均值定理专题归纳与训练

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均值不等式的应用

一.均值不等式

1.(1)若R b a ∈,,则ab b a

222

≥+ (2)若R b a ∈,,则2

2

2b

a a

b +≤(当且仅当b a =时取“=”)

2. (1)若*

,R b a ∈,则

ab b a ≥+2

(2)若*

,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”

) (3)若*

,R b a ∈,则2

2⎪

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”

) 3.若0x >,则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”

);若0x <,则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) ; 若0x

≠,则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

) 4.若0>ab ,则

2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”

)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2

)2(2

22b a b a +≤

+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所

谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.

应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2

+12x 2

(2)y =x +1

x

技巧一:凑项 例2:已知5

4x <,求函数14245

y x x =-+-的最大值.

技巧二:凑系数 例3. 当时,求(82)y x x =-的最大值.

变式:设2

3

0<

技巧三: 分离 例4. 求2710

(1)1x x y x x ++=

>-+的值域. 技巧四:换元 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域. 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a

f x x x

=+

的单调性。

例5:求函数2

y =

的值域.

练习.1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

(1)231

,(0)x x y x x ++=> (2)12,33

y x x x =+>- (3)

12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2.已知01x <<,求函数y =.;3.2

03

x <<

,求函数y =值.

条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .

变式:若44log log 2x y +=,求11

x y

+的最小值.并求x,y 的值

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。

2:已知0,0x y >>,且19

1x y

+=,求x y +的最小值。

变式:(1)若+

∈R y x ,且12=+y x ,求y

x

11+的最小值

( 2 ) 已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ,求y x +的最小值

技巧七、已知x ,y 为正实数,且x 2

+y 2

2 =1,求x 1+y 2 的最大值.

技巧八:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1

ab

的最小值.

变式:1.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x ,y 为正实数,3x +2y =10,求函数W =3x +2y 的最值.

变式: 求函数15

()2

2

y x =<<的最大值。

应用二:利用均值不等式证明不等式

1.已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2

2

2

2. 正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc

例6:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

应用三:均值不等式与恒成立问题

例7:已知0,0x y >>且19

1x y

+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例8:若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=

⋅=>>,

则R Q P ,,的大小关系是 .

均值不等式的应用

一.均值不等式

1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22

2

≥+ (2)若R b a ∈,,则2

2

2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)

2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2

(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”)

(3)若*

,R b a ∈,则2

2⎪

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) ; 若0x ≠,则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”)

若0ab ≠,则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

) 5.若R b a ∈,,则2

)2(2

22b a b a +≤

+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,

可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的

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