应力与应变之间的关系

τyx τyz σ z τzx σx τ τ τzy τxy σx xz xy τzx τxz τxy σz dy τyx τyz dz σy
dx
σy
对图示空间应力状态： 对图示空间应力状态： 六个应力分量， 六个应力分量，
σ x , σ y , σ z ; τ xy , τ yz , τ zx
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压 正负号规定：正应力分量同前，拉为正、 为负；切应力分量重新规定，正面（ 为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐 标轴指向一致） 标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或 负面上切应力矢与坐标轴负向一致时， 负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为 反之为负。 正，反之为负。 对应的六个应变分量， 对应的六个应变分量，
[
]
[
]
对切应力分量与切应变的关系， 对切应力分量与切应变的关系，有：
γ xy =
τ xy
G
γ yz =
τ yz
G
γ zx =
τ zx
G
4
上述六个关系式即为空间应力状态下， 上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。 对平面应力状态： 对平面应力状态：设σz=0，τxz=0，τyz=0，有： ， ， ，
ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx
2
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、 正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 切应变分量以使直角减小为正，反之为负。 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。 对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得： 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得： 三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为： 三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为： 方向的线应变为
σ2
θ=
V1 − V V
b
σ1
c
= ε1 + ε 2 + ε 3
σ3
a
θ 也称为体积应变。
14
θ = ε 1 + ε 2 + ε 3 = 1 − 2 µ (σ 1 + σ 2 + σ 3 )
式中： K =
3(1 − 2 µ ) σ 1 + σ 2 + σ 3 = σ m = K 3 E
E 体积弹性模量 3 (1 − 2 µ ) σ1 +σ2 +σ3 = 3
τ xyτ yx
σy
γ xy =
τ xy
G
γ yz =
τ yz
G
γ zx =
τ zx
G
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4.单元体体积变化：
V = a ⋅b⋅c V1 = a (1 + ε 1 ) ⋅ b(1 + ε 2 ) ⋅ c(1 + ε 3 ) ≈ a b c (1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 ) 单位体积的体积改变为:
§10-5 应力与应变之间的关系 101、各向同性材料的广义胡克定律 单向应力状态： 1）单向应力状态：
s
σ ≤ σ P 时， ε x =
横向线应变： 横向线应变：
σ
E
ε y = −ν
纯剪应力状态： 2）纯剪应力状态：
tx
σ
E
ε z = −ν
σ
E
τ ≤ τ P 时，
γ xy =
τx
G
1
gxy
空间应力状态： 3）空间应力状态：
6
可见， ， 可见，即使σ3 =0，但ε3 ≠0 而且各向同性材料有
E G= 2(1 + ν )
7
例 7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的 × × 两主应变值为ε1=240×10-6，ε3=–160×10-6。 材料的弹性模量E 材料的弹性模量 =210GPa，泊松比ν =0.3。 ， 。 求该点处的主应力值数， 求该点处的主应力值数 ， 并求另一应变 ε 2 的 数值和方向。 数值和方向。
1 ε3 = [σ3 − µ(σ1 +σ 2 )] E
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3、广义胡克定律的一般形式
1 ε x = [σ x − µ(σ y +σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ(σ z +σ x )] E 1 ε z = [σ z − µ(σ x +σ y )] E
σz
τ zx
σx
τ xz
τ zy τ yz
因主应力和主应变相对应，则由题意可得： 解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
σ2 = 0
即为平面应力状态， 即为平面应力状态，有
1 ε 1 = (σ 1 −νσ 3 ) E
1 ε 3 = (σ 3 −νσ 1 ) E
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E 210 ×10 (ε1 +νε 3 ) = (240 − 0.3 ×160)×10 −6 σ1 = 1 −ν 2 1 − 0.32 = 44.3MPa E 210 ×109 (ε 3 +νε 1 ) = (− 160 + 0.3 × 240)×10−6 σ3 = 1 −ν 2 1 − 0. 3 2 = −20.3MPa 主应变ε2为： ν 0.3 (44.3 − 20.3)×106 ε 2 = − (σ 1 + σ 3 ) = − E 210 ×109 = −34.3 ×10 −6
τ
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三向应力状态的广义胡克定律－ 2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
σ2 σ2
σ1
σ3
σ1
σ3
ε1
σ1
E
−µ
σ2
E
−µ
σ3
E
1 ε1 = [σ1 − µ(σ2 +σ3 )] E
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σ2
σ1
σ3
1 ε1 = [σ1 − µ(σ2 +σ3 )] E 1 ε2 = [σ2 − µ(σ3 +σ1 )] E
1 ε x = (σ x −νσ y ) E 1 ε y = (σ y −νσ x ) E
εz = − γ xy
ν
E 1 = τ xy G
(σ
x
+σ y )
5
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律， 若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
1 ε 1 = E [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] 1 ε 2 = [σ 2 −ν (σ 1 + σ 3 )] E ε 3 = 1 [σ 3 −ν (σ 1 + σ 2 )] E 1 二向应力状态： 二向应力状态： ε 1 = E (σ 1 −νσ 2 ) 1 设 σ 3 = 0, 有 ε 2 = (σ 2 −νσ 1 ) E ε 3 = − υ (σ 1 + σ 2 ) E
9
联立两式可解得： 联立两式可解得：
垂直，沿构件表面的法线方向。 其方向必与ε1和ε3垂直，沿构件表面的法线方向。
9
§10-5 10-
广义胡克定律
y x
1. 基本变形时的胡克定律 1）轴向拉压胡克定律 σ x = Eε x 横向变形
σx
ε y = −µεx = −µ
τ = Gγ
σx
E
2）纯剪切胡克定律
ε′ = x
σx
E
ε ′′ = −ν x
ε ′′′ = −ν x
σy
E
σz
E
3
则可得： 则可得：
1 ′ ε x = ε ′ + ε x′ + ε ′′′ = σ x −ν (σ y + σ z ) x x E
同理可得： 同理可得：
[
]
1 ε y = σ y −ν (σ x + σ z ) E 1 ε z = σ z −ν (σ x + σ y ) E
E
σ
m
1 ε 1 = E [σ 1 − µ（σ 2 + σ 3 ） ] 1 ε 2 = [σ 2 − µ（σ 3 + σ 1 ） ] E 1 ε 3 = [σ 3 − µ（σ 1 + σ 2 ） ] E
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