正弦定理优秀课件
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6.4.3第二课时 正弦定理PPT课件(人教版)
则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2 3asin B，得sinb B＝2 33a，根据正弦定理，
得sinb B＝sina A，所以sina A＝2 33a，即sin A＝ 23.又角A是锐
角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 4650°°＝ 6.
“夯基提能·落实素养”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
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第二课时 正弦定理
[思考发现]
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由 正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正 弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推 知④正确．故选B. 答案：B
由sina A＝sinc C得，c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．所以A＝45°，c＝4(
3＋1)．
2
已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
正弦定理 优秀课件
7
例1:(林场失火问题)在△ABC中，已知 A=130°,B=30°,AB=10千米，求AC与BC的 长．
解：根据三角形内角和定理,
C 180 ( A B) 180 (130 30 ) 20 AC AB 由正弦定理： 得 sin B sin C C AB AC sin B 14.42千米 sin C BC AB 130° 30° 又由 得 A 10km B sin A sin C
AB BC sin A 22.39千米 sin C
8
例2:在 ABC中，已知a 3 ， 2， 45 B b
求角 A .
解：依题意得,由正弦定理
C
a b sin A sin B
3
452o2 Nhomakorabea60
o
120
B
A
o
A
sin B sin 45 3 得 sin A a 3 2 b 2
§1.1.1正弦定理
（第一课时）
教材：人教A版
1
北 东
C
·
· A
130°
30°
10km
2
· B
问题情境
在 △ ABC 中 ， 已 知 A=130°,B=30° ， AB=10千米，求AC与BC的长．
C
130° 30° A 10km
B
3
三角形的边角之间的关系
三角形的内角和是180
两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边
A 60 或A=120
o
o
9
归纳提升
a b c ★正弦定理： sin A sin B sin C
★主要应用： 1. 已知两角及一边，可以求出另外两边 和另一角 2. 已知两边一对角 ，可以求出另外两角 和另一边
正弦定理课件
6、归纳小结
问题4：本节课你学到了哪些知识？有什么收获？
1、找到了解决任意三角形边角关系的重要工具—正弦定理。
2、正弦定理的证明方法。
3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。
作业：1、请至少有三种方法证明正弦定理。 2、课本P4第1题 ，P10第1题
作高法作高法.mp4
3、逻辑推理 证明猜想
问题2：你能严格地推理证明猜想吗？
等面积法等面积法.mp4
4、定理形成 概念深化
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
（1）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美； 一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题3：利用正弦定理解三角形，至少已知几个元素？问题4：正弦定理可以解决那类解三角问题？
第1部分
正弦定理
1、创设情境 提出问题
引入
小王去察尔汗盐湖，他发现在他所在位置北偏东60°方向有一艘采盐船，当他开车向正东方向走了5千米后，发现采盐船在他的北偏西45°的位置。此时，采盐船离小王多远？
A
B
C
实际问题
数学问题
已知 中
BC=5，求AC的长。
2、探寻特例 提出猜想
正弦定理：
（2）解三角形：
例1、已知
中，a=20,A=30°，C=45°解三角形。
∴B=180°﹣(A+C)=105°
由正弦定理b=
=
=40sin（45° +60°）
=
=
；
c=
∴B=105°，
b=
c=
解：∵A=30°，C=45°，
5、范例教学 举一反三
变式1若 中，AC= ,A=45°，C=75°，则:BC=
问题4：本节课你学到了哪些知识？有什么收获？
1、找到了解决任意三角形边角关系的重要工具—正弦定理。
2、正弦定理的证明方法。
3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。
作业：1、请至少有三种方法证明正弦定理。 2、课本P4第1题 ，P10第1题
作高法作高法.mp4
3、逻辑推理 证明猜想
问题2：你能严格地推理证明猜想吗？
等面积法等面积法.mp4
4、定理形成 概念深化
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
（1）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美； 一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题3：利用正弦定理解三角形，至少已知几个元素？问题4：正弦定理可以解决那类解三角问题？
第1部分
正弦定理
1、创设情境 提出问题
引入
小王去察尔汗盐湖，他发现在他所在位置北偏东60°方向有一艘采盐船，当他开车向正东方向走了5千米后，发现采盐船在他的北偏西45°的位置。此时，采盐船离小王多远？
A
B
C
实际问题
数学问题
已知 中
BC=5，求AC的长。
2、探寻特例 提出猜想
正弦定理：
（2）解三角形：
例1、已知
中，a=20,A=30°，C=45°解三角形。
∴B=180°﹣(A+C)=105°
由正弦定理b=
=
=40sin（45° +60°）
=
=
；
c=
∴B=105°，
b=
c=
解：∵A=30°，C=45°，
5、范例教学 举一反三
变式1若 中，AC= ,A=45°，C=75°，则:BC=
高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)
结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
正弦定理应用ppt课件
小结
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有 两解、一解或无解．
(3)利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理，结合三角形的内角和定理及三角函数中 的一些公式，可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变 形，要充分挖掘题目中的隐含条件，通过正弦定理转化为边 的关系或角的关系，看是否满足勾股定理、两边相等或两角 相等、三边相等或三角相等，从而确定三角形的形状．
①a:b:c＝sinA:_s_i_n_B_:sinC . ②sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC . ③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2_R__si_n_C___. ④sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR ⑤A<B⇔a<b⇔2RsinA<2RsinB⇔sinA<sinB .
2× 3
2 2 ＝2
3.故选B.
2
答案：B
3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：由sinA＝sinC知，在△ABC中有A＝C. 答案：B
4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.
变式训练 已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之 积等于两根之和，且 a，b 为△ABC 的两边，A，B 分别为 a， b 的对角，试判断△ABC 的形状．
解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝ bcosA，x1x2＝acosB.
由题意得bcosA＝acosB， 由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0. ∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－π<A－ B<π，所以A＝B. 即△ABC为等腰三角形．
9.1.1正弦定理 课件(共36张PPT)
基础预习初探
1.回顾直角三角形中的边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin B sin C
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有 a b c =2R(定值).
sin A sin B sin C
2.在锐角或钝角三角形中边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin C
得sin C= csin A 3，
a2
又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,sin75°= b= csin B 2 6;
sin C
6 2， 4
当C=120°时,B=15°,sin15°= b=csin B 6－ 2.
sin C
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
提示:如图,锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接
BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以 a =aCD=2R,
sin A sin D
同理 b=2R, =c2R.
sin B
sin C
得 a b =2Rc(定值).
sin A sin B sin C
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
2
可得B<60°,即可求得B.
2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.
【解析】1.选C.因为A=60°,a=4 3,b=4,
由正弦定理 a ,得b sin B=
sin A sin B
bsin A 4 sin60 1 .
a
43 2
因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.
正弦定理PPT课件
定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
正弦定理课件ppt
提习题
要点一
提升习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且sin(A+C)=2sinBcosA，求证：b²=ac。
要点二
提升习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且cosB=1/3，b=3，求边长a和c的值。
综合习题
综合习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B-sinA=sin²C ，求证：三角形ABC是直角三角形。
确定三角形形状
通过正弦定理，我们可以 判断三角形的形状，例如 是否为直角三角形、等腰 三角形等。
求解三角形角度
已知三角形的两边及其夹 角，可以使用正弦定理求 出其他角度。
求解三角形边长
已知三角形的两角及其夹 边，可以使用正弦定理求 出其他边长。
在三角函数中的应用
求解三角函数值
已知三角形的两边及其夹角，可 以使用正弦定理求出三角函数值 。
VS
三角函数的和差公式
利用正弦定理推导出三角函数的和差公式 ，例如sin(α+β)和sin(α-β)的公式。
05
CHAPTER
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，a=3，b=4，求角C。
基础习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinBcosC，求证：三角形ABC是 等腰三角形。
正弦定理是解决三角形问题的重要工具之一，可以用于解决 各种与三角形相关的数学问题。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
利用三角形的面积证明正弦定理
正弦定理优秀课件
02 sin A sin B sin小C结 ： 正弦定理
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a
01
正弦定理 在 一个三角形中， 各边和它所 对角的正弦的 比相等，即
02
03
正弦 C定 理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求 知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的 对角解三角形时,通常要用到三 角形内角定理和定理或大边对 大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a
01
正弦定理 在 一个三角形中， 各边和它所 对角的正弦的 比相等，即
02
03
正弦 C定 理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求 知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的 对角解三角形时,通常要用到三 角形内角定理和定理或大边对 大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
正弦定理课件(优秀)
正弦定理的发现过程
三角形的边与角的关系：介绍三角形边与角的基本关系，为正弦定理的发现奠定 基础。
特殊三角形的边与角的关系：通过观察等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的 边与角的关系，引出正弦定理的猜想。
一般的三角形：通过一般三角形的边与角的关系，验证正弦定理的正确性。
三角形的面积：介绍三角形面积的计算方法，为正弦定理的应用提供思路。
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正弦定理课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 正弦定理的引入
05 正弦定理的应用
07 总结与回顾
02 课件封面与目录 04 正弦定理的证明 06 正弦定理的拓展与
延伸
添加章节标题
课件封面与目录
封面设计
● 标题：正弦定理课件 ● 副标题：深入浅出，轻松掌握 ● 图片：一幅与正弦定理相关的图片，如三角形、波浪等 ● 配色：采用清新、简洁的配色方案，如蓝色、白色等 课件目录
三角函数的对称 性：利用正弦定 理，可以判断三 角函数的对称性， 例如判断y=sin(x) 是否具有对称性。
三角函数的图像与性质问题
三角函数图像的绘制方法 三角函数的基本性质 三角函数的周期性、对称性和单调性 三角函数的应用举例
正弦定理的拓展与延伸
余弦定理与正弦定理的关系
余弦定理与正弦定理的相似之处
目录结构
目录页
单击此处输入你的正文，请阐述观点
正弦定理的证明
单击此处输入你的正文，请阐述观点
正弦定理的引入
三角函数的应用背景
三角函数在几何学中的应用：通过三角函数可以解决三角形中的角度和边长问题，如求三角形的面积、周长等。
三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有着广泛的应用，如简谐运动、交流电、电磁波等。 三角函数在工程学中的应用：在工程学中，三角函数可以用于解决结构分析、振动分析等问题。 三角函数在经济学中的应用：在经济学中，三角函数可以用于分析金融市场的波动性、风险性等问题。
正弦定理优质课PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
第39页
本节小结: 正弦定理的证明
1.结构：正弦定理 正弦定理的应用 解三角形 2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为180 的应用，以及角之间的转化.
第36页
例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ，沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处，又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC(精确到1m).
B
B
35 20
A
D 65 E C
35 20
A
65 E D
C
第37页
某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损， 现测得如下数据；BC 2.57cm,CD 1.89cm, BE 2.01cm, B 45 ,C 120 ,为了复原， 计算原另两边的长.
sin Acos C 3 sin Acos C
( 3 sin A cos A) sin C sin C
sin C 0 3 sin A cos A 1即sin( A 300 ) 1 . 2
又300 A 300 2100 A 300 1500
A 1200.
第33页
4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
b c, sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sin C
即： a b c sin A sin B sin C
第6页
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
本节小结: 正弦定理的证明
1.结构：正弦定理 正弦定理的应用 解三角形 2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为180 的应用，以及角之间的转化.
第36页
例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ，沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处，又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC(精确到1m).
B
B
35 20
A
D 65 E C
35 20
A
65 E D
C
第37页
某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损， 现测得如下数据；BC 2.57cm,CD 1.89cm, BE 2.01cm, B 45 ,C 120 ,为了复原， 计算原另两边的长.
sin Acos C 3 sin Acos C
( 3 sin A cos A) sin C sin C
sin C 0 3 sin A cos A 1即sin( A 300 ) 1 . 2
又300 A 300 2100 A 300 1500
A 1200.
第33页
4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
b c, sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sin C
即： a b c sin A sin B sin C
第6页
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)
同理,过C点作 j垂直于CB，可得 c b ,在锐角三角形中
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
正弦定理课件：(比赛用)PPT)
正切定理与正弦定理的关系
正切定理描述了三角形中两边的比值与它们所对的角的正 切值之间的关系。具体来说，正切定理指出在任何三角形 ABC中，边BC与角A的正切值的乘积等于边AC与角B的正 切值的乘积，以此类推。
正切定理与正弦定理之间存在密切的联系。正弦定理可以 通过三角恒等式转化为正切定理的形式，反之亦然。这种 关系表明，正弦定理和正切定理在解决三角形问题时可以 相互补充。
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、 b、c之比都相等，即$sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
三角形的角度与边长的关系
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、b、c之比都相等，即 $sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
正弦定理在几何学中的应用
正弦定理是解决三角形问题的基本工具之一，它在几何学中有着广泛的应用。例 如，利用正弦定理可以计算三角形的面积、解决三角形中的角度问题、判断三角 形的形状等。
正弦定理在几何学中的应用不仅限于三角形本身。例如，它可以用来解决与圆、 椭圆、抛物线等其他几何图形相关的问题。通过结合其他几何定理和性质，正弦 定理可以用于解决各种复杂的几何问题。
三角形的解法
三角形的解法概述
解决三角形问题需要利用三角形的边 角关系，通过代数运算和三角函数计 算来求解。
常见的三角形解法
常见的三角形解法包括余弦定理、正 弦定理、勾股定理等，这些解法在解 决三角形问题时具有广泛的应用。
Hale Waihona Puke 三角形的面积计算三角形面积的计算公式
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能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？
求证:
a
b
＝
＝
c
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明： 作外接圆O,
B
过B作直径BC/,连AC/,
BA C 90, C C ' c
a
sin C sin C ' c 2R A
sinA sinB sinC
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
正弦定理优秀课件
定义：
解三角形就是：
A
c
b
B
a
C
定义：把三角形的三个角A，B，C和 三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 B 的边和角。
A
c
b
a
C
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的夹角为 A90
B
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
求B 和 角b.边
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
O
C
b
c
2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
C/
sin A sinB
能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sinB sinC
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
两边同取与 j的数量积 , 得
Байду номын сангаас
求B和c。
3
解: a b
sinA sinB
sinB bsinA 2
2
2 2 1
a
2
B 900 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
a
sin A
c a
c
sin A
sin sin
B C
b
c
1
c
b sin
B
c c c
c
sin C
A c
b
Ca
B
a b c sinA sinB sinC
2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
A
c
b
此时有 siB nA cD ,siC nA bDB
图1 D
C
所以AD=csinB=bsinC, 即
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
sin B b sin A 2
2
2 2
3
a
43 2
3
B 600 或1200
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角： 大边对大角
a
C
课前检测
在 Rt ABC 中， A300, C900,a10
求b , c ?
A
c b
Ca
B
问题1：在 ABC 中，设 B Ca,A Cb,A Bc,
证明：
a
b
c
sinA sinB sinC
1. 在一个直角三角 A形BC中
ACCBAB
j ACcos90 j CBcos9( 0 C)
j ABcos9( 0 A) 即asinC csinA a c sinA sinC
同理 , 过 C 点作 j垂直于 CB，可得 c b , 在锐角三角形中
sin C sin B 也有 a b c s iA n s iB n s iC n
C
750 或150 c
a sin C
4 3 3
6 4
sin A
2
2 88 3 3
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
bc, sinB sinC
同理可得 a c ,
sinA sinC
即： a b c sinA sin B siC n
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sinB
AD c
且 s（ in C） A bD siC n
仿(2)可得 a b c
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B b sin A 2
2
2 2 1
a
4
2
B 300 或1500 (舍去 )
C 1050 c
a sin C 4
6 4
sin A
2
2 2 32
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
j AC CB j AB
j AC j CB j AB （ 根 据 向 量 的 数 量 定 积 义 的 ）
A
b
C
证 明 ：A过 作点 单 位 向 j垂量 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的 夹 角 为90C， j与AB的 夹 角 为90A . 由向量加法的三角形法则
求B 和 角b.边
解： B 1 8 (A 0 C ) 1 05
∵
bc sinB sinC
bcsinB sinC
5 10sin105 sin30
65
219
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？
求证:
a
b
＝
＝
c
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明： 作外接圆O,
B
过B作直径BC/,连AC/,
BA C 90, C C ' c
a
sin C sin C ' c 2R A
sinA sinB sinC
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
正弦定理优秀课件
定义：
解三角形就是：
A
c
b
B
a
C
定义：把三角形的三个角A，B，C和 三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 B 的边和角。
A
c
b
a
C
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的夹角为 A90
B
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
求B 和 角b.边
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
O
C
b
c
2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
C/
sin A sinB
能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sinB sinC
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
两边同取与 j的数量积 , 得
Байду номын сангаас
求B和c。
3
解: a b
sinA sinB
sinB bsinA 2
2
2 2 1
a
2
B 900 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
a
sin A
c a
c
sin A
sin sin
B C
b
c
1
c
b sin
B
c c c
c
sin C
A c
b
Ca
B
a b c sinA sinB sinC
2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
A
c
b
此时有 siB nA cD ,siC nA bDB
图1 D
C
所以AD=csinB=bsinC, 即
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
sin B b sin A 2
2
2 2
3
a
43 2
3
B 600 或1200
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角： 大边对大角
a
C
课前检测
在 Rt ABC 中， A300, C900,a10
求b , c ?
A
c b
Ca
B
问题1：在 ABC 中，设 B Ca,A Cb,A Bc,
证明：
a
b
c
sinA sinB sinC
1. 在一个直角三角 A形BC中
ACCBAB
j ACcos90 j CBcos9( 0 C)
j ABcos9( 0 A) 即asinC csinA a c sinA sinC
同理 , 过 C 点作 j垂直于 CB，可得 c b , 在锐角三角形中
sin C sin B 也有 a b c s iA n s iB n s iC n
C
750 或150 c
a sin C
4 3 3
6 4
sin A
2
2 88 3 3
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
bc, sinB sinC
同理可得 a c ,
sinA sinC
即： a b c sinA sin B siC n
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sinB
AD c
且 s（ in C） A bD siC n
仿(2)可得 a b c
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B b sin A 2
2
2 2 1
a
4
2
B 300 或1500 (舍去 )
C 1050 c
a sin C 4
6 4
sin A
2
2 2 32
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
j AC CB j AB
j AC j CB j AB （ 根 据 向 量 的 数 量 定 积 义 的 ）
A
b
C
证 明 ：A过 作点 单 位 向 j垂量 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的 夹 角 为90C， j与AB的 夹 角 为90A . 由向量加法的三角形法则
求B 和 角b.边
解： B 1 8 (A 0 C ) 1 05
∵
bc sinB sinC
bcsinB sinC
5 10sin105 sin30
65
219
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，