(完整版)新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
人教版八年级下册数学知识点汇总
人教版八年级下册数学知识点汇总第十六章二次根式。
1. 二次根式的概念。
- 形如√(a)(a≥slant0)的式子叫做二次根式。
其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。
- 注意：被开方数a必须是非负数，否则√(a)无意义。
例如√(-2)就不是二次根式。
2. 二次根式的性质。
- √(a)(a≥slant0)是一个非负数，即√(a)≥slant0。
- (√(a))^2=a(a≥slant0)。
例如(√(5))^2 = 5。
- √(a^2)=| a|=a(a≥sl ant0) -a(a<0)。
如√(3^2) = 3，√((-3)^2)=| - 3|=3。
3. 二次根式的乘除。
- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥slant0,b≥slant0)。
例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 二次根式的除法法则：√(a)÷√(b)=√(frac{a){b}}(a≥slant0,b>0)。
如√(8)÷√(2)=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
4. 二次根式的加减。
- 最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
例如√(8)不是最简二次根式，化简为2√(2)后是最简二次根式。
- 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式）。
例如√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。
第十七章勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
- 例如在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则斜边c=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
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八年级下册第十六章：二次根式（1）)0a ≥号，a 叫做被开方数.2，即：2可以省略 .（2） 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即：被开方数大于或等于0.在实数范围内有意义的条件为： . 由20x -≥，可以得出：2x ≥.20x ≥，x 属于任意实数.在实数范围内有意义的条件：30x ≥，0x ⇒≥.在实数范围内有意义的条件：10121202x x x x x -≥≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨+>>-⎩⎩. (分析：分子、分母都要有意义，分式有意义：分母不为0)（3） 负数没有平方根也没有算术平方根，0的平方根是0，0的算术平方根是0.（4） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（5） 一个正数有两个平方根，互为相反数. 一个正数有一个算术平方根方根，且为正根. （6） 二次根式的双重非负性：0a ≥0≥.21a =-，则a 的取值范围是： .根据二次根式的双重非负性，()2120a -≥，则210a -≥，所以：12a ≥. （7）()20a a=≥.例如：21.5=；(22224520=⨯=⨯=.提示：2=2倍根号5”.（8()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩.4==5== .11=-=；14==；π==-；110==. （9）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.例如：3，x ，x y +)0x ≥，ab -，()0st t≠，3x 都是代数式.（10）二次根式的乘法法则：一般地，=()0,0a b ≥≥，=.=； 3=== ；2612==⨯=；33===；14===== ；⑥((32-=⨯-=-=-=-=-；====；（11=()0,0a b ≥>，=()0,0a b ≥>利用它可以进行二次根式的化简 .====；=====；==； 53=== ；⑤===；（12）最简二次根式：最简二次根式是指满足下列两个条件的二次根式①被开方数不含分母；②被开方数中不含开的尽方的因数或因式..（13）化简最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.====.②化去根号下的分母，即：分母有理化.====；=====；====；==.（14）二次根式的加减:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并.例：==；==；==；-==；同类二次根式：根指数相同、化简后被开方数相同的二次根式；=.注：合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将它们的“系数”相加减，最简结果，不能合并.（15）二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右依次计算； ②在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用 .例： ① ⎛÷ ⎝解原式(=÷(2=+2==②)23-解原式22223⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()5329=---229=-+9=注：运算结果是根式的，应表示为最简二次根式 .（16 解：2150126=+ ； 令：12a =，6b =；61212.25224b a a ≈+=+≈第十七章：勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c =＋ . 勾股定理的证明方法：全世界共有370多种证明方法.其中赵爽正弦图、毕达哥拉斯证法、美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法比较出名；勾股定理的变式：① 222c a b =＋；②()()222a cbc b c b =-=+- ；③ ()()222b c a c a c a =-=+-；④c =⑤a =⑥b =（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c =＋，那么这个三角形是直角三角形 .（3）定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理 .（4）我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 .（例如：勾股定理与勾股定理逆定理） （5）常见的勾股数（勾股数是正整数）：①3、4、5，222345⇒+= ； ②5、12、13，22251213⇒+=； ③6、8、10，2226810⇒+=； ④7、24、25，22272425⇒+=；注：只要三角形的三边长都是勾股数的k （k 为正整数）倍时，构成的三角形仍然是直角三角形.（6）蚂蚁吃食物最短路径问题：①如下图，是一个边长为2的正方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为AB = 42 + 22 =20 =25AbacCBAAAB = 42 + 22 =20 =25AAB = 42 + 22 =20 =25②如下图，是一个长为2，宽为4，高为8的长方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为10.③如下图，是一个底面半径为2，高为8的圆柱体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程.（注：表面爬行）情况一： 情况二:把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为（7）如图：直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c .以两直角边为边长的正方形的面积等于以斜边为边长的正方形的面积.即：123S S S +=，或222a b c +=.AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2A8AB = 62 + 82 =100 =10AB AB = 122 + 22 =148AAB = 62 + 82 =100 =10bac S 3S 2S 1（8）三角形面积的计算方法：海伦秦九韶公式（知道三角形的三边长可以直接求面积）.2a b cP ++=（其中,,a b c 为三角形的三边长 ）；S =.例：在下列ABC ∆中，边长如图所示，计算其面积. 解：由海伦秦九韶公式得：6810122P ++==ABC S ∆∴==24==（9）如图，AB BC ⊥，3,4,12,13,AB BC CD AD ====求四边形ABCD 的面积. 解：（法一）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===22222251216913AC CD AD +=+===∴根据勾股定理得逆定理得：ACD ∆是直角三角形. AC CD ∴⊥，即：90ACD ∠=︒. ∴S 四边形ABC ACD S S ∆∆=+ 111134512362222AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=.解：（法二）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===在ACD ∆中，由海伦秦九韶公式得：51213152P ++==A C D S ∆∴=30== ∴S 四边形113034306303622ABC ACD S S AB BC ∆∆=+=⋅+=⨯⨯+=+=. 6108CBA341213DCBA第十八章：平行四边形（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，如平行四边形ABCD 记作“ABCD ”.即：若AB ∥CD ，AD ∥BC ，则四边形ABCD 是平行四边形. （2）平行四边形的性质：①平行四边形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC .AB =CD ，AD =BC .②平行四边形的两组对角相等.即：BAD BCD ∠=∠，ABC ADC ∠=∠.平行四边形的邻角互补.即：180BAD ABC ∠+∠=︒，180BCD ABC ∠+∠=︒. ③平行四边形的对角线互相平分.即：OA OC =，OB OD =.（3）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.即：14AOBBOCCODAODABCDSSSSS ====.4444ABCDAOBBOCCODAODSSS SS====.（4）两平行线间的距离处处相等. （5）平行四边形的面积：底⨯高.（6）平行四边形的判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ③对角线互相平分的四边形是平行四边形. ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ⑤两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 在ABC ∆中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，所以DE 是ABC ∆的中位线.即：12DE BC =，DE ∥BC .（8）梯形中位线定理：梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半. 在梯形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线.即：2AD BCEF +=，EF ∥AD ∥BC .（9）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （10）矩形的性质：①矩形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②矩形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒. ③矩形的对角线相等且互相平分.即：AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==.ODCB AED CBAFEDCBAODCBAA OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是等腰三角形. （11）矩形的面积：长⨯宽.即：S AB BC =⋅.（12）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.如：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是斜边AC 的中线，则12BD AD DC AC ===.（13）矩形的判定：①对角线相等的平行四边形是矩形. ②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ④有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （14）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （15）菱形的性质：①菱形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②菱形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===. ③菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即：AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. 1122ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠.1122BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 菱形ABCD .（16）菱形的面积：两条对角线乘积的12.即：12S AC BD =⋅.（17）菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（18）正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形. （19）正方形的性质：①正方形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②正方形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===.正方形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒ ③正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即： A C B D ⊥，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. DCBAODCB AODCB A114522ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.114522BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 正方形ABCD .（20）正方形的面积：边长⨯边长或对角线乘积的一半.即：S AB BC =⋅或12S AC BD =⋅. （21）正方形的判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③有一个角是直角的菱形是正方形.④对角线相等且互相垂直平分的四边形是菱形. ⑤对角线相等的菱形是正方形. ⑥对角线互相垂直的矩形是正方形.（22）平行四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；矩形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形. （23）平行四边形不是轴对称图形；矩形是轴对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，有2条对称轴；正方形是轴对称图形，有4条对称轴.第十九章：一次函数（1）常量与变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.（2）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，x 是自变量. （3）函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值.如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.（4）解析式：像23y x =-+这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.（5）函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （6）描点法画函数图象的步骤：①列表； ②描点； ③连线；（7）判断分析函数图象的突破点：①明确两坐标轴所表示的意义；②明确图象上的点所表示的意义；③弄清图象上的转折点、最高（低）点所表示的意义；④弄清上升线和下降线所 表示的意义.（8）函数的表示方法：解析式法；列表法；图象法.例1：小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 第（1）段：小明从家到食堂，相距0.6km ，用时8min . 第（2）段：小明在食堂用餐，用时()25817min -=. 第（3）段：小明从食堂到图书馆，食堂与图书馆相距()0.80.60.2km -=，用时()28253min -=.食堂与家相距()0.800.8km -=.第（4）段：小明在图书馆看书，用时()582830min -=. 第（5）段：小明从图书馆到家，用时()685810min -=，速度()0.8100.08/min v km =÷=.例2：画出函数21y x =+的图象.第三步：连线（9）正比例函数：一般地，形如()0y kx k =≠（k 是常数）的函数，叫做正比例函数，其/miny /中k 叫做比例系数或斜率.例：①0.2y x =-； ②2xy =； ③22y x =； ④24y x =. 在上面式子中： ①②是正比例函数；③④不是正比例函数.（10）正比例函数()0y kx k =≠的图象性质：①正比例函数()0y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数），函数图象经过第一、三象限.③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数），函数图象经过第二、四象限.④k 越大，直线越倾斜（越陡）.⑤正比例函数()0y kx k =≠的图象经过点()0,0和()1,k .（11）一次函数：一般地，形如()0y kx b k =+≠（,k b 是常数）的函数，叫做一次函数.当0b =时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. （12）一次函数()0y kx b k =+≠的图象性质： ①一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数）. ③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数）. ④当0b >时，函数图象交y 轴的正半轴. ⑤当0b =时，函数图象经过原点. ⑥当0b <时，函数图象交y 轴的负半轴.⑦k 越大，直线越倾斜（越陡）.正比例函数和一次函数的图象都是直线，画函数图象时只需要找两个点，即两点作图法.（13）函数的平移：x ：左+右-；y ：上+下-.例：6y x =-向上平移5个单位长度得到：65y x =-+. 6y x =-向下平移3个单位长度得到：63y x =--.2y x =-向左平移3个单位长度得到：()2326y x x =-+=--.2y x =-向右平移2个单位长度得到：()2224y x x =--=-+.22y x =--向左平移2个单位，向下平移3个单位得到：()222329y x x =-+--=--. 32y x =-+向右平移2个单位，向上平移3个单位得到：()3223311y x x =--++=-+.（14）在一次函数()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠中：①当12k k =时，1y ∥2y . ②当121k k =-时，12y y ⊥.例：直线21y x =--与26y x =-+互相平行；直线21y x =--与162y x =+互相垂直. （15）直线与x 轴相交0y =；直线与y 轴相交0x =（16）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.例：已知一次函数的图象过点()3,5和()4,9--，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠.函数图象经过点()3,5和()4,9--∴3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：21k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为21y x =-.（17）一次函数与方程、不等式：①一次函数与方程的关系：函数值y 为某一特定值时，求自变量x 的值. ②一次函数与不等式的关系：函数值y 为某一范围时，求自变量x 的取值范围.（18）两个一次函数图象相交时，它们有相同的横坐标，相同的纵坐标.例：求函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标. 解：50.525x x +=+ 20x =把20x =代入5y x =+中得20525y =+=.∴函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标为()20,25. （19）一次函数的实际应用：①方案选择问题 ②租车问题. 两个问题的考察实则是考察自变量的取值范围 例题：重点掌握人教版教材109页的第15题.第二十章：数据的分析（1）算术平均数：一般地，我们把n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，的和与n 的比值，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“__x ”.即__12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.（2）加权平均数：一般地，若n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅的权分别是12,,,n w w w ⋅⋅⋅，则__112212n nnx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+叫做这n 个数的加权平均数.（3）在求n 个数的平均数时，如果1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次，（这里12k f f f n ++⋅⋅⋅+=），那么这n 个数的平均数为__1122k kx f x f x f x n++⋅⋅⋅+=.也叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅这k 个数的加权平均数，其中12,,,k f f f ⋅⋅⋅分别叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅的权.（4）中位数：将-组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.（5）众数：把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.（6）平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响.（7）方差：设__x 是n 个数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，各个数据与平均数只差的平方的平均数，叫做这n 个数据的方差.用“2s ”表示，即：222______2121n s x x x x x x n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.（8）标准差：方差的算术平方根称为标准差.s =（9）极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.。
人教版初二下册数学知识点
人教版初二下册数学知识点二次根式二次根式是指形如a√b（a≥0）的式子。
其中，a被称为系数，b被称为被开方数。
最简二次根式必须同时满足以下三个条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。
同类二次根式是指二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有以下几个性质：a²=a（a≥0）；a√b × c√d =ac√bd（a,b,c,d≥0）；a√b ÷ c√d = a÷c √b÷d（a,b,c,d≥0,c≠0,d≠0）。
二次根式的运算包括因式的外移和内移、加减法、乘除法。
在运算过程中，需要将二次根式化为最简二次根式，并合并同类项。
例题：1、下列哪些式子是二次根式？1)11；3)−x²+2；4)4；5)(−5)²；6)1−a；7)a²−2a+1.答案：1、3、4、5、6.2、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）(x+5)÷(3−x)；（2）√((x-2)²+1)。
答案：（1）x≠3；（2）x∈R。
3、在1) a²+b²；2) x；3) x²-xy；4) 27abc中，最简二次根式是哪个？答案：C。
4、已知y=1−8x+8x⁻¹，求代数式1÷y+2−2y⁻¹的值。
答案：4x²-4x+1.5、已知数a，b，若(a−b)²=b−a，则a≤b。
给定$a=11,b=5$，求$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}$的值。
首先，将$a$和$b$的值代入，得到：$\frac{5^5+1}{2\times11+5(5+11)}$。
计算分子和分母，得到：$\frac{3126}{96}$。
化简分数，得到：$\frac{1043}{32}$。
因此，$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}=\frac{1043}{32}$。
八年级数学下册《二次根式》知识点归纳和题型归类素材 新人教版(2021-2022学年)
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二。
知识要点梳理ﻫ知识点一、二次根式的主要性质:ﻫ１。
；2.;３.;ﻫ4。
积的算术平方根的性质:；５. 商的算术平方根的性质：。
ﻫ6.若,则.知识点二、二次根式的运算１.二次根式的乘除运算ﻫ（１)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号．(2) 注意每一步运算的算理；(３）乘法公式的推广:（４）注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.2.二次根式的加减运算需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
３．二次根式的混合运算(1)ﻬ明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减,有括号先算括号里;(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数或小数．4。
简化二次根式的被开方数，主要有两个途径:错误!因式的内移:因式内移时，若，则将负号留在根号外.即:．错误!因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即：三。
典型题训练一。
利用二次根式的双重非负性(a≥0)，a1。
下列各式中一定是二次根式的是( )。
A 、; B 、；C 、； D 、 2。
ｘ取何值时,下列各式在实数范围内有意义。
(1） (2） （3) （4)（5）（6). (7）若，则x 的取值范围是（８)若,则x 的取值范围是。
3。
若有意义,则m 能取的最小整数值是；是一个正整数,则正整数ｍ的最小值是__＿＿__＿_．4。
当x 为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值5，则=＿____＿＿_＿___＿； ,则 ６.设ｍ、n 满足,则= 。
7，求的值．8。
若三角形的三边a 、ｂ、c 满足=0,则第三边ｃ的取值范围是9。
人教版数学八年级下 16.1 二次根式
课时1
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作 ， 0的算术平方根是0.
−2
∴ =3
1
1
= 2= .
3
9
1
9 .
16.1 二次根式
课时2
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
（1）什么叫二次根式？如何表示？
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式.
其中“ 1”称为二次根号.
（2）二次根式有意义的条件是什么？
被开方数（式子）为非负数， （≥0）.
+3
当 x 为何值时，
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分
数.
2
11
如3 ×a通常写作 a.
3
3
（5）除法运算通常用分数线.如3÷
3
通常写作 .
（6）在实际问题中，若有单位且代数式是几个式
子的和或差时，要将代数式用括号括起来. 如温度
由2℃上升t℃后是（2+t）℃.
列代数式的常用方法：
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
例2 化简：
（1） 16 .
（2）
−5 2.
解：（1）原式= 42 = 4.
（2）原式=5.
利用二次根式的性质3：
2
= =
-a（a<0）
人教版数学八年级下二次根式知识梳理
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =（a≥0，b≥0）；a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 典型例题1．(1) ）.（A ）5- （B ）5或5- （C ）25 （D ）5(2) ）.（A ） （B ）或 （C ） （D ）=3-33-93a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；(3)计算．(4)实数a，ba的化简结果为．2. (1)的取值范围为（）.（A）（B）（C）（D）(2)函数y=x的取值范围是．3．(1)下列各式计算正确的是（）.（A）2222-=-（B ab=（C）)9()4(-⨯-=4-9-⨯（D）336=÷(2)下列各式计算正确的是（）.（A）12223=-（B）2=（C）)9()4(-⨯-=4-9-⨯（D）336=÷4 计算：（1）；（20)a>.提升练习1、若x有意义，则x的取值范围是；若x的取值范围是_______.2、下列各式中，x的取值范围是2x≥的是（）A、x3有意义的整数x有（）A、5个B、4个C、3个D、2个x1x=1x≥1x>1x<（第4题）b a4、若2y =，则y x = ；5、（1）有意义，则a 的取值范围是_________.（2）已知a ，b 为等腰三角形两边长，且满足4b =-，求此等腰三角形的周长6、已知x 是正整数，且满足41y x =+-x+y 的平方根7.计算：(1014π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭8、先化简，再求值：)364()36(3xy yx y xy y x y x +-+，其中10,54==y x9、已知：.22,211881的值求代数式-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y10、 3、已知223,223+=-=b a 求b a 11-的值。
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
新人教版八年级数学下册知识点总结归纳 (1)
八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．典型例题1．(1). （A ）5-（B ）5或5-（C ）25 （D ）5(2). （A ）3-（B ）3或3-（C ）9（D ）3(3)计算= ※ ．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；(4)实数a ，ba +的化简结果为 ※ ．2. (1)x 的取值范围为（※）.（A ）1x = （B ）1x ≥ （C ）1x > （D ）1x < (2)函数y =x 的取值范围是 ※ ．3．(1)下列各式计算正确的是（※）. （A ）2222-=-（Bab = （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯ （D ）336=÷(2)下列各式计算正确的是（※）. （A ）12223=-（B）2+= （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯（D ）336=÷4 (1)（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）； （20)a >.(2).（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）（2））5（）.（第14题）b ax勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
全】人教版初中数学八年级下册知识点总结
全】人教版初中数学八年级下册知识点总结一、二次根式二次根式是指形如a（a≥0）的式子。
其中，a被称为被开方数。
最简二次根式是指被开方数中不含开方开的尽的因数或因式，且不含分母的二次根式。
如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们就是同类二次根式。
二次根式具有一些性质，如a（a＞0）的平方根是a，a的平方根和-a的平方根相等。
二、勾股定理勾股定理指的是直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c时，a²＋b²＝c²。
应用勾股定理可以求出直角三角形的第三边长，或者判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a,b,c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是指能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等。
直角三角形还有一些其他的性质，需要我们认真研究和掌握。
1.直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°。
2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即BC=AB/2.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB=BD=AD，其中D为AB的中点。
4.三角形面积公式为AB•CD=AC•BC。
5.直角三角形的判定有三种：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理也可以判定直角三角形。
6.命题是对某件事情做出判断的完整句子，分为真命题和假命题。
7.定理是用推理的方法判断为正确的命题，证明是判断命题正确性的推理过程。
8.证明命题的一般步骤是根据题意画出图形，写出已知和求证，找出由已知推出求证的途径并写出证明过程。
9.三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，有多种作用和常用结论。
10.数学口诀有助于记忆和理解数学知识，如“勾股三角形，斜边是对角线”等。
人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以等是二次根式，而，是为二次根式的前提条件，如。
等都不是二次根式。
取值范围：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，否则无意义。
二次根式的非负性：（）是一个非负数，即（）。
因为二次根式表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即（）。
二次根式的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数，即（）。
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
例题：1.下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33.x（x>0）。
x、42、-2.x y（x≥，y•≥）．答案：2、33、x、x、x y（x≥，y•≥）是二次根式，42、-2不是二次根式。
2.当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？答案：当3x-1≥0，即x≥1/3时，3x-1在实数范围内有意义。
3.当x是多少时，2x3+在实数范围内有意义？答案：当x+1≠0时，2x+3+在实数范围内有意义。
4.已知y=2x+x2+5，求y的值。
答案：y=6-x。
例题：1.计算：（3）2、（35）2、3（7）2、（6）2.答案：（3）2=3，（35）2=35，3（7）2=63，（6）2=6.2.在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3 (2) x4-4 (3) 2x2-3.答案：(1) x2-3=(x-√3)(x+√3)；(2) x4-4=(x2-2)(x2+2)；(3)2x2-3=2(x-√3/2)(x+√3/2)。
本文是一篇数学知识点的讲解文章，主要介绍了二次根式的乘除、化简以及最简二次根式的条件和化简方法。
在介绍过程中，文章存在一些格式错误，需要进行修改。
同时，有一些段落表述不够清晰，需要进行小幅度的改写。
(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质
第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
(完整word版)人教版初二二次根式知识点,推荐文档
二次根式详解【知识回顾】1. 二次根式：式子..a ( a > 0)叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根式。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：a ( a > 0)0 ( a =0)；a ( a v 0)5. 二次根式的运算：(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律, 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.{Vab =4a •b (a >0 b >0)；?乘法对加法的分配律以及1、概念与性质例 1 下列各式 1） 5,2）兀，3） . X 2—2,4）忆5）.. （ 3）2,6） .R,7） a 2其中是二次根式的是 _________ 序号）. 例2、求下列二次根式中字母的取值范围x 51（1） 3 x ； （ 2）(2009 龙岩)已知数 a , b ，若(a b)2 =b — a ,贝V ()2、二次根式的化简与计算例1.将』｛「根号外的a 移到根号内，得（）A.: I ； B.—叮」；C. — ,；■； D. j >例2.把（a — b ） •• — a —b 化成最简二次根式斤 I-(3^2 - M)(辺 4 2间例3、计算：■'1【典型例题】2a 1 ,v(x-2)2A .y v1 8x 4、已知：8x 1x y2的值。
初二数学下册：二次根式知识点
初二数学下册：二次根式知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3二次根式的性质（1）非负性√a（a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
人教版八年级二次根式知识点总结课件
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
(完整版)新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的观点形如 （ ）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但一定注意：由于负数没有平方 根，因此是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。
例 1．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 、 x （ x>0 ）、 0、42、-2 、 1 、xx yx y （ x ≥ 0， y?≥ 0）．剖析：二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0．知识点二：取值范围1、 二次根式存心义的条件：由二次根式的意义可知，当 a ≧ 0 时， 存心义，是二次根式，因此要使二次根式存心义，只需使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无心义的条件：因负数没有算术平方根，因此当 a ﹤0 时， 没存心义。
例 2．当 x 是多少时， 3x 1 在实数范围内存心义？ 例 3．当 x 是多少时，2x 3 +1在实数范围内存心义？x1知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即0（ ）。
注：由于二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，因此非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方近似。
这个性质在解答题目时应用许多，如若，则 a=0,b=0 ；若 ，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。
例 4(1) 已知 y=2 x + x2 +5，求xy的值． (2) 若 a 1 + b 1 =0，求 a 2004+b 2004 的值1知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上边的公式也能够反过来应用：若，则，如：，.例 1 计算1．（3） 2 2．（3 5）2 3．（5） 2 4．（7） 2 2 6 2例 2 在实数范围内分解以下因式:（1） x2-3 （ 2） x4-4 (3) 2x 2-3知识点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
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二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x ≥0，y•≥0）
． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“
”；第二，被开方数是正数或0．
知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，
有意义，是二次根式，所以要使二次根式
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？
例3．当x 是多少时，23x ++
11x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式
（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式
（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、
偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x -2x -，求x y
的值．(2)1a +1b -=0，求a 2004+b 2004的值
知识点四：二次根式（）的性质 （）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
例1 计算
1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72
）2 例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，
即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，•并根据这一性质回答下列问题．
（12a ，则a 可以是什么数？（22a ，则a 是什么数？ （32a ，则a 是什么数？
例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，
表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的乘除 1、 a b ＝ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 2a b =a b （a ≥0，b>0） a
b =a b （a ≥0，b>0）
（思考：b 的取值与a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为0）
例1．计算
（1）57 （2139 （3927 （4126 例2 化简
（1916⨯ （21681⨯ （3229x y （454 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1(4)(9)49-⨯-=-- （21242525=41225251225
25123 例4．计算：（1123 （23128 （311416 （4648 例5．化简：
（1364 （222649b a
（32964x y （425169x y 例6．9966
x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x 22541x x x -+-的值．
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)
5
3
12
; (2) 2442
x y x y
; (3) 23
8x y
4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；
(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符
号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②与；
③与；④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如8与18
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算（1）8+18（2）16x+64x
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52
（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x
例2．计算
（1）348-91
3
+312（2）（48+20）+（12-5）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2
9
3
x x+y2
3
x
y
）-（x2
1
x
-5x
y
x
）的值．
2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较125的大小。