均值定理专题归纳与训练
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v1.0 可编辑可修改
均值不等式的应用
一.均值不等式
1.(1)若R b a ∈,,则ab b a
222
≥+ (2)若R b a ∈,,则2
2
2b
a a
b +≤(当且仅当b a =时取“=”)
2. (1)若*
,R b a ∈,则
ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”
) (3)若*
,R b a ∈,则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”
) 3.若0x >,则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
);若0x <,则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) ; 若0x
≠,则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
) 4.若0>ab ,则
2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”
)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2
)2(2
22b a b a +≤
+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所
谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2
+12x 2
(2)y =x +1
x
技巧一:凑项 例2:已知5
4x <,求函数14245
y x x =-+-的最大值.
技巧二:凑系数 例3. 当时,求(82)y x x =-的最大值.
变式:设2
3
0< 技巧三: 分离 例4. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域. 技巧四:换元 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域. 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。 例5:求函数2 y = 的值域. 练习.1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231 ,(0)x x y x x ++=> (2)12,33 y x x x =+>- (3) 12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数y =.;3.2 03 x << ,求函数y =值. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 . 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 2:已知0,0x y >>,且19 1x y +=,求x y +的最小值。 变式:(1)若+ ∈R y x ,且12=+y x ,求y x 11+的最小值 ( 2 ) 已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x +的最小值 技巧七、已知x ,y 为正实数,且x 2 +y 2 2 =1,求x 1+y 2 的最大值. 技巧八:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1 ab 的最小值. 变式:1.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x ,y 为正实数,3x +2y =10,求函数W =3x +2y 的最值. 变式: 求函数15 ()2 2 y x =<<的最大值。 应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 2. 正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc 例6:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应用三:均值不等式与恒成立问题 例7:已知0,0x y >>且19 1x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例8:若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+= ⋅=>>, 则R Q P ,,的大小关系是 . 均值不等式的应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) ; 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 5.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的