7-线性规划的概念及图解法
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…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
基本线性规划形式
目标函数： 目标函数 约束条件： 约束条件： Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn （ s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
线性规划 （Linear Programing ）
第五章 线性规划问题的概念与图解法
一、概念的引出
某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏， 例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏， 生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 2kg 料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需要2 销售后获得利润160元 生产1盒当归膏需要2 160 个劳动工时，使用5kg当归原料， 个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得利润 5kg当归原料 80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 80元 工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 4000工时 可供使用的当归原料为5800kg， 可供使用的当归原料为5800kg，为避免当归原料 5800kg 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 5800kg 用掉。问工厂如何安排生产， 用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种产品 销售后获得的总利润最大？ 销售后获得的总利润最大？
f(x)~目标函数 目标函数 线性规划 非线性规划 整数规划 gi(x)≤0~约束条件 ≤ 约束条件
线性规划问题（ ）： 线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。 的极大值或极小值问题。 相关定义： 相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解 决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 满足约束条件的解称为可行解； 可行解 所有可行解构成的集合称为可行解集； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 可行解集 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解 最优值。 最优解所对应的目标函数值称为最优值 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
二、 线性规划的表现形式
一般形式： 一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 线性函数. 线性函数 目标函数： 目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn ） 约束条件： 约束条件：
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
min S = x1 + x2 + x3 2 x1 + x2 ≥ 150 2 x1 + 3 x3 ≥ 330 x ≥ 0, 整数（i = 1,2,3） i
条件下料问题2 条件下料问题
某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 7.4m的同型钢管 因生产需要，需将其截成长2.9m、 因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.9m 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。若 三种不同长度的管料 三种管料各需100根 问应如何下料， 三种管料各需100根，问应如何下料， 100 才能使得用料最省？写出数学模型。 才能使得用料最省？写出数学模型。
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
பைடு நூலகம்
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一 定义决策变量（ ），每一 定义决策变量 组值表示一个方案； 组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确 用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 用决策变量的线性函数形式写出目标函数 定最大化或最小化目标； 定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题 用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题 过程中必须遵循的约束条件
目标函数为： 目标函数为：
max S = 160 x1 + 80x 2
约束条件为： 约束条件为：
5x1 + 2 x 2 ≤ 4000 2x1 + 5x 2 = 5800 x ≥ 0, 整数（i = 1,2） i
决策变量为： 决策变量为：x1, x2
某公司由于生产需要，共需要A 例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少 350吨 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少 两种材料有一定替代性），其中A ），其中 购进125吨 但由于A 购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所 125 两种原料的规格不同， 需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小 600 时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价 又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B 格为3万元，试问在满足生产需要的前提下， 格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 工能力的范围内，如何购买A 工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 两种原料， 本最低？ 本最低？
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
3 4 5 1 2 3 5 i
四 图解法
对于只有两个决 对于只有两个决 两个 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。 并求解。
目标函数： 例1.目标函数： 目标函数 Max S = 50 x1 + 100 x2 约束条件： 约束条件： s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x 2 ≤ 250 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
设购买A种原料为 ， 种原料为 ， 种原料为x 种原料为x 解：设购买 种原料为 1，B种原料为 2，可建立以下 数学模型： 数学模型：
目标函数： 目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2 约束条件： 约束条件： s.t. x1 + x1 ≥ 2 x1 + x1 ,
决策变量为： 决策变量为：x1, x2
四 图 解 法
(1)分别取决策变量X (1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标 分别取决策变量 系。取各约束条件的公共部分
x2 2x1+x2=400 x2=250
x1+x2=300
x2=0
x1=0 图2-1
x1
（2）目标函数 ）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到 取某一固定值时得到 一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值， 一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值， 称之为“等值线” 平行移动等值线，当移动到B点时 点时， 称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到 点时， z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域 在可行域内实现了最大化。 ， ， ， ， 是可行域 在可行域内实现了最大化 的顶点， 的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限 的。 x
第一种下料方式用掉 根角钢； 下料方式用掉x 解：设第一种下料方式用掉x1根角钢； 第二种下料方式用掉x 根角钢； 第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 下料方式用掉 下料方式用掉x 根角钢；变量x 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 即为决策变量。 x3即为决策变量。
数学模型为： 数学模型为：
x2 ≥ 350 125 x2 ≤ 600 x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 的缩写。 的缩写 意思为“ 受约束于” 于，受约束于”
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量 决策变量 数 学 规 划
Min (或Max ) z = f ( x ), x = ( x1 , ⋯x n )T s.t. g i ( x ) ≤ 0, i = 1,2, ⋯ m
三、线性规划问题的数学模型 物 条 原 生 资 件 料 产 运 下 搭 安 输 料 配 排 问 问 问 题 题 题 • • • •
条件下料问题1 条件下料问题
某家具厂需要长80cm的角钢与长60cm 某家具厂需要长80cm的角钢与长60cm 80cm的角钢与长 的角钢，它们皆从长210cm的角钢截 的角钢，它们皆从长210cm的角钢截 210cm 现在对长80cm 80cm角钢的需要量为 得。现在对长80cm角钢的需要量为 150根 对长60cm角钢的需要量为330 150根，对长60cm角钢的需要量为330 60cm角钢的需要量为 问工厂应如何下料， 根。问工厂应如何下料，才能使得用 料最省？写出数学模型。 料最省？写出数学模型。
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
分析：共有三种下料方式，第一种是将 是将1 分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢； 根长210的角钢截得2根长80cm的角钢；第 210的角钢截得 80cm的角钢 二种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 210的角钢截得 80cm 2根60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 的角钢 是将210cm 截得3根长60cm的角钢。 60cm的角钢 截得3根长60cm的角钢。现这三种下料方式 应该混合使用。 应该混合使用。
第二种下料方式用掉x 根管料； 第二种下料方式用掉x2根管料；第三 下料方式用掉 下料方式用掉x 根管料；第四种下 种下料方式用掉x3根管料；第四种下 料方式用掉x4根管料；第五种下料方 料方式用掉x 根管料；第五种下料方 式用掉x 根管料；变量x 式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5即 为决策变量。 为决策变量。
设工厂生产x 盒当归丸与x 瓶当归膏， 解 设工厂生产 1盒当归丸与 2瓶当归膏， 可建立以下数学模型： 可建立以下数学模型：
max S = 160 x1 + 80x 2 5x1 + 2 x 2 ≤ 4000 2x1 + 5x 2 = 5800 x ≥ 0, 整数（i = 1,2） i
基本线性规划形式
目标函数： 目标函数 约束条件： 约束条件： Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn （ s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
线性规划 （Linear Programing ）
第五章 线性规划问题的概念与图解法
一、概念的引出
某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏， 例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏， 生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归原 2kg 料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需要2 销售后获得利润160元 生产1盒当归膏需要2 160 个劳动工时，使用5kg当归原料， 个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得利润 5kg当归原料 80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 80元 工厂现有可供利用的劳动工时为4000工时， 4000工时 可供使用的当归原料为5800kg， 可供使用的当归原料为5800kg，为避免当归原料 5800kg 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 存放时间过长而变质，要求把5800kg当归原料都 5800kg 用掉。问工厂如何安排生产， 用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种产品 销售后获得的总利润最大？ 销售后获得的总利润最大？
f(x)~目标函数 目标函数 线性规划 非线性规划 整数规划 gi(x)≤0~约束条件 ≤ 约束条件
线性规划问题（ ）： 线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。 的极大值或极小值问题。 相关定义： 相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解 决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 满足约束条件的解称为可行解； 可行解 所有可行解构成的集合称为可行解集； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 可行解集 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解 最优值。 最优解所对应的目标函数值称为最优值 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
二、 线性规划的表现形式
一般形式： 一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 线性函数. 线性函数 目标函数： 目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn ） 约束条件： 约束条件：
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
min S = x1 + x2 + x3 2 x1 + x2 ≥ 150 2 x1 + 3 x3 ≥ 330 x ≥ 0, 整数（i = 1,2,3） i
条件下料问题2 条件下料问题
某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 某车间有一批长度为7.4m的同型钢管， 7.4m的同型钢管 因生产需要，需将其截成长2.9m、 因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.9m 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。若 三种不同长度的管料 三种管料各需100根 问应如何下料， 三种管料各需100根，问应如何下料， 100 才能使得用料最省？写出数学模型。 才能使得用料最省？写出数学模型。
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
பைடு நூலகம்
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一 定义决策变量（ ），每一 定义决策变量 组值表示一个方案； 组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确 用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 用决策变量的线性函数形式写出目标函数 定最大化或最小化目标； 定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题 用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题 过程中必须遵循的约束条件
目标函数为： 目标函数为：
max S = 160 x1 + 80x 2
约束条件为： 约束条件为：
5x1 + 2 x 2 ≤ 4000 2x1 + 5x 2 = 5800 x ≥ 0, 整数（i = 1,2） i
决策变量为： 决策变量为：x1, x2
某公司由于生产需要，共需要A 例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少 350吨 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少 两种材料有一定替代性），其中A ），其中 购进125吨 但由于A 购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所 125 两种原料的规格不同， 需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小 600 时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价 又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B 格为3万元，试问在满足生产需要的前提下， 格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 工能力的范围内，如何购买A 工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 两种原料， 本最低？ 本最低？
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
3 4 5 1 2 3 5 i
四 图解法
对于只有两个决 对于只有两个决 两个 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。 并求解。
目标函数： 例1.目标函数： 目标函数 Max S = 50 x1 + 100 x2 约束条件： 约束条件： s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x 2 ≤ 250 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
设购买A种原料为 ， 种原料为 ， 种原料为x 种原料为x 解：设购买 种原料为 1，B种原料为 2，可建立以下 数学模型： 数学模型：
目标函数： 目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2 约束条件： 约束条件： s.t. x1 + x1 ≥ 2 x1 + x1 ,
决策变量为： 决策变量为：x1, x2
四 图 解 法
(1)分别取决策变量X (1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标 分别取决策变量 系。取各约束条件的公共部分
x2 2x1+x2=400 x2=250
x1+x2=300
x2=0
x1=0 图2-1
x1
（2）目标函数 ）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到 取某一固定值时得到 一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值， 一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值， 称之为“等值线” 平行移动等值线，当移动到B点时 点时， 称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到 点时， z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域 在可行域内实现了最大化。 ， ， ， ， 是可行域 在可行域内实现了最大化 的顶点， 的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限 的。 x
第一种下料方式用掉 根角钢； 下料方式用掉x 解：设第一种下料方式用掉x1根角钢； 第二种下料方式用掉x 根角钢； 第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 下料方式用掉 下料方式用掉x 根角钢；变量x 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 即为决策变量。 x3即为决策变量。
数学模型为： 数学模型为：
x2 ≥ 350 125 x2 ≤ 600 x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 的缩写。 的缩写 意思为“ 受约束于” 于，受约束于”
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量 决策变量 数 学 规 划
Min (或Max ) z = f ( x ), x = ( x1 , ⋯x n )T s.t. g i ( x ) ≤ 0, i = 1,2, ⋯ m
三、线性规划问题的数学模型 物 条 原 生 资 件 料 产 运 下 搭 安 输 料 配 排 问 问 问 题 题 题 • • • •
条件下料问题1 条件下料问题
某家具厂需要长80cm的角钢与长60cm 某家具厂需要长80cm的角钢与长60cm 80cm的角钢与长 的角钢，它们皆从长210cm的角钢截 的角钢，它们皆从长210cm的角钢截 210cm 现在对长80cm 80cm角钢的需要量为 得。现在对长80cm角钢的需要量为 150根 对长60cm角钢的需要量为330 150根，对长60cm角钢的需要量为330 60cm角钢的需要量为 问工厂应如何下料， 根。问工厂应如何下料，才能使得用 料最省？写出数学模型。 料最省？写出数学模型。
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
分析：共有三种下料方式，第一种是将 是将1 分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢； 根长210的角钢截得2根长80cm的角钢；第 210的角钢截得 80cm的角钢 二种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 种是将1根长210的角钢截得1根长80cm和 210的角钢截得 80cm 2根60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 60cm的角钢；第三种是将210cm的角钢 的角钢 是将210cm 截得3根长60cm的角钢。 60cm的角钢 截得3根长60cm的角钢。现这三种下料方式 应该混合使用。 应该混合使用。
第二种下料方式用掉x 根管料； 第二种下料方式用掉x2根管料；第三 下料方式用掉 下料方式用掉x 根管料；第四种下 种下料方式用掉x3根管料；第四种下 料方式用掉x4根管料；第五种下料方 料方式用掉x 根管料；第五种下料方 式用掉x 根管料；变量x 式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5即 为决策变量。 为决策变量。
设工厂生产x 盒当归丸与x 瓶当归膏， 解 设工厂生产 1盒当归丸与 2瓶当归膏， 可建立以下数学模型： 可建立以下数学模型：
max S = 160 x1 + 80x 2 5x1 + 2 x 2 ≤ 4000 2x1 + 5x 2 = 5800 x ≥ 0, 整数（i = 1,2） i