青岛大学816高等代数历年考研试题
青岛大学03高代
青岛大学2003年硕士研究生入学考试试题A 科目代码: 411科目名称:高等代数(请考生写明题号,将答案全部答在答题纸上,答在试卷上无效)1. 证明下列多项式在有理数域上不可约:()431f x x x =--2. 设在向量组12,,,n ααα 中,10α≠,且每个()2,,i i n α= 不可能由121,,,i ααα- 线性表出.证明:向量组12,,,n ααα 线性无关.3. 设数域P 上的二阶方阵A 的特征多项式为:()21021f λλλ=-+,求1A -的特征多项式.4. 设()A λ为复数域上的n 阶λ-距阵.证明: ()A λ是可逆距阵的充要条件是:对任意复数a ,数字距阵()A a 是可逆距阵.5. 设有距阵 11111x A xy y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,000010002B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并且A 与B 相似1).求x 与y 的值;2).求A 的特征值与特征向量; 3).求一个正交距阵X,使1X AX B -=.6. 设[]n V P x =表示数域P 上的次数小于n 的多项式构成的线性空间.1).定义V 的求导线性变换()()():,A Af x f x f x V '=∀∈.证明:A 在任何一组基下的距阵不可能是对角距阵.2). 定义V 的线性变换()()()():1,B Bf x x f x f x V '=-∀∈.证明:存在V 的一组基,使B 在这组基下的距阵为对角距阵.7. 设A 是n 阶实对称距阵.若对于n 维欧氏空间n R 中的任意两个正交的向量()12,,n a a a α= 及()12,,n b b b β= ,必有:0T A αβ=,证明:A 是n 阶数量距阵,即,A E λ=.。
青岛大学考研试题及答案
青岛大学考研试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 青岛大学位于我国的哪个省份?A. 山东省B. 河南省C. 江苏省D. 浙江省答案:A2. 青岛大学成立于哪一年?A. 1909年B. 1912年C. 1924年D. 1930年答案:A3. 青岛大学的主要学科门类包括哪些?A. 工学、理学、文学B. 工学、医学、法学C. 理学、文学、经济学D. 工学、理学、医学、文学答案:D4. 青岛大学图书馆藏书量超过多少万册?A. 100万B. 200万C. 300万D. 400万5. 青岛大学校园内有多少个学院?A. 26个B. 34个C. 42个D. 50个答案:B6. 青岛大学是否是“211工程”重点建设的大学?A. 是B. 否答案:B7. 青岛大学的校训是什么?A. 厚德博学,求是创新B. 求实创新,自强不息C. 厚德载物,自强不息D. 博学笃行,求是创新答案:A8. 青岛大学有多少个国家级重点学科?A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案:C9. 青岛大学是否拥有博士学位授予权?A. 是B. 否10. 青岛大学校园占地面积约为多少公顷?A. 500公顷B. 800公顷C. 1000公顷D. 1200公顷答案:B二、多项选择题(每题3分,共15分)1. 青岛大学校园内有哪些著名的景点?A. 樱花大道B. 红楼C. 明德楼D. 逸夫图书馆答案:A、B、C、D2. 青岛大学在哪些领域具有较高的学术影响力?A. 海洋科学B. 材料科学C. 计算机科学D. 生物科学答案:A、B、D3. 青岛大学提供哪些类型的研究生教育?A. 硕士研究生B. 博士研究生C. 专业学位研究生D. 访问学者答案:A、B、C三、简答题(每题5分,共20分)1. 请简述青岛大学的历史沿革。
答案:青岛大学的历史可以追溯到1909年,最初名为青岛特别高等学堂,后经过多次更名和发展,于1985年正式更名为青岛大学。
2. 青岛大学在科研方面有哪些突出成就?答案:青岛大学在海洋科学、材料科学等领域取得了一系列重要的科研成果,多次获得国家级科研奖项。
青岛大学高等代数2009-2017年考研初试真题
青岛大学2017年硕士研究生入学考试试题科目代码:816科目名称:高等代数(共2页)请考生写明题号,将答案全部答在答题纸上,答在试卷上无效一、(15分)令n n j i n j n i b a b a A ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11,计算行列式A det 。
二、(10分)设)(),(),(),(2121x g x g x f x f 是数域P 上的多项式,并且()2,1,,1)(),(==j i x g x f ji。
证明:()()())(),()(),()()(),()(21212211x g x g x f x f x g x f x g x f =三、(20分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,n εεε,,,21是V 的一组基,n m m <,,,,21ααα是V 的一个线性无关向量组。
证明:在n εεε,,,21中存在m n -个向量m n i i i -εεε,,,21,使得m n i i i m -εεεααα,,,,,,,2121构成V 的一组基。
四、(20分)设A 是n 阶非零实对称矩阵,二次型Ax x T 的符号差为零。
证明:存在n 维非零实向量321,,ααα,使得0,0,0332211=<>ααααααA A A TT T 。
五、(20分)设n 元非齐次线性方程组b Ax =有解,令γ是b Ax =的解向量,s ηηη,,,21是其导出组0=Ax 的基础解系。
证明:(1)s ηγηγηγγ+++,,,,21线性无关;(2)b Ax =的任意2+s 个解向量1210,,,,,+s s γγγγγ必线性相关。
六、(15分)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B C C AM T是实矩阵,其中B A ,分别为n m ,阶方阵。
(1)证明:若M 是对称矩阵,则B A ,是对称矩阵。
(2)证明:若M 是正定矩阵,则C A C B B A T 1,,--是正定矩阵。
七、(15分)设B A ,是数域P 上的n 阶方阵,且E AB m =)(,其中E 是n 阶单位矩阵,m 是正整数。
青岛大学2020年816 高等代数考试大纲
数学类专业硕士入学考试大纲考试科目代码及名称:816高等代数一、考试要求熟练、完整掌握《高等代数》的基本概念、基础理论和重要思想方法,具备抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力,并能灵活运用所学知识解决各种类型的问题。
二、考试内容(1)多项式一元多项式的概念,带余除法,整除性,最大公因式、最小公倍式,辗转相除法,因式分解定理,多项式函数,不可约多项式,复系数、实系数、有理系数多项式理论(2)行列式行列式的定义、性质,行列式的计算,Cramer法则(3)线性方程组高斯消元法,向量空间,线性相关(无关),极大线性无关组,向量组的秩,矩阵的秩,线性方程组解的理论(4)矩阵矩阵的各种运算,矩阵逆,矩阵乘积的行列式,分块矩阵的理论,初等矩阵,矩阵在初等行(列)变换下的标准型(5)二次型二次型的矩阵表示,二次型的标准形,惯性定律,正定二次型及其判定,实对称矩阵初步理论(6)线性空间线性空间与子空间的概念,基、维数、坐标,基变换与坐标变换,子空间的交与直和,线性空间的同构(7)线性变换线性变换的定义,线性变换的运算,线性变换的矩阵,特征值与特征向量,矩阵相似于对角矩阵,线性变换的像与核,不变子空间,特征多项式、极小多项式,Jordan标准形(8)欧几里得空间欧几里得空间的概念,标准正交基,Gram-Schmidt正交化,正交变换与正交矩阵,实对称矩阵的正交相似标准形,向量到子空间的距离,最小二乘法(9)双线性函数与辛空间线性函数,双线性函数,对偶空间三、试卷结构(题型分值)1.本科目满分为150分,考试时间为180分钟。
2.题型结构(1)证明题:约占总分的80%(2)计算题: 约占总分的20%四、参考书目(1)《高等代数(第三版)》:北京大学数学系编,高等教育出版社,2003年(2)《线性代数》蒋尔雄,高坤敏,吴景坤编著, 人民教育出版社,1979年.(3)《高等代数学》张贤科,许甫华编著, 清华大学出版社,2004.。