高中数学必修五全套学案

§1.1.1 正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备

∆CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．

思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关

系？

显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学

※学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来

探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt∆ABC中，

设BC=a，AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，

从而在直角三角形ABC 中，

sin sin sin a b c A B C

==． (

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的

定义，

有CD =sin sin a B b A =，则

sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B

=， 从而sin sin a b A B =sin c C

=．

类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

sin sin a b A B =sin c C

=．

试试：

（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．

A ．sin sin a A b

B = B .cos cos a A b B =

C . sin sin a B b A =

D .cos cos a B b A =

（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；

（2）

sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B

=，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B

=；b = ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．

例2. 在45,2,,

∆===

中，求和．ABC c A a b B C

变式：在60,1,,

中，求和．∆==

ABC b B c a A C

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C

= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.

3．应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a

=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形

2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，

则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4

B ．1∶1∶2

C ．1∶1∶

D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A B >

B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定

4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．

5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =

sin sin sin a b c A B C

++++= ．

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

各和它所对角的的相等，即= = ．

复习2：在△ABC中，已知10

c=，A=45︒，C=30︒，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？