宁波中考数学专题题库∶二次函数的综合题

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .

（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；

（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，

①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；

②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2

||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最

，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或

332t ≤<或72t =. 【解析】

【分析】

（1）先利用对称轴公式x=2a 12a

--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；

（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．

【详解】

解：（1）∵2a x 12a

-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.

∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，

∴抛物线过点()1,4.

得a 2a 34-+=，

解得a 1=-.

∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.

C 点坐标为()0,3，顶点

D 的坐标为()1,4.

（2）①∵PC PD CD -≤，

∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.

连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===

∴PC PD -

.

易得直线CD 的方程为y x 3=+.

把()P t,0代入，得t 3=-.

∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.

②2

y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.

（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2

y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.

令288t 0-=，解得7t 2

=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.

综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2

=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=

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；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．

【详解】

（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，

得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩

，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；

（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，