冲击波第一讲

t
（1.1）


这里ψ（t）只是t的函数，故 与 t d dt 的含义相 同。 对P(ψ)和J(ψ)也可用其相应的强度量表出 其中σ是单位时间单位体积内ψ的源，而 J jdS S 其中j是单位时间内通过表面单位面积的ψ的流， 这里j和面积dS都是矢量，定义表面积的外法线 方向为正。
将以上各项代人(1.4)式，就得到总能守 恒方程为 E R Fu E p u q u (1.12) t 或写为 1 1 u e u e p u q u 2 R Fu (1.13) t 2 并利用到质量守恒方程(1.5)，则(1.12) 式可化为 E 1 u E pu q u R Fu (1.14) t
t
这就是熟知的质量守恒方程，也称为连续 性方程。

展开上式中的散度 u ugrad +divu u u
所以 或者
u u 0 t
d u 0 dt



若在运动过程中介质的ρ始终保持不变，即dρ／dt=0， 则这种介质称为不可压缩介质。对不可压缩介质，连 续性方程特别简单，为
第三讲
第四讲
第五讲 第六讲 第七讲
课程大纲（续）



3 斜冲击波（6学时） 3.1 斜冲击波极曲线 3.2 斜冲击波在固壁上的正规反射 3.3 斜冲击波在固壁上的马赫反射 3.4 斜冲击波在自由面上的正规反射 3.5 斜冲击波在物质界面上的正规折射 3.6 两冲击波斜碰撞 4 非定常冲击波传播（3学时） 4.1 二维Whitham方法 4.2 冲击波的绕射 4.3 点爆炸问题的自模拟解 4.4 球面冲击波的聚心运动 5 冲击波技术的应用
u u t 1.20） u 1 1 （ u u p F t e 1 u e p u q : u R t
2 正冲击波（15学时） 2.1 冲击波基本概念和关系式 2.2 多方气体冲击波关系式 2.3 凝聚介质冲击波关系式 2.4 雨贡纽曲线及瑞利曲线 2.5 冲击波基本性质 2.6 冲击波熵增及耗散过程 2.7 弱冲击波的声学近似 2.8 冲击波的相互作用 2.9 冲击波与稀疏波的相互作用 2.10 冲击波与交界面的相互作用 2.11 初始间断分解

（1.8）
其中μ是粘性系数， v 称为运动粘性系数
欧拉(Euler)方程

对于不可压缩粘性流体，(1.8)式化简为
u 1 u u p vu F t
（1.9） 对于非粘性流体，在无外力作用情况下， 动量守恒方程就化为 u 1 u u p （1.10） t 这个方程也叫作欧拉(Euler)方程。

同上情况下，非粘性流体动力学方程组 是 u u t u 1 u u p t （1.22） e 1 u e p u t

若把这组方程写为随体微商，即拉格朗 日(Lagrange)时间微商的形式则为
P dV
V



一般形式守恒方程的积分形式
LdV dV jdS V S t V
（1.2）


再利用格林(Green)公式把式中最后一 项的面积分化为体积分，上式可化为 L j （1.3） dV 0 t
V


t L r , t dV
V

t 当L是一守恒量时，对于非孤立系统， 的变化 / t 由两项组成：一项是单位时 间内在体积V内ψ的产生项，即源项，把 它记作P（ψ）；另一项是单位时间内通 过体积V的表面积S流走ψ的流项，将它 记作J（ψ），即 P J
（1.7）
纳维—斯托克斯(Navier—Stokes)方 程

粘性流体的动量方程，其标量形式
u u u u u w t x y z 1 p v u vu X x 3 x u w t x y z 1 p v u v Y y 3 y w w w w u w t x y z 1 p v u vw Z z 3 z
0 t
这里和以后都用 表示当地的时间微商，以 d 表示随体微商，它们的关系是 dt d ugrad u dt t t 其中u=u（u，v，w）是介质的速度矢量。

t
质量守恒方程

质量对应的强度量，即单位体积的质量 是密度ρ，现令L=ρ。因质量不产生也不 消亡，故源项σ =0。ρ的流只有运流， 故流项j=ρu，这里u是介质的宏观速度。 于是，代人(1.4)式得 （1.5） u 0
u 0 t
u uu p F t E （1.19） R Fu E p u q u t

非守恒形式的流体动力学方程组：
冲击波理论
——研究生课程
主讲人：彭金华
Email：pengjh@
教学目的
本课程旨在比较深入、系统地介绍气体 中运动的定常、非定常冲击波传播及与 其它间断面的相互作用，使学生掌握基 本物理概念和计算方法，以便为开展科 学研究和解决有关工程技术问题奠定基 础。
课程大纲
能量守恒方程

单位体积的总能为ρE，即令L=ρE
（1.11） 总能的源有两部分，一是介质本身释放的能量， 二是外力F对介质做的功，即
R Fu
E 1 2 u e 2


总能的流包括：①随介质运动带走的能量， 即运流ρEu；②因热传导而在单位时间内流过 单位面积的能量流q；③应力单位时间内在单 u pIu u 位面积上所做的功 。于是能量流项 j ( E p)u q u 为
uu u u u u
u u u t t t
u uu F t
于是，根据(1.4)式得动量守恒方程 （1.6）
所以
u 1 u u F t

u u t u 1 1 u u p t （1.21） e 1 1 u e p u : u t
在无能源、无外力、无热传导的情况下， 粘性流体动力学方程组为
也称为内能平衡方程。它表明，介质内能的增量等于如 下几项之和：①周围介质对本介质做的压缩功， d 1 p 即 dt ；②外界向介质输入的热量；③介质表面上 应力做的功；④介质本身释放的能量。

当无能源、无耗散应力时，内能守恒方程则为 de d 1 1 (1.17) p q

2 2
e up u R e p u q u t


内能守恒方程
(1.15)
常用的内能守恒方程
de d 1 1 1 p q : u R dt dt
(1.16)



1 基本概念和方程（6学时） 第一讲 1.1 守恒方程 1.2 介质状态方程 1.3 理想流体运动方程组 1.4 伯努力方程 1.5 不可压缩流体运动方程组 第二讲 1.6 流体力学方程组的积分形式 1.7 间断面及间断关系式
课程大纲（续）





第八讲
第九讲
第十讲
教材选用
1) 李维新. 一维不定常流与冲击波. 北京： 国防工业出版社. 2003 2）周毓麟. 一维非定常流体力学. 北京： 科学出版社. 1998 3）王继海. 二维非定常流和激波. 北京： 科学出版社. 1994
考核



上课出勤率，回答问题及听课情况，占 总成绩10%； 学期中，每人写一篇读书报告或准备一 节课的教学内容，上讲台交流，占总成 绩20%； 学期末，开卷考试，考试时间2小时，试 卷分100分，占总成绩70%。
第一章 基本概念和方程
1.1 守恒方程 质点：介质的微元叫作“流体质点”或 “质点”。当说质点速度时，指的并非 各分子的速度，而是微元整体的速度， 当说到质点密度、压力等状态量时，指 的则是该微元体现的平衡态宏观量。
宏观小、微观大
守恒方程的一般形式
强度量：单位体积的量，例如密度、动量密度、能量 密度、压力等，这类量不随体积的增加而增加； 广延量：强度量对体积积分的结果，例如质量、动量、 能量、熵等，这类量对体积是可加的。 设L(r，t)是所讨论宏观系统中介质的某一强度量，它是 空间坐标r=r (x，y，z)和时间t的函数。在系统中任 取一个体积V，则L(r，t)对应的广延量是


其中▽是符号算子，在直角坐标系(x，y， z)中 i j k
x y z

因(1.3)式对任意的体积V都成立，当所 有的量在V内是连续变量时，该式就意味 着积分号内整个被积函数应等于零，故 得守恒方程的微分形式 L j （1.4）
t

对于孤立系统，不存在与外界的交换，也无源， 这时ψ的守恒方程为
u 0
动量守恒方程


动量的强度量是动量密度ρu，即现在令L=ρu。 当存在外力场的作用时，根据牛顿定律，外力对介质 的作用将导致介质动量增加，故外力是产生动量的源。 设F是作用于介质单位质量的外力，则ρF为作用于单 位体积的外力，于是动量密度的源σ=ρF。 动量密度本身是一个矢量，它的流则应是个张量。其 中运流即随质点运动带走的动量密度流是ρuu，这里 ρuu是并矢张量，例如分量ρuux就代表动量ρu在x方 向的流量。另外是扩散流，因为介质中的应力张量∏ 要导致动量的扩散，所以在所讨论系统的表面积上将 产生流过该面积的扩散流－∏，这里取负号是因为应 力朝表面积外法向为正，故应力给外界产生的动量为 正，而给本系统产生的动量则为负。所以，动量密度 的流，j=ρuu－∏。