函数图像与函数方程

函数图像与函数方程

【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称

)(x f y -=； ③)

(x f y =――→

关于原点对称

)(x f y --=；

④)10(≠>=a a a y x

且――→

关于y ＝x 对称

)10(log ≠>=a a x y a 且.

(3)翻折变换

①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像

将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其

关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换

①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．

【例题解析】

考点一 函数图象变换

【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2x

f x =的图像经过怎样的变换得到

的。 （1）1

2

x y -= （2）2+1x y = （3）2x

y =

（4）2-1x y = （5）2x

y =- （6）2x

y -=-

【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。

（1）2log (1)y x =- （2）2log 1y x =+ （3）2log ||y x =

（4）2|log 1|y x =- （5）x y 2log -= （6）)(log 2x y --=

【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示，那么方程(2)y f x =-的曲线是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【变式训练3】函数2

1

x y x -=

-的图象大致是 （ ）

【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示，则

)2(x f y --=的图像为( )

考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理

【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点; ④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间

(,)a b 内只有一个零点;

⑤函数2

()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【例3】若,则函数的两个零点分别位于区间（ ） A ．和 B ．和 C ．和 D ．和

【例4】函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是________

【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ） A. 5,22⎛⎫-

- ⎪⎝⎭ B. ()2,1-- C. ()1,2 D. 52,2⎛⎫

⎪⎝⎭

【例5】已知二次函数满足且，则含有零点的一个区间是（ ）

A ．()2,0-

B ．()

1,0-

C ．()01，

D ．()02，

【变式训练6】根据表格中的数椐，可以判断2)(--=x e x f x

的一个零点属于区间（ ）

A.()1,0-

B.()0,1

C.()1,2

D.()2,3

考点三 函数与方程

题型二 方程()f x m =的根的问题 【例6】若方程在内有解,则的图象是

【例7】已知函数24

1,

(4)()log ,(04)

x f x x

x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实 根,则实数k 的取值范围是___________________.

【变式训练9】已知函数⎩⎨

⎧≤+->=,

0),4(,

0|,lg |)(x x x x x x f 则函数()3-=x f y 的零点的个数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

题型四 方程()()f x g x =型问题

【例8】已知函数|lg |,010,()16,10.2

x x f x x x <≤⎧⎪

=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则

abc 的取值范围是（ ）

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24) 【变式训练10】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【变式训练11】函数()2ln f x x =的图像与函数()2

45g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

【变式训练12】函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]4-5.3-=，

[]21.2=，当(]时5.4,3∈x ，x x f =)(，的解集为（ ）

A ．{}4,3

B ．{}4

C ．{}3

D ．]5.4,3(

【变式训练13】 []x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-．则下列结论中正确的有___________________.

①函数()f x 的值域为[]0,1 ②方程()1

2

f x =

有无数个解 ③函数()f x 的图像是一条直线 ④函数()f x 是R 上的增函数