基于非光滑控制的一类不确定非线性系统的输出调节

基于非光滑控制的一类不确定非线性系统的输出调节程鹏杰;孟桂芝【摘要】Aiming at the output regulation problem of an nonlinear system,transformation of coordinates is adopted to convert that to a stabilization model.A linear internal model equation with error item is designed based on external system information.Nonsmooth analysis theory and dynamic surface method are introduced in,combining with Backstepping design method and Lyapunov method,to propose a nonsmooth state controller,so as to avoid the problem that virtual controls must be smooth function in Backstepping design.The proposed nonsmooth controller can keep all signals in the closed-loop systems being uniform and ultimatly bounded with the tracking error arbitrary small.The simulation results verify the effectiveness of the proposed controller.%针对一类具有不确定性的非线性系统的输出调节问题,通过坐标变换将其转换为镇定问题,利用外系统信息设计出具有误差项的线性内模,引入非光滑分析理论和动态面法,结合Back-stepping设计方法和Lyapunov法给出了状态反馈的非光滑控制器,避免了Backstepping设计方法中所存在的“虚拟控制必须为光滑函数”问题,所提出的控制器能够实现整个闭环系统的信号均一致最终有界且跟踪误差可以保证在预设的任意小范围内,数值仿真结果表明所提出的非光滑控制器的有效性.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】7页(P492-498)【关键词】内模;非光滑控制;Backstepping技术;Lyapunov方法【作者】程鹏杰;孟桂芝【作者单位】北京交通大学机械与电子控制工程学院,北京100044;哈尔滨理工大学理学院,哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】TP271输出调节问题又称为伺服问题,是近年来非线性控制理论研究的热点问题之一[1-3]。

对于线性系统，解决其输出调节问题的有力工具是内模原理 [4]，内模的提出也使非线性输出调节问题得到迅速的发展,特别是对含有不确定性的输出调节问题，更是引起了学者们的广泛关注[5-12]。

在实际系统中，由于外部环境的影响，总是存在不同的非参数和参数不确定性。

目前，对含有参数不确定性的非线性输出调节问题，学者们已经进行了深入的研究[5-10]。

鲁棒控制方法[8]和自适应观测器[9]是解决这类问题的主要方法。

但对含有非参数不确定性的非线性输出调节问题，则研究成果较少[11-12]。

Backstepping技术(反步法)是处理含有非参数不确定性系统的一种有效设计手段[13]。

文献[11]利用Backstepping技术研究了由含有未知参数的外系统驱动的具有未知连续函数项的非线性下三角系统的输出调节问题。

文献[12]结合动态面控制法解决了具有未知连续函数项的非线性系统的输出调节问题.但是Backstepping技术存在“所得到的虚拟控制必须为光滑函数”问题，为避免虚拟控制必须为光滑的，引入非光滑分析方法[14]，它也是一种典型的非光滑控制设计方法。

文献[15]针对不确定非线性系统的镇定问题，基于Backstepping设计方法，利用非光滑分析理论，设计出鲁棒非光滑控制律。

而将非光滑控制引入到输出调节，利用非光滑控制和Backstepping设计技术结合设计出相应的非光滑控制器和内模也非常具有挑战性。

本文首次提出应用非光滑分析方法去设计非光滑反馈控制器，解决具有非参数不确定的函数项的非线性系统的输出调节问题。

与文献[11-12]不同的是,本文中的不确定项只需要被C1函数界定, 不需要用光滑函数界定,同时通过引入非光滑分析理论，可以避免所得到的虚拟控制必须为光滑函数,再结合Backstepping技术设计状态反馈控制器和内模使得所得到的整个闭环系统能够达到一致最终有界且跟踪误差在预设的任意小范围内。

考虑非线性系统其中x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn表示系统状态,u∈R表示控制输入,y∈R表示系统输出,函数fi(x1,…,xi)(i=1,…,n)为已知且光滑的，Δfi(x1,…,xi)(i=1,…,n)为未知连续函数，包含外界干扰和未建模动态的不确定项,不要求一定是Lipscitz的。

e为跟踪误差，已知光滑函数di(w)、R(w)分别表示非期望的外扰动和参考输入。

w∈Ω表示外系统产生的信号，它由如下的线性系统(被称为外系统)产生的：其中Ω表示已知确定的包含原点的任意紧致子集。

对系统(1)和(2)作下述假设:假设1：对系统(1)中的不确定项Δfi(x1,…,xi),一定存在已知函数gi(x1,…,xi)满足: 其中函数gi(x1,…,xi)为C1的,且不需要是Lipschitz的。

假设2：外系统(2)满足中性稳定性条件[1]。

接着给出一些跟本文有关的非光滑分析的概念和相关结论。

不妨记为集合凸闭包，μ为Rn中的Lebesgue测度。

B(x,r)为Rn中以x为心，r为半径的开球域。

定义(Filippov解[16]) 一个绝对连续的向量函数x(t):[t0,t1]→Rn被称为非线性方程在[t0,t1]上的Filippov解，如果x(t)满足其中,且为所有集合N(N满足Lebesgue测度为零)的交。

定理 (链法则[14]) 若正则函数V:Rn→R局部满足Lipschitz连续，x(t)是(x)的Filippov向量解，则V(x(t))关于时间t绝对连续，且其导数满足:其中,(t))，∂V为V(x(t))的Clarke广义梯度。

根据系统(1)和(2)，可知一定存在全局定义解[π(w)]T，且这里2in。

定义坐标变换σ=x-π(w)，利用式(1)和式(3)，对σ关于时间t求导可得其中：注1 在假设1成立的情况下，存在已知的C1函数φi(σ1,…,σi)，满足类似于参考文献[12]，内模的标准参数化形式可设计如下具有误差的内模这里i(·)表示待设计函数。

注2 系统(4)和系统(6)构成了增广系统。

显然，系统(1)和(2)的输出调节问题被转化为的增广系统(4)和(6)的镇定问题。

为避免所设计的虚拟控制必须为光滑函数,引入非光滑分析理论,设计非光滑控制器的具体步骤如下:Step 1 对i=1, 考虑到令s1=σ1-σ1d,σ1d=0为虚拟控制，选择Lyapunov函数则函数V1关于时间t求导得由注1,显然,存在已知的C1函数φ1(σ1)≥0,满足下式：选择虚拟控制这里k1>0是待设计的正常量,并且应用动态面法，让虚拟控制β1通过下面的一阶滤波器：且满足σ2d(0)=β1(0),τ2>0待设计的常数。

令s2=σ2-σ2d,z2=σ2d-β1，选择Lyapunov函数则函数V1关于时间t求导得=s1(s2+z2+β1++Δ)+z2(-)-k1+s1s2+s1z2--z2其中为β1的广义时间导数。

注意到因此一定存在某个连续函数ρ2(σ1,σ2)，使得把式(7)～(9)和式(11)代入到式(10),得Step i 考虑当2in-1时，令si=σi-σid,zi=σid-βi-1，则有类似式(7)，存在已知的函数φi>0，满足：|zi|φi选择镇定的虚拟控制其中，ki>0是待设计的正常量，由动态面法，让虚拟控制βi通过如下的一阶滤波器：且满足σi+1d(0)=βi(0),τi+1>0待设计的常数。

选取Lyapunov函数：则函数Vi对时间t求导，可得：把式(11)～(14)代入到式(15),类似文献[16],可证：对任意p>0,若对一切V(0)<p,则存在常数k1>0,k2>0,…,ki>0和有限正常数τ2,…,τi,α0使得Step n 定义坐标变换从而其中分别为ζ、sn的广义时间导数。

定义全局的Lyapunov函数其中,Q为对称的正定矩阵，且满足GTQ+QG=-2kI,k>0为待设计常参数。

定义由定理1和定理2,则易得函数V关于t的广义导数其中由文献[17]式中有将式(18)～(19)代入到式(17)，有+Δ)+ζTQ·[Gζ-HΔ+Htanh()+(G+Hφ)Hsn]由Young’s不等式，可得其中,参数1>0、2>0、3>0。

把式(21)～(23)代入式(20)得到选择合适的参数1、2、3使得下式成立利用式(25)和式(26), 式(24)可转化为:其中,α0,δ为正常数,且满足δ=ε2,α0=min{k1,k2,…,kn,k-2-3-}。

取ϖ=，有从而可知式(4)和式(6)构成的闭环系统的所有的变量都是最终一致有界的，并可以选择适当的参数使得所有变量在预先给定的精度范围内。

例：考虑二阶不确定非线性系统其中,x=[x1,x2]T∈R2为状态,u∈R为控制输入，y∈R为系统输出，e∈R为跟踪误差，w1和w2分别代表系统的参考输入和扰动，且外部信号w=[w1,w2]T∈R2为的线性外系统所生成外扰动Δf(x)为连续函数，满足:|Δf(x)| g(x) 。

这里不妨设由题设可知式(27)和式(28)显然满足假设1和假设2，且其解为π1(w)=w1,π2(w)=0,这里取令τ(w)=[α(w),LSwα(w)]T，从而将外系统(28)浸入到下述的线性可观系统这里不妨取再令k=4,则有从而可知进而知φ=ΓT-1=[-2,3]。

设计滤波器为：设计内模和控制输入分别为：-k1σ1。

在仿真中，令仿真时长t=20s，可得到仿真结果如图1至图4所示,分别表示系统的控制输入u、内模的状态ξ、系统状态x1和它的参考输入R(w)=w1以及跟踪误差e的响应曲线，从图3和图4可以看出，对具有不确定性的非线性系统(27)，采用非光滑的控制器和内模能够实现状态x1能够渐近跟踪参考信号w1，跟踪误差e在任意小的范围内，所得到的闭环系统的所有信号最终有界。