.baidu.com
pij pi
1 pi
i1
pij
pi pi
1
14
例3 设二维离散形随机变量 (X ,Y) 的概率分布如表3-7, 求 Y 1 时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 条件概率分布。
虑在随机变量 Y 取得可能值 y j的条件下，随机变量
X 取它的任一可能值 xi的条件概率
P{X xi Y y j },i 1,2,
12
由上述随机事件的条件概率公式可得：
P{X xi
Y
y j}
P{X xi ,Y y j } P{Y y j }
pij p j
,
i 1,2,
(2.4)
解：
22
例6 证明 离散型随机变量 X与Y独立的充分必要条 件是：对实数轴上的任意两个点集
S1 {x1, x2 ,, xn ,}, S2 {y1, y2 ,, ym ,},
有 P{X S1,Y S2} P{X S1}P{Y S2} 成立．
所有的 x, y 有 P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
即
F(x, y) = FX (x)FY ( y)
则称随机变量 X和Y 是相互独立的．
（2.6）
17
当(X ,Y)为离散型随机变量时，X和Y是相互独立的条 件（2.6）式等价于：对于 (X ,Y) 的所有可能取值 (xi , y j ) 有 pij pi p j (i, j 1,2,)
记 P{X xi ,Y y j } pij, i, j 1,2,,
则 (X,Y)的联合概率分布律（简称分布律）也可用
如下表3-1表示：
其中：0 pij 1,
pij 1.
ij
4
对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变 量 X 和 Y 的联合分布函数为：
F(x, y) P{X xi ,Y y j} pij
事实上
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F (x, )
即
FX (x) F (x, )
（2.2）
同理
FY ( y) F (, y)
（2.3）
对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2）
可得：
FX (x) F(x,)
pij
xi x j1
7
设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，它的概率分
关于X j 的边缘概率分布也 是离散的，它的概率分布 如表3-3.
同理可得关于 Y 的边缘概率分
布也是离散的，它的概率分
布如表3-4.其中：p j pij ( j 1,2,)
i
8
例2 设二维离散型随机变量 (X ,Y) 的概率分布如 表3-5,求关于X 及关于Y 的边缘概率分布.
解：
11
三、 二维离散型随机变量的条件概率分布
反之，若存在 i0 , j0 ; 使得 pi0 j0 pi0 p j0 ， 则称 X与Y 不独立．
即 P{X xi ,Y y j } P{X xi }P{Y y j } (2.7)
18
例4 X,Y 相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
20
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 次数，Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 二维随机变量 (X,Y) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
二维随机变量 (X,Y) 作为一个整体，具有分
布函数 F(x, y) ,而 X和 Y 都是随机变量，也分别具
有分布函数，记之为 ， FX (x) FY (y) ．依次称为二维 随机变量 (X ,Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数．边
缘分布函数可以由 (X ,Y)的分布函数 F(x, y) 所确定，
2
§2 二维离散型随机变量的分 布律及性质
一、 二维离散型随机变量的联合概率分布
定义 若二维随机变量 (X,Y) 的可能取值的 全体为有限或可数多个数组，则称 (X,Y) 为 二维离散型随机变量．
3
象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达
二维离散型分布．设二维离散型随机变量 (X , Y ) 可能 的取值为 (xi , y j ) , i, j 1,2,,
布如表3-1所示，那么
P{X xi } P{(X xi ) (Y y j )}
j 1
P{X xi ,Y y1} P{X xi ,Y y2 ) P{X xi ,Y y j }
pi1 pi2 pij pij (i 1, 2, )
j
以后把 pij 记作 pi .。因此
xi x y j y
xi x y j y
(2.1)
5
例1
X
一Y口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这
袋( X中,Y )任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.
设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以
、 解分：别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求
的概率分布．
6
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
13
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P{X xi Y y j } 0, i 1,2,
(2)
i 1
pij p j
1 p j
i 1
pij
p j p j
1
同理，设 pi P{X xi } 0 ，则可得到在 X xi
时随机变量 Y 的条件概率分布为：
P{Y y j
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四、 独立性
下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机
变量的相互独立性的概念，已知任二事件 A, B
相互独立的充分必要条件是: P(AB) P(A)P(B), 从而有如下定义
定义 设 F(x, y)及 FX (x) ，FY ( y)分别是二维随机变
量 (X,Y) 的联合分布函数和边缘分布函数．若对
前面第一章讨论过事件的条件概率．在事件 B发
生的条件下事件A发生的条件概率为
这里 P(B) 0
P( A
B) P(AB) P(B)
对二维随机的变量 (X ,Y)，我们考虑在其中一个变量
取固定值的条件下，另一个变量的概率分布．这样
得到的 X或 Y 的概率分布叫条件分布．
对二维离散型随机变量(X ,Y ) ,设 p j P{Y y j} 0 ,考
X
xi}
P{X xi ,Y y j} P{X xi}
pij pi
,
且 (1) P{Y y j X xi } 0,
j 1, 2, (2.5)
j 1,2,
(2)
i 1,2,,
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pij pi
1 pi
i1
pij
pi pi
1
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例3 设二维离散形随机变量 (X ,Y) 的概率分布如表3-7, 求 Y 1 时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 条件概率分布。
虑在随机变量 Y 取得可能值 y j的条件下，随机变量
X 取它的任一可能值 xi的条件概率
P{X xi Y y j },i 1,2,
12
由上述随机事件的条件概率公式可得：
P{X xi
Y
y j}
P{X xi ,Y y j } P{Y y j }
pij p j
,
i 1,2,
(2.4)
解：
22
例6 证明 离散型随机变量 X与Y独立的充分必要条 件是：对实数轴上的任意两个点集
S1 {x1, x2 ,, xn ,}, S2 {y1, y2 ,, ym ,},
有 P{X S1,Y S2} P{X S1}P{Y S2} 成立．
所有的 x, y 有 P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
即
F(x, y) = FX (x)FY ( y)
则称随机变量 X和Y 是相互独立的．
（2.6）
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当(X ,Y)为离散型随机变量时，X和Y是相互独立的条 件（2.6）式等价于：对于 (X ,Y) 的所有可能取值 (xi , y j ) 有 pij pi p j (i, j 1,2,)
记 P{X xi ,Y y j } pij, i, j 1,2,,
则 (X,Y)的联合概率分布律（简称分布律）也可用
如下表3-1表示：
其中：0 pij 1,
pij 1.
ij
4
对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变 量 X 和 Y 的联合分布函数为：
F(x, y) P{X xi ,Y y j} pij
事实上
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F (x, )
即
FX (x) F (x, )
（2.2）
同理
FY ( y) F (, y)
（2.3）
对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2）
可得：
FX (x) F(x,)
pij
xi x j1
7
设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，它的概率分
关于X j 的边缘概率分布也 是离散的，它的概率分布 如表3-3.
同理可得关于 Y 的边缘概率分
布也是离散的，它的概率分
布如表3-4.其中：p j pij ( j 1,2,)
i
8
例2 设二维离散型随机变量 (X ,Y) 的概率分布如 表3-5,求关于X 及关于Y 的边缘概率分布.
解：
11
三、 二维离散型随机变量的条件概率分布
反之，若存在 i0 , j0 ; 使得 pi0 j0 pi0 p j0 ， 则称 X与Y 不独立．
即 P{X xi ,Y y j } P{X xi }P{Y y j } (2.7)
18
例4 X,Y 相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
20
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 次数，Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 二维随机变量 (X,Y) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
二维随机变量 (X,Y) 作为一个整体，具有分
布函数 F(x, y) ,而 X和 Y 都是随机变量，也分别具
有分布函数，记之为 ， FX (x) FY (y) ．依次称为二维 随机变量 (X ,Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数．边
缘分布函数可以由 (X ,Y)的分布函数 F(x, y) 所确定，
2
§2 二维离散型随机变量的分 布律及性质
一、 二维离散型随机变量的联合概率分布
定义 若二维随机变量 (X,Y) 的可能取值的 全体为有限或可数多个数组，则称 (X,Y) 为 二维离散型随机变量．
3
象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达
二维离散型分布．设二维离散型随机变量 (X , Y ) 可能 的取值为 (xi , y j ) , i, j 1,2,,
布如表3-1所示，那么
P{X xi } P{(X xi ) (Y y j )}
j 1
P{X xi ,Y y1} P{X xi ,Y y2 ) P{X xi ,Y y j }
pi1 pi2 pij pij (i 1, 2, )
j
以后把 pij 记作 pi .。因此
xi x y j y
xi x y j y
(2.1)
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例1
X
一Y口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这
袋( X中,Y )任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.
设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以
、 解分：别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求
的概率分布．
6
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
13
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P{X xi Y y j } 0, i 1,2,
(2)
i 1
pij p j
1 p j
i 1
pij
p j p j
1
同理，设 pi P{X xi } 0 ，则可得到在 X xi
时随机变量 Y 的条件概率分布为：
P{Y y j