计算理论导引
计算理论导引教学设计
计算理论导引教学设计一、前言计算理论是计算机科学中的基础科学，是计算机科学各个领域的基础。
因此，对于计算机专业学生来说，掌握计算理论是十分重要的。
针对这个问题，本文提出了一些教学活动和教学意见，旨在提高计算理论的教学质量。
二、教学目标1.掌握计算理论的基本概念和基本方法；2.熟悉计算理论中的各种基础概念；3.理解计算理论的本质和应用；4.发展计算机科学中的基础科学。
三、教学内容计算理论课程应该包含以下内容：1.构造有效的算法；2.分析算法的正确性和效率；3.计算复杂度的理论；4.应用算法分析计算问题。
四、教学方法教学方法应包括课堂教学和实验学习两个主要部分。
1. 课堂教学（1）引导式讲授法通过问题提出、举例说明和引导学生思考等方式，引导学生理解基本概念和基本方法。
（2）演示式讲授法通过算法流程演示、举例说明和实例练习等方式，让学生熟悉算法的构造、分析和应用。
2. 实验学习对于计算理论的课程，实验是不可或缺的一部分。
实验可以帮助学生将课堂学习到的理论知识进行实际应用：（1）构造算法实验；（2）分析算法性质实验；（3）基本算法应用实验；（4）复杂性分析实验。
3. 课外作业在课程结束后，老师可以通过作业的形式向学生反馈他们所学的知识和技能。
（1）计算理论基础知识作业；（2）基本算法应用作业；（3）复杂性分析作业。
五、教学评估为了评估教学的质量，教师应该利用以下方式来评估学生的掌握程度：（1）课堂小测验教师可以在课堂上进行简单的小测验，让学生及时掌握所学的知识，及时调整教学进度。
（2）实验与项目实验评估可以基于学生成绩，目的是评估学生的实际能力。
（3）考试和论文在教学的最后阶段，教师可以进行考试和论文等形式的评估，最终确定学生的成绩。
六、小结教学计划可以用来确保教师和学生之间的理解一致，是教学活动的基础。
为了提高教学质量，教师应该在计划中明确教学目标，内容和方法，同时采用多种评估方法来评估学生的学习效果。
计算理论导引 6 可计算理论的高级专题
13
递归定理的应用
计算机病毒是一个计算机程序，它被设计成在计算机中传 播它自己。为了实现自我复制的基本任务，可能使用到递 归定理证明中的结构。
例 计算机病毒；（Autoexec.BAT ) 从A: 盘 复制 到B:盘 Echo This is a Virus program IF exist b:\autoexec.bat goto Virus Goto No_Virus : Virus B: Rename autoexec.bat auto.bat //准备冒名顶替 Copy a:\autoexec.bat b: //自我复制部分 Echo I am Virus //诚实的自白 Del *.exe //实施破坏 : No_virus A: \Auto //调用原来 autoexec.bat，给出平安无事的假象
计算理论
朴秀峰 xfpiao@
1
主要内容
6.1 递归定理
6.1.1 自引用
6.1.2 递归定理的术语 6.1.3 应用
6.2 逻辑理论的可判定性
6.2.1 一个可判定的理论 6.2.2 一个不可判定的理论
6.3 图灵可归约性 6.4 信息的定义
6.4.1 极小长度的描述 6.4.2 定义的优化 6.4.3 不可压缩的串和随机性
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公式
辖域：紧跟在量词化变元后的一对括号中的部分。 前束范式：所有量词都出现在公式的前面。 自由变元：没有被量词的辖域所约束的变元。 句子或命题：没有自由变元的公式。 (1) x (F(x,y)→G(x, z) ) (2) x (F(x)→G(y)) → y (H(x)∧L(x, y, z))
图灵机 SELF
图灵机 SELF 忽略输入，且打印出它自己的描述。 图灵机 SELF 有两个部分，分别叫做 A 和 B，将 A 和 B 想象成两个分离的 过程，它们一起组成 SELF。 我们希望 SELF 打印出 <SELF> = <AB>。 A 部分首先运行，在根据完成情况将控制传给 B。A 的任务是打印出 B 的 描述。 使用机器 P<B> 来定义 A，其中 P<B>用函数 q 在 <B> 处的值q(<B>)描述，这 样，A 部分是一个打印出 <B> 的图灵机。A 的描述依赖于是否已经有了 B 的描述，所以在构造出 B 之前，无法完成 A 的描述。 定义 B，使之能打印 A：B 从 A 产生的输出来计算 A。 如果 B 能得到 <B>，它就能用 q 来得到 <A>。当 A 结束时，它被留在带上。 所以 B 只要看着带子就能得到 <B>。在计算 q(<B>) = <A>之后，B 将 之加到带的前面。 然后将 A 和 B 组合成一个机器并在带上写下它的描述。
计算理论导引总结
6
计算模型—上下文无关文法
上下文无关文法：是一个 4 元组 ( V, , R, S )
(1) V 是一个有穷集合，称为变元集。 (2) 是一个与 V 不相交的有穷集合，称为终结符集。 (3) R 是一个有穷规则集，每条规则由一个变元和一个由变元及终结 符组成的字符串构成。 (4) SV 是起始变元。
L 类 NL 类、 NL 完全性、 NL 等于 coNL
17
复杂性理论—难解性
层次定理的含义：定理中的每一个都能证明时间和空间复杂性类不全 相同，它们形成了一个层次结构，其中时空界限较大的类比时空界限 较小的类包含更多的语言。 相应的概念和结论 在相对化方法中，将修改计算模型，给图灵机一些本质上是“免费” 的信息。依据实际提供给它的信息，图灵机就可能比以前更轻松地解 决某些问题。 电路复杂性 布尔电路、电路族、…… 3SAT 是 NP 完全的
SPACE(f(n)) ={ L | L是被 O(f(n)) 空间的确定型图灵机判定的语言}
NSPACE(f(n)) = { L | L是被 O(f(n)) 空间的非确定型图灵机判定的语言} 萨维奇定理：对于任何函数 f : NR+ ，其中 f(n) n，NSPACE( f(n) ) SPACE( f 2(n) )。 P NP PSPACE=NPSPACE EXPTIME PSPACE完全的、 PSPACE难的 TQBF={< >| 是真的全量词化的布尔公式} PSPACE 完全的
15
复杂性理论—时间复杂性
NP中问题举例。
CLIQUE = { <G, k > | G 是包含 k 团的无向图} SUBSET-SUM
NP完全性： NP 中的某些问题的复杂性与整个类的复杂性 相关联。这些问题中任何一个如果存在多项式时间算法，那 么所有 NP 问题都是多项式时间可解的。 语言 A 称为多项式时间映射可归约到语言 B，记为A≤pB， 若存在多项式时间可计算函数 f : **，对于每一个 w， 有 w∈A f(w)∈B。 如果语言 B 满足下面两个条件，就称为NP完全的：
计算理论导引习题答案
什么是时间复杂度？请举例说 明。
时间复杂度是评价算法执行时 间快慢的一个指标，通常用大O 表示法来表示。例如，对于一 个简单的顺序查找算法，其时 间复杂度为O(n)，表示随着问 题规模n的增加，算法的执行时 间线性增长。
计算模型习题答案详解
习题1
解释图灵机的基本原理和工作过程。
答案
图灵机是一种理论上的计算模型，由一条无限长的纸带和一个读写头组成。读写头可以读取、写入和移动纸带上 的符号，根据当前状态和读取的符号来决定下一步的动作和状态转移。图灵机的工作过程可以模拟任何计算机程 序的执行过程。
RAM模型的扩展与优化
包括引入并行计算、分布式计算等概念，以 提高RAM模型的计算能力和效率。
其他计算模型
量子计算模型
利用量子力学原理进行计算的模型，具有在某些特定 问题上比传统计算机更高的计算效率。
生物计算模型
模拟生物体内信息处理过程的计算模型，如神经网络、 基因算法等。
光计算模型
利用光学原理进行计算的模型，具有高速并行处理和 低能耗等优点。
形式语言与自动机习题答案详解
习题1
解释什么是形式语言，并给出其定义和性质 。
答案
形式语言是பைடு நூலகம்于描述计算机程序的语法和语 义的一种数学工具。它由一组符号和一组规 则组成，可以表示各种不同类型的数据结构 和算法。形式语言具有确定性、封闭性和可 计算性等性质，这些性质使得我们可以对计
算机程序进行精确的描述和分析。
Python语言基础 掌握Python语言的基本语法、数 据类型、控制结构、函数等，以 及常用的Python库和框架。
其他编程语言 了解其他常见的编程语言，如C#、 JavaScript、Go等，以及它们的 特点和应用场景。
计算理论导引习题答案
当j≠0，uxz=0p1p-i#0p-j1p不在该语言中 当j=0，uvvxyyz中左侧的长度大于右侧，也不 再该语言中。
因此该语言不是上下文无关的
2）{t1#t2##tk|k2,ti{a,b}*,且存在ij使得 ti=tj}。 令S=apbp#apbp,p为泵长度
三、完成下述操作
1.给出识别语言（01001010）*的NFA;
0
0
0,1
1 q0
1 q1
1 q2
q3
3）{w|w含有子串0101}；
1
0,1
0 q0
1 q1
0
q2
q3
1
q4
0
0
2. 写出下述语言的正则表达式。 1）{w|w不含子串110}； (0∪10)*1* 2）{w|w的长度不超过5}； ε∪∑∪∑∑∪∑∑∑∪∑∑∑∑∪∑∑∑∑∑ 3）{w|w是除11和111外的任意串}； ε∪0∑*∪10 ∑*∪110 ∑*∪ 111 ∑ ∑*
ε ε
0
ε
1
q2
q3
q4
q5
ε
ε
q0
q1
ε
q6
0
ε q7
0
q8
q9
ε
1
q10
q11
ε
q12 0
q13 ε
1 q14
ε q15
0 q16
q17
ε
2.下面是一个识别语言M2={0i1j2k |i,j,k≥0 且i=j
或 i=k} 的PDA M2的状态图,请将此PDA转换为
CFG。
1,0->ε
2,ε->ε
3. 设集合T={0,1}，用T中元素构造序列，最多 可构造（ D ）条序列。 A、1 B、 2 C、3 D、无穷 4. DFA和NFA的区别在于（ A ）。 A、两者的转移函数的值域不同 B、NFA能够识别的语言DFA不一定能够识别 C、DFA能够识别的语言NFA不一定能够识别 D、NFA比DFA多拥有一个栈
计算理论导引ppt课件
end
s1sensor1 s2sensor2
d=1ands1=0ands2=0 N
Y d0
Y
d=0and(s2=1ors1=1ands2=1ors1=0ands2=0)
N
Y
d=1and(s1=1ors2=1ors1=1ands2=1)
N
Y
d=0ands1=1
N
d1
7
CHAPTER 2 COMPUTATIONAL MODELS(1)
front pad
rear pad
BOTH REAR NEITHER
CLOSED
FORNT NEITHER
FORNT BOTH REAR
OPEN
10
CHAPTER 2 COMPUTATIONAL MODELS(1)
front pad
rear pad
NEITHER CLOSED
FORNT REAR BOTH
Hoarwdwtoairmesp:letwmoenstenthsiosrsy; stem? one computer(only 1 bit memory), etc.
How about the software?
6
CHAPTER 2 COMPUTATIONAL MODELS(1)
satrt
tTRUE;d 0
16
}
CHAPTER 2
COMPUTATIONAL MODELS(1)
THEOREM 2.1 The class of regular languages is closed under the union operation. PROOF IDEA. A1=L(M1);A2=L(M2) A1A2=L(M3)?
计算理论导引5可归约性
语言理论中的不可判定问题
ETM = { M | M 是一个TM，且L(M)= } 空问题
定理 5.2
ETM 是不可判定的。
假设 ETM 是可判定的，以此证明 ATM 是可判定的。 设 R 是判定 ETM 的一个 TM，考虑用 R 来构造判定 ATM 的 S。 当 S 收到输入<M, w>时，如何运行？
证明HALTTM的不可判定性。 HALTTM 的形式化描述
HALTTM = { <M,w> | M是一个TM, 且对输入 w 停机}
5
HALTTM 是不可判定的
定理 5.1
HALTTM是不可判定的。
证明思路：反证法。（将 ATM 归约到 HALTTM ） 假设 TM R 判定 HALTTM，利用 R 可以构造一个判定 ATM 的 TM
可计算函数
定义 55.1.62
函数 f : * * 是一个可计算函数，如果有某个图 灵机 M，使得在每个输入w上停机，且此时只有 f (w) 出现在带上。
例5.13 整数上所有通常的算术运算都是可计算函数。 例如，可以制造一个机器，它以 <m, n> 为输入且返回 m 与
n 的和 m+n。
21
可计算函数
8
语言理论中的不可判定问题
ETM = { M | M 是一个TM，且L(M)= } 空问题
定理 5.2
ETM 是不可判定的。
先用标准术语来写在证明思路中描述的那个修改型机器M1. M1 = “在输入x上：
1) 如果 x≠w，则拒绝。 2) 如果 x=w，则在 x上运行M，当M接受时，就接受。” 这个机器以 w 作为它的描述的一部分。检查 x=w 是否成立的方法很显然， 即扫描输入并用一个字符一个字符地将它与 w 进行比较，就可确定它们是 否相同。
计算理论导引测验0602(部分答案)
一、单项选择题（每空2分，本题共20分）1．集合A DFA={<B,w>|B是DFA，w是串，B接受w}可用来（A）。
A、描述“DFA B 是否接受输入w”这一问题B、解决“P=NP？”问题C、计算语言A DFA时间复杂度D、计算语言A DFA的空间复杂度2．一个集合在条件（ D ）下是可数的。
A、该集合为无限集合B、组成该集合的元素是实数C、该集合的规模大于自然数集合的规模D、该集合是一个有限的集合3．对于一个语言（ D ）的说法是正确的。
A、它是一个序列B、它是一个简单串或复杂串C、在集合并运算下它是封闭的D、不是所有的语言都能被图灵机识别4．如果A≤m B且B是可判定的，则（A）。
A、A也是可判定的B、A不一定是可判定C、A是不可判定的D、A可判定否与B无关5．若一个图灵机M时间复杂度为2n3+6n+7。
则其渐进时间复杂度为( C ）。
A、O(2n3+6n+7)B、O(2n3+6n)C、O(n3)D、o(n3)6. 时间复杂性类TIME(t(n))是（ C ）。
A、时间复杂度为t(n)的图灵机集合B、时间复杂度为O(t(n))的图灵机集合C、由O(t(n))时间的图灵机判定的所有语言的集合D、由o(t(n))时间的图灵机判定的所有语言的集合7．当(A）时，P=NP。
A、语言B是NP完全的且B∈PB、计算速度快到一定峰值时C、计算机内存达到无限D、计算机性价比很高时8. 如果A是NP-完全的，则( C )。
A、一定存在一个B∈NP且B不能多项式时间规约到AB、A不一定属于NPC、A一定属于NPD、若A∈P，则P≠NP9. 对于SAT问题（ C ）的说法是对的。
A、SAT问题不能用线性空间算法解决B、SAT∉PSPACEC、SAT∈PSPACED、SAT∉NP10．如果B是PSPACE完全的，则（C）。
A、B∉NPSPACEB、B∈PC、B∈PSPACED、B一定是NP完全的二、综合应用题(10分+10分+10分+10分+10分,本题共50分)1.将一个DFA与一个正则表达式是否等价问题用一个语言来描述，然后，证明该语言是1可判定的。
计算理论导引总结分章节版
定义概念题目：第三章：1. 图灵机：是一种精确的通用计算机模型，能模拟实际计算机的所有计算行为，它的核心是转移函数δ，它说明了机器如何从一个格局走到下一个格局。
对于图灵机，δ的形式如下：Q×Γ→Q×Γ{L,R},图灵机是一个7元组（Q，∑，Γ，δ，q 0,q accept,q reject）.其中Q，∑，Γ都是有穷集合，并且1）Q是状态集；2）∑是输入字母表，不包括特殊空白符号凵，3）Γ是带字母表，其中凵∈Г，∑∈Г4）δ2. 格局：图灵机的计算过程中，当前状态，当前内容和读写头当前位置组合在一起。
例如：1011q701111：当前状态q7，当前读写头位置在第二个0上。
定义3.2 如果一个语言能被某一个图灵机识别，则称该语言是图灵可识别的（递归可枚举语言）定义3.2 如果一个语言能被某一个图灵机判定，则称该语言是图灵可判定的简称可判定的（递归语言）3.图灵机的变形：多带图灵机、非确定型图灵机、枚举器。
每个4.枚举器：他是图灵机的一种变形，是带有打印机的图灵机，图灵机把打印机当作输出设备，从而可以打印串，每当图灵机想在打印序列中增加一个串时，就把此串送到打印机。
一个语言是图灵可识别的，当且仅当有枚举器枚举它。
5.图灵机的术语：形式化描述，实现描述，高水平描述。
第四章：1.可判定的语言有：（A DFA、A NFA、A REX、E DFA、EQ DFA 是正则语言）、（A CFG、E CFG 是上下无关语言）❶每个上下文无关语言都是可判定的。
2.不可判定的语言有:：EQ CFG、A TM 、停机问题、HALT TM 、E TM、REGULAR TM 、EQ TM 、 E LBA 、ALL CFG 、PCPA TM =｛<M,ω>｜M是TM，ω是串，M接受ω｝是不可判定的。
证明：假设证A TM 是可判定的，下面将由之导出矛盾。
设H是A TM 的判定器。
令M是一个TM，ω是一个串。
计算理论导引习题答案[第2版]CHAP8new
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8.1 证明对于任意函数f:N N，其中f(n)n，不论用单带TM模型还是用两带只读输入TM模型，所定义的空间复杂性类SPACE(f(n))总是相同的。
证明：为区别，记单带TM模型在f(n)空间内能判定的语言类为SPACE1(f(n)), 而记双带只读输入TM模型在f(n)空间内能判定的语言类为SPACE2(f(n))。
该题要证明的是SPACE1(f(n))＝SPACE2(f(n))。
首先SPACE1(f(n))SPACE2(f(n))。
这是因为设A SPACE1(f(n))，且设M设在f(n)空间内判定A的单带TM，如下构造双带TM只读输入TM N。
N=“对于输入串w：1)将w复制到工作带上。
2)在工作带上模拟M，直到停机。
3)若M接受，则接受；否则，拒绝。
”N在f(n)空间内运行，L(N)=L(M)=A，所以A SPACE2(f(n))。
首先SPACE2(f(n))SPACE1(f(n))。
设A SPACE2(f(n))，且N 为在f(n)空间内判定A的双带只读输入TM。
按照用单带TM模拟多带TM的常规方式构造M：M＝“对于输入串w：1)初始化工作带为＃w1’w2…w n#’.其中以’标记N的两个读写头。
2)模拟N运行直到停机。
每一步模拟，要两次扫描带子。
第一次扫描确定读写头下符号，第二次扫描根据N的转移函数完成改写和移动读写头的工作。
3)若N接受，则接受；否则，拒绝。
”L(M)=L(N)=A。
由于f(n)n，M的运行空间是f(n)+n+2＝O(f(n))。
8.3 考虑广义地理学游戏，其中起始节点就是又无源箭头指入的节点。
选手I有必胜策略吗？选手II呢？给出理由。
1 2 34 5 6I II I II I Winner2 3 6 I4 5 6 II由表上来看选手II有必胜策略I2II4(不能选3)I5II6(不能选2)I。
8.4 证明PSPACE在并、补和星号运算下封闭。
证明：(1) 并：对任意L1, L2PSPACE，设有n a空间图灵机M1和n b空间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。
计算理论导引习题答案[第2版]CHAP9new
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9.1 证明TIME(2n)=TIME(2n+1).证明：2n=O(2n+1)TIME(2n)TIME(2n+1).2n+1=O(2n)TIME(2n+1)TIME(2n).所以TIME(2n)=TIME(2n+1).9.2证明TIME(2n)TIME(22n)。
注：这里“”是严格包含。
证明：令f(n)=22n,则f(n)/logf(n)=22n/2n, 由时间层次定理有TIME(o(22n/2n))TIME(22n).又由于2n=o(22n/2n)，TIME(2n)TIME(o(22n/2n))，所以TIME(2n)TIME(22n).9.3 证明NTIME(n)PSPACE.证明：NTIME(n)NSPACE(n)SPACE(n2)SPACE(n3)PSPACE.9.6 证明若A P，则P A＝P。
证明：首先P P A。
这是因为不带谕示即可。
下面证明P A P。
任取A P，则存在多项式图灵机T判定A。
设B P A，则存在带语言A的谕示的多项式时间图灵机M A判定B。
如下构造不带谕示的图灵机D：D=“对于输入串w:1)在w上运行M A。
2)每当M A要在谕示带上写下某个字符串x，则在x上运行T，若T接受，则代替谕示回答x属于A，否则代替谕示回答x不属于A。
3)若M A接受，则接受；否则，拒绝。
”设M A的运行时间是n a，T的运行时间是n b。
谕示带上写下的字符串的长度不会超过n a，询问谕示带的次数也不会超过n a。
D的运行时间是n a (n a)b=n a+ab，所以A P。
9.7 给出带指数的正则表达式，产生如下在字母表{0,1}上的语言：a.所有长为500的字符串. (01)500。
b.所有长度不超过500的字符串.(01)500.c.所有不少于500的字符串. (01)500(01)*.d.所有长度不等于500的字符串. (01)499(01)501(01)*.e.所有恰好包含500个1的字符串. 0*(10*)500.f.所有包含至少500个1的字符串. (01)*(1(01)*)500.g.包含至多500个1的字符串. 0*((1)0*)500.h.所有长度不少于500并且在第500个位置上是0的字符串. (01)4990(01)*.i.所有包含两个0并且其间至少相隔500个符号的字符串。
计算理论导引 0_绪论
主要内容
0.0 课程性质 0.1 自动机、可计算性与复杂性 0.2 数学概念和术语 0.3 定义、定理和证明 0.4 证明的类型 0.5 作业
8
0.1 自动机、可计算性与复杂性
什么是计算？ 计算机的基本能力和局限性是什么？ 计算复杂性理论
把问题分成容易计算和难以计算的
可计算理论
布尔逻辑
合取、析取、非、异或
12
主要内容
0.0 课程性质 0.1 自动机、可计算性与复杂性 0.2 数学概念和术语 0.3 定义、定理和证明 0.4 证明的类型 0.5 作业
13
0.3 定义、定理和证明
定义：描述了我们使用的对象和概念。 证明：是一种逻辑论证。 定理：是被证明为真的数学命题。 引理：有助于证明另一个更有意义的命题的命题。
5
课程说明
教材处理
讲要点，前后次序有少数调整 略讲或自学的部分，要求了解主要思想 快讲的部分，需要一般了解的章节，要求了解主要方法和演绎框架 要求深入掌握的部分——能作题目或作难题，通过考试
6
课时安排
第0章 绪论——2学时 第1章 正则语言——5学时 第2章 上下文无关文法——3学时 第3章 丘奇-图灵论题——2学时 第4章 可判定性——2学时 第5章 可归约性——2学时 第6章 可计算理论高级专题——2学时 第7章 时间复杂性——4学时 第8章 空间复杂性——3学时 第9章 难解性——3学时 第10章 复杂性理论高级专题——4学时
京: 清华大学出版社. (美) John E.Hopcroft等著. 孙家骕等译.自动机理论、语言和计算导
论(原书第3版). 北京: 机械工业出版社.
4
课程说明
作业
计算理论导引23
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识别的语言 类。
引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设M1是一台
错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意的多项式
poly(n)，存在与M1等价的错误概率为
cm
t/2步内从 c1到cm
∨ ∧…
t/2步内从c1到c2
∧
t/2步内从 cm到c2
起始格局 2df(n)
接受格局
S的每个分支使用的最大时间：O(f(n)) 递归深度：log2df(n) = O(f(n)) 因此，算法在交错时间O(f2(n))内运行
引理10.21 对于对于f(n)≥log n，有 ASPACE(f(n)) TIME(2O(f(n)))
如果一个数p能6 通,a 过 所2有关2 于(6 小1)于它25 且 与3它,2 互3 素2m 的数5 的o 费2 d 马测
试，则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数
。
ap1 1(mopd)
测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPERI“ M对于输p： 入 在p中随机地选 a1, 取,ak 对于每一i，个计算 ai(p1) modp 如果所有计算出都 来等 的于 值 1，则接受；否则拒绝
把O(f(n))时间的交错式图灵机M转换成O(f(n))空间的确定型图灵机S
S如下模拟M：对于输入w，S对M的计算树做深度优先搜索，确定哪些顶 点接受。如果树根接受，则S接受。
引理10.20 对于f(n)≥n，有 SPACE(f(n)) ATIME(f2(n))
从O(f(n))空间的确定性图灵机M出发，构造一台O(f2(n))时间的交错式图 灵机S
计算理论导引pdf
计算理论导引pdf《计算理论导引》是一本介绍计算理论相关知识的教材，是计算机科学和信息技术领域的基础课程之一、本书通过系统地介绍算法、自动机理论、图灵机模型等内容，旨在帮助读者全面了解计算理论的基础知识和方法，并培养读者的逻辑思维和问题解决能力。
这本教材共分为七章，每一章都涵盖了计算理论中的重要概念和理论。
以下是每章的主要内容：第一章介绍了计算理论的概述和基本概念。
通过介绍计算过程、可计算性和自动性等概念，读者可以了解计算理论的研究范畴以及相关的理论框架。
第二章主要讨论了算法和计算复杂性理论。
其中包括最优算法、计算问题的可解性和复杂性，介绍了P类、NP类、NP完全问题等概念，以及计算问题的近似算法。
第三章介绍了自动机理论和形式语言。
其中包括有限自动机、正则语言、上下文无关语言等内容，以及它们在编译原理和自然语言处理中的应用。
第四章讨论了图灵机模型和可计算函数的理论。
通过介绍图灵机的定义和性质，以及可计算函数的概念和分类，读者可以了解计算机科学中最基本的计算模型和计算能力的限制。
第五章介绍了算术和逻辑的可计算性。
其中包括使用图灵机模型证明加法和乘法的可计算性，以及哥德尔不完备定理等内容，旨在帮助读者了解数学和逻辑在计算理论中的重要作用。
第六章讨论了计算的可验证性和可证明性。
其中包括证明系统、不可判定问题和可证明性形式语言等内容，引导读者理解计算理论中证明和验证的概念以及相关的理论。
第七章介绍了复杂性理论和计算复杂性的研究。
其中包括计算问题的难度分类、NP完全性、多项式时间归约等内容，以及复杂性理论在实际问题中的应用和意义。
《计算理论导引》是一本较为全面的教材，适合计算机科学和信息技术相关专业的本科生和研究生学习。
通过阅读本书，读者可以了解计算理论的基本概念和理论，掌握相关的方法和技术，并进一步深入研究计算理论领域的前沿问题。
计算理论导引_6_可计算理论的高级专题
公式
辖域：紧跟在量词化变元后的一对括号中的部分。 前束范式：所有量词都出现在公式的前面。 自由变元：没有被量词的辖域所约束的变元。 句子或命题：没有自由变元的公式。 (1) x (F(x,y)→G(x, z) ) (2) x (F(x)→G(y)) → y (H(x)∧L(x, y, z))
计算理论
康熠华
1
Hale Waihona Puke 主要内容6.1 递归定理
6.1.1 自引用
6.1.2 递归定理的术语 6.1.3 应用
6.2 逻辑理论的可判定性
6.2.1 一个可判定的理论 6.2.2 一个不可判定的理论
6.3 图灵可归约性 6.4 信息的定义
6.4.1 极小长度的描述 6.4.2 定义的优化 6.4.3 不可压缩的串和随机性
13
一个可判定性的理论
定理 6.10
Th(N, +)是可判定的。
思路：对于输入为(N, +)的语言中的句子∮检查其在模型中是否为真。
∮=Q1x1Q2x2 …Qlxl [ψ] 对于 0~l 的每一个i，令公式∮i 为
∮i=Qi+1xi+1Qi+2xi+2 …Qlxl [ψ]
这样，∮0=∮且 ∮l =ψ。 对于从 0 到 l 的每个 i，算法构造了一个有穷自动机 Ai，它识别如下串的 集合：这些串表示∮i 为真的数的 i 元组。算法先直接构造 Ai，然后，对 从 l 向下到 1 的每个 i，它用 Ai 构造 Ai-1。最后，一旦得到 A0，算法就 检查 A0是否接受空串。如果接受，则∮为真，算法也就接受。
20
一个不可判定性的理论
定理 6.15 本定理的证明中描述的句子是unprovable 不可证的。
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当j≠0，uxz=0p1p-i#0p-j1p不在该语言中 当j=0，uvvxyyz中左侧的长度大于右侧，也不 再该语言中。 因此该语言不是上下文无关的 2）{t1#t2##tk|k2,ti{a,b}*,且存在ij使得 ti=tj}。 令S=apbp#apbp,p为泵长度
三、完成下述操作
1.给出识别语言（01001010）*的NFA;
7. 在乔姆斯基范式中，每条规则的右部不允 许（ A ）。 A、出现起始变量 B、出现变量 C、出现终结符 D、出现2个变量
二、综合应用题
1．画出识别下述语言的DFA状态图，其中， 字母表为{0,1}。 1). {w|w从1开始且以0结束}；
1 1 0
q0
q1
q2
1
2）{w|w含有至少3个1}；
0 q0 1 0 q1 1
0
0,1
q2
1
q3
3）{w|w含有子串0101}；
1 0 0,1
q0
q1
1
q2
0
q3
1
q4
0
0
2. 写出下10)*1* 2）{w|w的长度不超过5}； ε∪∑∪∑∑∪∑∑∑∪∑∑∑∑∪∑∑∑∑∑ 3）{w|w是除11和111外的任意串}； ε∪0∑*∪10 ∑*∪110 ∑*∪ 111 ∑ ∑*
3. 设集合T={0,1}，用T中元素构造序列，最多 可构造（ D ）条序列。 A、1 B、 2 C、3 D、无穷 4. DFA和NFA的区别在于（ A ）。 A、两者的转移函数的值域不同 B、NFA能够识别的语言DFA不一定能够识别 C、DFA能够识别的语言NFA不一定能够识别 D、NFA比DFA多拥有一个栈
计算理论导引习题
一、单项选择题
1. 给定两个集合S和U, SU那么，S的子集 可以是（ A ）。 A、 S幂集中的一个元素 B、S中的一个元素 C、 SU D、 U-S 2. 关系和谓词的共同点是（ D ）。 A、都是集合 B、都是序列 C、都是笛卡尔积 D、都是函数且值域都是 {TRUE, FALSE}
4.给出产生下述语言的上下文无关文法。 1）{w|w至少包含3个1}； S->A1A1A1A A->A0|A1|ε 2）{w|w以相同的符号开始和结束}； S->0A0|1A1|0|1 A->0A|1A|ε
3）{w|w的长度为奇数}; S->0A|1A A->0B|1B|ε B->0A|1A
5. 利用泵引理证明下述语言不是上下文无关 的。 1）{w#t|w,t{a,b}*,且w是t的子串}； 设该语言上下文无关，p为泵长度。取 S=0p1p#0p1p，由泵引理，S可以划分为uvxyz 五部分。因为S=uxz也在该语言中，所以vy不 包含#。vxy不落在#一边，否则两边长度不同。 则#∈x，则必存在不全为零的i,j使得vy=1i0j
A44->A442| ε A18->0A262|ε A26->0A262|A551 A55->A551|ε
3. 利用泵引理证明下述语言不是正则的。 1）A1={0n1n2n|n0}; 假设A1是正则的，泵长度为p。 令S=0p1p2p 因为S是A1的成员，且S长度大于p， S可以分成S=xyz三个部分。根据条件三y中只 能包含0，而xyyz不是A1成员。所以A1不是正 则的
2）A2={www|w{a,b}*} 假设A2是正则的，泵长度为p 令S=apbapbapb,S是A2成员，且S长度大于p，S 可以分成三部分S=xyz满足泵引理。根据条件 三y只包含a，xyyz不是A2成员，违反泵引理。 A2不是正则的
q3 ε,$->ε q4
0,ε->0
1,ε->ε
2,0->ε
ε,ε->ε ε,$->ε
q1
ε,ε->$
q2
ε,ε->ε
q5
q6
q7
CFG G=(V, ∑,R,S) V={A11,A12,A13,A14,…A88} ∑={0,1,2} S=A18 R: A18->A14A48 A14->0A231 A23->0A231|ε A48->A442|ε
5. 一个语言是正则的，当且仅当（ C ）。 A、可以用一个正则表达式计算它 B、可以用一个正则表达式接受它 C、可以用一个正则表达式描述它 D、可以用一个正则表达式识别它 6. 若一个语言A是非正则的，对于个给定的一 个泵长p,若存在一个串s=xyz,|s|p，则（ C ）。 A、xyyzA B、xzA C、|y|可能大于等于0 D、|xy|不可能小于等于p
ε 0 ε q3 ε q4 0 1 q5
q2 ε ε q0 q1 ε q12 0 ε q6
0
q7
ε
q8
q9
ε
q10
1
q11
q13
ε
q14
1
q15
ε
0
q16 q17
ε
2.下面是一个识别语言M2={0i1j2k |i,j,k≥0 且i=j 或 i=k} 的PDA M2的状态图,请将此PDA转换为 CFG。 2,ε->ε 1,0->ε