函数图像与函数方程
函数的图像
结束
角度一 确定方程根的个数
角度二 求参数的取值范围
角度三 求不等式的解集
结束
角度一 确定方程根的个数
1．(2014· 日照一模)已知
|lg x|，x>0， f(x)＝ |x| 2 ，x≤0，
则函数 y＝2f (x)
第四节
1．利用描点法作函数图像
函数的图像
结束
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数 的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特 殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； ⑤描点，连线．
结束
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换：
4.已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 g(x)＝ log 2 f(x)的定义域是________．
5．设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R， 不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
结束
3．函数 f(x)＝2ln x 的图像与函数 g(x)＝x －4x＋5 的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 ( )
结束
关于y轴对称 y＝f(x)――――――→y＝f(－x) ；
－ f(－ 关于原点对称 y＝f(x)――――――→y＝ ．
(4)翻折变换：
x)
去掉y轴左边图，保留y轴右边图 y＝f(x)――――――――――――――――→y＝f(|x|)； 将y轴右边的图像翻折到左边去
留下x轴上方图 y＝f(x)――――――――――――→y＝|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去
一次函数的图像和性质
一次函数的图像和性质一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。
它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。
斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。
当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。
一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。
1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。
斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。
即斜率a=Δy/Δx。
斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。
当x=0时，y=b，因此截距为b。
3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。
图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。
4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。
5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。
6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。
如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。
如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。
7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。
数列的第一个项为截距b。
8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
29
解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
2019/11/28
21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
2019/11/28
11
解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
2019/11/28
12
解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2019/11/28
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2019/11/28
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
2019/11/28
32
（2）对于数列 {x n } ，若
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程、不等式之间的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质
XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。
函数的图像和性质
用到数形结合、函数与方程、转化与 化归等数学思想，用好这些思想方法 解题就会事半功倍。
函数的图象和性质专题复习
课堂练习
1. 设函数 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ，则 f ( x) 是 （ A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数，且在 (0,1) 上是增函数
函数的图象和性质
专题复习
董波
重庆市江津第八中学校
函数的图象和性质专题复习
学过的初等函数
一次函数 二次函数 指数函数 对数函数
反比例函数
三角函数
幂函数
……….
函数的图象和性质专题复习
函数的主要性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性
最 值
单调性
对称性
………
函数的图象和性质专题复习
考向分析
函 数 的 图 象 和 性 质
y 的取值范围是 x 1
3 0， 4
作图分析
函数的图象和性质专题复习
考点突破
y
-1
3 k= 4
.
o
1 2
k=0
x
函数的图象和性质专题复习
考点二：函数的性质
考点突破
2
例 2.已知函数 f ( x) x sin x( x R) ，且 f ( x 3x) f ( x 8) 0 ，
有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围为
1 由方程t bt 1 0得b t ， t 典型错误！！！ 且t 0,4 ，则b 2, .
2
函数的图象和性质专题复习
考点突破
分析： 方程t bt 1 0有两不同根t 、t , 1, 且t t b,t t 1, 对于b t 1 中的 t 和 t t 就应视为t ,t ,
第七讲函数图像及函数与方程解析版
第七讲：函数图像、函数与方程【考点梳理】 1、函数的图象 (1)平移变换：0,0,||()()a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−→=-向右移个单位向左移个单位 0,0,||()()+b b b b y f x y f x b ><=−−−−−−→=向上移个单位向下移个单位(2)伸缩变换：101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍1,01,()()A A A A y f x y Af x ><<=−−−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍(3)对称变换：()()x y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称(4)翻折变换：()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−→=去掉轴左侧图象，保留轴及右侧图象将轴右侧的图象翻折到左边()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴及其上方图象将轴下方的图象翻折到上方去2、函数与方程(1)判断二次函数()f x 在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程()0f x =的判别式0,0,0∆>∆=∆<来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数()f x 在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在区间(,)a b 内有唯一零点．【典型题型讲解】考点一：函数的图像【典例例题】例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,xf x a a ag x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC【方法技巧与总结】1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换 【变式训练】1.已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C 【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分， 然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的， ∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-. 故选：C.2.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，3.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞，故排除A 、B.当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在1,上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增. 故选:D.由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.4.函数()ln f x x x =的图象如图所示，则函数()1f x -的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】将函数()f x 的图象作以y 轴为对称轴的翻折变换，得到函数()f x -的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数()()()11f x f x -=--的图象． 故选：D ．考点二：求函数的零点或零点所在区间判断【典例例题】例1.已知函数()f x 满足()()1f x f x =--，且0x 是()e x y f x =+的一个零点，则0x -一定是下列函数的零点的是（ ）A ．()e 1xy f x =-B ．()e 1xy f x =--C ．()1e xy f x =+ D ．()e xy f x =-【答案】A 【详解】 因为()()1f x f x =--，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数．由已知可得()00e 0x f x +=，即()00e x f x =-．所以()00e 1x f x -=-，所以()00e 1x f x --=，故0x -一定是()e 1x y f x =-的零点，故A 正确，B错误； 又由()00e1x f x --=，得()001e x f x --=，所以()0011120e e e e x x x x f x -----+=+=≠，故C 错误；由()()000000e e e e 0x x x x f x f x -----=--=-≠，故D 错误.故选：A ．例2.函数()e 26xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【详解】函数()e 26x f x x =+- 是R 上的连续增函数, 2(1)e 40,(2)e 20f f =-<=->,可得(1)(2)0f f <,所以函数()f x 的零点所在的区间是(1,2). 故选：C【方法技巧与总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练】1.已知函数()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则1()2y f x =-的所有零点之和为（ ）A B C ．2 D ．0【答案】D 【详解】0x ≥时，由21(1)02x --=得1x =±，0x <时，由1102x +-=得12x =-或32x =-，所以四个零点和为1311022-=． 故选：D ．2．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C 【详解】 由已知条件得()f x 的零点可以看成2x y =与4y x =-的交点的横坐标，()g x 的零点可以看成e x y =与4y x =-的交点的横坐标，()h x 的零点可以看成ln y x =与4y x =-的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2x y =，e x y =，ln y x =，4y x =-的函数图象，如下图所示, 可知c a b >>， 故选：C .3.（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：94．若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________. 【答案】y x z << 【详解】依题意，0,0,0x y z >>>，223log 3log x x x x ⋅=⇔=，3232y yy y ⋅=⇔=，ln 3z z ⋅=3ln z z⇔=，因此，2log 3x x ⋅=成立的x 值是函数12log y x =与43y x=的图象交点的横坐标1t ， 23y y ⋅=成立的y 值是函数22x y =与43y x=的图象交点的横坐标2t ， ln 3z z ⋅=成立的z 值是函数3ln y x =与43y x=的图象交点的横坐标3t ， 在同一坐标系内作出函数1223log ,2,ln xy x y y x ===，43y x=的图象，如图，观察图象得：213t t t <<，即y x z <<，所以x 、y 、z 由小到大的顺序是y x z <<. 故答案为：y x z <<6.函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数，222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B考点三：函数零点个数的判断【典例例题】例1.函数()32,03e ,0xx x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 【答案】2 【详解】当0x ≤时，令320x +=，解得x =0<，此时有1个零点；当0x >时， ()3e x f x x =-+，显然()f x 单调递增，又1215e 0,(1)2e>022f f ⎛⎫=-+<=-+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例2.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【详解】∴()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
初中数学教案：函数图像和方程的关系
初中数学教案：函数图像和方程的关系一、引言函数图像和方程的关系是初中数学重要的内容之一，它涉及到了函数的概念及其图像和方程之间的联系。
了解和掌握函数图像和方程的关系对于初中生来说是非常重要的，不仅可以帮助他们更好地理解函数的性质，还可以提高解决问题的能力。
本教案将介绍函数图像和方程的关系的概念和性质，并提供相应的教学活动和练习，以帮助学生巩固所学知识。
二、函数图像与方程的关系1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在数学中，函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域，即函数的图像。
2. 图像与方程的联系函数的图像可以通过方程来描述。
对于一元函数来说，可以将函数的方程表示为y=f(x)，其中x表示自变量的取值范围，y表示对应的因变量值。
函数图像上的每个点都满足函数的方程。
通过观察和分析函数的方程，我们可以得到函数的特性和性质，进而绘制出函数的图像。
三、教学活动1. 导入活动 - 探索函数图像与方程的关系教师可以提供一些简单的函数方程，让学生分析方程与图像之间的联系。
例如，给出y=x+1和y=x^2的方程，让学生画出相应的图像，并观察图像与方程之间的关系。
2. 实验活动 - 用户外运动模型探究函数图像与方程的关系教师可以引导学生进行一个实验活动，通过模拟小车运动的数据来探究速度和时间的关系。
让学生记录小车在不同时间下的位置，并根据数据绘制速度-时间图和位置-时间图。
通过分析图像，学生可以发现速度与位置的关系，并将其表示为函数的方程。
3. 讨论活动 - 探索不同函数图像的方程教师将一些函数图像分发给学生，让他们讨论这些图像的特点，并尝试找出与之对应的方程。
通过讨论，学生可以深入理解函数图像和方程之间的联系，并掌握函数的基本性质。
四、练习1. 基础练习a) 已知函数图像为抛物线，方程为y=ax^2+bx+c，求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
函数方程与图像
函数方程与图像在数学中，函数方程是描述函数关系的方程式。
它涉及到数学中的变量、常数以及运算符号等元素。
函数方程的解是指满足该方程的函数的集合。
而函数图像则是根据函数方程所绘制的图形，可以直观地反映出函数的性质和特点。
在研究函数方程与图像的关系时，我们可以通过几何和代数的方法进行分析。
具体来说，我们可以通过求解函数方程的解和绘制函数图像来深入了解函数的性质与特征。
一、函数方程的求解对于给定的函数方程，我们首先需要确定未知数所处的范围和所满足的条件。
然后，我们可以通过代数的方法来求解函数方程的解。
例如，对于函数方程 f(x) = 2x + 1，我们需要求解使得该方程成立的 x 和 f(x) 的值。
我们可以通过令 f(x) = y，将该方程转化为方程 y =2x + 1。
然后，我们可以通过给定的 x 值计算出对应的 y 值，或者通过给定的 y 值计算出对应的 x 值。
这样，我们就得到了函数方程的解。
二、函数图像的绘制通过绘制函数图像，我们可以更直观地了解函数的性质和特征。
绘制函数图像的常见方法有手绘和使用计算机绘图软件。
在手绘函数图像时，我们首先需要确定定义域的范围以及函数值所处的范围。
然后，我们可以选择适当的比例和坐标系来绘制函数图像。
通过将一系列的 x 值代入函数方程中计算出对应的 y 值，我们可以得到一组坐标点。
将这些坐标点连接起来，就可以得到函数的图像。
当使用计算机绘图软件时，我们可以通过输入函数方程来自动生成函数图像。
计算机可以根据函数方程计算出每个点的坐标，然后将这些点连接起来，生成函数的图像。
利用计算机绘图软件，我们可以更精确和快速地绘制函数图像。
三、函数方程与图像的关系函数方程和函数图像之间存在着紧密的联系。
通过对函数方程的求解和对函数图像的绘制，我们可以得到函数的各种特性和性质。
首先，函数图像可以反映出函数方程的对称性和周期性。
例如，对于奇函数方程 f(x) = -f(-x)，其函数图像关于原点对称。
二次函数的图像性质及应用
二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。
在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。
一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。
当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。
2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。
这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。
3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。
对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。
4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。
首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。
二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。
例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。
例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。
3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。
例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。
4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。
总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。
而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。
通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。
二次函数的图象与方程
交点性质：当a>0时，一个交点在原点，另一个在x轴正半轴；当a<0时， 一个交点在原点，另一个在x轴负半轴
单击此处添加标题
交点坐标：当a>0时，交点坐标为(0,0)和(√(-b/a),0)；当a<0时，交点坐 标为(0,0)和(-√(-b/a),0)
单击此处添加标题
交点与方程的关系：二次函数与x轴的交点即为方程的根
二次函数与三角 形、四边形等几 何知识的关系： 通过二次函数的 图象，可以研究 三角形、四边形 等几何图形的性
质和特点。
THANK YOU
汇报人：XX
二次方程的解法
二次方程的解的概念
二次方程的标准 形式：ax^2 + bx + c = 0
判别式：Δ = b^2 - 4ac
根的性质：当Δ > 0时，方程有 两个不相等的实 根；当Δ = 0时， 方程有两个相等 的实根；当Δ < 0时，方程无实 根。
解的公式：当Δ ≥ 0时，解为x = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a)
二次函数的表达式
二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c， 其中a、b、c为常数 且a≠0
a的符号决定了抛物 线的开口方向，当 a>0时，抛物线开 口向上；当a<0时， 抛物线开口向下
b和c决定了抛物线 的位置，b和c的值 越大，抛物线越偏离 y轴和x轴
二次函数的顶点坐标 为(-b/2a, cb^2/4a)
二次函数的图象与方程
汇报人：XX
单击输入目录标题 二次函数的基本概念 二次函数的图象 二次方程的解法 二次函数的实际应用 二次函数与其他数学知识的联系
添加章节标题
二次函数的基本概念
一次函数与二元一次方程的图像解法介绍
y 3x 6
y 4 x2 5
2、 一般地，任何一个二元一次方 程都可以转化为一次函数的形式，所 以每个二元一次方程的图像都是一条 直线.
下面有序数对，哪个是二元一次方程 3x y 6
的解，即那个点在函数 y 3x 6 的图像上.
A（2，0）、B（3，－3）、C（5，-9）、 D（6，-10）、E（-2，10）、F（-3、15）
5 1
方程 ① 可化为y x 5
x 05
y 50
方程 ② 可转化为 y x 1
x 01
y -1 0
如图两直线的交点坐标 是（3，2） 所以此方程组
的解是：
x 3
y
2
x-y=1
3
x+y=5
通过以上探讨我们知道，用图像法解二元 一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像，这两条直线 若相交，其交点的坐标，就是方程组的解。
你能归纳运用图像法解二元一次方程组的 一般步骤吗？
①方程化成函数
一般步骤
②画出函数图像 ③找出图像交点坐标 ④写出方程组的解
➢请问这节课你学到了那些知识和
数学方法？
➢用图像法解方程组是数形结合的
一个典型应用.
➢用图像法解方程组的方法步骤你
会了吗？
复习
1、一次函数y=2x-5的图象是一条直，线通常过（ ，20.5 ）、 （0， -5）两点画直线即可。
方程 2x y 6 的解.所以直线 l1 与 l2 的交点P的坐标就
是方程 x 2 y 2 与 2x y 6 的公共解 .
也就是二元一次方程组
x 2y 2 2x y 6
的解.
这样用作图求解二元一次方程组的方法，叫做二元一 次方程组的图像解法，利用图象解法解方程组是从“形” 的角度研究代数问题，数与形有着密切联系。
第11讲 一次函数的图象及其性质
试题 如图，O 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板顶点与 O 重合， 转动三角板使两直角边
始终与 BC，AB 相交，交点分别为 M，N，如果 AB＝4，AD＝6，OM ＝x，ON＝y，则 y 与 x 的关系式是( ) 2 6 3 A．y＝3x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x 错解 B
此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形 ABCD 1 的中心 O 重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变，即 S 矩形 OEBF＝4 6 ×4×6(即取直角三角板的特殊情形)，则易错误地得到 x· y＝6，即 y＝x.但实 际上， 过点 O 作 AB， BC 的垂线， 垂足分别为点 E， F， 如图所示． 由于∠FOM ＋∠EOM＝90°，∠EON＋∠EOM＝90°，所以∠EON＝∠FOM，又∠OEN ON OE 3 3 ＝∠OFM＝90°，因此△OFM∽△OEN，则OM＝OF＝2，即 y＝2x，此时， 可看出 S△OEN∶S△OFM＝(OE ∶OF)2＝9∶4，所以，直角三角板与矩形 ABCD 重合部分面积并非定值 6.此类题目不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形． 正解 D
(2)(2015· 淄博)在直角坐标系中，一条直线经过 A(－1，5)，P(－2，a)， B(3，－3)三点． ①求 a 的值； ②设这条直线与 y 轴相交于点 D，求△OPD 的面积．
解：①设直线的解析式为 y＝kx＋b，把 A(－1，5)，B(3，－3)代入，可得： －k＋b＝5， k＝－2， 解得： 所以直线解析式为：y＝－2x＋3，把 P(－2， 3k ＋ b ＝－ 3 ， b ＝ 3 ， a)代入 y＝－2x＋3 中，得：a＝7；
(3)(2015· 广西)过点(0，－2)的直线 l1：y1＝kx＋b(k≠0)与直线 l2：y2＝x ＋1 交于点 P(2，m)． ①写出使得 y1＜y2 的 x 的取值范围； ②求点 P 的坐标和直线 l1 的解析式．
对数函数的图像和性质
巩固练习
下图是对数函数①y=logax②y=logbx③ y=logcx④y=logdx的图像,则a,b,c,d与1的大 小关系是 ( B ) A. a>b>1>c>d B. b>a>1>d>c C. 1>a>b>c>d D. a>b>1>d>c
y
1 O
① ② ③ ④
x
人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在 考古工作中常用14C的含量来确定有机物的年代. 已知放射性物质的衰减服从指数规律: C(t)=C0e-rt, 其中t表示衰减的时间,C0表示放射性物质的原始 质量,C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量. 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰 减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C的半 衰期大约是5730年,由此可确定系数r.人们又知 道,放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的.
y y=2x y=x
P(a,b)
函数y=log 2 x的图像 与函数y=2 x 的图像 关于直线y=x对称
函数y=f(x)的图像和 它的反,b)
y=log2x x
(0,1) (1,0)
1.根据下列中的数据(精确到0.01),画出函数 y=log2x,y=log3x和y=log5x的图像.并观察图像,说 明三个函数图像的相同与不同之处.
例题讲解
例4 求下列函数的定义域: (1)y=logax2; (2)y=loga(4-x). 解 (1)因为x2>0, 即 x≠0, 所以函数y=logax2的定义域为{x|x≠0} (2)因为4-x>0, 即 x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域为{x|x<4}
例5 比较下列各题中两个数的大小: ①log25.3,log24.7; ②log0.27,log0.29; ③log3π;logπ3 ④loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1)
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数图像与函数方程【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称)(x f y -=； ③)(x f y =――→关于原点对称)(x f y --=；④)10(≠>=a a a y x且――→关于y ＝x 对称)10(log ≠>=a a x y a 且.(3)翻折变换①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．【例题解析】考点一 函数图象变换【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2xf x =的图像经过怎样的变换得到的。
（1）12x y -= （2）2+1x y = （3）2xy =（4）2-1x y = （5）2xy =- （6）2xy -=-【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。
（1）2log (1)y x =- （2）2log 1y x =+ （3）2log ||y x =（4）2|log 1|y x =- （5）x y 2log -= （6）)(log 2x y --=【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示，那么方程(2)y f x =-的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ． 【变式训练3】函数21x y x -=-的图象大致是 （ ）【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示，则)2(x f y --=的图像为( )考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点; ④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点;⑤函数2()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例3】若,则函数的两个零点分别位于区间（ ） A ．和 B ．和 C ．和 D ．和【例4】函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是________【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ） A. 5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ()2,1-- C. ()1,2 D. 52,2⎛⎫⎪⎝⎭【例5】已知二次函数满足且，则含有零点的一个区间是（ ）A ．()2,0-B ．()1,0-C ．()01，D ．()02，【变式训练6】根据表格中的数椐，可以判断2)(--=x e x f x的一个零点属于区间（ ）A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,3考点三 函数与方程题型二 方程()f x m =的根的问题 【例6】若方程在内有解,则的图象是【例7】已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实 根,则实数k 的取值范围是___________________.【变式训练9】已知函数⎩⎨⎧≤+->=,0),4(,0|,lg |)(x x x x x x f 则函数()3-=x f y 的零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4题型四 方程()()f x g x =型问题【例8】已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是（ ）A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 【变式训练10】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练11】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式训练12】函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]4-5.3-=，[]21.2=，当(]时5.4,3∈x ，x x f =)(，的解集为（ ）A ．{}4,3B ．{}4C ．{}3D ．]5.4,3(【变式训练13】 []x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-．则下列结论中正确的有___________________.①函数()f x 的值域为[]0,1 ②方程()12f x =有无数个解 ③函数()f x 的图像是一条直线 ④函数()f x 是R 上的增函数【变式训练14】定义函数()[[]]f x x x =，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如：1]5.1[=，2]3.1[-=-，当),0[n x ∈，*∈N n 时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为t ，则t 为（ ）A ．212n n-- B ．22n n - C ．212n n -+ D ．222n n-+ 题型五 复合函数零点问题【例9】已知定义在上的函数和，其图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确命题的序号（ ）A ．①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④【例10】设函数()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为______.【变式训练15】 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩． 设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．3(,2](1,)2-∞-- B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞【变式训练16】定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 。
【高考真题】1.【2015高考湖南，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.2.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .3.函数x xx f 261)(+-=的零点一定位于区间（ ） A. )4,3( B.)3,2( C. )2,1( D.)6,5( 4已知0x 是函数xx f x-+=112)(的一个零点，若),1(01x x ∈，),(02+∞∈x x ，则（ ） A.0)(1<x f ，0)(2<x f B.0)(1<x f ，0)(2>x fC.0)(1>x f ，0)(2<x fD.0)(1>x f ，0)(2>x f5.若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解,则0x 属于区间（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6.（2015-2016武汉三中期中联考）[]x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-. 则下列结论中正确的是 （填正确的序号）. ①函数()f x 的值域为[0,1)；②方程1()2f x =有无数个解；③方程1()2f x x =有二个解；④若关于x 的方程()f x kx k =+有3个不同的实根，则实数k 的取值范围是111(1,][,)243--.。