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高一数学3月月考试题 (2)

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2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省昭通市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终xOy αO x 边过点，则的值为（ ）()4,3P tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．1D ．77-17-【答案】D【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.tan α【详解】由终边过点，可得，()4,3P 3tan 4α=所以.3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--故选：D2．在中，，为边的中点，则（ ）ABC ()310AE AB AC=+D BC A ．B ．C ．D ．37AE ED = 73AE ED = 23AE ED = 32AE ED = 【答案】C【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.2AB AC AD += 35AE AD=【详解】因为为边的中点，所以，D BC 2AB AC AD +=因为，所以，()310AE AB AC=+35AE AD = 则．23AE ED = 故选：C 3．设(为虚数单位），其中是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i ,xy i x y +A ．5B C ．D ．2【答案】A 【详解】由，得，()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++∴，解得，∴．故选A ．63325x x y +=⎧⎨-=+⎩34x y =-⎧⎨=⎩i 34i 5x y +=-+=4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速0lnMv v m =()m/s v ()0m/s v 度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.()kg m ()kg M Mm 已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷40018流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相23900m/s 对速度为（ ）（参考数据：，）ln 20.7≈ln 5 1.6≈A ．B ．C ．D ．1200m/s 1500m/s1800m/s2100m/s【答案】C【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，0v v 则，00ln400219001ln 40038v v v v =⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩故()()09002700552ln 5ln 232ln 54ln 2ln 50ln 4003v ==+-+-，27002700180)0(4ln 57ln 24 1.670.7m/s =≈=-⨯-⨯故选：C.5．已知集合，，则（ ）2{|log (5)}M x y x ==-1|,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭M N ⋃=A ．B ．，C ．，D ．(,5)-∞[2)∞+[25)(5,)+∞【答案】B【分析】化简集合，，然后进行并集的运算即可．M N 【详解】由有意义可得，得，所以，2log (5)y x =-50x ->5x >{}|5M x x =>由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，0x >12y x x =+≥=1x ={|2}N y y = ，．[2M N ∴⋃=)∞+故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的定义域，基本不等式，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．y x =sin y x=3y x =-12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误y x =B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.sin y x =C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.3y x =-D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值3()f x ax cx d =++非整数值时，取值精确到0.01．x3.27 1.570.61-0.59-0.260.420.35-0.56-0y101.63-10.04-0.270.260.210.200.22-0.03-0下列关于函数的叙述不正确的是（ ）A ．为奇函数B ．在上没有零点()f x ()f x ()f x [0.55,0.6]C ．在上单调递减D ．()f x (,0.35]-∞-a<0【答案】B【分析】根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后(0)0f d ==结合各函数值得变化趋势，确定的正负．a 【详解】由，则，故，(0)0f =0d =3()f x ax cx =+所以且定义域为R ，故为奇函数，A 正确；3()()f x ax cx f x -=--=-()f x 又，，(0.56)0.030f =>(0.59)0.260f =-<所以在上必有零点，B 错误；()f x [0.56,0.59]根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D 正确，0.35x >x a<0所以在上单调递减，C 正确．(,0.35]-∞-故选：B ．8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的是（ ）A ．函数的最小正周期为()f x 2πB ．函数的最大值为2()f x C ．函数在上单调递增()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为()f x 12π()sin 2g x x=【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A 和B ，()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos 2sin 2cos 22cos 2322x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，的最大值为1，故A 错误，B 错误，()f x 22ππ=()f x 对于C ，当时，，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C 正确；sin y x =,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为()f x 12π，故D 不正确，πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d+>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc>0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的()()2cos 20f x x x ωωω=+>2π()f x 图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）x 3π()g x A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,04π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．是奇函数D ．在区间上的值域为()g x ()g x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,2【答案】AB【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，2π即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后ω()g x 根据余弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以()()2cos 20f x x x ωωω=+>，因为函数的()12cos 22sin 226f x x x x πωωω⎫⎛⎫=2+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()()2cos 20f x x x ωωω=+>零点依次构成一个公差为的等差数列，2π，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，∴12222ππω⋅=1ω∴=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x x 3π得到，即，所以为偶函数，故2sin 22cos 236()2sin 22g xx x x πππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()2cos 2g x x =-()g x C 错误；对于A ：当时，因为在上单调递减，所以在上,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos y x =,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；对于B ：，故是的一个对称中心，故B 正确；2cos 22cos 0442g πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 对于D ：因为，所以，所以，所以，故D 错误；2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]1,2g x ∈-故选：AB11．已知，，，则（ ）0a >0b >21a b +=A ．B ．CD54a b +<1a b ->-12b ≤≥【答案】BCD【分析】先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证,a b 明判断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；2,100a b b =>>-01b <<01a <<A ．因为，取等号时满足，故A 错误；221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭31,42a b ==B ．因为，故B 正确；22215151112424a b b bb ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．因为，取等号时C 正确；12b ==≤1,2a b ==D ．因为，只需证，20b -<≥()2132a b ≤-()232a b ≤-即证，即证，即证，()()22312b b -≤-24410bb -+≥()2210b -≥显然成立，且时取等号，故D 正确；()2210b -≥31,42a b ==故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设，然后分析形如的式子的2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭sin cos a b θθ--几何意义去进行求解并判断.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()f x 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．若，则__________．π2sin()45α-=-cos()4πα+=【答案】##-0.425-【分析】根据诱导公式进行求解.【详解】.ππππ2cos sin sin 42445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.25-14．函数的图象经过函数的图象在轴右边的第一个对称点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭tan y x =y 则______.ϕ=【答案】34π【分析】根据过点，代值即可求得参数.()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】由题可知，过点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故可得，解得，sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4k k Zπϕπ+=∈解得；又因为，,4k k Zπϕπ=-∈()0,ϕπ∈故可得.34πϕ=故答案为：.34π【点睛】本题考查正切函数的对称点，以及由正弦型函数过一点求参数值，属综合基础题.15．若，则___________．sin cos 1sin cos 2αααα+=-tan 2α【答案】34【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求cos αtan α出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．tan α【详解】解：sin cos 1sin cos 2αααα+=-，∴sin 11cos sin 21cos αααα+=-即，tan 1tan 112αα-+=tan 3α∴=-22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--故答案为：34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．16．如图，设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且ABC cos cos sin a C c A b B +=若点D 是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时，.6CAB π∠=ABC 2DC =3DA =____．sin D =【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．2sin()sin sin 1.2A C B B B π+=⇒=∴=由余弦定理可得AC 2=13﹣12cosD ，由△ABC 为直角三角形，可求，,2ABC S AC S △BDC =3sinD ，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为C 值.()+3sinD D D φ=-详解： ，由正弦定理得到cosC cos sin a c A b B +=2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC 的面积为21312cos AC D =-212AC AC AC D ==()+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，sin()1,sin cos D D φφ-====点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．四、解答题17．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测A B C P αβγ得，，，，，.计划沿直线开通一条穿山15α=45β= 30γ=5km 2AD =1km2EB =1km BC =AC隧道，试求出隧道的长度.DE【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得PBC 12sin15PB =PAB的长度3AB =+DE 【详解】在中，，，.PBC 30C γ∠==15CPB βγ∠=-= 1BC =由正弦定理，sin sin BC PBCPB C =∠∠即，所以.1sin15sin30PB=12sin15PB = 在中，因为，，PAB 15A α∠==45ABP β∠== 所以.180120APB A ABP ∠=-∠-∠=由正弦定理，sin sin BP ABA APB =∠∠所以，2sin1202sin 15AB =3==+所以DE AB AD EB =--51322=+-=所以隧道的长度为.DE 18．已知函数的部分图像如图所示.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数的解析式，并写出的单调减区间；()f x ()f x （Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.ABC ∆,,A B C A 14,cos sin 21225A f B Cπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ()sin(26f x x =+π2π[π,π],.63k k k ++∈Z 【详解】试题分析：（1）根据函数的图象确定得到π()sin(26f x x =+结合图象可得的单调递减区间为π2π[π,π],.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知,1sin 2A =根据角为锐角,得到.A π6A =进一步应用三角函数诱导公式、同角公式、两角和差的三角函数公式即可得解.（1）由周期得 12πππ,2362T =-=2ππ,T ω==所以当时，，可得π6x =πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为所以故 π,2ϕ<π.6ϕ=π()sin(26f x x =+由图象可得的单调递减区间为π2π[π,π.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知，, 即,ππsin(2()12126A -+=1sin 2A =又角为锐角,∴.A π6A =，.0πB <<.【解析】三角函数式的图象和性质，三角函数的同角公式、诱导公式、两角和差的三角函数公式.19．的内角的对边分别为，，.ABC ,,A B C ,,a b c 2a b =1cos 3C =(1)求；tan B(2)为边上一点，，的面积.M AB 2AM MB =CM =ABC【答案】(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合由两角和的正弦公式展开，将sin sin()A B C =+代入，由即可求解；1cos 3C =sin tan cos BB B =（2）由同角三角函数基本关系求出，的值，再由正弦定理结合可得，sin B cos B 2ab =c =在中由余弦定理得的值，进而可得的值，再由三角形面积公式即可求解.CMB a b 【详解】（1）因为，由正弦定理化边为角可得：，2a b =sin 2sin A B =因为，所以sin sin()A B C =+sin()2sin sin cos cos sin B C B B C B C+==+由，得1cos C 3=sin C==所以，即12sin sin 3B B B=sintan cos B B B ==（2）由，可得，22sin tan cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩sin B =cos B =在中，由正弦定理得，且ABCsin sin c bC B ==2a b=所以，sin sin b C c B ===在中，由余弦定理得：，CMB 2222cos 59MB BCMB BC B CM +-⋅==，222112cos 5933c a c a B CM ⎛⎫+-⨯⋅⋅== ⎪⎝⎭所以，22259a a ⎫+-⋅=⎪⎪⎭所以，可得25959108a =a =b =11sin 22ABC S ab C ==⨯= 20．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C △△a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得b sin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c a c a B化简整理为，解得22230--=c c 1=+c所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=21．已知函数.()sin 2+sin(2)3f x x x π=-(1)求的最大值及相应的值；()f x x (2)设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，g()()4x f x π=,,P M N ()y gx =求的值.cos MPN ∠【答案】(1)；1,Z12x k k ππ=+∈【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.PM MN PN ===MPN △【详解】（1）解：由题意，函数()1sin2sin22f x x x x =+-，1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数的最大值为，此时，即.()f x ()max 1f x =2232x k πππ+=+,Z12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数 ，()sin 243g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭过作轴于，D MD x ⊥D因为 所以，可得，1PD DM ==90PMN ∠=PM MN PN ==在直角中，可得MPN △cos PM MPN PN ∠===22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝，求cos C 的值；52(2)若sin A cos 2＋sin B ·cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．2B 2A 92【答案】(1) (2) a ＝3，b ＝3.15-【详解】( (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝.由余弦定理得cos C ＝＝＝－.(2)由sin A cos 2＋sin B cos 2＝2sin C ，可得sin A ·＋sin B ·＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝ab sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。

重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)

重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】先解出集合B ，再直接计算交集.【详解】因为{}11A x x =-≤≤，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<≤．故选：B ．2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．【解析】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．已知()lg ,0,0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且(0)2,(1)4f f =-=，则((2))f f -=A ．-1B ．2C ．3D ．-3【答案】A【详解】∵(),0,0x lgx x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且且()()02,14f f =-=，()0102(1)4f a b f a b -⎧+∴⎨-+⎩＝＝＝＝ ，解得113a b ，，== ∴(),011,03x lgx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，2121102101013f f f f lg -∴-=+=-==-=-（）（），（（））（）．故选A ．4．设2334a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b<c<a B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】A【解析】由幂函数23y x =的单调性，求得a c >，又由指数函数2()3xy =的单调性，求得c b >，即可得到答案.【详解】由幂函数23y x =在(0,)+∞为单调递增函数，因为3243>，所以23233()2()34>，即a c >，又由指数函数2()3x y =为单调递减函数，因为3243>，所以23342()2()33>，即c b >，综上可知，实数,,a b c 的大小关系为b<c<a ，故选A.【点睛】本题主要考查了指数式的比较大小问题，其中解答中熟练应用指数函数和幂函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．函数()11x x e f x e +=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由()f x 的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象. 【详解】由()12111x x x e f x e e +==+--知：1y =为()f x 的一条渐近线，可排除A 、B ； 11)1)((1x x x x e e f x e f e x --++=--=---=且定义域为0x ≠，则()f x 为奇函数，可排除C.故选：D.6．已知π(0,)2α∈，π2cos()33α+=-，则cos α=（ ）A B C D 【答案】B【分析】由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，求得πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由πcos cos 33παα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求得结果．【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 3α⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以ππππππcos cos cos cos sin sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132=-⨯=． 故选：B ．7．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,周期23T ππω=≥,解得:6ω≤,令322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈可得115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈，由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤，分析即得解【详解】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,0ω>∴ 周期22()233T ππππω=≥⨯-=,解得: 6ω≤又函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足:322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈ 解得：115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈ 由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤即356,442k k ωω≥+≤+又06ω<≤，故0k = ∴则ω的取值范围是:3425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B8．已知函数()10,0 lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，函数()()()()24g x f x f x t t R =-+∈，若函数()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4C ．[){}3,4lg5⋃D ．(]3,4-【答案】A【分析】做出()f x 的图象，判断()f x m =的根的情况，根据()0g x =的根的个数判断240m m t -+=的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.【详解】解：作出函数()10,0lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图，令()f x m =，则()0g x =化为240m m t -+=， 由图象可知当m 1≥时，()f x m =有两解，∵()g x 有四个零点，∴240m m t -+=在[1，＋∞）有两个不等实数根，∴2164021140t m t ∆=->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得34t ≤<， ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选：A.【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x x =结论错误的是（ ）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=0 【答案】A【解析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断B ，C ，D 是否正确，而选项A ，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可． 【详解】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+， 则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ； 再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x ，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[，B 正确，排除B ；故选：A ．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【答案】A【解析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t . 【详解】06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-， 由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-.11．如图，设A ，B 两点在河的两岸，测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为（ ）A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m 【答案】A【分析】求出角B 后，根据正弦定理可解得结果. 【详解】1804510530B ∠=--=， 由正弦定理得sin sin AB ACACB B=∠∠，∴250sin 25021sin 2AC ACBAB B⨯⋅∠===∠，故A ，B 两点的距离为502m . 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.12．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +【答案】A【解析】把向量AE 分解到,AB AD 方向，求出分解向量的长度即可得答案 【详解】设BE m =，则22AE BF BE m ===， 在Rt ABE ∆中，可得5AB m =．如图，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则222555m EH m m ==，且//EH AD ，则222545(2)55AH m m m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以45AH AB =，25HE AD =．所以42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+．故选：A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及勾股定理。

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

湖北省普通高中高一下学期三月份月考数学试题含答案

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湖北省普通高中高一下学期三月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对 2.已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88 D.0.953.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解 4.已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定5.已知数列1234,,,,2345，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.237.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则 sin α＝( )．A.3365B.6365 C ．－3365D.－63658.函数2sin()cos()()36y x x x ππ=--+∈R 的最小值等于( )A.3-B.2-C.5-D.1- 9.化简cos 20cos351sin 20=-( )A.1B.2C.2D.310.在数列{}n a 中，()()111,1223nn n a a a n -==-≥，则5a 等于（ ）A. 163-B. 163C. 83-D. 83二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11. 已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 。

高中数学：2023年北京市北师大二附中高一下学期3月月考数学试卷(含参考答案)

高中数学：2023年北京市北师大二附中高一下学期3月月考数学试卷(含参考答案)

2023年北京市北师大二附中高一3月月考数学试卷一､选择题（共12小题，每题5分共60分）1. 化简sin 600︒的值是（ ）A. 12B. 12-C.2D. 2. 已知()3,4P -是角α的终边上的点，则sin α=（ ） A.45B. 35C. 35-D. 43-3. 已知角5α=，则α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角4. 若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A.125 B. 125-C.512D. 512-5. 已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当π9x =时函数取得最大值2，当4π9x =时函数取得最小值2- ）．A. π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；B. π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；C. π2sin 36x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭； D. π2sin 36x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin y x =的图象（ ） A. 把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π个单位B. 把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移3π个单位 C. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位 D. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位 7. 已知扇形的圆心角为2π3） A.5π4B. π8. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合终边在直线2x －y ＝0上，则()()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（ ） A. ﹣2B. 2C. 0D. 239. 函数2cos sin y x x =+的最大值为（ ）． A. 2B.54C. 1D. 010. 已知函数π()sin(2)6f x x =-则下列四个结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称 B. 函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 C. 函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点 D. 函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增11. 若函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移3π个单位后，所得图象关于原点对称，则ω的最小值为（ ） A.14B.34C.74D.9412. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A. ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C. 2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D. ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦二､填空题（共6小题，每题5分，共30分）13. cos40cos20sin40sin20-的值等于__________. 14. 若角πα+终边上一点坐标为()5,12-，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭________. 15. 已知tan 3,αα=是第三象限角，则2cos sin αα-的值为__________. 16. 若点()cos ,sin Pθθ与点ππcos ,sin 33Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于直线y x =-对称，写出一个符合题意的θ值为__________.17. 如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图.O 为观览车的轮轴中心，点O 距离地面的高度为32m ，观览车转轮的半径为30m ，其逆时针旋转的角速度为1rad /s .点0P 表示观览车上某座椅的初始位置，且0π6xOP ∠=，此时座椅距地面的高度为__________m ；当转轮逆时针转动s t 后，点0P 到达点P 的位置，则点P 的纵坐标y 与时间t （单位：s ）的函数关系为__________()0t ≥.18. 已知函数()cos(2)6f x x π=-，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得1()f x +2()0f x =，则m n -的最小值为__. 三､解答题（共4小题；共60分）19. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且4AOP π∠=，点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点()Q a b ，（1）当6πθ=时，求ab 的值；（2）设42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求b a -的取值范围．21. 已知函数()πsin (0,0)6f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图像可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎭的图像平移得到；③函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件的序号，并求出()f x 的解析式. （2）求()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间. （3）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和.22. 已知函数()cos2f x x x =+.（1）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()008ππ,,542f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （3）若函数()y f x ω=在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．附：参考答案一､选择题1. D2. A3. D4. D5. B6. A7. B8. B9. B10. C11. B12. C二､填空题13. 12或0.514.5 1316. 7π12（答案不唯一）17. ①47②π30sin6 y t⎛⎫=+⎪⎝⎭18.3π三､解答题19. （Ⅱ）4 5（Ⅱ）5665-或166520. (1)14 ab=(2) 1⎡⎣21. （1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）2π322. （1）最大值是2，最小值是1-（2； （3）1353ω≤≤。

高一数学必修3第二次月考试题

高一数学必修3第二次月考试题

第二次月考试题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是()①已知三角形三边长，求三角形的面积；②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根；③求三个实数a，b，c中的最大者；④求1＋2＋3＋…＋100的值．A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]C[解析]②③解决时用到条件结构，①用到顺序结构，④可用公式S n＝100×(1＋100)2直接求得．2．一个样本容量为20的样本数据，分组后，组距和频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2，则样本在区间(8,50]上的频率是()A．0.5 B．0.25C．0.05 D．0.7[答案]D[解析]2＋3＋4＋520＝0.7.3．从2 008名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 008人中剔除8人，剩下的2 000人中再按分层抽样的方法抽取50人，则在2 008人中，每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502 008D．都相等，且为140[答案]C4．下列有四种说法：①概率就是频率；②“我国乒乓健儿将在2012年的伦敦奥运会上囊括四枚金牌”是必然事件；③某厂产品的次品率为3%，是指“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品”；④从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明这批灯泡中次品的概率为115.其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A5．若程序框图如图所示，则循环体执行的次数是()A ．99B ．100C ．101D ．102 [答案] C[解析] 主要分析最后一项i ＝0时，仍然循环，所以循环101次． 6．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数．设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现2点”，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为( )A .112 B .13 C .23 D .712[答案] C[解析] A 与B 为互斥事件，P ＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23. 7．把十进制数15化为二进制数为( )A．1 011 B．1 001(2)C．1 111(2)D．1 101[答案]C[解析]由除k取余法可得15＝1 111(2)．8．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．()A．21.5.23 B．20,24C．24,23 D．23,24[答案]C9．如图，在地面上放置一个塑料圆盘，且盘上A区域所对应弧长是B区域弧长的一半，甲将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域的概率应为()A .12B .18C .13D ．1[答案] C[解析] 因A 区域所对弧长为B 区域弧长的一半，则A 区域的面积是B 区域面积的一半，所以玻璃球落在A 区域的概率为13.10．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )A .120B .115 C .15 D .16[答案] C[解析] 如图，在三棱锥S －ABC 中，任选两条棱，所有选法有：(SA ，SB)，(SA ，SC)，(SA ，AC)，(SA ，AB)，(SA ，BC)，(SB ，SC)，(SB ，AC)，(SB ，AB)，(SB ，BC)，(SC ，AC)，(SC ，AB)，(SC ，BC)，(AB ，AC)，(AB ，BC)，(AC ，BC)共15种．其中异面直线的有：(SA ，BC)，(SC ，AB)，(SB ，AC)共3种． ∴P ＝315＝15.11．已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.3的范围是( ) A ．5.5～7.5 B ．7.5～9.5 C ．9.5～11.5 D ．11.5～13.5[答案] B[解析] 在7.5～9.5内的值为8、9，频率为6，所以频率为620＝0.312．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女生育两胎均是女孩的概率是( )A .12B .13C .14D .15 [答案] C[解析] 事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)；故两胎均为女孩的概率为14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如下图，为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg )，得到频率分布直方图如下图所示．据图可得这100名学生中体重在[58.5,74.5)的学生人数是________．[答案] 89[解析] 体重在[58.5,74.5)的学生概率为P ＝1－(0.01＋0.015＋0.03)×2＝0.89. 0.89×100＝89.14．某校共有2 500名学生，其中男生1 300名，女生1 200名，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取________名．[答案] 104[解析] 200×1 3002 500＝104(名)．15．某人午睡觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于6分钟的概率是________．[答案] 110[解析] 整点报时的间隔为60分钟，等待的时间不多于6分钟，应当在第54分钟后醒来，即P ＝660＝110.16．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：[答案]0.25[解析]设年降水量在[200,300]、[200,250)、[250,300]的事件分别为A、B、C，则A＝B∪C，且B、C为互斥事件，∴P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1个球，有放回地抽取3次．求(1)所取3个球全是红球的概率；(2)所取3个球颜色全相同的概率；(3)所取3个球颜色不全相同的概率．[解析]基本事件有：(红，红，红)，(红，红，黄)，(红，黄，黄)，(红，黄，红)，(黄，红，红)，(黄，红，黄)，(黄，黄，黄)，(黄，黄，红)共8个．每个基本事件的发生都是等可能的．(1)3个球全是红球只有(红，红，红)1个基本事件，故所求概率P(A)＝1 8.(2)3个球颜色全相同包含(红，红，红)，(黄，黄，黄)2个基本事件，故所求概率P(B)＝28＝14.(3)3个球颜色不全相同和3个球颜色全相同为对立事件，故所求概率P(C)＝1－P(B)＝1－14＝34(也可用直接法求解)． 18．(本小题满分12分)如图，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形．现有均匀的粒子散落在正方形中．问粒子落在中间带形区域的概率是多少？[解析] 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的， 所以符合几何概型的条件．设A ＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意，得 正方形的面积为25×25＝625，两个等腰直角三角形的面积为2×12×23×23＝529， 带形区域的面积为625－529＝96，∴P(A)＝96625.19．(本小题满分12分)为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：(1)(2)求甲、乙二人这6次测试最大速度的标准差，并说明谁参加这项重大比赛更合适．[解析] (1)X 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33， X 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33. (2)s 甲＝473＝1413，s 乙＝383＝1143，X 甲＝X 乙，s 甲>s 乙．所以乙的成绩更稳定，乙参加更合适．20．(2012·广东高考卷)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． (1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.(2)平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(3)数学成绩在[50,90)内的人数为(0.005＋12×0.04＋43×0.03＋54×0.02)×10×100＝90人，数学成绩在[50,90)外的人数为100－90＝10人．21．(本小题满分12分)某学校在2010年的招聘教师考试合格的成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.率分布直方图；(2)为了能选拔出最优秀的老师，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名考生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定在6名考生中随机抽取2名考生接受校长面试，求：第4组至少有一名考生被校长面试的概率？[解析](1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为30100＝0.300，频率分布直方图如下：(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1.则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，9种可能．∴P ＝35.22．(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．[解析] (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)． (3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁有3名(记为A 1，A 2，A 3)，5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”．则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3.故所求概率为P(A)＝610＝35.。

2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________.（用角度制表示）2023︒【答案】223︒【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.【详解】由，20233605223=⨯+︒︒︒得与角终边相同的最小正角为.2023︒223︒故答案为：.223︒2．半径为7的扇形弧长为，则扇形所对圆心角的弧度数为__________.π【答案】##π71π7【分析】由题意可得弧长,则由弧长公式即可得.π,7l R ==l R α=【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，由题意，αR l π,7l R ==由弧长公式得，所以.π7α=π7α=故答案为：.π73．设向量，且，则实数的值是__________.()(),1,4,2a n b ==-- a b ⊥ n 【答案】##12-0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，，()(),1,4,2a n b ==--a b ⊥ 得，解得.420a b n ⋅=--=12n =-故答案为：.12-4．若角的终边过点，则__________.α()1,2-πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.cos α【详解】角的终边过点，α(1,2)-由三角函数的定义得cos α==由诱导公式得ππsin sin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.,a b θπ2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦a b +【答案】⎡⎣【分析】根据.a +【详解】a b +=== 因为，所以，所以，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]22cos 1,3θ+∈所以.a b ⎡+∈⎣故答案为：.⎡⎣6．方程在区间上的解集为__________.sin 1cos2x x =-[]0,2π【答案】或或或或{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以2cos212sin αα=-sin 1cos2x x =-22sin sin 0x x -=，，又，从而求出结果.sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈【详解】由，得到，即，sin 1cos2x x =-2sin 1(12sin )x x =--22sin sin 0x x -=解得或，又，,sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈当时，或或，sin 0x =0x =πx =2πx =当时，或，所以或或或或，1sin 2x =π6x =5π6x =0x =π6x =5π6x =πx =2πx =故答案为：或或或或.{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =7．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.60,5,B AC BC a =︒==ABC a【答案】(]0,5⋃【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.a A =ABC 【详解】由，得，sin sin BC AC A B=sin sin AC A a AB ⋅==又，所以，π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则当时，三角形只有一个解，ππ0,32A ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭此时，{}sin 1A ⎛∈⋃ ⎝所以.(]0,5a ∈⋃故答案为：.(]0,5⋃8．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．a b 3a = 6b = 2a b - a 【答案】3【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.26a b -= 1cos 2,2a b a -=【详解】因为向量与的夹角为60°，，，a b 3a = 6b = 所以1cos 603692a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=26a === ，()2222991cos 2,6318182a b aa b a a b a -⋅-⋅⨯--====⨯则在方向上的数量投影为.2a b -a 12cos 2,632ab a b a -⨯-=⨯= 故答案为：3.9．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()()1122,,,A x y B x y αβ､1221x y x y =的最大值为__________.121222x x y y -+-【答案】【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ1221x y x y =πβα-=化简，即可求解.1212π22in(4x x y y α-+-+=【详解】令，且，且，[)11cos (0,2πsin x y ααα=⎧∈⎨=⎩[)22cos (0,2πsin x y βββ=⎧∈⎨=⎩βα>所以，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ因为，可得，可得，1221x y x y =cos sin cos sin αββα=sin()0βα-=又因为，所以，即αβ≠πβα-=πβα=+所以12122cos cos 22sin sin 2x x y y αβαβ=-+--+-，π2cos cos 2sin sin 3cos 3sin 4ααααααα=+++=+=+所以的最大值为121222x xy y -+-故答案为：10．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，ABCD 2,60AB ABC ︒=∠=AC BD ，O E AC 若，则的最小值为___________72AB BO ⋅=- BE DE ⋅ 【答案】194-【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用3BA BC ⋅= 3BC = (),01AE t AC t =≤≤ 向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次,BA BC ,BE DE 2773BE DE t t ⋅=--01t ≤≤函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由，知，即，72AB BO ⋅=- 72BA BO ⋅= ()1722BA BA BC ⋅+=所以，得，则，即.27BA BA BC +⋅= 3BA BC ⋅= cos 603BA BC ⋅︒= 3BC = 设，则，得，(),01AE t AC t =≤≤ ()BE BA t BC BA -=- ()1BE t BA tBC=-+ ，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC=-=-+-+=-+- ()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭01t ≤≤12t =BE DE ⋅ 值为.194-故答案为：.194-【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函,BA BC,BE DE 数的最值问题，突破难点.11．已知函数，若存在实数满足[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩k ()()f a f b ==互不相等，则的取值范围是__________.()()(,,f c f d k a b c d==,)+++a b c d 【答案】{}15(7,)62⋃【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.()()f a f b ==()()f c f d k==【详解】函数的图象如下图所示：[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩存在实数满足互不相等，不妨设，则由[0,1)k ∈()()f a f b ==()()(,,f c f d k a b c d==,)a b c d <<<图可知关于对称，所以；,a b 12x =1a b +=当时，，，则，此时；0k =2c =3d =5c d +=6a b c d +++=当时，因为解得或，故而，，且由图可得01k <<2log (2)1x -=52x =4x =532c <<34d <<，即，可得，22log (2)log (2)c d --=-122d c =--122d c =+-所以122c d c c +=++-1242c c =-++-设，则，在上单调递减，所以，所以2t c =-1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14c d t t +=++1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13(6,2c d +∈，综上所述；15(7,)2a b c d +++∈{}15(7,)62a b c d +++∈⋃故答案为：.{}15(7,)62a b c d +++∈⋃12．为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问2222cos a ab C b c -+=题：若三个正实数，满足，，，则,,x y z 2225x xy y ++=2236y yz z ++=2249z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC A B C a b c ABC O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐOA x =OB y =OC z =ABC 由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ABC AOBBOCAOCS SSS=++△△△△xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC A B C a b c 在内取点，使得，ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 25c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=5c ∴=，∴，222222cos 36a y z yz BOC y yz z =+-∠=++=6a =，∴，222222cos 49b z x zx AOC z zx x =+-∠=++=7b =则，2225cos 27a b c ACB ab +-∠==则，所以π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭sin ACB ∠==由，ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 得，112π12π12πsin sin sin sin2232323ab ACB xy yz zx ∠=++即，所以.)xy yz xz =++xy yz xz ++=故答案为：【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键.ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ二、单选题13．在中， “”是“”的 ABC A B <sinA sinB <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则ABC A B < a b <由正弦定理可得，，2sin a R A =2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，充分性成立sinA sinB ∴<，sinA sinB < 由正弦定理可得，2asinA R =2b sinB R =，则22a b R R ∴<a b<三角形中大边对大角，则，必要性也成立A B <故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．已知，下列命題中错误的是（ ）()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于直线对称；()y f x =π3x =-B ．函数在上为严格增函数；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数的图象关于点对称；()y f x =5π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数在上的值域是.()y f x =4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A ，因为为最小值，πsin 312πf -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图象关于直线对称，故A 正确；()y f x =π3x =-对于B ，因为，所以，ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ,23212x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以函数在上为严格增函数，故B 正确；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦对于C ，因为，5ππsin 132f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以点不是函数的对称中心，故C 错误；5π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1πππ,236x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，故D 正确.()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：C.15．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则的2(0,0)OA mOB nOC m n =+>> 21m n +最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．4【答案】C【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.21m n +=【详解】因为A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，2(0,0)OA mOB nOC m n =+>>所以21m n +=21214(2)448n m m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立．4=n m m n 11,24m n ==故选：C【点睛】（1）A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则有；OA OB OC λμ=+=1λμ+（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β使得，则的最小值为（ ）()()0f f αβ+=m A ．B ．C ．D ．3π25π6π7π6【答案】D【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，ππ5,62ε⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()[f α∈π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β使得，又由，得到，即可求解.()f β∈π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ6m -≥【详解】由函数，因为，可得，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ5,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π,6ππ3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦-所以函数，即，()[f x ∈()[f α∈又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β()()0f f αβ+=即在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β()f β∈因为，则，π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πππ,636m β⎛⎤-∈- ⎝⎦结合三角函数的性质，可得，解得，ππ6m -≥7π6m ≥所以实数的最小值为.m 7π6故选：D.三、解答题17．已知锐角内角的对应边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos220A A +=(1)求的值；A ∠(2)若，求面积的最大值.a =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.12bc ≤【详解】（1）因为，所以，cos 220A A +=22sin 30A A -+=解得，sin A =sin A =又为锐角三角形，所以.ABC π3A =（2）在中，由余弦定理可得，即，ABC 2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-（当且仅当时取等号），，22122bc b c bc ∴+=+≥b c =12bc ∴≤的面积为ABC 11sin 1222bc A ≤⨯=，故当为等边三角形时，有最大面积为π3A =ABC 18．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n==-=⋅ (1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦x【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 13π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x =()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为；()f x 2ππ2T ==由，解得：，，π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为.π2π4x +=3π8x =()f x 119．已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，π3记，矩形的面积为.COB θ∠=ABCD S(1)当时，求矩形的面积的值.π6θ=ABCD S (2)求关于角的解析式，并求的最大值.S θS【答案】(1)S =(2)；时，ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6θ=max S =【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，sin BC α=cosAB αα=S θ代入求值；π6θ=（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.S 【详解】（1）在中，，，在中，Rt OBC △cos OB θ=sin BC θ=Rt OAD △tan 60DAOA =︒=∴，∴，OA BC θ===cos AB OB OA θθ=-=∴2cos sin sin cos AB BC Sθθθθθθ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭=1sin 2cos2)2θθ=-1sin 222θθ=.12cos 22θθ⎫=+⎪⎪⎭ππ2063θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，π6θ=ππ266S ⎛⎫=+ ⎪⨯⎝⎭（2）由（1）知ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由得，所以当，即时，.π03θ<<ππ5π2666θ<+<ππ262θ+=π6θ=max S ==20．已知函数，且.()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；a ()y f x =(2)若，求的值域；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x =(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若n ()y f x =[]0,πn n 不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为9a =-()f x πT =(2)1,1316⎡--⎢⎣(3)存在正整数，理由见解析506n =【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a sin cos sin 2x x x、、π故得函数的最小正周期；()f x（2）根据，得到，设，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++πsin cos 4x x x t⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，转化为二次函数求解；t ⎡∈⎣（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y f x =得解.【详解】（1）函数，()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++∵，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，πππsin cos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-所以，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++因为的周期是都，sin cos sin 2x x x、、π又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.()f x πT =（2）若，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，则，πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣则，2sin22sin cos 1x x x t ==-所以，()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣所以其值域为；1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．506n =()0f x =[]0,πn 当时，．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则，2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+令，得或，24950t t -+=1t =54t ⎡=∈⎣此时，或或，其中π0,2x =00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭0π2x x =-0πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当时，．π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++设，则，(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+令，249130t t --+=解得或，1t =(134t =-∉故在没有实根．()f x π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上，在上有4个零点，()0f x =[)0,π又的最小正周期为，而，()f x πT =202545061=⨯+所以函数在有2025个零点．[]0,506π21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x(1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞(3)存在，.2,Z m k m T π=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数.()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即，2T π=()y f x =[)0,∞+()()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则，3[,2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pf x P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则，3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，……，22[,2)y P P ∈当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n ny P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nPP P P P P P -≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥所以当时，，且.[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2x f x kx=⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos T kx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有，cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21TT ⋅=±当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21TT ⋅=12T T =2xy =1y x =12T T =此时恒成立，则，即，()cos cos kx kT kx+=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m T π=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21TT ⋅=-12T T =-2xy =1y x =-12TT =-所以存在，符合题意，其中满足.2,Z m k m T π=∈T 21TT ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题

山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题

山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1M =-，{}21N y y x ==-，则MN =（ ）A ．0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知:tan p α=:3q πα=，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0.90.810.8,ln , 1.22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4．若非零向量,a b ，满足22||||3a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π5．函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．126．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a （ ） A ．3B ．3-C ．13-D ．137．若将函数g (x )图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则（ ）A ．g (x )＝sin (2)3x π+B ．g (x )＝sin 2(2)3x π+C ．g (x )＝sin2xD ．g (x )＝sin (2)6x π+8．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．7二、多选题 9．下列命题中，正确的是（ ） A ．若R k ∈，且0kb =，则0k =或0b = B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =C ．若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则()()0a b a b +⋅-= D ．若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅ 10．下列选项中正确的是（ ） A ．α∃，使得4sin 4sin αα+≥成立 B ．若a ，b 为正实数，则2b aa b +≥C ．当0a ≠，不等式12a a+≥恒成立D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 在()3,2--上为减函数 B ．()f x 的最大值是1 C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称D ．()f x 在()4,3--上()0f x <12．给出下面四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数()tan 2f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，且()f x 的最小正周期为2B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()f x 为偶函数C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数1()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知扇形的弧长为3cm ，周长为7cm ，则这个扇形的面积为______2cm ．14．已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ=，则αβ+=_____． 15．已知函数()y f x =是偶函数，当[]0,1x ∈时，1f x ，当1x >时，()12x f x -=，则()12f x -<的解集是______. 16．已知幂函数()223m m y x m N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________.四、解答题 17．已知4a =，3b =，()()24a b a b +⋅-=． (1)求a b ⋅； (2)求a b +．18．已知0απ<<，1sin cos 5αα+=．(1)求sin 2α的值； (2)求cos sin αα-的值．19．已知函数()()sin 20,2f x x πϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，______．请在①函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，①函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，①函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图象将向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？21．已知函数()sin cos cos 6f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)已知α，β为锐角，111,26421220f f βπαβπ+⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.22．己知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值： （2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】首先求集合N ，再求M N ⋂. 【详解】211y x =-≥-，即{}1N y y =≥-，{}1,0,1M =-，所以{}1,0,1M N ⋂=-. 故选：D 2．B 【解析】求出命题p 为真时α的取值，根据集合之间的关系可得结论． 【详解】tan α=3k παπ=+，k Z ∈；而q 只有3πα=，因此p q ⇒为假，q p ⇒为真，①p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据指数函数的单调性可知，00.910.80.80=>>， 即0.8001,1.21.21a <<=>，即c ＞1，由对数函数的单调性可知1ln 02<，即0b <．所以c ＞a ＞b ． 故选：B ． 4．A【解析】 【分析】设向量a 与b 的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：设向量a 与b 的夹角为θ， ①22||||3a b =， 不妨设||3b m =，则22a m =， ①()(32)a b a b -⊥+， ①()(32)0a b a b -⋅+=， ①223||2||0a b a b --⋅=， 26a b m ∴⋅=，26cos ||||32a b m a b m θ⋅∴==⋅⋅，0θπ≤≤，①4πθ=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先求出定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解． 【详解】解：对于函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ． 6．B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可． 【详解】 解：()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e =-．若(ln 2)8f =，(ln 2)(ln 2)8f f ∴-=-=-，则ln 28a e --=-， 得ln 28a e -=， 得ln8ln2a =-， 即3ln2ln2a =-， 得3a -=，得3a =-， 故选：C ． 7．C 【解析】 【分析】由函数()f x 的部分图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再得出()g x 的解析式． 【详解】由函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的部分图象知，1A =，且35346124T πππ=-=， 解答T π=，所以22Tπω==； 又12x π=，()1f x =，sin(2)112πϕ⨯+=，所以262k ππϕπ+=+，k Z ∈；由||2ϕπ<知，3πϕ=；所以()sin(2)3f x x π=+；所以()()sin[2()]sin 2663g x f x x x πππ=-=-+=．故选：C ． 8．D 【解析】根据题意，判断函数()f x 的最小正周期为2；再由其奇偶性，得到()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像，即可得出结果.【详解】因为()()11f x f x =+-，所以()()2f x f x +=，因此函数()f x 的最小正周期为2； 又因为函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-=-， 即函数()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下，由图像可得，函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点，除1x =，其余两两关于直线1x =对称，因此关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为2317⨯+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查方程实数解的问题，根据数形结合的思想求解即可，属于常考题型.9．AC 【解析】 【分析】根据数乘运算的定义判断A ；根据a b ⊥时，0a b ⋅=判断B ；根据向量加减法的几何意义判断C ；根据a 与b 平行且反向时的结果判断D. 【详解】解：对于A 选项，根据数乘运算的定义，A 选项正确； 对于B 选项，当a b ⊥时，0a b ⋅=亦成立，B 选项错误；对于C 选项，若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则由向量加减法运算的几何意义得a b +与a b -是以非零向量a ，b 为邻边的菱形的对角线，故()()a b a b +⊥-，即()()0a b a b +⋅-=，故正确；对于D 选项，当a 与b 平行且反向时，a b a b ⋅=-⋅，故错误； 故选：AC 10．ABD 【解析】 【分析】A.D 可以代入特殊值，即可判断，BD 利用基本不等式即可判断. 【详解】A.当sin 1α=时，4sin 54sin αα+=≥成立，故A 正确.B.当a ，b 为正实数，2b a a b +≥=，当a b =时等号成立，故B 正确；C.当0a <时，10a a +<，所以不等式12a a+≥不恒成立，故C 错误；D.0,0x y >>()212142448yx x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y x x y =时，即122x y ==时等号成立，故D 正确. 故选：ABD 11．BCD 【解析】先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A 错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD 正确. 【详解】因为当[]2,3x ∈时，()[]121230,1f x x x x =--=-+=-∈，则函数()f x 在[]2,3x ∈上递减，又函数()f x 是偶函数，所以()f x 在()3,2--上为增函数；故A 错； 因为函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，则()()11f x f x -=-+，所以()()2=-+f x f x ，则()()()24f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x +=， 所以()f x 以4为周期；则()()()222f x f x f x +=-=-，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此当[]1,2x ∈时，()[]0,1f x ∈；当[]0,1x ∈时，[]22,3x +∈，则()212211f x x x x +=-+-=-=-，又()()2=-+f x f x ，所以()[]11,0f x x =-∈-；因为偶函数关于y 轴对称，所以当[]1,0x ∈-时，()[]1,0f x ∈-； 综上，当[]13,x ∈-时，()[]1,1f x ∈-；又()f x 是以4为周期的函数，所以x R ∀∈，()[]1,1f x ∈-，则()max 1f x =，故B 正确； 因为()()()222f x f x f x +=-=-+，函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x +=--，因此()()22f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线2x =-对称；即C 正确；因为()0,1x ∈时，()10f x x =-<显然恒成立，函数()f x 是以4为周期的函数， 所以()f x 在()4,3--上也满足()0f x <恒成立；故D 正确； 故选：BCD.思路点睛：求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 12．ABD 【解析】 【分析】()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππππ-≤-≤+，可判断D 正确. 【详解】因为()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以其是奇函数，最小正周期为22ππ= 故A 正确函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2， 当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数故B 正确()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调增区间故C 错误11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππππ-≤-≤+解得54433k x k ππππ-≤≤+，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故D 正确 故选：ABD 13．3 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.由题意可知，扇形的半径为732cm 2-=，因此，该扇形的面积为21323cm 2S =⨯⨯=. 故答案为：3. 14．23π 【解析】 【分析】将题目所给方程展开后，化简为()tan αβ+的形式，由此求得αβ+的大小. 【详解】将()()114αβ=展开得)()tan tan 31tan tan αβαβ+=-⋅，即()tan tantan 1tan tan αβαβαβ+=+=-⋅α，β为锐角，0παβ<+<，故2π3αβ+=.【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题. 15．()1,3- 【解析】 【分析】根据题意，画出()f x 的图象，数形结合，即可求得不等式的解集. 【详解】()f x 的图象如图所示.令122x -=，可得2x =，所以()22f =. 因为()12f x -<，所以()()12f x f -<.结合函数图象可得12x -<，解得13x . 故答案为：()1,3-. 16．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案. 【详解】 幂函数()223m m y xm N --*=∈在()0,∞+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<.*m N ∈，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去； 当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足； 当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减， 故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<. 故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭17．(1)6【解析】 【分析】（1）根据向量数乘运算的运算律求解即可； （2）结合根据向量模的运算公式求解即可. (1)解：①()()24a b a b +⋅-=①2224a a b b -⋅-=，2224a a b b -⋅-=①4a =，3b = ①(224234a b -⋅-⨯=，即6a b ⋅=(2)解：①4a =，3b =，6a b ⋅=，①()22222222242631a ba ab b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，①()231a b a b +=+=18．(1)2425- (2)75-【解析】 【分析】（1）由0απ<<，1sin cos 5αα+=，两边同时平方，可求出sin 2α的值；（2）由（1）知sin 2α的值，可判断α为第二象限角，再对cos sin αα-两边同时平方，可求出cos sin αα-的值. (1)()21sin cos 1sin 225ααα+=+=，所以24sin 225α=-.(2)()249cos sin 1sin 225ααα-=-=①0απ<<，sin 20α<，①α为第二象限角 7cos sin 5αα-=-.19．(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）不管选择条件，都是根据三角函数对称性，列式，结合ϕ的取值范围，求函数的解析式；（2）首先利用三角函数变换规律，求得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求6x π-的范围，即可求得函数的值域. (1)若选①，函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，则2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数sin 2126y f x x πϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象关于原点对称，则,6k k Z πϕπ-+=∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数()f x 在3x π=-取得最小值，则()sin 213f x πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22,32ππϕπ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭k k Z ，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)由题意可得函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以563,6x πππ⎛⎫⎡⎤-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以62ππ-=-x 时，()min sin 12g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 63x ππ-=时，()max sin3g x π==所以函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡-⎢⎣⎦．20．(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案. (1)当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+. 故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩ (2)当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29； 当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减， 所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元. 21．(1)2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式、二倍角公式、降幂公式化简即可得出()f x ，再由正弦型三角函数的单调性求解即可；（2）由（1）及同角三角函数的基本关系可求出β，αβ+的正余弦值，再由角的变换ααββ=+-求解即可.(1)()sin cos cos 6f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π11cos 211()cos )cos 2sin(2)24264x f x x x x x x +∴=+=+=++π， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)11111sin()cos 26224244f ⎛⎫+=++=+=+ ⎪⎝⎭βππββ, cos β∴=故可得sin β= 1111sin()2122420f +⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭αβπαβ3sin()sin 5∴+=<=αββ， 4cos()5∴+=-αβ[]cos cos ()cos()cos sin()sin ∴=+-=+++ααββαββαββ 4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 22．（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域； （3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++ 20x >，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+∈- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x <，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <； ①函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+ ，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。

浙江省嘉兴市第一中学高一下学期3月月考数学试题(含答案)

浙江省嘉兴市第一中学高一下学期3月月考数学试题(含答案)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！嘉兴一中高一第二学期阶段性测试数学一、选择题（本大题共l2小题，每小题3分，共36分）1．下列转化结果错误的是 （ ） A ． 0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．10012.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ ） A. βα> B. 0>+βα C. βα< D. 22βα> 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________15.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf16.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________. 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.18.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin > 其中正确命题的序号是________________________________ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值(2) 已知c os(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.22. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.O-226π1211πyx yP(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围.x嘉兴一中高一第二学期阶段性测试数学一、选择题（本大题共l2小题，每小题3分，共36分）1．下列转化结果错误的是 （ C ） A ． 0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ D ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ B ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ A ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ D ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( D ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ D ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ B ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ B ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( C )．A ．16B ．72C ．86D ．100 12.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ D ）A. βα>B. 0>+βαC. βα<D. 22βα>二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________()2sin(2)23f x x π=--14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________11015.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf 116.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________.2 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.1018.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________599605,66ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >其中正确命题的序号是________________________________③④ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 (2) 已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：（1）34-（2）-4 21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：（1）38 （2）1116 （3）233222. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数O-226π1211πyx yP)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q 是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.解：（1）56πϕ= （2）15A =23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.解：（2）3sin ,42()cos ,4x x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩（3）当21-12a a =-≤或<时，2a M π= 当2a =34a M π= 当22a <--1<时，a M π=（1）O 1-12π23π2π-ππ-yx24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解 换sin t x = 则2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π=故 (1,5)a ∈或12a =（2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8- 当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0k >时，2()g x 值域为1[,]2k k -②当0k <时，2()g x 值域为1[,]2k k -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则0101182k k k⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218k k k ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩∴10k ≥或20k ≤-。

山东省潍坊市部分学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

山东省潍坊市部分学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

山东省潍坊市部分学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a c b a c+-=，4ac =，则B A B C ⋅=u u u r u u u r （ ）AB ．C ．2D ．2-2．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是A ．众数是82B ．中位数是82C ．极差是30D ．平均数是823．在复平面内，复数()4i 1i +的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（ ）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π35．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，三棱锥1A ABD -的体积为11,3AC 与底面ABCD 所成角的）A ．10B ．12C ．14D ．186．在ABC V 中，AB AC =，若点O 为ABC V 的垂心，且满足14AO AB xAC =+u u u r u u u r u u u r ，则c o s BAC ∠的值为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为（ ）A ．1114B ．314C ．7384D ．678．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M =“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N =“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X =“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y =“甲、乙两人均未选择B 选项”，则（ ）A ．事件M 与事件N 相互独立B ．事件X 与事件Y 相互独立C ．事件M 与事件Y 相互独立D ．事件N 与事件Y 相互独立二、多选题9．有下列说法，其中正确的说法为（ ）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC V 是等腰三角形B ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则P 是三角形ABC 的垂心C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC V 为钝角三角形D ．若//a b r r ，则存在唯一实数λ使得a b λ=r r10．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ）A ．若//αβ，m α⊥，//m n ，则n β⊥B ．若//m α，//m β，n αβ=I ，则//m nC ．若//m α，//m n ，则//n αD ．若m α⊥，m β⊥，n ⊂α，则//n β11．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），则（ ）A ．//BE 平面ADFB ．直线BC 与平面BEDF 所成的角为60°C ．若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为D ．若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F ADP -的体积为定值43三、填空题12．已知三个复数1z ，2z ，3z ，且122z z ==，3z 1z ，2z 所对应的向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 满足120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r ；则312z z z --的最大值为. 13．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，则它的外接球的表面积为；若E 为11B C 的中点，则过B 、D 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为.14．已知由小到大排列的6个数据1，2，3，5，6，m ，若这6个数据的极差是它们中位数的2倍，则m 的值是．四、解答题15．已知复数z 在复平面上对应点在第一象限，且z =2z 的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求AB AC ⋅uu u r uu u r 的值.16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，E 为棱1AA 的中点，12,3AB AA ==．(1)求三棱锥A BDE -的体积．(2)在1DD 上是否存在一点P ，使得平面1//PAC 平面EBD .如果存在，请说明P 点位置并证明.如果不存在，请说明理由.17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC BB ===，(1)求证：11BD B C ⊥；(2)求直线1BD 与平面11ADD A 所成角的正切值.18．奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo 相似，因此得名.如图，P 是ABC V 内的任意一点，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，总有优美等式：0PBC PAC PAB PA S PB S PC S ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r △△△.(1)若P 是ABC V 的内心，234b a c ==，延长AP 交BC 于点D ，求AP PD； (2)若P 是锐角ABC V 的外心，2A B =，PB xPA yPC =+u u u r u u u r u u u r ，求x y +的取值范围.19．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12．最初分组时AB同组，CD同组．(1)若34p ，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？。

扬州中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

扬州中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

扬州中学2022-2023学年高一下学期月考数学试卷 2023.3第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a 、b 是非零向量，则“a 、b 共线”是“a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3EB DE =，若(),R AE AD AC λμλμ=+∈，则（ ）A ．12λμ=B ．2λμ=C ．3λμ=D ．13λμ=3. 已知单位向量a b ，满足14a b ⋅=，且2c a b =+，则sin ,a c <>=（ ）A ．8B ．8C ．38D ．84. 在ABC 中，若sin2sin2sin2B C A +=，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5. 已知()()11tan sin sin 34tan ααβαββ⎛⎫+=-==⎪⎭，，则（ ） A ． -2B ．12-C ． 2D ．126. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BCD △是等边三角形，2AD =，27BD =，23πBAD ∠=，则ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα<<，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）C.43 D.458. 已知函数()s i n 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3πsin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若当120x x t ≤<≤时，总有()()()()1212f x f x g x g x -<-，则正实数t 的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

上海市新川中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

上海市新川中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

上海市新川中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．写出与π6终边相同的角的集合是. 2．1cos 2α=，则sin α=. 3．若1cos 3α=，则sin()2πα-=. 4．已知角α是第四象限角，4cos 5α=，则sin 2α=. 5．知π12cos()413α-=，且π3π44<<α，则cos α=. 6．若角α的终边经过点(5,12)P a a -(0)a <，则sin α=．7．若1sin cos 2αα-=，则sin 2α的值为. 8．在ABC V 中，若4sin 5A =，5cos 13B =-，则sin C =. 9．已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=.10cos 23x x a +=-中，a 的取值范围是..11．要使23sin 4m m α-=-有意义，m 的取值范围是. 12．已知12112222sin sin +=+α+α，其中1α，2R α∈，则1210π-α-α的最小值为.二、单选题13．下列三角形面积公式正确的是（ ）A ．1sin 2bc B B ．sin bc A C ．1cos 2bc A D ．1sin 2bc A 14．若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15．若sin cos 1αα+=，则tan cot αα+的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．不存在 16．设甲命题为：sin sin cos cos 0+=αβαβ，乙命题为：sin cos sin cos 0αβ+βα=，则甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件三、解答题17．已知324ππβα<<<，()3sin 5αβ+=-，()12cos 13αβ-=，求：cos 2β的值. 18．已知tan 2θ=，求下列各式的值 (1)sin 2cos sin cos θθθθ+- (2)2sin 2sin cos 1θ+θθ+19．已知tan ,tan αβ是一元二次方程23520x x +-=的两个根，且0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ． (1)求tan()αβ-的值；(2)求αβ+的值．20．已知函数()sin()sin 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （I ）求()6f π的值； （II ）若3()10f α=-，03πα<<.求()6f πα+的值.21．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈求 (1)sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值； (2)实数m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.。

高中数学练习题 2022-2023学年甘肃省高一(下)月考数学试卷(3月份)

高中数学练习题 2022-2023学年甘肃省高一(下)月考数学试卷(3月份)

（VIP&校本题库）2022-2023学年甘肃省兰州一中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{1}D ．∅1．（5分）已知集合A ={-1，0，1}，B ={x |y =x 2，x ∈R }，则A ∩B =（ ）A ．10B ．102C ．5D ．522．（5分）设复数z =2−i1+i（i 为虚数单位），则|z |=（ ）√√√√A ．19B ．118C ．221D ．163．（5分）同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为5的概率为（ ）A ．x 224-y 212=1B ．y 212-x 224=1C ．x 212-y 224=1D ．y 224-x 212=14．（5分）焦点为（6，0）且与双曲线x 22-y 2=1有相同渐近线的双曲线的方程为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．0或45．（5分）执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x =（ ）A ．1D ．56．（5分）若函数f （x ）=V Y Y W Y Y X x 2−3x +1，x ≥1(12)x +12，x <1，则f （f （2））=（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分B ．32C ．52A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或￢q ”为假C ．命题“￢p 且q ”为真D ．命题“p 或q ”为假7．（5分）命题p ：直线l 1：ax +2y -1=0与直线l 2：x +（a +1）y +4=0互为平行的充要条件是a =-2；命题q ：若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论正确的是（ ）A ．2n -1B ．2n C ．2n +1-1D ．2n +1-28．（5分）设f （x ）是定义在R 上的恒不为0的函数，对任意实数x ,y ∈R ，都有f （x -y ）=f (x )f (y )，已知f （1）=2，a n =f （n ），n ∈N +，则数列{a n }的前n 项和S n 为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．99．（5分）某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（ ）A ．[3，1+32]B ．[-32，1-32]C ．[0，1]D ．[-3，1-32]10．（5分）函数y =sinx （cosx -3sinx ）（0≤x ≤π2）的值域为（ ）√√√√√√√A ．（3，0）B ．（5，0）C ．（3，2）D ．（5，4）11．（5分）已知点M （-1，-2）是抛物线y 2=2px （p >0）的准线上一点，A ，B 在抛物线上，点F 为抛物线的焦点，且有|AF |+|BF |=8，则线段AB 的垂直平分线必过点（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1，函数y =f （x +1）-1为奇函数，则函数f （x ）的零点个数为（ ）13．（5分）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，a +b =（3，1），则cos <a ，b >=．→→→→√→→√→→三、解答题：14．（5分）设x ,y 满足约束条件V Y Y W Y Y X 2x −5y +6≥04x +9y −7≥03x +2y −10≤0，则目标函数z =y +3x +2的取值范围是．15．（5分）已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，该四棱锥外接球的体积为86π，则△PB C 的面积为．√16．（5分）已知a ,b ,c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =1，b =2cosC ，sinCcosA -sin （π4-B ）sin （π4+B ）=0，则△ABC 的内角B 的大小为．17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 5+a 6=24，S 3=15． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =1a 2n−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩如下：甲班：92，80，79，78，85，96，85 乙班：81，91，91，76，81，92，83（Ⅰ）若竞赛成绩在90分以上的视为“优秀生”，则从“优秀生”中任意选出2名，乙班恰好只有1名的概率是多少？ （Ⅱ）根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图，指出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况．19．（12分）在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，侧棱AA ′⊥底面ABC ，AC ⊥AB ，AB =2，AC =AA ′=3，（Ⅰ）若F 为线段B ′C 上一点，且CF FB ′=94，求证：BC ⊥平面AA ′F ；（Ⅱ）若E ，F 分别是线段BB ′，B ′C 的中点，设平面A ′EF 将三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积分别为V 1和V 2，求V 1．20．（12分）如图，已知P 是以F 1（-1，0）为圆心，以4为半径的圆上的动点，P 与F 2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF 1交于点M ． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）已知点E 坐标为（4，0），直线l 经过点F 2（1，0）并且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ABE 面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）=x -1x+alnx （a ∈R ）．（1）若函数f （x ）在[1，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）已知g （x ）=12x 2+（m -1）x +1x ，m ≤-322，h （x ）=f （x ）+g （x ），当时a =1，h （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求h （x 1）-h （x 2）的最小值．√。

湖北省武昌2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷含答案

湖北省武昌2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷含答案

湖北省武昌高一年级三月月考数学试卷（答案在最后）命题教师：高一数学组考试时间：2024年3月25日下午15：00—17：00一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin1,cos1,tan1,1的大小关系是（）A.tan11cos1sin1>>>B.tan11sin1cos1>>>C.1tan1sin1cos1>>>D.1sin1cos1tan1>>>【答案】B 【解析】【分析】先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定tan1、cos1、sin1的取值范围，即可比较大小.【详解】因为1801571845π︒'=≈︒>︒，所以1弧度为第一象限角，在第一象限，tan y x =单调递增，所以tan1tan 451>︒=；在第一象限，cos y x =单调递减，所以cos1cos 452<︒=，在第一象限，sin y x =单调递增，所以1sin 90sin1sin 452=︒>>︒=；综上所述，有tan11sin1cos1>>>.故选：B2.若向量a b ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+ ，若()a ta b ⊥+ ，则实数t =（）A.12-B.12C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+ 两边平方得22b a b =⋅ ，结合条件可得b a = ，又由()a ta b ⊥+，可得20t a a b ⋅+⋅=，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ .即22b a b =⋅ ，也即22cos 3b a b π= ，所以b a = .又由()a ta b ⊥+ ，得()0a ta b ⋅+=，即20t a a b ⋅+⋅= .所以2221122ba b t ab⋅=-=-=- 故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.3.已知向量()2,0a = ，3sin ,2b α⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若b 在a 上的投影向量1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则向量a 与b 的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量求出13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，再求向量a 与b 的夹角.【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，与a同向的单位向量为e ，∵b 在a上的投影向量为1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,0a = ，∴()()2sin cos sin 12,0,0240,a b a b e a aαθα⋅⋅=⋅===⎛⎫⎪⎝⎭，∴1sin 2α=，∴1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1cos 2a b a b θ⋅==，∵[]0,πθ∈，∴π3θ=，∴a 与b的夹角为π3，故选：C.4.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为（）A.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B.ππ2sin 1303h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D.ππ2sin 1606h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为()πsin (00)2h A t B A ωϕωϕ=++>><，，由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A B =⎧⎨=⎩，由2π60T ω==，可得π30ω=由t =0时h =0，可得2sin 10ϕ+=，则1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，则π6ϕ=-则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：A5.如图，在ABC 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ==== ，则BE =（）A.1181515a b - B.28315a b -C.1181515a b -+D.28315a b -+【答案】C 【解析】【分析】结合图形由向量的线性运算可得.【详解】因为,2BC AC AB b a BD DC =-=-=，所以()2233BD BC b a ==- ，()221333AD AB BD a b a b a =+=+-=+，又因为4AE ED = ，所以11212155331515DE DA b a b a ⎛⎫==-+=--⎪⎝⎭，所以()221118315151515BE BD DE b a b a a b =+=---=-+，故选：C.6.已知A 为锐角，cos tan22sin A A A =-，()215tan 15A B -=，则tan B =（）A.17-B.17C.17-D.17【答案】A 【解析】【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简cos tan22sin AA A=-，求sin A ，再求tan A ，再由两角差的正切公式求tan B .【详解】因为cos tan22sin A A A =-，所以sin2cos cos 22sin A AA A=-，所以22sin cos cos 12sin 2sin A A AA A=--，又A 为锐角，cos 0A >，所以()22sin 2sin 12sin A A A -=-，解得1sin 4A =，因为A为锐角，所以cos 4A =，tan 15A =又215tan 15A B -=（）所以()()()tan tan tan tan 1tan tan 171515A AB B A A B A A B --⎡⎤=--==-⎣⎦+-.故选：A.7.已知函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，且在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（）A.(0,1]B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.[1,)+∞ D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，确定ϕ的取值，解得()()2sin f x x ω=-，令t x ω=，结合已知条件根据2sin y t =-的单调区间，取值情况得到关于ω的不等式，求解即可.【详解】因为函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，所以ππ2k ϕ=+()Z k ∈，又因为0πϕ<<，所以π2ϕ=，所以()π()2cos()2cos(2sin 2f x x x x ωϕωω=+=+=-；令t x ω=，因为π2π23x -≤≤，则π2π23x ωωω-≤≤，即π2π23t ωω-≤≤，2sin y t =-的减区间为ππ2π2π22k t k -+≤≤+()Z k ∈，又()f x 在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以π2π,23ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈的子集，因为0ω>，所以π02ω-<，2π03ω>，只有0k =时区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈是由负到正，所以有：ππ222ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，134ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得34ω≤；因为函数()f x 在[0,]π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，相当于2sin y t =-，在[]0,πω上只有一个最小值，所以有：ππ25ππ<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，125<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1522ω≤<；综上取交集有：341522ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，解得1324ω≤≤.故选：D8.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为A.12+B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B ++，然后利用辅助角公式以及二倍角公式sin sin A B C +的最大值；解法2sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值.【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C=++)sin sin cos C C B C B =++≤2=≤=，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B ；法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤+=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个等式中正确的是（）A.tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=+B.14sin10cos10-=︒︒C.已知函数()sin f x x x =+，则()f x 的最小正周期是2πD.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin sin sin αβαβ+=，则()()cos sin sin sin cos cos αβαβαβαβ+++1【答案】AB 【解析】【分析】根据()tan 60tan 2535︒=︒+︒展开化简得到A 正确，利用三角恒等变换得到B 正确，计算()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得到C 错误，均值不等式等号成立条件不成立，D 错误，得到答案.【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒即tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=A正确；()2cos 10601cos10cos 70441sin10cos10sin10cos10sin 20sin 202︒+︒︒︒︒-===⋅=︒︒︒︒︒︒，B正确；()πππsin cos 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+≠ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；()2sin 2sin cos 2cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+=，即2tan 2tan tan tan αβαβ+=，()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-++=+1111tan tan tan tan 1211tan tan tan tan 2αβαβαβαβ=-++=-≥=，当且仅当11tan tan tan tan 2αβαβ=时等号成立，即tan tan αβ=，2tan tan 2αβ+=，方程无解，故D 错误.故选：AB.10.已知,(0,)αβπ∈，5sin 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 435πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()αβ-=（）A.3365-B.6365-C.3365D.6365【答案】CD 【解析】【分析】先计算得到cos 32611πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3sin 35πβ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，再利用()sin αβ-=sin 632πππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开得到答案.【详解】(),0,αβπ∈，7,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，51sin ,(,),cos 61326162213ππππααπα⎛⎫⎛⎫+=<+∈∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2,333πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，3cos sin 55433ππββ⎛⎫⎛⎫-=∴-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；sin()sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦[cos cos sin sin ]6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1245333sin()(13513565αβ-=--⨯+⨯=，当3sin 35πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1245363sin()[(13513565αβ-=--⨯+⨯-=，故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换sin()sin 632πππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是解题的关键.11.对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（）A.对任意的k ，()f x 的最大值为1B.当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素C.当3k =时，()f x 在()0,2p 内只有一个零点D.当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】【分析】取1k =利用辅助角公式以及正弦函数的性质得出max ()1f x =>，从而判断A ；由平方关系判断B ；由33sin cos 0x x +=得出sin cos x x =-，结合函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 图象的交点个数判断C ；根据二倍角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出值域判断D.【详解】对于A 项，当1k =时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，max ()1f x =>，故A 错误；对于B 项，22()sin cos 1f x x x =+=，即()f x 的值域为{}1，故B 正确；对于C 项，由33sin cos 0x x +=，解得sin cos x x =-，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 的图象如下图所示由图可知，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 内有两个交点，即()f x 在()0,2p 内有2个零点，故C 错误；对于D 项，()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+=--，因为[]2sin 20,1x ∈，所以max min 111()101,()11222f x f x =-⨯==-⨯=，即()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题在解决C 项时，关键是将函数()f x 的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，从而得出零点个数.三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分．12.已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+=______.【答案】133【解析】【分析】利用2(),()αβαβαβαβα+=++=+-将条件整理可得3sin()sin 13cos()cos .αβααβα+=+从而可得解.【详解】2(),()αβαβαβαβα+=++=+- ，8cos(2)5cos αββ∴++8[cos()cos sin()sin ]5[cos()cos sin()sin ]αβααβααβααβα=+-+⋅++++)cos 13sin()si s n 3co (0βααβαα-+==+，3sin()sin 13cos()cos .αβααβα∴+=+13tan()tan .3αβα∴+=【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“2(),()αβαβαβαβα+=++=+-”，属于难题.13.若2π5sin cos 2)31010ααβα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭，且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是_________．【答案】7π4【解析】【分析】先由降幂公式得到sin 25α=，再由同角三角函数关系得到cos 25α=-和()cos 10βα-=-，然后经过拆角和余弦展开式化简得到结果.【详解】2π1cos 2π1115sin cos 2cos 222sin 2323222210ααααααα--⎛⎫⎛⎫++=++=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 25α=，因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 25α==-，因为3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π24βα≤-≤，又sin()10βα-=，所以()cos 10βα-==-，所以()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα⎛⎡⎤+=+-=---= ⎣⎦ ⎝⎭因为5π2π4αβ≤+≤，所以7π4αβ+=，故答案为：7π4.14.已知函数()=sin()f x A x ωϕ+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且2π9MN =，则(π)f 的值为_________【答案】【解析】【分析】由图像确定A ，设出()()1122,,,M x y N x y ，结合2π9MN =确定ω，再代入4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭得到ϕ，最后代入求值即可.【详解】由图像可知2A =，设()()1122,,,M x y N x y ，由2π9MN =可得212π9x x -=，令()2sin 1x ωϕ+=-，可得125ππ,66x x ωϕωϕ+=-+=-，则()212π2π2π3393x x ωωω-=⇒⨯=⇒=，把4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 结合五点法可得4ππ2sin 033ϕϕ⎛⎫-+=⇒= ⎪⎝⎭，所以()π4ππ2sin 3π+2sin 33f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：四、解答题、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知(1,a = ，4b = ，且()()2315a b a b -⋅+=-．当k 为何值时，（1）向量2a kb +与ka b -互相垂直；（2）向量- a kb 与2ka b - 平行.【答案】（1）1k =或2k =-.（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出a b ⋅，根据向量垂直列式求解；（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小问1详解】∵(1,a = ，∴3a ==，∵()()2315a b a b -⋅+=- ，∴2235215a a b b -⋅-=- ，∴223352415a b ⨯-⋅-⨯=- ，∴2a b ×= ，若向量2a kb + 与ka b - 互相垂直，则()()20a kb ka b +⋅-= ，∴()222220ka kb k a b -+-⋅= ，∴()222234220k k k ⨯-⨯+-=，∴220k k +-=，解得1k =或2k =-.【小问2详解】因为cos ,2a b a b a b ⋅== ，即34cos ,2a b ⨯=，则1cos ,16a b =≠± ，所以,a b不共线，若向量- a kb 与2ka b - 平行，则存在实数λ使得()22a kb ka b ka b λλλ-=-=- 成立，所以1k λ=且2k λ-=-，解得k =.16.已知函数()22sin cos f x x x x =+-．()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2-【解析】【分析】()1利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递减区间；()2利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，由,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得274,336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的单调性，求得()g x 的值域．【详解】()1函数()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，∴当3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，可得2sin 233y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()22sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，274,336x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，()21sin 4,1,32x y g x π⎛⎫⎛⎤∴+∈-∴= ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的值域为(]1,2-．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.17.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）m =（2）764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +===∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴312741273477mm m m≤<≤<≠∴727637{84m m m ≤<≤<≠∴764m ≤<.18.某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y （单位：3/m h ）关于时间t （单位：h ）的关系均近似地满足函数sin()(0,0,0)y A t b A ωϕωϕπ=++>><<，其图象如图所示：（1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产(0)t t >时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过310/m h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【答案】(1)2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭;(2)8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)至少需推迟2小时投产.【解析】【分析】(1)由图可得:,A b ,利用周期公式可求出ω,(3,2)代入求出ϕ,即可得函数解析式;(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 833W t t ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简即可得出8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产,据题意得，2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得1cos cos sin sin 13333m t t m ππππ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭,1化简即可得出,1cos32m π≤-,借助图象性质即可得解．【详解】由图可得:2,4A b ==2632sin 43y t ππωωπϕ=∴=⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭由过点(3,2)可得:sin 1ϕ=所求函数的解析式为2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为2cos (1)4,3t π⎛⎫++⎪⎝⎭乙车间为2cos 43t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,根据题意可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 8332coscos 2sin sin 2cos 8333333cos 833836W t t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8,(0)36W t t ππ⎛⎫∴=++≥ ⎪⎝⎭(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产，根据题意可得:2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭coscos sin sin cos 1333331cos cos sin sin 133331122cos 1cos 332t m t m m t t m m m πππππππππππ∴-+≤⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭+≤∴≤-由函数周期性知(0,6)m ∈,可得:24333m πππ≤≤24m ∴≤≤所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产.【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,及()sin y A x ωϕ=+的图象性质在实际问题中的应用,难度较难.19.已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．（1）若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；（2）若m ＝1，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若1m 、2R m ∈，且1π,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2π()cos 04f x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．【答案】（1）()2,0（2）是（3）(]1,8【解析】【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；(2)1m =时,判断是否存在k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.【小问1详解】根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,【小问2详解】若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时π2π3k n =±,Z n ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.【小问3详解】假设存在实数()0m k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()(),m f x f x k f x k ⋅=++-成立则()()()()22211cos coscos 1cos21cos222m x x k x k x k x k ⎡⎤⎡⎤=++-=++++-⎣⎦⎣⎦()()()1111cos21cos21cos2222m x x k x k ⎡⎤⎡⎤∴+=++++-⎣⎦⎣⎦cos21cos2cos2sin2sin21cos2cos2sin2sin2m m x x k x k x k x k ∴+=+-+++()1cos222cos2cos2,m x x k ∴+=+12ππ,,24m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 均为函数2()cos 04f x x x π⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，()()12π1cos222cos2cosπ22cos2,1cos222cos2cos 2,2m x x x m x x ∴+=+=-+=+=ππ0020cos2142x x x <≤∴<≤∴<≤ ()222122222212sin 22cos22sin 212tan ,1cos212cos 1cos 1cos2cos x x x m x m x x x x x ---∴=====++-+()2244124411π4tan ,4tan ,(0)cos cos 4m m x h x x x x x ∴+=+=+<≤设，函数单调递增，()()π0,4h h x h ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭即()221218h x m m <≤∴+的取范围为(]1,8。

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惠南中学高一年下学期3月月考数学试卷考试时间：120分钟 满分： 150分 班级：_________ 姓名: ________________ 座号:_________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知cos α＝— 12，α∈(0°，180°)，则α等于( )A ．60° B．120° C．45° D．135° 2．若sin x ·cos x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数4．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos α的值是( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.355．已知函数y ＝2sin (ωx ＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2C.12D.136．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2 B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ． 310 B. －310 C ．±310 D.348．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π209．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 10．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π4B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π211．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．2B ．1C ．0D ．4 12．设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <a D ．b <a <c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos(α＋π2)＝________.14．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________15. 函数y ＝3－4sin x －cos 2x 的最大值_______和最小值________ 16．给出下列命题：(1)函数y ＝sin |x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内为增函数； (3)函数y ＝|cos 2x ＋12|的最小正周期为π2； (4)函数y ＝4sin(2x ＋π3)，x ∈R 的一个对称中心为(－π6，0)． 其中正确命题的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin α－π2cos 3π2＋αtan π－αtan －α－πsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．18．(12分)已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)tan(2)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (3)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.19．(12分)已知sin α＋cos α＝15.求：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α.（参考公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+）20．(12分) )42cos(2)(π-=x x f .（1）求)(x f 的对称轴和对称中心； （2）求函数)(x f 在]2,8[ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 值.21．(12分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤π2)在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π，y min ＝－3. (1)求出此函数的解析式； (2)求该函数的单调递增区间；(3)是否存在实数m ，满足不等式A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)？若存在，求出m 的范围(或值)，若不存在，请说明理由．22．(12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？惠南中学高一年下学期3月月考数学试卷答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1-5 BCACB 6-10DACBD 11-12 AD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.26514. 13．(6π＋40) cm 15. 7 -1 16 16．(1)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．解 (1)f (α)＝sin α－π2cos 3π2＋αtan π－αtan －α－πsin －π－α＝－sin π2－αsin α－tan α－tan αsin α＝cos αsin αtan α－tan αsin α……＝－cos α.……6分(2)∵cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15.……8分∵α是第三象限角，∴cos α＝－265.∴f (α)＝－cos α＝265.……10分18．解(1) 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611.解得：tan θ＝2. ……3分(2)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. ……7分(3)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15.……12分19．解 (1)由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝－2425，……3分∴(sin α－cos α)2＝1－2s in αcos α＝1＋2425＝4925，……5分 ∴sin α－cos α＝±75.……7分(2)sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1225＝37125.……12分20. （1）对称轴,28k x k z ππ=+∈，对称中心3(,0)28k k z ππ+∈……6分 (2)因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，此时；……9分最小值为，此时．……12分21．解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π⇒T ＝10π，……1分∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin(15x ＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(π5＋φ)＝3，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10.……分∴y ＝3sin(15x ＋3π10)．……3分(2)当2k π－π2≤15x ＋3π10≤2k π＋π2时，即10k π－4π≤x ≤10k π＋π时，……5分原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为[10k π－4π，10k π＋π](k ∈Z )．……7分(3)m 满足⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＋3≥0，－m 2＋4≥0，解得－1≤m ≤2. ……8分 ∵－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4≤4， ∴0≤－m 2＋2m ＋3≤2，……10分同理0≤－m 2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有：A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)，只需要：－m 2＋2m ＋3>－m 2＋4，即m >12成立即可，所以存在m ∈(12，2]，使A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)成立．……12分22．解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，……2分由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，……4分∴y ＝12cos π6t ＋1. ……5分(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放，∴12cos π6t ＋1>1，……7分∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3.①……9分∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00. ……12分。

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