(完整版)新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x ≥0，y•≥0）

． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

”；第二，被开方数是正数或0．

知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，

有意义，是二次根式，所以要使二次根式

有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。

例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？

例3．当x 是多少时，23x ++

11x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式

（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式

（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、

偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若

，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x -2x -，求x y

的值．(2)1a +1b -=0，求a 2004+b 2004的值

知识点四：二次根式（）的性质 （）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

例1 计算

1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72

）2 例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，

即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，•并根据这一性质回答下列问题．

（12a ，则a 可以是什么数？（22a ，则a 是什么数？ （32a ，则a 是什么数？

例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，

表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：二次根式的乘除 1、 a b ＝ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 2a b =a b （a ≥0，b>0） a

b =a b （a ≥0，b>0）

（思考：b 的取值与a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为0）

例1．计算

（1）57 （2139 （3927 （4126 例2 化简

（1916⨯ （21681⨯ （3229x y （454 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1(4)(9)49-⨯-=-- （21242525=41225251225

25123 例4．计算：（1123 （23128 （311416 （4648 例5．化简：

（1364 （222649b a

（32964x y （425169x y 例6．9966

x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x 22541x x x -+-的值．

3、最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）

例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)

5

3

12

; (2) 2442

x y x y

; (3) 23

8x y

4、化简最简二次根式的方法：

(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；

(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；

(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符

号问题）

5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；②与；

③与；④与．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。

判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18

知识点八：二次根式的加减

1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

例1．计算（1）8+18（2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

例2．计算

（1）348-91

3

+312（2）（48+20）+（12-5）

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2

9

3

x x+y2

3

x

y

）-（x2

1

x

-5x

y

x

）的值．

2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减

3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．

（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小

例4．比较125的大小