人工鱼群算法matlab实现
人工鱼群算法及其应用模板
广西民族大学硕士学位论文人工鱼群算法及其应用姓名：聂黎明申请学位级别：硕士专业：计算机应用技术指导教师：周永权20090401２人工鱼群算法及改进方法２．１引言人工鱼群算法（ＡｒｔｉｆｉｃｉａｌＦｉｓｈＳｗａｒｍＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡＦＳＡ）‘２２。
２５１是李晓磊等人于２００２年在对动物群体智能行为研究的基础上提出的一种新型仿生优化算法，该算法根据“水域中鱼生存数目最多的地方一般就是本水域中富含营养物质最多的地方＂这一特点来模仿鱼群的觅食行为而实现寻优。
人工鱼群算法主要利用鱼的三大基本行为：觅食、聚群和追尾行为，采用自上而下的寻优模式从构造个体的底层行为开始，通过鱼群中各个体的局部寻优，达到全局最优值在群体中突现出来的目的。
２．２人工鱼群算法２．２．１算法起源经过漫长的自然界的优胜劣汰，动物在进化过程中，形成了形形色色的觅食和生存方式，这些方式为人类解决问题带来了不少鼓舞和启发。
动物个体的智能一般不具备人类所具有的综合判断能力和复杂逻辑推理能力，是通过个体或群体的简单行为而突现出来的。
动物行为具有以下几个特点嘶１：（１）盲目性：不像传统的基于知识的智能系统，有着明确的目标，人工鱼群算法中单个个体的行为是独立的，与总目标之间往往没有直接的关系；（２）自治性：动物有其特有的某些行为，在不同的时刻和不同的环境中能够自主的选取某种行为，而无需外界的控制或指导；（３）突现性：总目标的完成是在个体行为的运动过程中突现出来的；（４）并行性：各个体的行为是实时的、并行进行的；（５）适应性：动物通过感觉器官来感知外界环境，并应激性的做出各种反应，从而影响环境，表现出与环境交互的能力。
２．２．２算法原理人工鱼群算法就是一种基于动物行为的自治体寻优模式，它是基于鱼类的活动特点构建起来的新型智能仿生算法。
通常人们可以观察到如下的鱼类行为：ａ）觅食行为：这是鱼趋向食物的一种活动，一般认为它是通过视觉或味觉来感知水中的食物量或食物浓度来选择行动方向的。
基本人工鱼群算法
基本人工鱼群算法摘要人工鱼群算法（Artificial Fish-Swarm Algorithm，AFSA）是由李晓磊等在2002年提出的，源于对鱼群运动行为的研究，是一种新型的智能仿生优化算法。
它具有较强的鲁棒性、优良的分布式计算机制易于和其他方法结合等优点。
目前对该算法的研究、应用已经渗透到多个应用领域，并由解决一维静态优化问题发展到解决多维动态组合优化问题。
人工鱼群算法已经成为交叉学科中一个非常活跃的前沿性学科。
本文主要对鱼群算法进行了概述，引入鱼群模式的概念，然后给出了人工鱼的结构，接下来总结出了人工鱼的寻优原理，并对人工鱼群算法的寻优过程进行仿真，通过四个标准函数选取不同的拥挤度因子进行仿真实验，证实了利用人工鱼群算法进行全局寻优确实是有效的。
关键词：人工鱼群算法；拥挤度因子；寻优0 引言动物在进化过程中，经过漫长的优胜劣汰，形成了形形色色的觅食和生存方式，这些方式为人类解决生产生活中的问题带来了不少启发和灵感。
动物不具备复杂逻辑推理能力和综合判断等高级智能，但他们通过个体的简单行为和相互影响，实现了群体的生存和进化。
动物行为具有以下几个特点。
（1）适应性：动物通过感觉器官来感知外界环境，并应激性的做出各种反应，从而影响环境，表现出与环境交互的能力。
（2）自治性：在不同的时刻和不同的环境中能够自主的选取某种行为，而无需外界的控制或指导。
（3）盲目性：单个个体的行为是独立的，与总目标之间没有直接的关系。
（4）突现性：总目标的完成是在个体行为的运动过程中突现出来的。
（5）并行性：各个个体的行为是并行进行的。
人工鱼群算法是根据鱼类的活动特点提出的一种基于动物行为的自治体寻优模式。
1 鱼群模式描述1.1 鱼群模式的提出20世纪90年代以来，群智能（swarm intelligence，SI）的研究引起了众多学者的极大关注，并出现了蚁群优化、粒子群优化等一些著名的群智能方法。
集群是生物界中常见的一种现象，如昆虫、鸟类、鱼类、微生物乃至人类等等。
人工鱼群算法(AFSA)及其简单应用举例
+ 2.2 AFSA基本概念 + 假设在一个n维的目标搜索空间中，有N条组成一 + 个群体的人工鱼，每个人工鱼个体的状态可表示为 + 向量X=（x1,x2,……xn）,其中xi（i=1,……n）为欲寻 + 优的变量：人工鱼当前所在位置的食物浓度表示为 + Y=f(X),其中Y为目标函数；人工鱼个体间距离表示 + 为 d=||Xi-Xj ||; visual表示人工鱼的感知范围，step + 为人工鱼移动步长，δ为拥挤度因子；trynumber + 表示人工鱼每次觅食最大试探次数。
6
8 10
x1
AFSA 迭 代 20次 8
+ 1.2 人工生命
+ 具有某些生命基本特征的人工系统。包括两方面 的内容：
+ 1、研究如何利用计算技术研究生物现象；
+ 2、研究如何利用生物技术研究计算问题。
+
+ 我们关注的是第二点。
+
如何利用生物技术研究计算问题是人工生命
研究的重要方向，现已有了很多源于生物现象的计
算技巧， 例如人工神经网络是简化的大脑模型，遗
+ 2.4 具体算法步骤 + 鉴于以上描述的人工鱼群行为，每条人工鱼探索 + 它当前所处的环境状况和伙伴的状况，从而选择一 + 种行为来实际执行，最终人工鱼集结在几个局部极 + 值周围。一般情况下，在讨论求极大问题时，拥有 + 较大的适应值的人工鱼一般处于值较大的极值域周 + 围，这有助于获取全局极值域，而值较大的极值区 + 域周围一般能集结较多的人工鱼，这有助于判断并 + 获取全局极值。具体的人工鱼群算法步骤如下：
用人工鱼群算法求解二重数值积分
方法：分别在 x 轴和 y 轴上积分范围内按由小到大的顺序随机
生成 m，n 个分割点，作为一条人工鱼，依此方法，生成 N 条人
工鱼；在本文中，m=n=M。
4.1.2 适应度函数
每条人工鱼移动（优化）一次后，依据下面的具体方法来评
价分割方法的优劣：在 x 轴和 y 轴上，分别把要考察的人工鱼
置于积分区间的左端点和右端点之间，按升序排列，x 轴方向
作者简介：聂黎明（1984-），男，硕士，主要研究方向：计算智能及其应用；周永权（1962-），男，博士，教授，主要研究方向：计算智能、神经网络及应用。 收稿日期：2008-09-23 修回日期：2008-12-17
聂黎明，周永权：用人工鱼群算法求解二重数值积分
2009，45（10） 35
初值无要求，对各参数的选择也不很敏感。算法同时具有并行 性、全局性、简单性、快速性、跟踪性等特性。
尾、聚群等基本行为，所不同的是：人工鱼个体、适应度函数和
积分求和式子的定义。下面对这些概念做详细的说明。
4.1.1 人工鱼个体
对于用人工鱼群算法求二重数值积分问题，设定每一种分
割方法用一条人工鱼来表示 AF_XY= x1，x2，…，xj，…，xm （j≤ y1，y2，…，yk，…，yn
m，k≤n），其中 xj，yk 分别表示 x 轴和 y 轴上的第 j，k 个分割 点，m，n 为 x 轴和 y 轴上设定的分割点数目。初始鱼群的生成
…，n+1）及 areaij=d·j dk；再计算出每个小矩阵的 4 个顶点和矩
阵中点对应的函数值，并找出这 5 个函数值中的最小值 Minjk
m+1 n+1
ΣΣ 和最大值 Maxjk。则表达式 （f i）=α
人工鱼群算法的分析及改进
1、引入动态调整策略
在AFSO算法中，随着迭代次数的增加，鱼群的全局最优解可能逐渐偏离真正 的最优解。这是由于在寻优过程中，鱼群可能会陷入局部最优陷阱。为了解决这 个问题，我们引入了动态调整策略，即根据算法的迭代次数和当前的最优解，动 态地调整鱼群的搜索范围和搜索速度。
2、增加随机扰动
在AFSO算法中，鱼群通常会向当前的全局最优解集中。这可能会导致算法过 早地陷入局部最优陷阱。为了解决这个问题，我们引入了随机扰动。即在每次迭 代时，随机选择一部分鱼，将其位置和速度进行随机扰动，以增加算法的探索能 力。
2、计算适应度：对于每一条鱼，计算其适应度函数值（通常是目标函数 值），这个值代表了这条鱼的“健康”状况。
3、比较适应度：将每条鱼的适应度与全局最优解进行比较，更新全局最优 解。
4、更新领头鱼：随机选择一条鱼作为领头鱼，然后根据一定的规则，如最 小距离规则，选择其他鱼跟随领头鱼。
5、更新鱼群：根据领头鱼的位置和行为，更新其他鱼的位置和行为。
4、多种群并行搜索：通过将搜索空间划分为多个子空间，并在每个子空间 中独立运行AFSA，我们可以实现多种群的并行搜索。这种并行搜索方法可以显著 提高算法的搜索速度和效率。
四、结论
本次演示对人工鱼群算法进行了详细的分析和改进。通过引入混沌理论、变 异机制和自适应调整参数等方法，我们可以有效地提高AFSA的全局搜索能力和效 率，避免算法过早地陷入局部最优解。多种群并行搜索方法也可以显著提高算法 的搜索速度和效率。这些改进方案为AFSA在实际应用中的广泛应用提供了有力的 支持。
感谢观看
3、引入学习因子
在AFSO算法中，每个鱼会根据自身经验和群体行为来调整自己的方向和位置。 然而，这个学习因子通常是固定的。为了提高算法的收敛速度和精度，我们引入 了可变的学习因子。即根据算法的迭代次数和当前的最优解，动态地调整学习因 子的大小。
基于人工鱼群算法的多元线性回归分析问题处理
基于人工鱼群算法的多元线性回归分析问题处理李媛【摘要】人工鱼群算法(AFsA)是一种基于动物行为的自治体寻优模式,依据鱼类活动特点构建的新型智能仿生算法.简要介绍了AFSA算法的基本原理,描述了使用AFSA算法解决多元线性回归分析问题的步骤和结果.仿真实验结果表明,AFSA算法在处理多元线性回归分析问题上是一种简单、高效的算法.%A brief introduction is made of the basic principles of Artificial Fish Swarm Algorithm (AFSA), a new algorithm with autonomous optimization mode according to the behavior of fish swarm. The steps are analyzed for the solution to problems concerning AFSA - based multiple linear regression analysis. The simulation experiment proves that it is simple and efficient.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)002【总页数】4页(P168-171)【关键词】人工鱼群;优化;多元线性回归分析【作者】李媛【作者单位】渤海大学工学院,辽宁锦州,121013【正文语种】中文【中图分类】TP2740 引言多元线性回归问题就是在很多工程技术和科学实验的实际问题中，用来讨论多个变量之间试验结果的数学表示。
它在实验数据处理、经验公式求得、仪器的精度分析及自动控制中的数学模型的制定中都有很广泛的应用。
解决多元线性回归分析问题的重点就是多个参数估计。
目前，可以采用传统的最小二乘法〔1〕;也可以采用遗传算法(GA)〔1〕或粒子群优化算法(PSO)〔2〕等智能算法解决此类问题。
第30章 基于鱼群算法的函数优化分析
第三十章 相应的待优化函数即适应度函数如下： function [Y]=AF_foodconsistence(X) fishnum=size(X,2); for i=1:fishnum x = X(1,i); y = X(2,i); Y(1,i) = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2); end
号并传递至其他鱼，于是，群体中的所有鱼便能捕食猎物；
（4）使水中的猎物失去方向性即迷失方向。 与单独个体鱼相比，鱼群对不利环境变化有较强的抵抗能力。集群行为 在鱼类洄游过程中也有一定适应意义，集群性鱼类能更快地找到洄游路线 ，并且能够较易发现某些定向标记。
第三十章 3．繁殖行为
MATLAB优化算法案例分析与应用
状态变得不可行，这时就需要加入相应的约束来对其进行规整化，使它们由无效 状态或不可行状态转变成可行的。
第三十章
MATLAB优化算法案例分析与应用
30.4.6 公告板
公告板用来记录最优人工鱼个体的状态。各人工鱼个体在寻优过程中，每次行动
完毕就检验自身状态与公告板的状态，如果自身状态优于公告板状态，就将公告板 的状态改写为自身状态，这样就使公告板记录下历史最优的状态。
第三十章
MATLAB优化算法案例分析与应用
5．洄游行为 鱼在游泳时不断地摆动尾部以获得前进的动力，虽然鱼群在水中运动 所消耗的能量极少，但为了克服游泳的阻力，洄游的鱼群也和迁移雁群 一样排成一定的队形，这种队形使参加洄游的每一条鱼前进过程中的能 量消耗降低到最小。 6．追逐行为 鱼类为了获得更多的食物，不断觅食，食物随水波漂浮或流动，当鱼 群遇到猎物时，鱼群不断地追逐这些食物目标。另外当鱼出现求偶意图 时，不断追逐求偶对象。为了捕获更多的食物或防止被捕，鱼不断追逐 鱼群中最优位置的个体。当某条鱼发现该处食物丰富时，其他鱼会快速 尾随而至。 7．随机游动和离开行为 当鱼休闲时，鱼也选择单独出没，轻松的自由游动。 除了以上鱼类行为外，还有发声、放电、发光、变色等行为。
人工鱼群算法-python实现
⼈⼯鱼群算法-python实现AFSIndividual.py1import numpy as np2import ObjFunction3import copy456class AFSIndividual:78"""class for AFSIndividual"""910def__init__(self, vardim, bound):11'''12 vardim: dimension of variables13 bound: boundaries of variables14'''15 self.vardim = vardim16 self.bound = bound1718def generate(self):19'''20 generate a rondom chromsome21'''22 len = self.vardim23 rnd = np.random.random(size=len)24 self.chrom = np.zeros(len)25 self.velocity = np.random.random(size=len)26for i in xrange(0, len):27 self.chrom[i] = self.bound[0, i] + \28 (self.bound[1, i] - self.bound[0, i]) * rnd[i]29 self.bestPosition = np.zeros(len)30 self.bestFitness = 0.3132def calculateFitness(self):33'''34 calculate the fitness of the chromsome35'''36 self.fitness = ObjFunction.GrieFunc(37 self.vardim, self.chrom, self.bound)AFS.py1import numpy as np2from AFSIndividual import AFSIndividual3import random4import copy5import matplotlib.pyplot as plt678class ArtificialFishSwarm:910"""class for ArtificialFishSwarm"""1112def__init__(self, sizepop, vardim, bound, MAXGEN, params):13'''14 sizepop: population sizepop15 vardim: dimension of variables16 bound: boundaries of variables, 2*vardim17 MAXGEN: termination condition18 params: algorithm required parameters, it is a list which is consisting of[visual, step, delta, trynum]19'''20 self.sizepop = sizepop21 self.vardim = vardim22 self.bound = bound23 self.MAXGEN = MAXGEN24 self.params = params25 self.population = []26 self.fitness = np.zeros((self.sizepop, 1))27 self.trace = np.zeros((self.MAXGEN, 2))28 self.lennorm = 60002930def initialize(self):31'''32 initialize the population of afs33'''34for i in xrange(0, self.sizepop):35 ind = AFSIndividual(self.vardim, self.bound)36 ind.generate()37 self.population.append(ind)3839def evaluation(self, x):40'''41 evaluation the fitness of the individual42'''43 x.calculateFitness()4445def forage(self, x):46'''47 artificial fish foraging behavior48'''49 newInd = copy.deepcopy(x)50 found = False51for i in xrange(0, self.params[3]):52 indi = self.randSearch(x, self.params[0])53if indi.fitness > x.fitness:54 newInd.chrom = x.chrom + np.random.random(self.vardim) * self.params[1] * self.lennorm * (55 indi.chrom - x.chrom) / np.linalg.norm(indi.chrom - x.chrom)56 newInd = indi57 found = True58break59if not (found):60 newInd = self.randSearch(x, self.params[1])61return newInd6263def randSearch(self, x, searLen):64'''65 artificial fish random search behavior66'''67 ind = copy.deepcopy(x)68 ind.chrom += np.random.uniform(-1, 1,69 self.vardim) * searLen * self.lennorm70for j in xrange(0, self.vardim):71if ind.chrom[j] < self.bound[0, j]:72 ind.chrom[j] = self.bound[0, j]73if ind.chrom[j] > self.bound[1, j]:74 ind.chrom[j] = self.bound[1, j]75 self.evaluation(ind)76return ind7778def huddle(self, x):79'''80 artificial fish huddling behavior81'''82 newInd = copy.deepcopy(x)83 dist = self.distance(x)84 index = []85for i in xrange(1, self.sizepop):86if dist[i] > 0 and dist[i] < self.params[0] * self.lennorm:87 index.append(i)88 nf = len(index)89if nf > 0:90 xc = np.zeros(self.vardim)91for i in xrange(0, nf):92 xc += self.population[index[i]].chrom93 xc = xc / nf94 cind = AFSIndividual(self.vardim, self.bound)95 cind.chrom = xc96 cind.calculateFitness()97if (cind.fitness / nf) > (self.params[2] * x.fitness):98 xnext = x.chrom + np.random.random(99 self.vardim) * self.params[1] * self.lennorm * (xc - x.chrom) / np.linalg.norm(xc - x.chrom) 100for j in xrange(0, self.vardim):101if xnext[j] < self.bound[0, j]:102 xnext[j] = self.bound[0, j]103if xnext[j] > self.bound[1, j]:104 xnext[j] = self.bound[1, j]105 newInd.chrom = xnext106 self.evaluation(newInd)107# print "hudding"108return newInd109else:110return self.forage(x)111else:112return self.forage(x)113114def follow(self, x):115'''116 artificial fish following behivior117'''118 newInd = copy.deepcopy(x)119 dist = self.distance(x)120 index = []121for i in xrange(1, self.sizepop):122if dist[i] > 0 and dist[i] < self.params[0] * self.lennorm:123 index.append(i)124 nf = len(index)125if nf > 0:126 best = -999999999.127 bestIndex = 0128for i in xrange(0, nf):129if self.population[index[i]].fitness > best:130 best = self.population[index[i]].fitness131 bestIndex = index[i]132if (self.population[bestIndex].fitness / nf) > (self.params[2] * x.fitness):133 xnext = x.chrom + np.random.random(134 self.vardim) * self.params[1] * self.lennorm * (self.population[bestIndex].chrom - x.chrom) / np.linalg.norm(self.population[bestIndex].chrom - x.chrom) 135for j in xrange(0, self.vardim):136if xnext[j] < self.bound[0, j]:137 xnext[j] = self.bound[0, j]138if xnext[j] > self.bound[1, j]:139 xnext[j] = self.bound[1, j]140 newInd.chrom = xnext141 self.evaluation(newInd)142# print "follow"143return newInd144else:145return self.forage(x)146else:147return self.forage(x)148149def solve(self):150'''151 evolution process for afs algorithm152'''153 self.t = 0154 self.initialize()155# evaluation the population156for i in xrange(0, self.sizepop):157 self.evaluation(self.population[i])158 self.fitness[i] = self.population[i].fitness159 best = np.max(self.fitness)160 bestIndex = np.argmax(self.fitness)161 self.best = copy.deepcopy(self.population[bestIndex])162 self.avefitness = np.mean(self.fitness)163 self.trace[self.t, 0] = (1 - self.best.fitness) / self.best.fitness164 self.trace[self.t, 1] = (1 - self.avefitness) / self.avefitness165print("Generation %d: optimal function value is: %f; average function value is %f" % (166 self.t, self.trace[self.t, 0], self.trace[self.t, 1]))167while self.t < self.MAXGEN - 1:168 self.t += 1169# newpop = []170for i in xrange(0, self.sizepop):171 xi1 = self.huddle(self.population[i])172 xi2 = self.follow(self.population[i])173if xi1.fitness > xi2.fitness:174 self.population[i] = xi1175 self.fitness[i] = xi1.fitness176else:177 self.population[i] = xi2178 self.fitness[i] = xi2.fitness179 best = np.max(self.fitness)180 bestIndex = np.argmax(self.fitness)181if best > self.best.fitness:182 self.best = copy.deepcopy(self.population[bestIndex])183 self.avefitness = np.mean(self.fitness)184 self.trace[self.t, 0] = (1 - self.best.fitness) / self.best.fitness185 self.trace[self.t, 1] = (1 - self.avefitness) / self.avefitness186print("Generation %d: optimal function value is: %f; average function value is %f" % (187 self.t, self.trace[self.t, 0], self.trace[self.t, 1]))188189print("Optimal function value is: %f; " % self.trace[self.t, 0])190print"Optimal solution is:"191print self.best.chrom192 self.printResult()193194def distance(self, x):195'''196 return the distance array to a individual197'''198 dist = np.zeros(self.sizepop)199for i in xrange(0, self.sizepop):200 dist[i] = np.linalg.norm(x.chrom - self.population[i].chrom) / 6000201return dist202203def printResult(self):204'''205 plot the result of afs algorithm206'''207 x = np.arange(0, self.MAXGEN)208 y1 = self.trace[:, 0]209 y2 = self.trace[:, 1]210 plt.plot(x, y1, 'r', label='optimal value')211 plt.plot(x, y2, 'g', label='average value')212 plt.xlabel("Iteration")213 plt.ylabel("function value")214 plt.title("Artificial Fish Swarm algorithm for function optimization") 215 plt.legend()216 plt.show()运⾏程序：1if__name__ == "__main__":23 bound = np.tile([[-600], [600]], 25)4 afs = AFS(60, 25, bound, 500, [0.001, 0.0001, 0.618, 40])5 afs.solve()ObjFunction见。
MATLAB-智能算法30个案例分析-终极版(带目录)
MATLAB 智能算法30 个案例分析（终极版）1基于遗传算法的TSP算法（王辉）2 基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法（史峰）3基于遗传算法的BP神经网络优化算法（王辉）4设菲尔德大学的MATLAB遗传算法工具箱（王辉）5基于遗传算法的LQR空制优化算法（胡斐）6 遗传算法工具箱详解及应用（胡斐）7 多种群遗传算法的函数优化算法（王辉）8 基于量子遗传算法的函数寻优算法（王辉）9多目标ParetO最优解搜索算法（胡斐）10基于多目标ParetO的二维背包搜索算法（史峰）11 基于免疫算法的柔性车间调度算法（史峰）12 基于免疫算法的运输中心规划算法（史峰）13 基于粒子群算法的函数寻优算法（史峰）14 基于粒子群算法的PID 空制优化算法（史峰）15基于混合粒子群算法的TSP寻优算法（史峰）16 基于动态粒子群算法的动态环境寻优算法（史峰）17 粒子群算法工具箱（史峰）18 基于鱼群算法的函数寻优算法（王辉）佃基于模拟退火算法的TSP算法（王辉）20 基于遗传模拟退火算法的聚类算法（王辉）21基于模拟退火算法的HEV能量管理策略参数优化（胡斐）22蚁群算法的优化计算一一旅行商问题（TSP优化（郁磊）23 基于蚁群算法的二维路径规划算法（史峰）24 基于蚁群算法的三维路径规划算法（史峰）25 有导师学习神经网络的回归拟合——基于近红外光谱的汽油辛烷值预测（郁磊）26 有导师学习神经网络的分类——鸢尾花种类识别（郁磊）27 无导师学习神经网络的分类——矿井突水水源判别（郁磊）28 支持向量机的分类——基于乳腺组织电阻抗特性的乳腺癌诊断（郁磊）29 支持向量机的回归拟合——混凝土抗压强度预测（郁磊）30 极限学习机的回归拟合及分类——对比实验研究（郁磊）智能算法是我们在学习中经常遇到的算法，主要包括遗传算法，免疫算法，粒子群算法，神经网络等，智能算法对于很多人来说，既爱又恨，爱是因为熟练的掌握几种智能算法，能够很方便的解决我们的论坛问题，恨是因为智能算法感觉比较“玄乎” ，很难理解，更难用它来解决问题。
人工鱼群算法课件
面临的挑战与问题
局部最优解
人工鱼群算法容易陷入局部最优解，导致搜索过程停滞不前。
参数设置
人工鱼群算法的参数设置对搜索结果影响较大，如何合理设置参数 是关键问题。
适用性问题
人工鱼群算法在处理大规模、高维度问题时性能下降，需要改进算 法以适应更复杂的问题。
解决方案与建议
混合优化算法
将人工鱼群算法与其他 优化算法结合，如遗传 算法、粒子群算法等， 以提高搜索性能。
03
人工鱼群算法的实现过程
初始化
随机初始化鱼群
在解空间中随机生成一定数量的鱼， 每条鱼代表一个潜在的解。
设置初始参数
包括最大迭代次数、视野范围、步长 等，这些参数对算法的性能和收敛速 度有重要影响。
行为模拟
觅食行为
01
每条鱼根据自身的感知能力在解空间中随机游动，寻找更优的
解。
聚群行为
02
根据鱼群中其他鱼的分布情况，判断是否聚集到中心区域，以
自适应参数调整
根据搜索过程动态调整 人工鱼群算法的参数， 以避免陷入局部最优解 。
强化学习
借鉴强化学习的思想， 通过与环境的交互不断 调整策略，提高搜索性 能。
THANK YOU
详细描述
多群体协同进化策略将问题划分为多个子问题，并为每个子问题分配一个独立的鱼群进行优化。每个鱼群采用不 同的优化策略和参数，以适应其对应的子问题的特性。通过多群体协同进化，算法能够同时从多个角度探索解空 间，提高全局搜索能力和收敛速度。
混合优化策略
总结词
混合优化策略结合了多种优化算法的优点， 以提高人工鱼群算法的性能。通过将不同的 优化算法与人工鱼群算法相结合，可以弥补 人工鱼群算法的不足，提高其求解复杂问题 的能力。
MATLAB-智能算法30个案例分析-终极版(带目录)
MATLAB 智能算法30个案例分析（终极版）1 基于遗传算法的TSP算法（王辉）2 基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法（史峰）3 基于遗传算法的BP神经网络优化算法（王辉）4 设菲尔德大学的MATLAB遗传算法工具箱（王辉）5 基于遗传算法的LQR控制优化算法（胡斐）6 遗传算法工具箱详解及应用（胡斐）7 多种群遗传算法的函数优化算法（王辉）8 基于量子遗传算法的函数寻优算法（王辉）9 多目标Pareto最优解搜索算法（胡斐）10 基于多目标Pareto的二维背包搜索算法（史峰）11 基于免疫算法的柔性车间调度算法（史峰）12 基于免疫算法的运输中心规划算法（史峰）13 基于粒子群算法的函数寻优算法（史峰）14 基于粒子群算法的PID控制优化算法（史峰）15 基于混合粒子群算法的TSP寻优算法（史峰）16 基于动态粒子群算法的动态环境寻优算法（史峰）17 粒子群算法工具箱（史峰）18 基于鱼群算法的函数寻优算法（王辉）19 基于模拟退火算法的TSP算法（王辉）20 基于遗传模拟退火算法的聚类算法（王辉）21 基于模拟退火算法的HEV能量管理策略参数优化（胡斐）22 蚁群算法的优化计算——旅行商问题（TSP）优化（郁磊）23 基于蚁群算法的二维路径规划算法（史峰）24 基于蚁群算法的三维路径规划算法（史峰）25 有导师学习神经网络的回归拟合——基于近红外光谱的汽油辛烷值预测（郁磊）26 有导师学习神经网络的分类——鸢尾花种类识别（郁磊）27 无导师学习神经网络的分类——矿井突水水源判别（郁磊）28 支持向量机的分类——基于乳腺组织电阻抗特性的乳腺癌诊断（郁磊）29 支持向量机的回归拟合——混凝土抗压强度预测（郁磊）30 极限学习机的回归拟合及分类——对比实验研究（郁磊）智能算法是我们在学习中经常遇到的算法，主要包括遗传算法，免疫算法，粒子群算法，神经网络等，智能算法对于很多人来说，既爱又恨，爱是因为熟练的掌握几种智能算法，能够很方便的解决我们的论坛问题，恨是因为智能算法感觉比较“玄乎”，很难理解，更难用它来解决问题。
人工鱼群算法的改进
人工鱼群算法的改进唐莉;张正军;王俐莉【摘要】人工鱼群算法( AFSA)是一种新型随机搜索优化算法。
通过初步的研究表明，该算法具有许多优良的性质，但也有一些不足之处。
针对均匀随机行为和常数拥挤度因子而导致算法运行时间长或陷入局部最优的问题，引入对称正态随机行为，自适应调整该行为参数，减少了由于迂回搜索导致的无用计算，也使人工鱼可在解空间进行更为广泛的搜索，提高了搜索效率。
采用了自适应拥挤度因子并提出新的适应度函数，加快了系统满意解的收敛速度，使数值解更加稳定。
实验结果表明，与基本人工鱼群算法相比，该方法具有明显的优越性。
%Artificial Fish Swarm Algorithm ( AFSA) is a new random search optimization algorithm. The preliminary study shows that it has many promising features,but also some disadvantages. Aiming at the problem of AFSA,such as long running timeor being in local optimal,caused by uniformly random behavior and constant of congestion factor. Based on symmetric normality random behavior,self-a-daption adjusts the parameter of this behavior,and a large number of unused circuitous searches are reduced,and a more complete search within solution space is obtained for artificial fishes so that a high search efficiency is arrived at. The self-adaption congestion factor is a-dopted and a new fitness function is porposed,increasing the convergence rate of satisfactory solution domain,making the result more sta-ble. Results of experiments show that there is an obvious advantage for this improved method compared with the basic artificial fish-swarm algorithm.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2016(026)011【总页数】5页(P37-40,44)【关键词】随机行为;拥挤度因子;适应度函数;人工鱼群算法;优化【作者】唐莉;张正军;王俐莉【作者单位】南京理工大学理学院，江苏南京 210094;南京理工大学理学院，江苏南京 210094;海军指挥学院科研部，江苏南京 210016【正文语种】中文【中图分类】TP301.6随着动物的进化，根据优胜劣汰的自然法则，它们形成了各式各样的生存方式，这些方式为人类带来了许多灵感和启发。
基于MATLAB的鱼苗自动计数方法与实现
78•理论研究•文章编号：1673-887X(2020)07-0078-02基于MATLAB的鱼苗自动计数方法与实现王紫聪，多功昊，张航(天津农学院计算机与信息工程学院，天津300384)摘要在鱼苗养殖的过程中，饲养、运输、销售等环节均需对鱼苗进行定量计数。
传统的人工计数方法费时费力且准确率不高，文章提出了一种基于MATLAB图像处理实现鱼苗自动计数的方法。
首先对鱼苗图像进行灰度化处理，然后对图像进行滤波、去噪、阈值分割等处理，最后实现对鱼苗数量的自动计数。
结果表明，此方法具有较高的准确性。
关键词MATLAB;鱼苗计数；图像处理中图分类号TP391.4文献标志码A doi:10.3969/j.issn.1673-887X.2020.07.034 Automatic Counting Method and Realization of Fish Fry Based on MATLABWang Zicong,Duo Gonghao,Zhang Hang(Tianjin Agricultural University,Colle g el of Computer and Information Engineering,Tianjin300384,China)Abstract:In the process of fish fry breeding,the fish fry needs to be counted in feeding,transportation and sales.The traditional manual counting method is time-consuming,labor-intensive and the accuracy is not high.This paper proposes a method for automatic counting of fish fry based on MATLAB image processing.First,the collected fish fry images are grayed,then image filtering,denoising,threshold segmentation and other processing are performed,and finally the automatic counting of fish fry is achieved.The results show that this method has high accuracy.Key words:MATLAB,fish fry counting,image processing在鱼苗养殖的过程中，饲养、运输、销售等环节都需要对鱼苗进行定量计数。
人工鱼群算法觅食行为算法流程
人工鱼群算法觅食行为算法流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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求解TSP的改进人工鱼群算法
(4) 约束行为 :指因为在聚群行为 , 随机行为等操作的 作用下 ,易使得人工鱼的状态变成不可行 , 这时就需要加入 相应的约束来对其进行规整化 ,使其由无效变成可行的 。
(5) 公告板 :是用来记录在寻优过程中得到的最优人 工鱼个体的状态 。各人工鱼个体在寻优过程中 , 每次行动 完毕后就检验自身状态与公告板的状态 , 如果自身状态优 于公告板状态 ,就将公告板的状态改写为自身状态 , 这样就 使公告板记录下历史最优状态 。
关键词 : 旅行商问题 ; 人工鱼群算法 ; 交叉算子 ; 去交叉策略 ; 最优解 中图分类号 : TP 18 文献标志码 : A
Improved artif icial f ish2school swarm algorithm f or solving TSP
ZHOU Yo ng2quan , XIE Zhu2cheng
称为 X 的 k —距离领域 , X′∈N ( X , k) 称为 X 的一个邻居 。
定义 3 对于组合优化问题 ( D , F , f )
mm
Center ( X1 , X2 , …, Xm ) = ∪∪ Xi ∩ Xj
(4)
i =1 j =1
j ≠i
称为决策变量 X1 , X2 , …, Xm 的中心 。
MATLAB-智能算法30个案例分析-终极版(带目录)
MATLAB 智能算法30个案例分析（终极版）1 基于遗传算法的TSP算法（王辉）2 基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法（史峰）3 基于遗传算法的BP神经网络优化算法（王辉）4 设菲尔德大学的MATLAB遗传算法工具箱（王辉）5 基于遗传算法的LQR控制优化算法（胡斐）6 遗传算法工具箱详解及应用（胡斐）7 多种群遗传算法的函数优化算法（王辉）8 基于量子遗传算法的函数寻优算法（王辉）9 多目标Pareto最优解搜索算法（胡斐）10 基于多目标Pareto的二维背包搜索算法（史峰）11 基于免疫算法的柔性车间调度算法（史峰）12 基于免疫算法的运输中心规划算法（史峰）13 基于粒子群算法的函数寻优算法（史峰）14 基于粒子群算法的PID控制优化算法（史峰）15 基于混合粒子群算法的TSP寻优算法（史峰）16 基于动态粒子群算法的动态环境寻优算法（史峰）17 粒子群算法工具箱（史峰）18 基于鱼群算法的函数寻优算法（王辉）19 基于模拟退火算法的TSP算法（王辉）20 基于遗传模拟退火算法的聚类算法（王辉）21 基于模拟退火算法的HEV能量管理策略参数优化（胡斐）22 蚁群算法的优化计算——旅行商问题（TSP）优化（郁磊）23 基于蚁群算法的二维路径规划算法（史峰）24 基于蚁群算法的三维路径规划算法（史峰）25 有导师学习神经网络的回归拟合——基于近红外光谱的汽油辛烷值预测（郁磊）26 有导师学习神经网络的分类——鸢尾花种类识别（郁磊）27 无导师学习神经网络的分类——矿井突水水源判别（郁磊）28 支持向量机的分类——基于乳腺组织电阻抗特性的乳腺癌诊断（郁磊）29 支持向量机的回归拟合——混凝土抗压强度预测（郁磊）30 极限学习机的回归拟合及分类——对比实验研究（郁磊）智能算法是我们在学习中经常遇到的算法，主要包括遗传算法，免疫算法，粒子群算法，神经网络等，智能算法对于很多人来说，既爱又恨，爱是因为熟练的掌握几种智能算法，能够很方便的解决我们的论坛问题，恨是因为智能算法感觉比较“玄乎”，很难理解，更难用它来解决问题。
人工鱼群算法
算法实现
▪ 鱼群中的每条人工鱼均为一组实数，是在给定范围内产生随机数组。例
如，鱼群大小为N，有两个待优化的参数 x，y，范围分别为[x1,x2]和
[y1,y2],则要产生一个2行N列的初始鱼群，每列表示一条人工鱼的两个参
数
Xi|n =0
Xj = Xi + rand()*Visual
n=n+1
NO
Yj/ nf > δYi,表明最优伙伴
的周围不太拥挤，则Xi朝此
伙伴移动一步:
否则，执行觅食行为
▪ 目标函数（即食物浓度函数）是用来求人工鱼当前位置的食物浓度，其实就是求给定变
量的函数值，例如计算以下函数的最大值：
▪
f(x)=xsin(10π)+2.0 ,-1≤x ≤1
▪ 此时的食物浓度函数如下：
Xi
确定di,j < Visual 的伙伴数目nf 及其中Yj 最大
的伙食Xj
Y
n
j
> δYi
NO
f
YES
Xi|next =Xi + rand * Step *
X
|| X
j
j
X
X
i
i
||
Xi 进行觅食行为
人工鱼Xi搜索当前邻域
内（ dij <Visual ）的伙伴中
的函数Yj最优伙伴Xj，如果
0.618
觅食最大试探次数
100
移动步长
0.3
算法分析
在求极大值问题中: δ=1/(αnmax), α∈(0,1]
其中α为极值接近水平，nmax为期望在该邻域内聚集的最大人工鱼数目。
在求极小值问题中： δ=αnmax , α∈(0,1]
人工鱼群算法
3.人工鱼的个体数目：人工鱼的数目越多，跳出局 部极值的能力越强，同时，收敛的速度也越快， 当然，付出的代价就是算法每次迭代的计算量也 越大了，因此，在使用过程中，满足稳定收敛的 前提下，应尽可能的减少个体的数目。
4.尝试次数：尝试次数越多，人工鱼的觅食行为能 力越强，收敛的效率也越高。在局部极值突出的 情况下，应该适当的减少以增加人工鱼随机游动 的概率，克服局部极值。
否则执行觅食行为。
3追尾行为Follow():指鱼向其可视区域内的 最优方向移动的一种行为。 人工鱼Xi搜索当前邻域内（ dij <Vaisual ） 的伙伴中的函数Yj最优伙伴Xj，如果 Yj/ nf > δYi,表明最优伙伴的周围不太拥挤，则Xi 朝此伙伴移动一步:
否则执行觅食行为。
4 随机行为Move()：指人工鱼在视野内随 机移动，它是觅食行为的一个缺省行为。 当发现食物时，会向食物逐渐增多的方向 快速的移动。
图2 人工鱼视觉的概念
其中Rand()函数为产生0到1之间的随机 数；Step为步长
➢人工鱼封装成变量部分和函数部分
变量部分：人工鱼的总数N、人工鱼个体的状态 X=(x1,x2,…xn)[其中xi（i=1,2…n）为欲寻优的变 量]、人工鱼移动的最大步长Step、人工鱼的视野 Visual、尝试次数Try-number、拥挤度因子δ、人 工鱼个体i,j之间的距离
函数部分：人工鱼当前所在位置的食物浓度表示 为Y=f(X)（Y为目标函数值）、人工鱼各种行为函 数[觅食行为Prey()、聚群行为Swarm()、追尾行 为Follow()、随机行为Move()以及行为评价函数 Evaluate()]
3 人工鱼的四种基本行为算法描述
1觅食行为Prey()：指鱼循着食物多的方向游动的一种行 为，人工鱼Xi在其视野内随机选择一个状态Xj，
案例18：基于鱼群算法的函数寻优算法
【注】原帖网址:/thread-9222-1-1.html My Email：hehaiwanghui@案例18：基于鱼群算法的函数寻优算法***********************************************************************************论坛申明：1 案例为原创案例，论坛拥有帖子的版权，转载请注明出处（MATLABSKY论坛，《MATLAB智能算法30个案例分析》2 案例内容为书籍原创内容，内容为案例的提纲和主要内容。
3 作者长期驻扎在板块，对读者和会员问题有问必答。
4 案例配套有教学视频和完整的MATLAB程序，MATLAB程序在购买书籍后可以自由下载，教学视频需要另外购买。
MATLAB书籍预定方法和优惠服务：/thread-9258-1-1.html点击这里，预览该案例程序：/znsf/view/s18/example1.html/znsf/view/s18/example2.html已经预定的朋友点此下载程序源代码：/thread-9395-1-1.html***********************************************************************************1、人工鱼群算法原理人工鱼群算法是李晓磊等人于2002年提出的一类基于动物行为的群体智能优化算法．该算法是通过模拟鱼类的觅食、聚群、追尾、随机等行为在搜索域中进行寻优，是集群体智能思想的一个具体应用．生物的视觉是极其复杂的，它能快速感知大量的空间事物，这对于任何仪器和程序都是难以与之相比的，为了实施的简便和有效，在鱼群模式中应用了如下的方法来实现虚拟人工鱼的视觉：如图5.1所示，一虚拟人工鱼实体的当前位置为，它的视野范围为，位置为其在某时刻的视点所在的位置，如果该位置的食物浓度高于当前位置，则考虑向该位置方向前进一步，即到达位置；如果位置不比当前位置食物浓度更高，则继续巡视视野内的其他位置。
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人工鱼群算法m a t l a b实现Revised by Jack on December 14,2020function lhl_AFclc;clear all; close all;format longVisual = ; %人工鱼的感知距离Step = ; %人工鱼的移动最大步长N = 10; %人工鱼的数量Try_number = 50;%迭代的最大次数delta=; %拥挤度因子a1 = -10; b1 = 10; a2 = -10; b2 = 10;d = [];%存储50个状态下的目标函数值;k = 0;m = 50;%迭代次数X1 = rand(N,1)*(b1-a1)+a1; %在-10~10之间，随机生成50个数；X2 = rand(N,1)*(b2-a2)+a2;X = [X1 X2];%X = ones(N,2);%for i = 1:N% X(i,1)=-10;% X(i,2)=10;%end% 人工鱼数量,两个状态变量X1和X2；%计算50个初始状态下的；for i = 1:Nwww = [X(i,1),X(i,2)];d(i) = maxf(www);end%公告牌用于记录人工鱼个体的历史最好状态[w,i] = max(d); % 求出初始状态下的最大值w和最大值的位置i；maxX = [X(i,1),X(i,2)]; % 初始公告板记录，最大值位置；maxY = w; % 初始化公告板记录，最大值；figurex = []; figurey = []; figurez = [];figurex(numel(figurex)+1) = maxX(1); % 将maxX（1）放入figurex中，figurey(numel(figurey)+1) = maxX(2); % numel返回数组或者向量中所含元素的总数，matlab数组下标默认是从1开始的figurez(numel(figurez)+1) = maxY;while(k<m)for i = 1:NXX = [X(i,1),X(i,2)]; %拿出其中一条鱼来看他的四种行为判断%%%%%%第一种行为：聚群行为：伙伴多且不挤，就向伙伴中心位置移动%群聚行为是伙伴的中心点，凸规划下，中心点一定还在约束内%群聚行为不是一种maxf（Xc）的比较，就是看伙伴位置nf1=0;Xc=0;label_swarm =0; %群聚行为发生标志for j = 1:NXX_1 = [X(j,1), X(j,2)];if (norm(XX_1-XX)<Visual) % norm函数求向量XXX-XX的范数，由于二维向量，2或者省略都可以nf1 = nf1+1;Xc = Xc+XX_1;endendXc=Xc-XX; %需要去除XX本身；nf1=nf1-1;Xc = Xc/nf1; %此时Xc表示XX感知范围其他伙伴的中心位置；if((maxf(Xc)/nf1 > delta*maxf(XX)) && (norm(Xc-XX)~=0))XXR1=rand*Step*(Xc-XX)/norm(Xc-XX);XXnext1=XX+XXR1;if(XXnext1(1) > b1)XXnext1(1) = b1;endif(XXnext1(1) < a1)XXnext1(1) = a1;endif(XXnext1(2) > b2)XXnext1(2) = b2;endif(XXnext1(2) < a2)XXnext1(2) = a2;endlabel_swarm =1;temp_y_XXnext1=maxf(XXnext1);elselabel_swarm =0;temp_y_XXnext1=-inf;end%%%%%%%%%%%%第二种行为：追尾行为：周围伙伴有最大值且附近不挤，向其伙伴方向移动%追尾行为追寻伙伴行为，还是在约束内temp_maxY = -inf; %按照理论来说这块应该初始化为-无穷小，label_follow =0;%追尾行为发生标记for j = 1:NXX_2 = [X(j,1),X(j,2)];if((norm(XX_2-XX)<Visual) && (maxf(XX_2)>temp_maxY))temp_maxX = XX_2;temp_maxY = maxf(XX_2);endendnf2=0;for j = 1:NXX_2 = [X(j,1),X(j,2)];if(norm(XX_2-temp_maxX)<Visual)nf2=nf2+1;endendnf2=nf2-1;%去掉他本身if((temp_maxY/nf2)>delta*maxf(XX) && (norm(temp_maxX-XX)~=0)) %附近有Yj最大的伙伴，并且不太拥挤XXR2=rand*Step*(temp_maxX-XX)/norm(temp_maxX-XX);%rand不是随机反向，是随机步长XXnext2 = XX+XXR2;if(XXnext2(1) > b1)XXnext2(1) = b1;endif(XXnext2(1) < a1)XXnext2(1) = a1;endif(XXnext2(2) > b2)XXnext2(2) = b2;endif(XXnext2(2) < a2)XXnext2(2) = a2;endlabel_follow =1;temp_y_XXnext2=maxf(XXnext2);elselabel_follow =0;temp_y_XXnext2=-inf;end%%%%%%%%%%%%第三种行为：觅食行为：与前两个行为不同，觅食和随机行为都是找附近的状态，而不是找附近的同伴%觅食和随机行为可能出现超出约束，所以，XX_3和XX_4是不一样的%觅食行为和群聚行为、追尾行为是不一样的，觅食行为是一种根据状态来判断的行为，群聚和追尾是根据伙伴来判断的行为label_prey =0; %判断觅食行为是否找到优于当前的状态for j = 1:Try_numberR1V=Visual*(-1+2*rand(2,1)');XX_3 = XX+R1V;if(XX_3(1) > b1) % 下面这四个是一套，如果超出约束条件，就选值为边界条件XX_3(1) = b1;endif(XX_3(1) < a1)XX_3(1) = a1;endif(XX_3(2) > b2)XX_3(2) = b2;endif(XX_3(2) < a2)XX_3(2) = a2;endif(maxf(XX)<maxf(XX_3))XXR3=rand*Step*(XX_3-XX)/norm(XX_3-XX);XXnext3 = XX+XXR3;if(XXnext3(1) > b1) % 下面这四个是一套，如果超出约束条件，就选值为边界条件XXnext3(1) = b1;endif(XXnext3(1) < a1)XXnext3(1) = a1;endif(XXnext3(2) > b2)XXnext3(2) = b2;endif(XXnext3(2) < a2)XXnext3(2) = a2;endlabel_prey =1;break;endendtemp_y_XXnext3=max(XXnext3);if(label_prey ==0)temp_y_XXnext3=-inf;end%%%%%%%%%%%%行为选择if((label_swarm==0) && (label_follow==0) && (label_prey ==0))%聚群和追尾鱼太多太拥挤，都不发生；觅食觅不到更好的，造成三种行为都不发生。
%如果前三种行为都没有发生出现，必然是发生随机行为R2S=Step*(-1+2*rand(2,1)');temp_XX = XX+R2S;if(XX(1) > b1) % 下面这四个是一套，如果超出约束条件，就选值为边界条件XX(1) = b1;endif(XX(1) < a1)XX(1) = a1;endif(XX(2) > b2)XX(2) = b2;endif(XX(2) < a2)XX(2) = a2;endelse%三种行为找最优if(temp_y_XXnext1 > temp_y_XXnext2)if(temp_y_XXnext1 > temp_y_XXnext3)temp_XX = XXnext1;elsetemp_XX = XXnext3;endelseif(temp_y_XXnext2 > temp_y_XXnext3)temp_XX = XXnext2;elsetemp_XX = XXnext3;endendendXX=temp_XX;X(i,1) = XX(1);X(i,2) = XX(2);%%%%%%end%至此，所有人工鱼，完成一次行为判断和移动%这块是更新公告牌信息for i = 1:NXXX = [X(i,1),X(i,2)];if (maxf(XXX)>maxY)maxY = maxf(XXX);maxX = XXX;figurex(numel(figurex)+1) = maxX(1);figurey(numel(figurey)+1) = maxX(2);figurez(numel(figurez)+1) = maxY;endendx=X(:,1)';y=X(:,2)';plot(x,y,'*r');axis([-10 10 -10 10]);k = k+1endmaxXmaxYplot3(figurex,figurey,figurez,'-g.')function y = maxf(QQ)%目标函数y=(sinX1/X1)*(sinX2/X2),这块可以指定自己的目标函数%输入二维向量，输出一个值y = (sin(QQ(1))/QQ(1))*(sin(QQ(2))/QQ(2));。