第三讲：印度与阿拉伯的数学
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第三讲印度与阿拉伯的数学
对于无理数，他与其他一些印度数学家一样，不仅 广泛地应用，而且在运算中将无理数和有理数同 样对待。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
24
印度数学
由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学 受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不 排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东 方数学以计算为中心的实用化特点。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
第6章 148 平地上一枝竹，高32尺。在某处被风吹折，竹梢触地离根 16尺。数学家，你说：竹离根何处折断？ 《九章算术·商股》第13题 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问： 折者高几何？
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
22
“悉檀多”时期的印度数学
婆什迦罗
A 20
32 20
12
B
16
2010年8月
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
7
印度数学
古代《绳法经》
婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计 与测量的部分《测绳的法规》，即《绳法经》， 大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。
《绳法经》是关于祭台建筑的宗教法规，其中包含 许多几何知识。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
8
印度数学
“巴克沙利手稿”与零号
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
24
印度数学
由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学 受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不 排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东 方数学以计算为中心的实用化特点。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
第6章 148 平地上一枝竹，高32尺。在某处被风吹折，竹梢触地离根 16尺。数学家，你说：竹离根何处折断？ 《九章算术·商股》第13题 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问： 折者高几何？
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
22
“悉檀多”时期的印度数学
婆什迦罗
A 20
32 20
12
B
16
2010年8月
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
7
印度数学
古代《绳法经》
婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计 与测量的部分《测绳的法规》，即《绳法经》， 大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。
《绳法经》是关于祭台建筑的宗教法规，其中包含 许多几何知识。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
8
印度数学
“巴克沙利手稿”与零号
第三讲印度与阿拉伯的数学
该书包括了《天文表集》、《算术》、《时间度量》 与《球》等篇，最突出的地方在于对希腊三角学 的改进和一次不定方程的解法。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
13
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。
阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
零号的发明是对世界文明的杰出贡献。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
10
表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经 出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多 可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约 在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了 地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数 字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚 些又在意大利和欧洲出现。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
14
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
13
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。
阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
零号的发明是对世界文明的杰出贡献。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
10
表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经 出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多 可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约 在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了 地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数 字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚 些又在意大利和欧洲出现。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
14
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
印度与阿拉伯的数学
古代《绳法经》中的数学
《吠陀》——婆罗门教的经典
《绳法经》——《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的
部分《测绳的法规》——几何内容和建筑中的代数计算问题。
如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一
些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了
圆周率的以下近似值：
41 1 1 1
= y 2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到
x m y m a
满足a x2 + k (m2 -a）= y 2, 即
a
m
k
2
m2 k
a
m k
a
2
最后根据“库塔卡”方法，可以找到 m 使 k m + , 并且使 m2 a
最小。计算
m
k
1
m2 a k k1
m
a
k
1
则（1 ，1）是方程ax 2 + k1 = y2的解。用1 ，1，k1代替 ，，k，重
《算法本源》主要是算术和代数著作。 什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”
问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成 一般性的解法。对ax 2 + 1 = y 2 ，婆什迦罗首先选择适当
的整数k ，找出a x 2 + k = y 2的一组特解( , )，即a 2 + k = 2，另外再找一个整数 m，使（1，m）是a x 2 +（m2 -a）
+ k ’ = y2的解( , )与(‘, ’ ),再做所谓“瑟马萨” 的组合,得
到:
x ' '
y ' a '
, 为ax2 + k k' = y2的解.
《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)解析
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜 廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的 数“0”．瓜廖尔数系为：
古代印度数学
• 印度－数码阿拉伯数码 • 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人 创造的.
关于0的发明
（一）阿耶波多
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他 只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最 突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦与全弦所对弧 的一半相对应(见图)，成为今天的 习惯，同时他以半径的
1
作为度
量弧的单位，实际是弧度制度量的 3438
4.1.1古代《绳法经》
印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混 杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文 veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫 术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后 来记录在棕榈叶或树皮上．
吠陀时期（公元前10－前3世纪）
数学史讲义
印度与阿拉伯数学
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐· 达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗 毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右． 如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
古印度与阿拉伯数学的代数与方程解法
古印度与阿拉伯数学的代数与方程解法古印度和阿拉伯在数学领域有着悠久的历史和卓越的贡献。
特别是在代数和方程解法方面，古印度和阿拉伯学者的研究成果为后世的数学发展奠定了坚实的基础。
本文将分别介绍古印度与阿拉伯数学在代数和方程解法方面的重要成就。
一、古印度数学的代数与方程解法古印度是数学史上的一个重要发源地，其代数和方程解法方面的贡献不可忽视。
首先，印度学者在代数方面的研究成果为后世的代数学发展做出了重要贡献。
他们提出了一种称为“数字代数”的方法，用来解决各种数学问题。
这种方法通过将问题转化为方程或等式，通过变量的运算来求解未知数的值。
例如，古印度学者在解决线性方程组时，采用了矩阵和向量的概念，将方程组转化为矩阵形式，通过矩阵的运算来求解未知数。
此外，古印度数学家还发展了代数的符号表示法，引入了一些常用的符号和表示方法，使得代数运算更加简洁明了。
例如，他们使用字母来表示未知数，使用加减乘除的符号来表示运算，这些符号在后世的代数学中得到了广泛应用。
在方程解法方面，古印度数学家提出了一种被称为“开平方法”的方法，用来求解二次方程的根。
这种方法基于古印度数学家对数学方程的深入研究和创新思维，通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的解。
这种开平方法不仅简便实用，而且为后世的代数学研究提供了宝贵的经验和技巧。
二、阿拉伯数学的代数与方程解法阿拉伯数学在代数和方程解法方面的成就同样不可小觑。
在9至12世纪的伊斯兰黄金时代，阿拉伯学者在代数和方程解法方面做出了重要贡献。
他们传承了古印度数学的成果，并加以发展和完善。
阿拉伯数学家在代数方面的重要贡献之一是他们对多项式的研究。
他们研究多项式的性质和运算规律，提出了一些重要的理论和方法。
例如，他们发展了二次方程的求解方法，采用了“完全平方”的概念，通过变量的运算和配方法，巧妙地将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的根。
此外，阿拉伯数学家还在方程解法方面提出了一种称为“代数逻辑”的方法。
古印度数学与阿拉伯数学的共同起源与发展
古印度数学与阿拉伯数学的共同起源与发展古印度数学和阿拉伯数学是世界数学史上的两个重要分支，它们在数学理论和实践方面做出了巨大贡献。
本文将探讨古印度数学和阿拉伯数学的共同起源与发展。
一、数学的起源与传播数学作为一门学科，在古代的印度和阿拉伯世界都取得了长足的发展，但它们的起源可以追溯到更早的一段历史。
古印度数学的起源可以追溯到公元前6世纪，当时印度哲学家和数学家开始研究数学问题。
随着时间的推移，古印度数学逐渐发展成为系统的数学体系，并通过贡献者之间的交流和辩论不断完善。
古印度数学的发展与传播与古希腊数学的发展有着密切的联系。
从公元前4世纪开始，亚历山大大帝征服了印度北部，并将希腊数学的知识带到了印度。
这种希腊数学的影响促使了古印度数学的进一步发展。
同时，随着印度与包括阿拉伯地区在内的其他文明的交流，古印度数学的知识开始向外传播。
阿拉伯数学的起源可以追溯到公元7世纪，当时伊斯兰教的迅速传播导致了阿拉伯地区的文化繁荣。
阿拉伯数学家接触到了古印度数学的知识，并将其翻译成阿拉伯语，使其能够更广泛地传播。
阿拉伯数学家通过将古印度数学与希腊数学相结合，开辟了阿拉伯数学的新篇章。
二、数学理论的共同贡献古印度数学和阿拉伯数学在数学理论方面都有着深远的影响。
首先是十进制数制的发展。
古印度数学家提出了十进制系统，将数字0-9作为基本数字，并使用位置计数法。
这种系统的使用在阿拉伯数学中广泛传播，并成为现代数学的基础。
其次是代数学的发展。
古印度数学家开创了一种称为“绳索数学”的方法，用于解决代数方程。
这种方法在阿拉伯数学中得到了进一步的发展，并形成了代数学理论中的一些基本概念和方法。
古印度数学和阿拉伯数学在几何学方面也有所贡献。
古印度数学家提出了一种高效的几何理论，包括计算尺寸、面积和体积的方法。
这些方法在阿拉伯数学中得到了广泛应用，并对欧洲文艺复兴时期的几何学产生了重要影响。
三、数学实践的共同发展除了数学理论方面的贡献，古印度数学和阿拉伯数学在数学实践方面也做出了重要贡献。
数学史印度与阿拉伯的数学上
On the evening of July 24, 2021
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(三)马哈维拉
7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁 荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起， 那么9世纪以后发生了改变．
耆那教徒马哈维拉的计算方法纲要(The Ganita-SāraSangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1) 算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5) 三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程 计算，(9)测影计算．
这些吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规 (Sulva sūtrus)，即绳法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的 作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定 理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。
耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分 构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称哈拉帕文化或 印度河流域文化．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人， 其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人 传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契 算经中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十 进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步 中扮演了重要的角色．
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(三)马哈维拉
7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁 荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起， 那么9世纪以后发生了改变．
耆那教徒马哈维拉的计算方法纲要(The Ganita-SāraSangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1) 算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5) 三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程 计算，(9)测影计算．
这些吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规 (Sulva sūtrus)，即绳法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的 作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定 理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。
耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分 构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称哈拉帕文化或 印度河流域文化．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人， 其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人 传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契 算经中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十 进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步 中扮演了重要的角色．
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印 度 地 图
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古代印度数学
• 印度－数码阿拉伯数码 • 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人
创造的.
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• 印度,0较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明. • 最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数.印度
古代印度数学
• 印度数学繁荣于公元6世纪到12世纪之间，主要历史 成就：
• （1）包括零在内的数码和十进位制记数法。 • （2）运用正弦的三角计算。 • （3）算术与代数
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印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人 入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷 文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉 檀多时期(5世纪一12世纪)．
这些吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规 (Sulva sūtrus)，即绳法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的 作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定 理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。
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• 印度－数码阿拉伯数码 • 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人
创造的.
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• 印度,0较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明. • 最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数.印度
古代印度数学
• 印度数学繁荣于公元6世纪到12世纪之间，主要历史 成就：
• （1）包括零在内的数码和十进位制记数法。 • （2）运用正弦的三角计算。 • （3）算术与代数
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印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人 入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷 文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉 檀多时期(5世纪一12世纪)．
这些吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规 (Sulva sūtrus)，即绳法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的 作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定 理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。
第3章印度与阿拉伯的数学解析
波斯人奥马· 海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世 纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题 的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算 法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方 程． 奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数 为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几 何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段， 里 c a, c d b ， 按照希腊人的数学传统， c 2正 方形， c 2 d 为长方体)。
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数 学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉 伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后， 到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》 ． 书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了 一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同 类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数 学开拓了道路．
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy 与半
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题 的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算 法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方 程． 奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数 为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几 何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段， 里 c a, c d b ， 按照希腊人的数学传统， c 2正 方形， c 2 d 为长方体)。
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数 学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉 伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后， 到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》 ． 书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了 一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同 类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数 学开拓了道路．
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy 与半
《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)[内容充实]
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数学史讲义
印度与阿拉伯数学
高等课讲
1
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗 毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
高等课讲
10
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
高等课讲7Fra bibliotek吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
高等课讲
印度雅利安人 的作品，《绳法 经》出现在吠陀 时代，包含毕达 哥拉斯定理等数 学知识
8
这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳 的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公 元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问 题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都
印度与阿拉伯数学
高等课讲
1
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗 毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
高等课讲
10
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
高等课讲7Fra bibliotek吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
高等课讲
印度雅利安人 的作品，《绳法 经》出现在吠陀 时代，包含毕达 哥拉斯定理等数 学知识
8
这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳 的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公 元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问 题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都
印度和阿拉伯的数学
印度和阿拉伯的数学
数学是科学的大门和钥匙
Ragen Bacan
印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度人在算术和代数作出了杰出的贡献，《绳法经》是印度最早的数学文献，其中最重要的内容是祭坛的建造问题，即利用绳子和竹杆给出固定的测量法则。
印度人在算术运算的贡献如：0的运算，负数的运算；正视无理数的存在，不定方程的研究及其应用等，并推导出运算公式：ab
(+
+
=
+代数被应用在普通商业问
)
b
a2
a
b
题上，如计算利息、财产划分等，但是在几何方面一直没有出色的进展。
公元200—1200年时期是阿拉伯人的数学成就，这段时间，阿拉伯人所能掌握的文化来源是非常丰富的，除延请印度科学家到巴格达外，希腊文明衰落后，许多学者跑到波斯。
阿拉伯人在用圆锥曲线相交来解三次方程上推进了一大步。
阿拉伯人在数学上没有什么重要的推进，他们所做的是吸收了希腊和印度的数学，把他们保存下了，并最终传给了欧洲，其中值得一提的是以10为底的进位制记数不，对1到9的量的数字记号，以及把0作为一个数引入。
1100—1300年间，基督徒十字军和蒙古的入侵，导致该地区的数学和科学活动逐步衰落。
3印度与阿拉伯数学
在印度算术中，分数也有较完整的理论．分
数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分 子在上，分母在下，没有分数线．若是带分 数，则整数部分又写在分子之上．例如
则分 运数 算四
3.1.2 印度的代数
“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数 学
最早的印度数学家：阿耶波 多（476－约550年） 499年《阿耶波多历数书》 (圣使天文书)
关于圆的面积，婆罗摩笈多给出：粗糙计算时取π ＝3 计算了圆内接正6，12，24，48，96，192，384边 形的边长，从而得到π的值 为计算三角形的面积，除了通常的方法外，婆罗摩 笈多导出了所谓海伦公式，并把这个公式推广到圆 内接四边形的面积 用这些毕达哥拉斯数 来构造圆内接四边形 在印度的几何学中很 少见到命题的证明， 偶尔见到的证明也十 分简短，多数情形是把证明压缩为图形和指示语 “请看！”有时在图形旁边略加说明
在某些计算问题中除给出精确的公式当然有些问题得不到精确公式外还给出在实际中便于应用的近似法则313印度的几何与三角计算了圆内接正612244896192384边形的边长从而得到的值为计算三角形的面积除了通常的方法外婆罗摩笈多导出了所谓海伦公式并把这个公式推广到圆内接四边形的面积用这些毕达哥拉斯数来构造圆内接四边形在印度的几何学中很少见到命题的证明偶尔见到的证明也十分简短多数情形是把证明压缩为图形和指示语请看
ห้องสมุดไป่ตู้
关外西天取经第一人 比唐玄奘早209年
北燕僧人昙无竭，于公元420年招集同志沙门25人，从龙城出发，远赴印度，取 回《观世音受记经》一部，译成汉文，收录在《大藏经》内，广为传诵。据考证， 昙无竭是继法显之后我国最早西行求法僧人之一，堪称关外西天取经第一人，比 唐僧玄奘西天取经还要早209年。 有关昙无竭是关外西天取经第一人的信息，来自于南北朝时期慧皎和尚编写的一 部史书《高僧传》，书中有关于昙无竭西天取经的文字记载。昙无竭，本姓李， 朝阳人，大概生于后燕时期，10来岁就出家到寺庙当沙弥，修炼苦行，遵守戒 律，念诵佛经，受到法师和众僧的器重。昙无竭常慨叹佛经残缺不全，听说僧人 法显等从古印度取回真经，下定决心亲赴西天取经。公元420年，昙无竭招集志 同道合的和尚僧猛、昙朗等25人，从燕都龙城出发，向西天行进。他们在中国 境内的西行路线大致为：龙城——今青海湖一带——今甘肃省河西走廊——今新 疆吐鲁番东——塔里木盆地北缘，途经今新疆喀什一带，攀登了帕米尔高原和昆 仑山等山脉。面对飞鸟难越的雪山、湍急的河水，以及两山之间以绳索为桥渡河 的险境，昙无竭一行25人没有停止西行的脚步，他们分3次过河，又用一整天翻 越雪山。过完雪山，同行25人竟然有12人半途坠崖而死。 为取得真经，昙无竭在天竺各地礼拜佛陀圣迹，寻访名师，学习梵文经典数年后， 从南天竺搭乘商船，漂印度洋，过南海，一行5人安全到达广州。回国后，昙无 竭住在江南某寺，弘扬佛法，直至去世。
《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)
k ●给出了一般性的组合数 C n 公式 ●给出椭圆周长近似公式：
C 24b 2 16a 2 .
马哈维拉
• 马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉 喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一 段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》 (Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使 用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发 现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》 是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学 教材中的一些论题和结构在其中已可见到。
婆罗摩笈多（598－约665年）
在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论 东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多 出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。 婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作， 在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。 628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开 端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章 讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零 的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即 现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。 他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得 商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零 的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减
去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
C 24b 2 16a 2 .
马哈维拉
• 马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉 喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一 段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》 (Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使 用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发 现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》 是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学 教材中的一些论题和结构在其中已可见到。
婆罗摩笈多（598－约665年）
在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论 东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多 出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。 婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作， 在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。 628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开 端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章 讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零 的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即 现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。 他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得 商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零 的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减
去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
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科学复苏
《算盘书》(1202, 1228) ——系统介绍印度－阿拉伯数码 ——欧洲数学在经历了漫长黑夜之后 走向复苏的号角 兔子问题 某人在一处有围墙的地方养了一对小 兔，假定每对兔子每月生一对小兔， 而小兔出生后两个月就能生育。问从 这对兔子开始，一年内能繁殖成多少 斐波那契(意，约1170-1250) 对兔子？
第三讲 印度与阿拉伯的数学
印度数学 阿拉伯数学 中世纪的欧洲数学
印度数学（公元5－12世纪）
古印度简况
史前时期：公元前2300年前 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度
后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成
π的近似值3.1416
建立了丢番图方程求解的 “库塔卡”法
“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）
印度数学
婆罗摩笈多（598－约 665年） 628年《婆罗摩修正体 系》(宇宙的开端)
零的运算法则, 丢番图方 程求解的“瓦格布拉蒂”法
乌贾因天文台
印度数学
婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年） 古印度数学最高成就《天文 系统之冠》（1150年）
阿尔 〃 卡西（乌兹别克, 1380－1429） （伊朗，1979）
中世纪的欧洲数学
(公元5－14世纪)
黑暗时期 科学复苏
教会统治
公元一世纪中 叶，基督教产生 于巴勒斯坦,135 年从犹太教中分 裂出来成为独立 的宗教。 耶稣等门徒四 处宣传福音，信 奉基督教的人越 来越多，把基督 教传播到各地。
“十字军东征”(1096-1291年)
科学复苏
阿德拉特（英，1090－1150） ——《原本》和花拉子米的天文表
杰拉德（意，1114－1187）
——《天文学大成》、《原本》、 《圆锥曲线》、《圆的度量》 1207年亚里士多德的著作全部被译 成拉丁文 博洛尼亚大学学生(意, 1088年 )欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构 成后来欧洲数学发展的基础 （圭亚那，2000）
阿拉伯数学
820年《代数学》 三项二次方程的求解
阿拉伯数学
9世纪的印度数码 15世纪在欧洲使用 的印度数码
印度－阿拉伯数字
阿拉伯数学
976年的西班牙数码
阿拉伯数学
阿拉伯的三角学 《天文论著》（星的科学）， 发现地球轨道是一个经常变动的 椭圆, 创立了系统的三角学术语
对希腊三角学系统化，对中 世纪欧洲影响最大的天文学家
5－11世纪：黑暗时期
公元392年，基督教 成为罗马帝国的国教。 5世纪末起至10世纪， 罗马主教和罗马教会逐 步确立了在整个西派教 会中的实际领导地位。 基督教逐渐成为中世 纪欧洲封建社会的主要 精神支柱。
圣彼得教堂（梵蒂冈, 1506-1626年）
家“ 地 ，拉 ”梵 其特 。蒂 主兰年 冈 权条， 在 属约意 拉 教”大 丁 皇，利 语 。承政 中 认府 意 梵同 为 蒂教 “ 冈皇 先 为签 知 主订 之 权了 国
《莉拉沃蒂》、《算法本源》
带着微笑眼睛的美丽少女，请 你告诉我，按照你理解的正确反 演法，什么数乘以3，加上这个乘 积的3/4，然后除以7，减去此商 的1/3，自乘，减去52，取平方根， 加上8，除以10，得2？
“婆什迦罗号”人造卫 星 （1979）
阿拉伯数学(公元8-15世纪)
阿拉伯帝国简况
阿拉伯科学 (突尼斯, 1980)
印度(公元5-12世纪)
阿拉伯数学
早期阿拉伯数学: 8世纪中叶－9世纪 代数教科书的鼻祖：《代数学》(820) (复原与对消) 1140年被罗伯特(英)译成拉丁文 欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书 《印度计算法》 阿尔 ·花拉子米（乌兹别克, 783－850） （苏联, 1983）
科学复苏
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …..
a1 a2 1, an 1 an an 1, n 2, 3, 4,...
斐波那契数列
1、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。 2、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数 学的作用。 3、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为 中心的实用化数学。
印度数学
阿育王(在位年代约为公元前268前232年)是印度第一个信奉佛教的 君主 阿育王石柱记录了现在阿拉伯数 学的最早形态 巴克沙利手稿（前2－3世纪） 瓜廖尔石碑（公元876年）
阿育王石柱
（尼泊尔，1996）
印度数学
“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数 学
最早的印度数学家：阿耶波 多（476－约550年） 499年《阿耶波多历数书》 (圣使天文书)
规模的对外战争，版图东起印度西部，西至西班牙，北抵 中亚，南达北非，成为地跨亚、非、欧三大洲的庞大帝国。 842年是帝国的极盛时代，巴格达成为国际贸易与文化中心 之一，创造出光辉灿烂的阿拉伯文化。9世纪中叶后，王朝 进入分裂和衰落时代，1258年蒙古军队攻陷巴格达。
中东地区地图
阿拉伯数学(公元8-15世纪)
列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一
北印度的道路，佛教产生
帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国
强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公
元320－]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响
印度数学
婆罗门教起源于公元前2000年 的吠陀教，形成于前7世纪，鼎盛 于前6－4世纪。 4世纪后，婆罗门教开始衰弱。 8、9世纪，婆罗门教逐渐发展 成为印度教。 印度教与婆罗门教没有本质区 别，都信奉梵天、毗湿奴、湿婆 三大神，主张善恶有报、人生轮 回，只有达到“梵我同一”方可 获得解脱，修成正果。
1929
教会统治
以宗教和神学为核心，科学思想是异端邪说
最根本的知识《圣经》 数学领域毫无建树
初级算术与几何教材
《几何学》
（《原本》第1、3、4卷部分内容）
《算术入门》 中世纪早期欧洲人了解希腊科学的唯 博埃齐（意，约480－524年） 一来源
教会统治
999年当选为罗马教皇 提倡学习数学 翻译了一些阿拉伯科学著作,把 印度— 阿拉伯数码带入欧洲
第四讲思考题
4、求斐波那契数列的通项公式。
犹太教最神圣的露天会堂：哭墙（耶路撒冷圣殿山）
教会统治
基督教产生不久后 形成了东派和西派。 东派以君士坦丁堡 为中心，西派以罗马 为中心。 1054年，东西两派 正式分裂。东派自称 希腊正教（东正教）， 西派自称罗马公教 （天主教）。
土耳其君士坦丁堡索非亚大教堂 （532～537年）
教会统治
阿拉伯数学
麦加城大清真寺: 伊斯兰教第一圣寺
阿拉伯数学
9-15世纪繁荣600年
文化中心: 巴格达
消化希腊数学, 吸收印度数学 对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响
伊斯坦布尔的天文学家 （1971）
阿拉伯数学
希腊(公元前6世纪-公元6世纪) 波斯(公元前6世纪-前3世纪)
阿拉伯科学(公元9-15世纪)
阿拉伯数学
后期阿拉伯数学: 13－15世纪
《论完全四边形》：脱离天文学 系统的三角学专著
对15世纪欧洲三角学的发展起重 要的作用
纳西尔丁 ·图西（1201－1274年） （伊朗，1956）
阿拉伯数学
后期阿拉伯数学: 13－15世纪
百科全书: 《算术之鈅》(1427)
π 的17位精确值(1424)
婆罗门教、印度教的创造神梵天
印度数学
《吠陀》印度雅利安人的作品， 婆罗门教的经典 《绳法经》（前8－前2世纪）： 庙宇、祭坛的设计与测量，包含 几何、代数知识，如毕达哥拉斯 定理等 印度数学 吠陀时期(公元前10-前3世纪)
《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
悉檀多时期(公元5-12世纪)
热尔拜尔（法，938－1003年） （法国，1964）
科学复苏
12世纪是欧洲数学的大翻译时期
贸易与旅游 欧洲出现新兴的城市 创立大学（1088年博洛尼亚大学， 1160年巴黎大学, 1167年牛津大学, 1209年剑桥大学, 1222年帕多瓦大学, 1224年那不勒斯大学）
航海（葡萄牙，1989）
阿尔 ·巴塔尼（850－929年）
阿拉伯数学
中期阿拉伯数学: 10－12世纪 编制了中世纪最精密的历法： 哲拉里历 《还原与对消问题的论证》(1070) 研究三次方程根的几何作图法，提 出的用圆锥曲线图求根的理论
奥马 ·海雅姆（伊朗，1048－1131年）
（阿尔巴尼亚，1997）
阿拉伯数学
奥马 〃 海雅姆陵墓 （伊朗， 1934年修建）
阿拉伯数学
三角学理论的贡献 利用二次插值法制定了正 弦、正切函数表 证明了三角公式：正弦公 式、和差化积公式、倍角公 式和半角公式
阿尔 ·比鲁尼（973－1048年） （巴基斯坦，1973）
提出地球绕太阳运转, 太阳 是宇宙中心的思想
先知穆罕默德（570－632）：610年在麦加创立了伊斯
兰教，至632年，一个以伊斯兰教为共同信仰、政教合一， 统一的阿拉伯国家出现于阿拉伯半岛。
四大哈里发时期（632－661）：以“圣战”为名进行大
规模的武力扩张，为阿拉伯帝国的建立奠定了基础。
倭马亚王朝时期（661－750）：定都大马士革，发动大 阿拔斯王朝时期 （750－1258）：迁都巴格达 ，750－