流体力学5-漩涡理论说课材料
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
第5章 漩涡理论
s 0
s ''
不可能
即漩涡不能在流体内部终止或开始
(a) 涡环
(b)终止于流体界面上的涡管 (c)非旋转固壁上的涡管
第二定理：理想正压流体，质量力有势构成涡管的流体质量 在任何瞬时也构成涡管。
涡管表面： C 0
D 0 Dt
0
第三定理：理想正压流体，质量力有势涡管强度不随时间改 变。 漩涡运动学性质：随空间不变（沿涡管） 动力学性质：理想，正压流体，质量力有势随时间环量、涡 管、涡管强度 不变 漩涡具有保持性
2 r 2 2 p p R 2
第五章 漩涡理论
内容
基本概念。 漩涡随空间，时间的变化规律。
漩涡对周围流场的影响。
二元漩涡的特性。
5.1.1涡量和平均旋转角速度
涡量场：
= ▽ V
i ▽V = x Vx
令
j y Vy
k z Vz
= x
1 Vz 2 y
1
半无限长涡索 无限长涡索
2 0 1 90 v 4R 2 0 1 180 v 2R
一对平行直涡线的互相作用
y Γ · O (a) · A
y Γ
x Γ · B O · A Γ
B
(b)
(r 2 R ) v 0 v 作等速直线向下运动 x y 4R 4 R (b)v A v B v 绕原点作半径为 R 的等速圆周运动 4R
正压流体
1
C
(U ) dl 0 Dt lDv
Dv
流体力学第五章5--1讲
有涡旋运动特征的变化速度场 V r
和无旋流动的变化速度场
(5-3) (5-4) (5-5)
V
，即：
V Vr V
其中：
V
Vr
因此，凡是引起流场中
Vr
变化的作用，也就是
导致流体涡度或速度环流变化的原因，这也是本章讨论 涡动力学基础的主要内容。
L
t t0
V dl 0
(5-16-3)
设在初始时刻以前或以后的某一时刻，组成涡面的流体
质点移动到新的位置并组成新的曲面’，而封闭曲线L上的流
体质点则移动到’面的封闭曲线L’上。兹证’亦为一涡面。 因流体是理想正压的，且外力有势，则根据开尔文定理推出 (5-16-4) V dl V dl 0
l
(5-7)
其中式(5-7)也称开尔文关系式，其微分形式为：
d n d
上述两式建立了涡度与速度环流之间的关系。
(5-8)
一、开尔文定理 假设流体是理想的正压的流体在有势外力作用下，则沿任 一封闭曲线的速度环流在运动过程中恒定不变。其证明如下： 对(5-6)式求微商得：
d l d d dV V dl l V dt dt l dt dt l l
1 d p dt
(5-23)
上式又称作皮耶克尼斯定理，它表明压力—密度力引起的环 流变化。
二、亥姆霍兹定理
首先引入几个概念： 1.涡线的定义：在同一时刻，涡旋场中存在这样的曲线，
其曲线上每一点的切线方向和该点的涡旋方向重合。
2.涡面的定义：在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的 每一点作涡线，则这些涡线将组成一曲面称涡面。
流体力学--漩涡理论 ppt课件
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
中班科学公开课教案《制造漩涡》
中班科学公开课教案《制造漩涡》教案：《制造漩涡》一、教学内容本节课的教学内容选自科学探究与实践活动教材，主要涉及流体力学中漩涡的形成原理。
具体章节为第五单元“奇妙的流动”，第二章“漩涡与涡流”。
二、教学目标1. 让学生了解漩涡的形成原因和特点，提高对流体力学的认识。
2. 培养学生动手实践能力和观察、分析问题的能力。
3. 引导学生运用科学知识解释生活现象，培养学生的科学素养。
三、教学难点与重点重点：漩涡的形成原理和特点。
难点：如何引导学生运用科学知识解释生活现象。
四、教具与学具准备教具：水、盆、颜料、滴管、漩涡模型。
学具：笔记本、画笔、观察记录表。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）教师演示如何制造漩涡，让学生观察漩涡的形成过程，并引导学生思考漩涡的形成原因。
2. 知识讲解（10分钟）教师讲解漩涡的形成原理，包括流体的速度、方向、压力等因素，并引导学生理解漩涡的特点。
3. 学生动手实践（15分钟）学生分组进行实践，利用教具制造漩涡，并观察漩涡的形成过程，记录在观察记录表上。
4. 例题讲解（10分钟）教师选取生活实例，如河流中的漩涡、洗衣机中的漩涡等，引导学生运用所学知识解释这些现象。
5. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，选取自己的生活实例，尝试运用所学知识解释漩涡现象，并将讨论结果进行分享。
6. 板书设计（5分钟）教师在黑板上板书漩涡的形成原理和特点，方便学生复习和记忆。
7. 作业设计（5分钟）作业题目：请结合自己的生活经验，运用所学知识，解释一个漩涡现象，并简要描述漩涡的形成过程。
答案：略。
六、课后反思及拓展延伸（5分钟）教师引导学生反思本节课的学习内容，巩固所学知识，并鼓励学生在生活中观察和探索更多的漩涡现象。
同时，教师可以为学生提供相关的阅读材料，拓展学生的知识视野。
重点和难点解析本节课的重点是漩涡的形成原理和特点，难点是如何引导学生运用科学知识解释生活现象。
漩涡的形成原理和特点是教学的重点，因为这是学生理解漩涡现象的基础。
2010-第五章旋涡理论 流体力学
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学漩涡理论(课堂PPT)
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt .
漩涡理论
22
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 2) 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远
无旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
.
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
ABABVxdxVydyVzdzABxdxydryzdzA BdBAVFra bibliotekVsB
对于有旋场:
A B V rd s rV x d x V y d y V zd z
A B
A B
A
d sr
.
漩涡理论
14
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Ñ c cVxdx Vydy Vzdz
流管
涡丝vortex filament 元流
截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束
称为涡索（涡丝）。
称为元流
.
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
流量
QdQud
d
流体力学漩涡理论ppt课件
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
Γ AB＝－Γ BA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
C L 2 nd
n 0 Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Γ ｃ=-Γ Ｌ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
21
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡a面bdb上aea n0 0
ab ba 0
ab ba
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
该处的速度
第五章漩涡理论基础
p
p0
1 2
v2
v02
1 2
v2
1 2
v02
p
1 2
v2
2v02
当 r 0 p pc ,vc 0
故
pc p
p p0
p0
1 2
v02
1 2
v02
p pc
p0 p0
1
2
v02
B vx+(∂vx/∂x)dx
均值。
o
x
注意：v与L垂直时, 0
d
ABCD
1 2
vx
vx
vx x
dx
dx
1 2
vy
vy x
dx
vy
vx x
dx
vy y
dy
dy
1 2
L 2J 2ndA
A
若：周线上各点速度均与周线垂直，则：
L 0
1）、 无限小矩形面积的斯托克斯定理。
在流场中，xoy坐标平面上，取矩形微元周线 ABCD，边长dx，dy，dA=dxdy，如图。 。
A点的速度分量为vx，vy，则B，C，D各点速 度分量如图示（忽略二阶微量），沿微元周
r v
称为涡量
第一节 涡线，涡管，涡束， 旋涡强度
1. 涡线：
在瞬时，涡量场中所作一条空间曲线，该瞬时，
各点的ω均与该线相切，该曲线称为涡线。
涡线为所有质点的转动轴线。注意：涡线是瞬
流体力学课件：Chapter5-涡旋动力学基础
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
dV
F
1
p 2V
•V
dt
3
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为：
2V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
dV dt
F
1
p
4 3
D
22
dV dt
F
1
p
4 3
D
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
d dt
dV dt
dl
F
dl
1
p dl
dl
4
3
D dl
F
dl
Байду номын сангаас
1
p
dl
dl
4 3
( D)d
F
dl
1
p dl
dl
23
d dt
dV dt
dl
F
dl
1
p dl
dl
（1） （2）
（3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起：
（1）非有势力的作用，例如：科氏力(大气运动中尤为重要) ，电磁力；
除原点外,处处无旋！ 7
判断流体运动在该点是否有旋必须看 流体微团是不是在自转,而不是看它有 没有绕中心作圆周运动,这就是局部和 整体性的差别.
判断流体运动是否有旋的唯一标准是 旋度是否为零。
8
涡通量和速度环量
面积分 : dS称为 通过截面S的涡通量
V
s
线积分: = v dr称为速度向量沿封闭曲线L的环量——速度环量
f ( p,T ,)
等压面、等密度面斜交
（3）假设流体是正压的
第4章漩涡和势流基本理论PPT课件
定义为2倍
流量 Q n VdS 漩涡强度，漩涡强度J
的
S
J n ωdS
S
Helmholtz第一定理
同一时刻，同一流管各截面的体积流量Q相同
同一时刻，同一涡管各截面的漩涡强度J 相同
n3
ω
A3
A2 n2 ω
A1 n1 ω
1、面积减小，旋转速度增大 2、涡管截面不能收缩为0，旋转速度
二、速度环量
▪ 理想流体没有粘性，不存在切应力；理想流体运动有可能 有势流（取决于边界条件，有些情况下、或有些流场的区 域仍为有旋流）
▪ 理想流体运动可分为：有势流和有涡流
▪ 实际流体，由于粘性作用，严格讲，都不是有势流
WZ
1 uy 2 x
ux y
0
uy x
ux y
x
ux y
▪势流理论，尤其是平面势流理论，有很大的实用意义
对不可压流体平面运动，存在一个流函数
则：
定义：
u , v
y
x
d
x
dx
y
dy uydx
uxdy
V
u
v
2
2
0
自动满足连续方程
x y xy xy
流函数的存在性
➢不可压流体平面运动，必有流函数存在 ➢三维流动，除轴对称流动外，一般不存在流函数
直角坐标系 ：
ux
y
,
uy
x
柱系(轴对称)：
第4章 平面位势流动和涡旋流动
4.1 回顾：理想流体运动方程（Euler方程） 4.2 速度环量、Stokes定理、漩涡基本定理 4.3 平面流动的势函数和流函数 4.4 基本平面位势流动 4.5 平面势流 举例
幼儿园大班科学说课稿漩涡
幼儿园大班科学说课稿漩涡尊敬的老师们、亲爱的小朋友们：大家好！今天，我们要一起探索一个非常有趣的自然现象——漩涡。
在我们的生活中，漩涡无处不在，它们可能是我们在洗澡时浴缸里的小漩涡，也可能是江河湖海中的大漩涡。
那么，漩涡是怎么形成的呢？它们又有哪些神奇的特性呢？让我们一起踏上科学的探索之旅，揭开漩涡的神秘面纱。
首先，让我们来了解一下什么是漩涡。
漩涡是一种流体（包括水和空气）中的旋转运动现象。
当流体受到一定的力的作用，比如地球的自转、风力或者水流的冲击，就可能形成漩涡。
漩涡的形状通常是中间凹陷，边缘高起，就像一个漏斗一样。
在漩涡的中心，水流或气流的速度会非常快，而在边缘则相对较慢。
现在，我们来做一个简单的实验，看看我们能不能自己制造一个小型的漩涡。
请每位小朋友准备一个装满水的透明塑料杯，然后快速地用手指在水面上旋转。
你会发现，随着你的手指的旋转，水面开始形成了一个小小的漩涡。
这就是我们用手指的力量，改变了水的流动方向，从而产生了漩涡。
但是，漩涡并不总是那么温和和有趣。
在自然界中，漩涡的力量是非常强大的。
比如，在大海中，有一种叫做“海漩涡”的现象。
海漩涡是由于潮汐、风力和海底地形的影响，海水形成了巨大的漩涡。
这些漩涡的力量非常大，足以把船只和海洋生物卷入深海。
因此，航海家们在遇到海漩涡时，总是要非常小心。
除了自然界的漩涡，我们在家里也可能会碰到一些小型的漩涡。
比如，当我们打开浴室的排水口时，水流旋转着流走，形成了一个小型的漩涡。
这是因为水流在排出时，受到了下水道结构的影响，产生了旋转。
虽然这种漩涡的力量不大，但是它却能帮助我们快速地把水排走。
接下来，让我们来探讨一下漩涡背后的科学原理。
漩涡的形成和维持，其实和物理学中的一个基本原理——角动量守恒有关。
角动量是描述物体旋转状态的一个物理量，当没有外力作用时，一个物体的角动量是保持不变的。
在流体中，当一部分流体开始旋转，周围的流体也会因为粘性作用而跟着旋转，从而形成了漩涡。
旋涡理论ppt课件
C 2nd 2 0d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强
度相同转向相反的旋涡）。
推论二
对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的，
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机 翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。
旋涡的产生： 与压力差、质量力和粘性力等
因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
4
旋涡运动基本概念
流场
涡场
流速v
涡量 Ω
流量Q
Thomson定理和Lagrange 定理适用条件为： 1. 理想流体
2. 正压流体 ( p)
3. 在有势质量力作用下
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）； (4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。 19
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理 abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以 0
由斯托克斯定理上式写成:
nd nd
1
2
20
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。
15
高二物理竞赛课件：流体力学的旋涡运动(15张PPT)
a2
A2 b2
K
a1
b1
A1
图7－10 同一涡管上的两截面 图7－11 涡管上的封闭轴线
如图7－10所示，在同一涡管上任取两截面A1、A2，在A1、 A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和b1b2。由于
封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋 涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环 量等于零，即：
二项积分式可表示为:
(dvx dx dvy dt dt
dy dvz dt
dz)
[( fx
1
p )dx ( x
fy
1
p )dy ( y
fz
1
p )dz] z
[( fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)]
d dPF
将上面的结果代入式（7-30a），并考虑到 v. .P都F 是单值
x
v2 2
PF
dx
y
v2 2
PF
dy
z
v2 2
PF
dz
0
d
v2 2
PF
0
积分
v2 2
PF
C
（7-21）
上式为欧拉积分的结果，表明理想正压性流体在有势的质 量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在 流场中保持不变。
伯努利积分
当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流 动时，式（7-19）右端第一项等于零。由流线的特性知，此时
速度环量、斯托克斯定理
1．速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速 度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示， 即:
第五章：旋涡理论
5．兰金组合涡
兰金组合涡：半径为 R 的无限长圆柱形涡，在 R 内，流体象刚一样能轴线旋转，角速度为 ωG 。
速度分布： vθ = ωr
vr = 0
vθ
=
Γ 2π r
vr = 0
压力分布：
p
−
p0
=
1 2
ρ vθ 2
−
ρ vR 2
p − p0 = −ρvR2
（ r < R ） 有旋 （r > R ） 无旋
涡线：同流线定义相似，即同一瞬时涡线上每一流体质点的旋转角速度矢量与涡线相切。 涡线微分方程：
dx = dy = dz ωx ωy ωz
可组成一常微分方程组
用右手法则确定旋转角速度的方向，由涡线定义，说明流体质点在该瞬时绕其旋转
速度轴旋转。
涡管：与流管类似，流管的管壁为流线，涡管的管壁为涡线，这些涡线处处与涡管的
1 (∂vz 2 ∂y
−
∂vy ) ∂z
=0
JK 所以：ω =
c
KK (z j − yk)
y2 + z2
2）由涡线微分方程 dx = dy = dz ， ωx ωy ωz
有 积分得
dy = − dz zy y2 + z2 = c1
R3
R2
Γ
Γ
R1
Γ
x = c2
5．试求图 5-2 所示的马蹄涡对流场中任意一点 处的诱导速度。 解：设流场中任意一点 A，分别距三条涡线的垂
A）定常不可压缩无旋流场
B）静止，不可压缩理想流场
C）不可压缩有旋流场
D）不可压缩非定常流场
JK
v∫ ∫∫ 2．斯托克斯定理 Γ = c vsds = 2 wndσ ，若 Γ =0，而ω 不一定为零，这是因为（ ）。 σ
流体力学教案第5章流体漩涡运动基础
第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。
与流线一样，涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。
涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。
四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。
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(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
(vy x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
av x
0
dx
vy
vy x
dx
b x
d 2zd S 2n d S 2 d J
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
ds
A BV d sV xd x V yd y V zd z
A B
A B
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2 J (斯 托 克 斯 定 理 ）
不 随 时 间 变 化 （ 汤 姆 逊 定 理 ）
J不 随 时 间 变 化
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V
Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds )ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 /s
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
d
流量
QdQud
二、速度环量（velocity circulation）
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量
与此线相切。 3
2
同瞬时的流速矢量 v 与此线
相切。
v3
v2
1
v1
涡线微分方程：
流线微分方程：
取涡线上一段微弧长
取流线上一段微弧长
d s d x i d y j d zk
该处的旋转角速度
d s d x i d y j d zk
xiyjzk
体，没有固体或空洞。
3 任意曲面
n
推广到有限大平面
d C
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。
双连通域的斯托克斯定理
σ
C
A B D B 'A 'E A A B C B A L Ｂˊ Ａˊ
AB BA
ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C L 2nd
C
区域在走向的左侧
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中 处处
漩涡理论
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等
参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时
间衰减。
漩涡理论
§５-４ 毕奥一沙伐尔定理
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
漩涡理论
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
a 意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
或 c cVsds2nd
n
漩涡理论
d C
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d a b c d a v x d x (v y v x yd x )d y (v x v y xd y )d x v y d y
流体力学5-漩涡理论
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
旋涡理论
园盘绕流尾流场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
ab ba
0
（逆 顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
漩涡理论
nd const. d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。
V Vs
B
ds
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
c c V s d s
V
α Vs
ds C
cV ds
V
c
xdx
V
ydy
V
zdz
漩涡理论
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
ABABVxdxVydyVzdzABxdxydyzdz
A BdBA
V Vs
B
对于有旋场:
涡矢量与涡线相切
该处的速度
vvxivyjvzk
x(xd,yx,z,t)y(xd,yy,z,t)z(x,dyz,z,t)
积分时将ｔ看成参数
流速与流线相切
dx dy dz v vx(x,y,z,t) vy(x,y,z,t) vz(x,y,z,t)
ds
ds
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c2nd20d0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
漩涡理论
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
C L 2nd
n 0 Γｃ＋ΓＬ＝０
Γｃ=-ΓＬ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变