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中考数学压轴题代数综合题(PDF版)

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(完整word版)中考数学压轴题100题精选

(完整word版)中考数学压轴题100题精选

我选的中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线y a(x 1)2 3.3 (0)经过点A( 2, 0),抛物线的顶点为D，过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC•(1 )求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动, 设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s), 连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.My【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90° AC = 3, AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP 于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t> 0).(1) ____________________ 当t = 2时，AP = __________ ，点Q到AC 的距离是_______________________ ;(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C (8，0)、D (8，8)•抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；⑵动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE± AB 交AC于点E，①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得厶CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

2022北京中考数学题型专练：代数压轴题

2022北京中考数学题型专练：代数压轴题

2022北京中考数学题型专练：代数压轴题一、解答题1．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．xOy ()1,m ()3n ,()20y ax bx a =+>（1）若，求该抛物线的对称轴；3,15m n ==（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． ()()()1231,,2,,4,y y y -0mn <123,,y y y 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点xOy 21y axbx a=+-y B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含的式子表示）；a （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 11(,)2P a-(2,2)Q a 3．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，xOy 44y x =+x y A B 23y ax bx a =+-A 将点向右平移5个单位长度，得到点．B C （1）求点的坐标；C （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．BC a 4．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．xOy 24(0)y ax bx a a =++-≠1x =（1）求抛物线的顶点坐标；24(0)y ax bx a a =++-≠（2）当时，y 的最大值是5，求a 的值；23x -≤≤（3）在（2）的条件下，当时，y 的最大值是m ，最小值是n ，且，求t 的值． 1t x t ≤≤+3m n -=5．在平面直角坐标系中，抛物线．分别过点和点作x 轴的垂线，交抛xOy 222(0)y ax ax a a =-+->(,0)M t (2,0)N t +物线于点A 和点B ．记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包括A ，B 两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m ．①当时，若图形G 为轴对称图形，求m 的值；2a =②若存在实数t ，使得，直接写出a 的取值范围．2m =6．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． xOy ()()1122,,,A x y B x y 22(22)2y x a x a a =-+--+12x x <（1）求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；（2）①当时，求y 的值；x a =②若，求x 1的值（用含a 的式子表示）；120y y ==（3）若对于，都有，求a 的取值范围．124x x +<-12y y <7．在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与抛物线xOy 2221(0)y ax a x a =-+≠交于点B ．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；4AB =（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． (4,1),(0,1)P a Q a ++PQ 8．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线的顶点．xOy 22221y x mx m m =-+-++（1）求点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若射线与x 轴所成的锐角为，求m 的值；OA 45︒（3）将点向右平移4个单位得到点Q ，若抛物线与线段只有一个公共点，直接写出m 的取值范围． (0,1)P PQ 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．xOy 2222(0)y x bx b b =-+->(,)A m n （1）用含b 的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点，且满足，求n 的取值范围；(0,2)B 03m <<（3）若时，，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．35m ≤≤2n ≤10．已知二次函数．221(0)y ax ax a =-+≠（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x 轴交于不重合两点，（其中），且满足，求a 的()1,0M x ()2,0N x 12x x <1262x x <-取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点A ．231y ax ax =-+（1）求抛物线的对称轴；（2）点B 是点A 关于对称轴的对称点，求点B 的坐标；（3）已知点P (0，2)，Q ，若线段PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． ()1,1a +12．在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴的交点为A ，过点A 作直线l 垂直于y 轴． xOy 222y x mx m =-+（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．点，图形G ()11,M x y ()22,N x y 上任意两点．①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；0m =12x x <1y 2y ②若对于，都有，求m 的取值范围．122,2x m x m =-=+12y y >13．在平面直角坐标系xOy 中，点，为抛物线上的两点． ()11,P x y ()22,Q x y 2221(0)y ax ahx ah a =-++<（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；（2）若对于，，都有，求h 的取值范围．102x ≤≤245h x h -≤≤-12y y ≥14．在平面直角坐标系中，抛物线（）．xOy 223y ax ax a =--0a ≠（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴交点坐标．（2） 已知点B （3，4），将点B 向左平移3个单位长度，得到点C ．若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．15．已知抛物线经过点． 点，为抛物线上两个不同的点，且满足，2(0)y ax bx a =+≠(3,3)A 11(,)M x y 22(,)N x y 12x x <．122x x +=（1）用含的代数式表示；a b （2）当时，求抛物线的对称轴及的值；12y y =a （3）当时，求的取值范围．12y y <a 16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为xOy 222y x mx m m =-+-+A （1）求抛物线的顶点坐标（用表示）；m（2）若点在第一象限，且A OA =（3）已知点，，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围 (1,2)B m m --(2,2)C BC m 17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的对称轴为直线x =2．223y x bx =-+-（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中n ．12x x <①当时，结合函数图象，求出n 的值；213x x -=②把直线PB 上方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5时，满足，求的取值范围．44y -≤≤n18．已知抛物线y=ax 2+bx+a+2(a≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，点B(x 2，0)，(点A 在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．(1)若点A 的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B 的坐标；(2)C 是第三象限的点，且点C 的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C ，直接写出x 2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，点P 在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4个，结合图象，求a 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与y 轴交于点A ，与抛物线的对称3y ax =-+()2230y ax ax a a =--≠轴交于点B ，将点A 向右平移5个单位得到点C ，连接AB ，AC 得到的折线段记为图形G ．（1）求出抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）①当时，直接写出抛物线与图形G 的公共点个数．1a =-223y ax ax a =--②如果抛物线与图形G 有且只有一个公共点，求出a 的取值范围．223y ax ax a =--20．在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点．xOy 22y ax a x c =++(0,2)（1）求c 的值；（2）当时，求抛物线顶点的坐标；2a =（3）已知点，若抛物线与线段有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范(2,0),(1,0)A B -22y ax a x c =++AB 围．参考答案1．（1）；（2），理由见解析1x =-213y y y <<【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； ()1,3()3,15（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．0,0m n <>0,0m n ><【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：3,15m n ==()1,3()3,15()20y ax bx a =+>，解得：， 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为，22y x x =+∴抛物线的对称轴为； 12b x a=-=-（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：()20y ax bx a =+>()0,00mn <①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛0,0m n ><()20y ax bx a =+>()0,00a <0a >盾；②当时，0,0m n <>∵抛物线始终过定点，()20y ax bx a =+>()0,0∴此时抛物线的对称轴的范围为， 1322x <<∵点在该抛物线上，()()()1231,,2,,4,y y y -∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<∵，开口向上，0a >∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴．213y y y <<【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（1）点B 的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 1(2,)a -1x =12a ≤-【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点； 10,⎛⎫- ⎪⎝⎭A a 12,⎛⎫- ⎪⎝⎭B a （2）A 与B 关于对称轴x=1对称；（3））①a ＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB 无交点；②a ＜0时，当y=212=-<y a 1=-y a 时，，或当时，； 2122--=ax ax a |1|++=a a x a |1|-+=a a x a |1|2++a a a 12-a 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点A ，∴令，得， y 0x =1=-y a∴点A 的坐标为，∵点A 向右平移两个单位长度，得到点B ， 1(0,a-∴点B 的坐标为； 1(2,)a-（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为 1(0,)A a -1(2,B a-直线，故对称轴为直线 0212x +==1x =（3）∵对称轴x=1，∴b-2a ，， 212∴=--y ax ax a①a ＞0时，当x=2时，，当x=0或x=2， 12=-<y a 1=-y a∴函数与AB 无交点；②a ＜0时，当y=2时，， 2122--=ax ax a或当时，； |1|++=a a x a |1|-+=a a x a |1|2++a a a 12-a ∴当时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点； 12-a（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可0a >10a-<能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点.②当时，则. 0a <10a ->分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时即 12,a-≤ 12a ≤-综上所述，当时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 12a ≤-【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．3．（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或． C 43a <-13a ≥1a =-【详解】分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可44y x =+x y A B A 1-B 求出点的坐标；C （2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物23y ax bx a =+-A 1-02b a =-线的对称轴；（3）分①当抛物线过点时．②当抛物线过点时．③当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可. C B BC 详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、．44y x =+x y A B ∴（，0），（0，4）A 1-B ∴（5，4）C（2）解：抛物线过（，） 23y ax bx a =+-A 1-0∴． 30a b a --=2b a =-∴223y ax ax a =--∴对称轴为．212ax a -=-=（3）解：①当抛物线过点时． C，解得．251034a a a --=13a =②当抛物线过点时．B，解得．34a -=43a =-③当抛物线顶点在上时．BC此时顶点为（1，4）∴，解得．234a a a --=1a =-∴综上所述或或． 43a <-13a ≥1a =-点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.4．（1）顶点坐标为；（2）；（3）或()1,4-1a =1t =-2t =【分析】（1）根据对称轴可得a 与b 间的关系b =-2a ，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a 为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a 为负的情况，所以a 为正．再由于x 轴上-2与1的距离大小3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x =-2处取得最大值，从而可求得a 的值．（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三1t x t ≤≤+种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t 的值．【详解】解：（1）∵对称轴是直线，1x =∴． 12b a-=∴．2b a =-∴．2224(1)4=-+-=--y ax ax a a x ∴顶点坐标为．()1,4-（2）若a <0，则抛物线的开口向下，从而y 有最大值4∵当时，y 的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x =1，23x -≤≤∴函数此时在时取得最大值5,1x =这与y 有最大值4矛盾，从而a >0．∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1-（-2）>3-1∴当时，．2x =-5y =代入解析式，得2(21)45,a ⨯---= ．∴1a =（3）①当时，此时0≤t ≤1，11t t ≤≤+∴，函数的最大值在t +1或t 处取得，即或4n =-24m t =-2(1)4m t =--∴m 的最大值为．3-此时．1m n -=不符合题意，舍去．②当，即时，11t +<0t <．22(1)4,(11)4=--=+--m t n t ∵，3m n -=∴．1t =-③当时，1t >同理可得．2t =综上所述，或．1t =-2t =【点睛】本题是二次函数的综合题，解决后两问的关键是分清顶点的横坐标与所给自变量的范围之间的位置关系，即它是在自变量的范围内、还是在自变量范围左边或自变量范围右边，才能确定函数的最大值与最小值，这其实就是分类讨论，这也是同学们易于忽略的．5．（1） ；（2） ① ；②．(1,2)-2m =02a <≤【分析】（1）将抛物线的一般式改为顶点式即可写出其顶点坐标．（2）①由可知抛物线解析式为，再由对称的性质即可求出t 的值．最后由增减性即可求出m 的2a =22(1)2y x =--值．②分四种情况讨论：t ≤-1，-1＜t ≤0，0＜t ＜1，t ≥1，根据m =2分别列出方程，由t 的范围即可求出a 的范围．．【详解】（1）抛物线的解析式为，2222(1)2y ax ax a a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为． (1)2-，（2）①当时，抛物线为，其对称轴为．2a =22(1)2y x =--1x =∵图象G 为轴对称图形，∴点A ，B 必关于对称轴对称．1x =∵点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为，2t +∴，2AB =∴，即点A 为，点B 为． 0t =(0)0，(2)0，∵当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大，01x ≤<12x ≤≤∴图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为．2-∴．0(2)2m =--=②∵过点M （t ，0）和点N （t +2，0）作x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点B ，∴A （t ，at 2-2at +a -2），B （t +2，a （t +2）2-2a （t +2）+a -2），又a ＞0，抛物线对称轴x =1，（Ⅰ）当t +2≤1，即t ≤-1时，图象G 上A 的纵坐标的值最大，B 的纵坐标的值最小，（at 2-2at +a -2）-[a （t +2）2-2a （t +2）+a -2]=2，解得t =-， 12a∴-≤-1， 12a∴a ≤；12（Ⅱ）当t ＜1＜t +2，且t +2-1≤1-t ，即-1＜t ≤0时，图象G 上A 的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小， ∴（at 2-2at +a -2）-（-2）=2，∴， 22(1)a t =-又-1＜t ≤0， ∴＜a ≤2；12（Ⅲ）当t ＜1＜t +2，且t +2-1＞1-t ，即0＜t ＜1时，图象G 上B 的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小， ∴a （t +2）2-2a （t +2）+a -2-（-2）=2，∴， 22(+1)a t =又0＜t ＜1， ∴＜a ＜2；12（四）当t ≥1时，图象G 上B 的纵坐标的值最大，A 的纵坐标的值最小，∴a （t +2）2-2a （t +2）+a -2-（at 2-2at +a -2）=2，∴t =， 12a 又t ≥1，∴a ≤，12综上所述，若存在实数t ，使得m =2，则0＜a ≤2．【点睛】本题考查二次函数知识的综合应用，解题的关键是分类讨论图象G 上纵坐标的最大值与最小值列方程． 6．（1）；（2）①；②；（3）1x a =-0y =12x a =-1a ≥-【分析】（1）根据对称轴公式计算即可；（2）①把代入即可得解；②令，求出方程的解，再根据已知条件判断即可；x a =0y =（3）分三种情况根据二次函数的性质讨论即可；【详解】（1）∵，22(22)2y x a x a a =-+--+∴对称轴； ()22112a x a -=-=--⨯（2）①当时，；x a =()222222222220y a a a a a a a a a a =-+--+=-+--+=②令，则，。

2024年中考数学重难点- 选择压轴题(代数篇)(原卷版)

2024年中考数学重难点- 选择压轴题(代数篇)(原卷版)

重难点选择压轴题（代数篇）目录题型01 数与式的运算类型一实数的运算及其应用类型二整式运算及其应用类型三分式的计算及其应用题型02 方程与不等式组类型四一次方程（组）及其应用类型五分式方程及其应用类型六不等式与不等式组题型03 函数及其应用类型七动点问题的函数图象类型八一次函数及其应用类型九类型十反比例函数及其应用类型十一双函数的综合问题题型01 数与式的运算 类型一 实数的运算及其应用1．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以12−，再加3”的运算.现在输入一个4x =，通过第1次运算的结果为1x ，再把1x 输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为2x ，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果n x （ ） A ．越来越接近4 B ．越来越接近于－2C ．越来越接近2D ．不会越来越接近于一个固定的数2．如图，在数轴上，点P 表示1−，将点P 沿数轴做如下移动，第一次点P 向右平移2个单位长度到达点1P ，第二次将点1P 向左移动4个单位长度到达2P ，第三次将点2P 向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点n P ，给出以下结论：①5P 表示5；②1211P P >；③若点n P 到原点的距离为15，则15n =； ④当n 为奇数时，12n n n P P P −−=；以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．①④3．潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算121231,,23x x x x x x +++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的最佳值．例如，对于数列2,1,3−，因为()()212131422,,2233+−+−+===，所以数列2,1,3−的最佳值为12．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列1,2,3−的最佳值为12；数列3,1,2−的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“2,1,3−”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有 ①数列4,3,2−−的最佳值为53；②将“4−，3−，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为3,2,4−−；③将2，9−，(1)a a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件a 的值有4个． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．（2024·重庆大渡口·一模）(),,,a b c d 表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，(),,,a b b c c d d a ++++表示由它生成的第一个数组，(),,,a b b c b c c d c d d a d a a b ++++++++++++表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记0M a b c d =+++，第n 个数组的四个数之和为n M （n 为正整数）. 下列说法：①n M 可以是奇数，也可以是偶数； ②n M 的最小值是20； ③若010002000nM M <<，则10n =. 其中正确的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”111515=++×，11是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是5；②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种； ③最大的“不可拆分”的两位整数是96． 其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．观察下列算式：15a =，211a =，319a =，…，它有一定的规律性，把第n 个算式的结果记为n a ，则123711111111a a a a ++++−−−− 的值是（ ） A ．12B ．121360C ．5391080D ．1192407．对于任意实数x ，x 均能写成其整数部分[]x 与小数部分{}x 的和，其中[]x 称为x 的整数部分，表示不超过x 的最大整数，{}x 称为x 的小数部分，即[]{}x x x =+.比如[]{}1.7 1.7 1.710.7=+=+，[]1.71=，{}1.70.7=，[]{}1.7 1.7 1.720.3−=−+−=−+，[]1.72−=−，{}1.70.3−=，则下列结论正确的有（ ） ①1233−= ；②{}01x < ；③若{}20.3x −=，则 2.3x =；④{}{}{}1x y x y +=++对一切实数x 、y 均成立；⑤方程{}11x x+=无解． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p ，q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：F （n ）=pq．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F （12）=34．如果一个两位正整数t ，t =10x +y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F （48）=34；（2）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F （t ）的最大值为34． ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型二 整式运算及其应用9．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：()()a b c d e −+−−−，其中称a 为“数1”，b 为“数2”，+c 为“数3”，d −为“数4”，e −为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：()()e b c d a −−+−−+，则下列说法中正确的个数是（ ）①代数式()a b c d e −+−−进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式()()a b c d e −+−−进行1次“换位运算”，化简后只能得到a b c d e −+−− ③代数式()a b c d e +−−− 进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A ．0B ．1C ．2D ．310．对多项式21234x x +−+添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：()()222222352301234235230x x x x x x x x x x −+−≥+−+= −++−< ，称对多项式21234x x +−+一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式2235x x −+进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（ ）①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为2235x x −+； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种；③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A ．0B ．1C ．2D ．311．关于x ，y 的二次三项式224,4x mxy x y mxy y +−+−（m 为常数），下列结论正确的有（ ） ①当1m =时，若240x mxy x +−=，则4x y += ②无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +−=都恒成立，则7x my += ③若2245,47x xy x y xy y +−=+−=，则6x y +=④满足22440x xy x y xy y +−+−−≤的正整数解(,)x y 共有25个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=−+<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．43b a >>B ．2b c >>C ．43b a >> D ．240b ac −≤13．对整式 2a 进行如下操作：将 2a 与另一个整式 1x 相加， 使得 2a 与 1x 的和等于 ()21+a ， 表示为()22111=+=+m a x a ， 称为第一次操作； 将第一次操作的结果 1m 与另一个整式 1y 相减，使得 1m与1y 的差等于 21a −， 表示为 22111=−=−m m y a ， 称为第二次操作； 将第二次的操作结果 2m 与另一个整式 2x 相加，使得 2m 与 2x 的和等于 ()22a +， 表示为 ()23222=+=+m m x a ， 称为第三次操作；将第三次操作的结果 3m 与另一个整式 2y 相减， 使得 3m 与 2y 的差等于 222−a ， 表示为224322=−=−m m y a ， 称为第四次操作， 以此类推， 下列四种说法：①2613=+x a ；② 575720+−−=y y x x ；③ 2022202124045−=+x y a ；④当 n 为奇数时， 第 n 次操作结果 212+ =+ n n m a ； 当 n 为偶数时，第 n 次操作结果 222 =−n n m a ： 四个结论中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个D ．4 个14．已知多项式22A x y m =++和22B y x n =−+（m ，n 为常数），以下结论中正确的是（ ） ①当2x =且1m n +=时，无论y 取何值，都有0A B +≥； ②当0m n ==时，A B ×所得的结果中不含一次项； ③当x y =时，一定有A B ≥；④若2m n +=且0A B +=，则x y =； ⑤若m n =，1−=−A B 且x ，y 为整数，则1x y +=． A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤15．下列四种说法中正确的有（ ） ①关于x 、y 的方程26199x y +=存在整数解． ②若两个不等实数a 、b 满足442222()()a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．③若2()4()()0a c a b b c −−−=−，则2b a c =+． ④若222x yz y xz z xy −−−==，则x y z ==． A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．②③④16．已知三个函数：2()4T x x x =−，()2G x x =−，2()x F x x+=，下列说法： ①当()()16T x F x ⋅=时，x 的值为6或4−；②对于任意的实数m ，n ，若m n +1mn =，则()()3T m T n +=−；③若()()3G x F x +=时，则2421746x x x =−+； ④若当式子()T x ax +中x 的取值为2b 与23b −时，()T x ax +的值相等，则a 的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4类型三 分式的计算及其应用17．（23-24九年级下·浙江杭州）《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为n ，则（ ） A ．23111112222n +++⋅⋅⋅+<B ．23111112222n +++⋅⋅⋅+=C ．23111112222nn +++⋅⋅⋅+>D ．23111112222nn ×+++⋅⋅⋅+=18．设n 是大于1909的正整数，且19092009n n−−是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n 之和为( )A ．1959B ．7954C ．82D ．394819．有一组数据：()()12335721,,,,12323434512n n a a a a n n n +====××××××++ ．记123n n S a a a a =++++ ，则12S =（ ） A ．201182B ．203180C ．199198D ．20318420．按顺序排列的若干个数： 1x ，2x ，3x ，…，n x （n 是正整数），从第二个数2x 开始，每一个数都等于1与它前一个数的倒数之差，即：2111x x =−，3211x x =−，…，则下列说法：①若22x =，则912x =；②若13x =，则．123181922x x x x x +++++=；③若1x a =，812102x x +=，则2a =；④无论m 为何值，代数式()12012181x x m x x x ⋅+−⋅的值恒为负．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．0210.618≈这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设a =b =记111S a b =+，222222a ab b S a b ++=，()3333a b S a b +=，…依此规律，则6S 的值为（ ）A．B ．25C．D ．12522．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：()()21231223111a a a a a a a a a a a −+−+−−+−+==+=−−−a ﹣121a +−，这样，分式就拆分成一个分式2a 1−与一个整式a ﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．①若x 为整数，42x x ++为负整数，则x ＝﹣3；②6226182x x +≤+＜9；③若分式25932x x x +−+拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣1116n +−（整式部分对应等于5m ﹣11，真分式部分对应等于16n −），则m 2+n 2+mn 的最小值为27． A ．0B ．1C ．2D ．323．已知两个分式：1x，11x +；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为1M ；作差，结果记为1N ； （即1111M x x =++，1111N x x =−+） 第二次操作：将1M ，1N 作和，结果记为2M ：作差，结果记为2N ；（即211M M N =+，211N M N =−） 第三次操作：将2M ，2N 作和，结果记为3M ；作差，结果记为3N ；（即322M M N =+，322N M N =−）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．①312M M =；②当1x =时，246820M M M M +++=；③若244N M ⋅=，则1x =； ④在第n （n 为正整数）次和第1n +次操作的结果中：1nn N N +为定值： ⑤在第2n （n 为正整数）次操作的结果中：22n n M x =，221nn N x =+； 以上结论正确的个数有（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．224．对x 、y 定义一种新运算T ，规定：(),4T x y axy bx +−（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()0,101044T a b =××+×−=−，若()2,12T =，()1,28T −=−，则结论正确的个数为（ ）（1）a ＝1，b ＝2；（2）若()(),02T m n n =≠−，则42m n =+； （3）若()(),02T m n n =≠−，m 、n 均取整数，则12m n = = 或20m n = =或41m n = =− ；（4）若()(),02T m n n =≠−，当n 取s 、t 时，m 对应的值为c 、d ，当2t s <<−时，c d <； （5）若()(),,T kx y T ky x =对任意有理数x 、y 都成立（这里T （x 、y ）和T （y 、x ）均有意义），则0k = A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题型02 方程与不等式组 类型四 一次方程（组）及其应用25．规定：()2f x x =−，()3g y y =+．例如()442f −=−−，()443g −=−+．下列结论中：①若()()0f x g y +=，则2313x y −=；②若3x <−，则()()12f x g x x +=−−；③能使()()f x g x =成立的x 的值不存在；④式子()()11f x g x −++的最小值是7．其中正确的所有结论是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④26．（2023·浙江·A ，B 两地相距1200m ，小车从A 地出发，以8m/s 的速度向B 地行驶，中途在C 地停靠3分钟．大货车从B 地出发，以5m/s 的速度向A 地行驶，途经D 地（在A 地与C 地之间）时沿原路返回B 点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A 点．已知：3100m AC BC CD ==，，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．527．有5个正整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①1a ，2a ，3a 是三个连续偶数（123a a a <<），②4a ，5a 是两个连续奇数（45a a <），③12345a a a a a ++=+．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取26a =，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取212a =，5个正整数满足上述3个条件；丙：当2a 满足“2a 是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；丁：5个正整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a 满足上述3个条件，则534a k =+（k 为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则1a ，2a ，3a 的平均数与4a ，5a 的平均数之和是10p （p 为正整数）； 以上结论正确的个数有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．528．甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车从A 地匀速驶向B 地，乙车从B 地匀速驶向A 地．两车之间的距离y （单位：km ）与两车行驶的时间x （单位：h ）之间的关系如图所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h ．下列说法错误的是（ ）A ．A 、B 两地相距360km B ．甲车的速度为100km /hC ．点E 的横坐标为185D ．当甲车到B 地时，甲乙两车相距280km29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ） A ．6种B ．5种C ．4种D ．30种30．若实数x ,y 满足22227{3x y xy x y xy ++=+−=，则20222022x y +的值是（ ） A ．202221+B ．202221−C ．202221−+D ．202221−−31．已知、、A B C 三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从A 地出发，向C 地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟；甲到达B 地并休息了2分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从B 地以各自原速继续向C 地行驶.当乙到达C 地后，乙立即掉头并提速为原速的54倍按原路返回A 地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向C 地行驶，到达C 地就停止.若甲、乙间的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲、乙提速前的速度分别为300米/分、400米/分.B ．AC 、两地相距7200米 C ．甲从A 地到C 地共用时26分钟D ．当甲到达C 地时，乙距A 地6075米32．已知多项式222101,2143A x x B x x =−−=−−，其中x 为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）①若4428A B x +=−，则123,4x x ==； ②若(2018)(2023)20A A −−=，则22(2018)(2023)65A A −+−=； ③若0A B ×=，则此关于x 4个互不相等的实数解； ④若分式1327A B ++的值为整数，则整数x 的值有4个． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a 2，则这块地砖的面积为（ ）A ．50B ．40C ．30D ．2034．（2023·浙江杭州·二模）已知点A ，B ，C 是直线l 上互不重合的三个点，设24AB a a =++，AC na =，21BC na =+，其中n ，a 是常数，（ ）A ．若01n <≤，则点A 在点B ，C 之间 B ．若23n <≤，则点A 在点B ，C 之间 C ．若01n <≤，则点C 在点A ，B 之间D ．若23n <≤，则点C 在点A ，B 之间35．（2023·重庆·二模）定义一个运算()()1212121212,,,,0nn n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++≠+++ ，下列说法正确的有（ ）个 ①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x −−−=−，则=1x −或2； ③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++= ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c da b+=+． A ．1B ．2C ．3D ．4类型五 分式方程及其应用36．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A 地出发前往B 地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚05h ．出发，并且在中途停留1h 后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A 地的路程s （km ）与甲出发的时间t （h ）之间的关系如图．下列说法：①A ，B 两地相距24km ；②甲比乙晚到B 地1h ；③乙从A 地刚出发时的速度为72km/h ；④乙出发17h 14与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个37．若整数a 使得关于x 的不等式组()533213x x x a x ++<−≥−解集为1x >，使得关于y 的分式方程1a y −＝51y y −−+2的解为正数，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣21B ．﹣20C ．﹣17D ．﹣1638．若关于x 的不等式组()32212x a x x −≤−>+ 至少有两个正整数解，且关于x 的分式方程(1)5155a x x x −+=−−−有正整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．15B ．16C ．18D ．1939．若关于x 的一元一次不等式组()151131212x x a x x−−≤− + >+ 的解集恰好有3个负整数解，且关于y 的分式方程232111y a y y y −−−=−−有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．6B ．9C ．1−D ．240．从7−，5−，1−，0，4，3这六个数中，随机抽一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组()x m02x 43x 2− >−<− 的解集为x 1>，且关于x 的分式方程1x m32x x 2−+=−−有非负整数解，则符合条件的m 的值的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型六 不等式与不等式组41．已知两个非负实数a b ，满足23a b +=，30a b c +−=，则下列式子正确的是（ ） A ．3a c −=B ．29b c −=C ．02a ≤≤D ．3 4.5c ≤≤42．（2023·河北保定·一模）已知实数a ，b ，c 满足23a b c +=，则下列结论不．正确的是（ ） A ．()3a b c b −=− B ．2a cc b −=− C ．若a b >，则a c b >>D ．若a c >，则2c ab a −−>43．已知关于x 的不等式组320230a x a x −≥ +>恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．2332a ≤≤B ．4332a ≤≤ C ．4332a <≤ D ．4332a ≤< 44．关于x 的不等式组1132x a x − ≤−< 恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．23a ≤<B ．23a ≤≤C ．3a <D ．23a <<45．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有a 首、第2组有b 首、第3组有c 首、第4组有d 首；②对于第()1,2,3,4i i =组诗词，第i 天背诵第一遍，第()1i +天背诵第二遍，第()3i +天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（ ）首． A ．21B ．22C ．23D ．2446．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +−=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+−a b c 的最小值是（ ） A ．111−B ．57−C ．37D ．711题型03 函数及其应用 类型七 动点问题的函数图象47．（2024·河南·Rt ABC 中，90ACB ∠=°，2AB BC =，定长线段DE 的端点D ，E 分别是边AC ，BC 上的动点，P 是DE 的中点，连接AP ．设CD x =，AP y =，y 与x 之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知DE BC =，则图象最低点的纵坐标m 为（ ）A1 B ．1 C ．2− D ．3−48．（2024·安徽合肥·一模）如图，在ABC 中，90C ∠=°，AC BC =．AB 与矩形DEFG 的一边EF 都在直线l 上，其中4AB =、1DE =、3EF =，且点B 位于点E 处．将ABC 沿直线，向右平移，直到点A 与点E 重合为止．记点B 平移的距离为x ，ABC 与矩形DEFG 重叠区域面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．49．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ．设AE x DF y ==，，已知x ，y 满足反比例函数()00ky k x x=>>，，其图像如图2所示，则矩形ABCD 的面积为（ ）．A ．B ．9C ．10D ．50．如图，在矩形ABCD 中，AB =4BC =，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，P ，Q 分别是AE ，DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ △的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．51．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，4AC =，2BD =，点N 为CD 中点，点P 从点A 出发沿路径A O B C −−−运动，过P 作PQ AC ⊥交菱形的边于Q 点在点P 上方，连接PN ，QN ，当点Q 与点N 重合时停止运动，设PQN 的面积为y ，点P 的运动距离为x ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．52．（2023·辽宁·二模）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=°，60C ∠=°，2AC =DEFG 从点B 出发，沿射线BC 运动．当点G 与点C 重合时，运动停止．设BD x =，正方形DEFG 与ABC 的重叠面积为S ，S 关于x 的图象如图所示．下列结论：①m 3n =，4p =，3q =4r =+3x ≤时，S x =；③在运动过程中，S 的最大值为1438+．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③53．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC −−运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，BPQ 的面积为2cm y ．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．:4:5AB AD = B ．当 2.5t =秒时，PQ =C ．当294t =时，53BQ PQ = D ．当BPQ 的面积为24cm 时，t 475秒 54．如图1，点Q 为菱形ABCD 的边BC 上一点，将菱形 ABCD 沿直线AQ 翻折，点B 的对应点P 落在BC 的延长线上.已知动点M 从点B 出发，在射线 BC 上以每秒1个单位长度运动.设点M 运动的时间为x ，△APM 的面积为y ．图2为y 关于x 的函数图象，则菱形 ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．24C ．10D ．20类型八 一次函数及其应用55．（2023·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线113–33y x =+分别与x 轴、y 轴交于点P ，Q ，在Rt OPQ 中从左向右依次作正方形1112A B C C ，2223A B C C ，3334A B C C …，1n n n n A B C C +，点123nA A A A …，，，在x 轴上，点1B 在y 轴上，点1231nC C C C +…，，，在直线PQ 上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为123n S S S S …，，，，则n S 可表示为( )A ．1134n n ++B ．212234n n −−C ．1134n n −−D ．222334n n −− 56．（2023·江苏宿迁·二模）点(),A m n 在直线1:22L y x =−上，将直线1L 绕点A 旋转45°得到直线2L ：22y kx k =−+，则m n k ++=( )A ．1B ．133C ．1或0D ．1或13357．（2023·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，点()E ，点B 是线段OE 上任意一点，在射线OA 上取一点C ，使OB BC =，在射线BC 上取一点D ，使BD BE =．OA 所在直线的关系式为12y x =，点F 、G 分别为线段OC DE 、的中点，则FG 的最小值是（ ）A B C ．D ．4．858．（2023·福建·一模）如图，ABC 的顶点(8,0)A −，(2,8)B −，点C 在y 轴的正半轴上，AB AC =，将ABC 向右平移得到A B C ′′′ ，若A B ′′经过点C ，则点C ′的坐标为（ ）A ．7,64B ．(3,6)C ．7,62D ．(4,6)59．如图，直线1y x =−+与x 轴交于点A ，直线m 是过点A 、()3,0B −的抛物线2y ax bx c ++的对称轴，直线1y x =−+与直线m 交于点C ，已知点(),5D n 在直线1y x =−+上，作线段CD 关于直线m 对称的线段CE ，若抛物线与折线DCE 有两个交点，则a 的取值范围为（ ）A ．1a ≥B ．01a <≤C ．102a −<<或01a << D ．1a ≥或12a <−60．如图，已知直线AB ：yx 轴、y 轴于点B A 、两点，(3,0)C ，D E 、分别为线段AO 和线段AC 上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE +的值最小时，则H 点的坐标为（ ）A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．61．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴上，点()3,1B 在直线l ：4y kx =+上，直线l 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．将正方形ABCD 沿y 轴向下平移m 个单位长度后，点C 恰好落在直线l 上．则m 的值为( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．262．（2022·浙江宁波·一模）已知a ，b ，c 分别是Rt ABC △的三条边长，c 为斜边长，90C ∠=°，我们把关于x 的形如a by x c c =+的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P − 在“勾股一次函数”的图象上，且Rt ABC △的面积是4，则c 的值是（ ）A ．B ．24C ．D ．1263．为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A 出发，跑步到点B 打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C 点，……，最后到达终点（假设点A ，点B ，点C 在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C ．若“方程组”出发的时间为x （单位：分钟），在点A 与点C 之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y （单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（ ）个．（1）当2x =时，“函数组”恰好到达B 点；（2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟； （3）两个小组从A 点出发的时间间隔为1分钟；（4）图中M 点表示“方程组”在B 点打卡结束，开始向C 点出发；（5）出发点A 到打卡点B 的距离是600米，打卡点B 到点C 的距离是800米； A ．1B ．2C ．3D ．464．如图，在平面直角坐标系中，若折线21y x =−−+与直线交2y kx k =+（0k >）有且仅有一个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．01k <<或14k =B ．1k >或14k =C ．02k <<或14k =D ．2k >或14k =65．如图，在平面直角坐标系中，四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ，…都是菱形，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,C C C ，…都在直线y =11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==°= ，则点n C 的横坐标是（ ）A ．2321n −×−B ．2321n −×+C ．1321n −×−D ．1321n −×+类型九 二次函数及其应用66．（2024·天津红桥·一模）已知开口向下的抛物线 ²y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数， 0)a ≠与x 轴的一个交点的坐标为()60，，对称轴为直线x 2=． 有下列结论：① 0a b c −+>； ②方程²0cx bx a ++=的两个根为 121126x x =−=，；③抛物线上有两点()11P x y ，和()22Q x y ，，若2x x <<₁₁且 4x x +>₁₁，则y y >₁₁．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．367．（2024·安徽合肥·一模）如图，P 是线段AB 上一动点，四边形APEF 和四边形PBGH 是位于直线AB 同侧的两个正方形，点C ，D 分别是,GH EF 的中点，若4AB =，则下列结论错误的是（ ）A ．DPC ∠为定值B ．当1AP =时，CD 的值为C ．PCD 周长的最小值为2D ．PCD 面积的最大值为268．（2024·陕西西安·二模）把抛物线()2230y ax ax a =−+>沿直线112y x =+点仍在原抛物线上，则a 是（ ） A ．2B ．15C ．14D ．2569．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为雅系点．已知二次函数()240y ax x c a =−+≠的图象上有且只有一个雅系点55,22 −−，且当0m x ≤≤时，函数()21404y ax x c a =−++≠的最小值为6−，最大值为2−，则m 的取值范围是（ ） A ．10m −≤≤ B ．722m −<≤− C ．42m −≤≤− D ．7924m −≤<− 70．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横，纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”，如：()5,0B ，()2,3C −都是“整点”．抛物线2443y mx mx m =−++（m 是常数，且0m <）与x 轴交于点P ，Q 两点，若该抛物线在P ，Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则m 的取值范围为（ ） A ．334m −<≤−B ．32m −<≤−C ．334m −≤<−D ．32m −≤<−71．已知二次函数22(2)2y x m x m =+−−+的图象与x 轴最多有一个公共点，若223y m tm =−−的最小值为3，则t 的值为（ ） A ．12−B ．32或32−C ．52−或32−D ．52−72．已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=−−（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（ ）A ．30t −<<B ．10t −<<C ．13t −<<D ．03t <<73．抛物线22y ax ax c =−+（a c ，是常数且00a c ≠>，）经过点A （3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过()10B −，； ②20a c +>；③点()()112220222023P t y P t y ++，，，，在抛物线上，且12y y >，则2021t >−； ④若()m n m n <，是方程22ax ax c p ++=的两个根，其中0p >，则31m n −<<<． 其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个74．如图，已知二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A −，与y 轴的交点B 在()0,2−和()0,1−之间（不包括这两点），对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③244ac b a −<−；④1233a <<；⑤bc >．其中正确结论有（ ）A ．①②⑤B ．①④⑤C ．①③④⑤D ．①②③④⑤类型十 反比例函数及其应用75．（2023·四川达州·模拟预测）如图，O 是坐标原点，等腰直角三角形11OA B ，122A A B ，233A A B △，…，1n n n A A B − 的斜边均在x 轴正半轴上，直角顶点1B ，2B ，3B ，…，n B 均在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点2023B 的横坐标为（ ）ABC ．D76．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别落在双曲线()0ky k x=>第一和第三象限的两支上，连接AB ，线段AB 恰好经过原点O ，以AB 为腰作等腰三角形ABC ，AB AC =，点C 落在第四象限中，且BC x ∥轴，过点C 作CD AB ∥交x 轴于E 点，交双曲线第一象限一支于D 点，若ACD的面积为4，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．77．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于A 、()3,1B 两点，直线OC AB ⊥，AC BC =.过点C 作x 轴的垂线于点D .若点(),P m n 在直线OC 上，且APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）.A ．4+或2B ．3或32C ．2或6D ．3378．如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(),x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（ ）A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等79．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，边BC x ∥轴，顶点A ，B 均落在反比例函数(0,0)ky x y x=>>的图象上，延长AB 交x 轴于点F ，过点C 作DE AF ∥，分别交OA ，OF 于点D 、E ，若2OD AD =，则ACDBCEFS S 四边形为（ ）A ．1：4B ．1：5C ．1：6D1080．（2023九年级下·浙江宁波）如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD ，点C ，D 恰好都落在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，点E 在BC 延长线上，CE BC =，EF BE ⊥，交x 轴于点F ，边EF 交反比例函数()0ky k x =≠的图象于点P ，记BEF △的面积为S ，若122k S =+，则CEP △的面积是（ ）A．2 B．2− C2 D2−类型十一 双函数的综合问题81．（2023·贵州铜仁·三模）将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（ ）。

陕西中考数学压轴题(2020年7月整理).pdf

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陕西中考数学历年压轴题1、（15）如图，在每一个四边形ABCD 中，均有AD//BC,CD ⊥BC, ∠ABC=60°，AD=8，BC=12.(1)如图①，点M 是四边形ABCD 边AD 上的一点，则△BMC 的面积为__________； (2)如图②，点N 是四边形ABCD 边AD 上的任意一点，请你求出△BNC 周长的最小值；(3)如图③，在四边形ABCD 的边AD 上，是否存在一点P,使得cos ∠BPC 的值最小？若存在，求出此时cos ∠BPC 的值；若不存在，请说明理由。

2、（14）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果BC 边上存在点P,使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD ，并求出此时BP 的长；（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=12，AD 是BC 边上的高，E,F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°。

求此时BQ 的长； 问题解决（3）有一山庄，它的平面为③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。

已知∠A=∠E=∠D=90°。

AB=270m 。

AE=400m ，ED=285m,CD=340m,问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由。

┓ ② ③C A AB C F ED CAA B E D A3、（13）问题探究（1） 请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2） 如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点.如果AB=a ，CD=b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.4、（12）如图，正三角形ABC的边长为．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''E F P N ，且使正方形''''E F P N 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''E F P N 的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 5、（2011）如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 等腰 三角形（2）如图②、在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E 位于AD 的（第25题图） ① ② ③中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？6、（2010）问题探究（1）请你在图①中做一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

2020年数学中考复习,几何代数综合压轴题解析(三)

2020年数学中考复习,几何代数综合压轴题解析(三)

2020年数学中考复习，几代综合压轴题解析（三）1.(2019.眉山)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-94x 2+bx+c 经过点A(-5,0)和点B （1，0）.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN=∠DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求AN 的长；若不存在，请说明理由。

解析：（1）将A(-5,0)和点B （1，0）代入y=-94x 2+bx+c ，可得b=-916,c=920∴抛物线的解析式:y=-94x 2-916x+920,D （-2，4）.（2）设P （m,-94m 2-916m+920）,根据对称性可得GP=-4-2m 。

矩形PEFG 的周长=2（PE+PG ）=2（-94m 2-916m+920-4-2m ）=-98（m+417）2+18225 当m=-417时，矩形PEFG 的周长有最大值，即P 的点的横坐标为m=-417。

（3）由A(-5,0)和点B （1，0），D （-2，4）可求得AB=6,AD=DB=5。

①当MD=MN 时，由∠DBA=∠MAB,∠BDM=∠AMN.可证得△MBD ≌△NAM, ∴AN=MB.又∠DMN=∠DBA=∠DAB ，∠MDN=∠ADM,∴∠DNM=∠AMD ∴△ADM 是等腰三角形，即AM=AD=5，∴AN=MB=6-5=1②当ND=MN 时，∠NDM=∠DMN=∠DBA,又∠DAM 是公共角， ∴△ADM ∽△ABD ，∴AD 2=AM ·AB,可求得AM=625，BM=611 又△ANM ∽△BMD,∴DBAM=MB AN , 可得AN=3655。

③当ND=MD 时，可得∠DNM=∠DMN,又知∠DMN=∠DBA=∠DAB ，而发生了∠PNM=∠PAM,显然 这种情况不成立。

2024年中考数学二轮复习：代数式(附答案解析)

2024年中考数学二轮复习：代数式(附答案解析)

2024年中考数学二轮复习：代数式一．选择题（共10小题）1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1B．52013+1C．52013−44D．52013−142．如果单项式x2y m+2与x n y的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（）A．m＝2，n＝2B．m＝﹣1，n＝2C．m＝﹣2，n＝2D．m＝2，n＝﹣1 3．已知x﹣2y＝3，则代数式6﹣2x+4y的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．3 4．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（45x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）A．原价减去10元后再打8折B．原价打8折后再减去10元C．原价减去10元后再打2折D．原价打2折后再减去10元5．若﹣2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项，则m n的值是（）A．2B．0C．﹣1D．1 6．当x＝1时，代数式12ax3﹣3bx+4的值是7，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（）A．7B．3C．1D．﹣77．若a是有理数，那么在①a+1，②|a+1|，③|a|+1，④a2+1中，一定是正数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列运算中，正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．2a3+3a2＝5a5C．3a2b﹣3ba2＝0D．5a2﹣4a2＝19．下列各式由等号左边变到右边变错的有（）①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2第1页（共14页）。

初三数学综合题压轴题100题(含答案解析)

初三数学综合题压轴题100题(含答案解析)

初三数学综合题压轴题100题（含答案解析）一、中考压轴题1．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．3．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．4．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．5．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．6．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．7．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．8．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．9．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．12．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．13．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．14．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．15．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．16．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．20．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°。

重难点 填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点 填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点 填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一 代数式求值类型二 方程、不等式求值类型三 函数求值题型02 规律探究类类型四 数字规律探究类型五 图形规律探究类型六 函数规律探究题型03 函数最值类类型七 一次函数的最值问题类型八 二次函数的最值问题类型九 反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十 一次函数的最值问题类型十一 二次函数的最值问题类型十二 反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一 一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点 ，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线 ．
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．

中考数学综合题压轴题精选100题(附答案解析)

中考数学综合题压轴题精选100题(附答案解析)

中考数学综合题压轴题精选100题（附答案解析）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．3．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．4．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．5．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．7．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．8．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．9．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．12．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．13．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．14．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．15．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．19．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．20．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．23．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣＝0有两个相等的实数根．（1）试求实数a，b的值；（2）试求线段BC的长．【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解答】解：（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sin A+＝（sin A﹣）2＝0，则sin A＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD＝，CD＝所以BC＝BD+DC＝．当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°同上方法可得BC＝14． 3分所以线段BC的长应为或14．【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．24．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，。

【2020精品中考数学提分卷】北京—第15讲代数压轴题27题+答案

【2020精品中考数学提分卷】北京—第15讲代数压轴题27题+答案

代数压轴题1．（2020北京朝阳初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ） 记 为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．2．（2020北京朝阳初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．3.（2020北京东城中考二模）二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.4.（2020北京房山初三二模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C ()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．5.（2020北京房山初三一模）如图，二次函数c=2y的图象（抛物线）与x-+x+bx轴交于A(1,0),且当0x=和2x-=时所对应的函数值相等.（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积.6.（2020北京丰台初三一模） 已知抛物线21(2)262y x m x m =+-+-的对称轴为直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求m 的值；（2）求A ，B ，C 三点的坐标；（3）过点C 作直线l ∥x 轴，将该抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答： 当直线b x y +21=与图象G 只有一个公共点时，求b 的取值范围．xOy中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠3，0）．y 的取值范围；x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．8.（2020北京海淀中考二模）已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.9.（2020北京怀柔初三二模）已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点.(1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围;(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.10．（2020北京怀柔初三一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．(1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．11．（2020北京平谷初三一模）已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．12．（2020北京石景山初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ． （1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．13．（2020北京顺义初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-．（1）求a 的值及抛物线22y ax x =-与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线22y ax x m =-+与x 轴有交点，且交点都在点A （-4，0），B （1，0）之间，求m 的取值范围．14.（2020北京通州初三一模）已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C . （1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y x mx n =++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围；（3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261x ax a -++的值；15. （2020北京通州中考二模）已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M（m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

中考数学专题复习――压轴题(含答案)

中考数学专题复习――压轴题(含答案)

中考数学专题复习――压轴题(含答案)中考数学专题复习――压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）2.2. 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，2)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在Rt△ABC中，A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．H QC4.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN 为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？P 图35、如图1，已知双曲线y=BD 图2B图1k(k0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试x解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k(k0)于P，Q两点，点P在第一x象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 47.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4―6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k= 1，求BE2 DG2的值．28.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t 0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满．．AB．．足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△B EF的面积为S，求S的取值范围.10.如图，抛物线L1:y x2 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x 轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.11 20XX年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸．已知标准纸的短边长为a．．．．（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B 处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是，AD，AB的长分别是，．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M 90，MN MQ 2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．4开a2开8开开图1D FA ED GBE 图2CBF 图3C13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD ＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．C A E F B14．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y （1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．k的图象上．x15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O(0，2秒时，动点P从点A出发以3相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；PQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D （2）当t 1时，如图1，将△O的坐标；（4）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．图117.如图16，在平面直角坐标系中，直线y x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2x c(a 0)经过A，B，C三点．3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(20XX年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C 的对应点为点D，抛物线y ax2 bx c过点A，E，D．（1）判断点E 是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19.(20XX年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y 与直线y32x 3与x轴交于点A，点B，433x b相交于点B，点C，直线y x b与y轴交于点E．44（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？20.(20XX年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB sin∠OAB=. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S QMN，△QNR的面积S QNR，求S QMN∶S QNR的值.21.(20XX年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x 轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2 (m 2)x n 1 0的两根:(1) 求m，n的值(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由`11 的值CMCNL`22.(20XX年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）223.(天津市20XX年)已知抛物线y 3ax2 2bx c，（Ⅰ）若a b 1，c 1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a b 1，且当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；x2 1时，（Ⅲ）若a b c 0，且x1 0时，对应的y1 0；对应的y2 0，试判断当0 x 1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(20XX年大庆市)如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .GAF①GAB② ECDC25. （20XX年上海市）已知AB 2，AD 4，DAB 90，AD∥BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．AC B B E C备用图图1326. （20XX年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设A管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （20XX年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．2图①P28. （20XX年江苏省南通市）已知双曲线yk1与直线y x相交于A、B两点.第一象限x4k上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y 上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过Nxk（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y 于点E，交BD于点C.x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA ＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29. （20XX年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）图1 图2 图3 图4压轴题答案c 31. 解：（1）由已知得：解得1 b c 0c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为y x 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S2111AO BO (BO DF) OF EF DF*****= 1 3 (3 4) 1 2 4 222==9（3）相似如图，222所以BD BE 20, DE 20即：BD BE DE,所以BDE是直角三角形222所以AOB DBE 90 ,且所以AOBAOBO,BDBE2DBE.2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，∴tan OAB233，10 8∴ OAB 60当点A在线段AB上时，∵ OAB 60 ，TA=TA，∴△ATA是等边三角形，且TP TA ，∴TP (10 t)sin60113(10 t)，A P AP AT (10 t)，222∴S S A TP1 A P TP (10 t)2，282 当A与B重合时，AT=AB= 4，sin60所以此时6 t 10.(2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA 与CB的交点)，当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2 t 6.(3)S存在最大值1当6 t 10时，S ○(10 t)2，8在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是23.2当2 t 6时，由图○1，重叠部分的面积S S○ A TP S A EB ∵△AEB的高是A Bsin60 ，∴S31(10 t)2 (10 t 4)2 822( t2 4t 28) (t 2)2 43 88当t=2时，S的值最大是4；3当0 t 2，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA与○CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ EFT FTP ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴S11EF OC 4 23 43 22综上所述，S的最大值是4，此时t的值是0 t 2. 3. 解：（1）A Rt ，AB 6，AC 8，BC 10．1点D为AB中点，BD AB 3．DHB A 90，B B．△BHD∽△BAC，*****12 AC 8 ．，DH *****05（2）QR∥AB，QRC A 90．C C，△RQC∽△ABC，RQQCy10 x，，*****3x 6．5即y关于x的函数关系式为：y （3）存在，分三种情况：①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM．1 2 90，C 2 90，1 C．H QC84QM4cos 1 cosC ，，105QP51 3x 6 425 ，x 18．*****②当PQ RQ时，HQCQ312x 6 ，55x 6．③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC 的中点，11CR CE AC 2．24QRBAtanC ，CRCA3x 6156 ，x ．2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．524. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴ △AMN ∽ △ABC．图1xAN∴ AM AN，即．43ABAC3∴ AN＝x．……………2分4∴ S=S MNP S AMN133x x x2．（0＜x＜4）……………3分2481MN．2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC．由（1）知△AMN ∽ △ABC．BQD 图2xMN∴ AM MN，即．45ABBCx，45∴ OD x．…………………5分8∴ MN过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ OD5x．8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA．∴ BM QM．BCAC55 x25x，AB BM MA 25x x 4．∴ BM*****96．4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． (7)分49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP．∴ x＝∴ AM AO 1．AM＝MB＝2．ABAP2故以下分两种情况讨论：3① 当0＜x≤2时，y SΔPMN x2．8∴ 当x＝2时，y最大3232 . ……………………………………8分82P② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵ 四边形AMPN是矩形，∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形．∴ FN＝BM＝4－x．∴ PF x 4 x 2x 4．又△PEF ∽ △ACB．图4PF S PEF∴ ．AB S ABC∴ S PEF232x 2 ．……………………………………………… 9分23392y S MNP S PEF＝x2 x 2 x2 6x 6．……………………10分8282929 8当2＜x＜4时，y x 6x 6 x 2．88 38时，满足2＜x＜4，y最大2．……………………11分38综上所述，当x 时，y值最大，最大值是2．…………………………12分3k5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）m∴ 当x(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ。

中考数学压轴试题复习 第三部分 专题一 代数计算及通过代数计算进行说理问题-人教版初中九年级全册数学

中考数学压轴试题复习 第三部分 专题一 代数计算及通过代数计算进行说理问题-人教版初中九年级全册数学

§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年某某省某某市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P(2, m)是反比例函数nyx=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、B(x2, x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令2157 248t b b=-+，试求t的取值X围．动感体验请打开几何画板文件名“14某某25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y＝x上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值X围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以4yx =．（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1．②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1．③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值X 围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176． 所以t 的取值X 围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0． 所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年某某省某某市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m-的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14某某23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值X 围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0． 由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=．解得m =m =．所以323(12m -=-=．所以132m -2． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦ ＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1．因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年某某省某某市中考第26题如图1，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC的解析式为y＝kx＋4，直线AC与y轴交于点A，与二次函数的图象交于B、C两点．（1）求二次函数解析式； （2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14某某26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①② ①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ．根据BM ON MO NC=，得1212(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得 2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年某某省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++． 因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE =． 所以AG //BE ，即AD //BE ．所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)． 将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。

中考数学--数与式的有关代数计算(实数、整式、分式)大题押题30道【教师版】

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数与式的有关代数计算(实数、整式、分式最新模拟题30道)类型一、实数的混合运算1.(2023•坪山区一模)计算：tan60°+2sin30°+|2-1|-2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】tan60°+2sin30°+|2-1|-2cos45°=3+2×12+(2-1)-2×22=3+1+2-1-2=3．【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．2.(2023•喀什地区模拟)计算：(3.14-π)0+16-|-1|+(-3)2．【分析】先算零次幂、平方和开平方，再化简绝对值，最后算加减．【详解】(3.14-π)0+16-|-1|+(-3)2=1+4-1+9=13．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握零次幂、乘方、开方及绝对值的意义是解决本题的关键．3.(2023•昭阳区校级模拟)计算：8+(π-3.14)0-3cos60°+|1-2|+(-2)-2．【分析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】原式=22+1-3×12+2-1+14=22+1-32+2-1+14=32-54．【点睛】本题考查的是实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．4.(2023•海淀区校级模拟)计算：-13-1-8-(5-π)0+4cos45°．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】-1 3-1-8-(5-π)0+4cos45°=-3-22-1+4×22=-3-22-1+22=-4．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．5.(2023•青秀区校级模拟)计算：π20+2cos60°+4+12 -1+(-4)÷2．【分析】原式分别化简π2 0=1，12 -1=2，cos60°=12，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案．【详解】π2 0+2cos60°+4+12 -1+(-4)÷2=1+2×12+4+2+(-4)÷2=1+1+4+2-2=6．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简π2 0=1，12 -1=2，cos60°=12是解答本题的关键．6.(2023•市中区校级一模)计算：-13 -2+2sin45°+|2-2|-(π+2022)0．【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及零指数幂，最后运算即可．【详解】原式=9+2×22+2-2-1=9+2+2-2-1=10．【点睛】本题是实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．7.(2023•晋州市模拟)计算：-13-2-|3-2|+3tan30°-613+(2023-π)0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】-13 -2-|3-2|+3tan30°-613+(2023-π)0=9-(2-3)+3×33-23+1=9-2+3+3-23+1=7+23-23+1=8．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．8.(2023•南充模拟)计算：2cos45°+|1-2|-38+(-1)2023．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】2cos45°+|1-2|-38+(-1)2023=2×22+2-1-2+(-1)=2+2-1-2-1=22-4．【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．9.(2023春•崇川区校级月考)计算：(1)(23-2)-(2-23)．(2)|3-π|+25-327+(-1)2022．【分析】(1)去括号、合并同类二次根式即可得出结果；(2)根据绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义进行计算即可得出结果．【详解】(1)(23-2)-(2-23)=23-2-2+23=43-22；(2)|3-π|+25-327+(-1)2022=π-3+5-3+1=π．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义及同类二次根式的定义是解题的关键．10.(2023春•长沙月考)计算：-12023+|3-2|-3-27+(-3)2．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】原式=-1+2-3-(-3)+3=-1+2-3+3+3=7-3．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．类型二、整式的混合运算11.(2023•温州模拟)(1)计算：(-2023)0+12+2×-12；(2)化简：(2m+1)(2m-1)-4m(m-1)．【分析】(1)直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；(2)根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．【详解】(1)原式=1+23-1=23；(2)原式=4m2-1-4m2+4m=4m-1．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及平方差公式和单项式乘多项式法则等，正确化简各数和掌握运算法则是解题关键．12.(2023春•佛山月考)计算：(1)(π-3)0-32+12-2；(2)(-3a4)2-a•a3•a4-a10÷a2．【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【详解】(1)(π-3)0-32+12 -2=1-9+4=-8+4=-4；(2)(-3a4)2-a•a3•a4-a10÷a2=9a8-a8-a8=7a8．【点睛】本题考查了整式的混合运算，有理数的加减混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．13.(2023春•薛城区月考)计算：(1)(-1)2012+-12-2-(3.14-π)0；(2)(2x3y)2•(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2)；(3)(x+1)(x-3)-(x+1)2；(4)(a-b-3)(a-b+3)．【分析】(1)先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再算加减即可；(2)先算积的乘方，再算整式的除法与单项式乘单项式，最后合并同类项即可；(3)先算多项式乘多项式，完全平方，再算加减即可；(4)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．【详解】(1)(-1)2012+-1 2-2-(3.14-π)0=1+4-1=4；(2)(2x3y)2•(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2)=4x6y2•(-2xy)+(-8x9y3)÷(2x2)=-8x7y3-4x7y3=-12x7y3；(3)(x+1)(x-3)-(x+1)2=x2-3x+x-3-(x2+2x+1)=x2-3x+x-3-x2-2x-1=-4x-4；(4)(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-9=a2-2ab+b2-9．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．14.(2023春•沙坪坝区校级月考)计算：(1)-12-2-(-1)2023+(π-2023)0；(2)(2m+n)2-(2m-n)2；(3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b)；(4)(3x-2y+1)(2y-3x+1)．【分析】(1)先分别计算负整数次幂、乘方、零次幂，再进行加减运算；(2)利用平方差公式计算即可；(3)先计算多项式的乘法，再合并同类项即可；(4)先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】(1)-1 2-2-(-1)2023+(π-2023)0=4-(-1)+1=4+1+1=6；(2)(2m+n)2-(2m-n)2=[(2m+n)+(2m-n)][(2m+n)-(2m-n)]=(2m+n+2m-n)(2m+n-2m+n)=4m•2n=8mn；(3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b)=(a+3b)(3a-b)+(a+b)2=3a2-ab+9ab-3b2+a2+2ab+b2=4a2+10ab-2b2；(4)(3x-2y+1)(2y-3x+1)=[1+(3x-2y)][1-(3x-2y)]=1-(3x-2y)2=1-9x2+12xy-4y2．【点睛】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．15.(2023春•杏花岭区校级月考)计算：(1)(-1)2020+-12-2-(3.14-π)0；(2)2x•(3x2-4x+1)；(3)23a4b7-19a2b6÷-13ab3；(4)(x-2y)(x+2y)-(2x-y)2．【分析】(1)先化简各式，再进行计算；(2)利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可；(3)利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可；(4)先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类项即可．【详解】(1)原式=1+4-1=4；(2)原式=6x3-8x2+2x；(3)原式=23a4b7÷-13ab3-19a2b6÷-13ab3=-2a3b4+13ab3；(4)原式=x2-4y2-(4x2-4xy+y2)=x2-4y2-4x2+4xy-y2=-3x2+4xy-5y2．【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．16.(2023春•沙坪坝区校级月考)化简求值：[(2x-y)2-2(x+2y)(2x-y)]÷5y，其中：x=2，y=-3．【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．【详解】原式=[4x2-4xy+y2-2(2x2-xy+4xy-2y2)]÷5y=(4x2-4xy+y2-4x2+2xy-8xy+4y2)÷5y=(-10xy+5y2)÷5y=-2x+y，当x=2，y=-3时，原式=-2×2-3=-7．【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17.(2023春•平遥县月考)(1)化简：(3x2y2+4x3y-4x2y)÷xy-(2x-1)2．(2)先化简，再求值：(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2，其中x=-4，y=12．【分析】(1)首先进行多项式除以单项式及完全平方公式运算，再合并同类项，即可求得结果；(2)首先进行整式的混合运算，进行化简，再把x、y的值代入化简后的式子即可求解．【详解】(1)(3x2y2+4x3y-4x2y)÷xy-(2x-1)2=3xy+4x2-4x-(4x2-4x+1)=3xy+4x2-4x-4x2+4x-1=3xy-1．(2)(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2=4x2+4xy+y2-4x2-8xy-3y2=-4xy-2y2，当x=-4，y=12时，原式=-4×(-4)×12-2×122=8-12=152．【点睛】本题考查了整式的混合运算及化简求值，掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．18.(2023春•海淀区校级月考)已知x2+3x-4=0．求代数式(x+1)(2x-1)-(x-1)2的值．【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行乘法运算，再合并同类项，然后根据x2+3x-4 =0可以得到x2+3x=4，再把x2+3x=4代入化简后的式子计算即可．【解答】解(x+1)(2x-1)-(x-1)2=2x2-x+2x-1-x2+2x-1=x2+3x-2，∵x2+3x-4=0，∴x2+3x=4，当x2+3x=4时，原式=4-2=2．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解答本题的关键．19.(2023春•新城区校级月考)先化简，再求值：[(-2x+y)2-(2x-y)(y+2x)-6y]÷2y，其中x=-1，y=2．【分析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】原式=(4x 2+y 2-4xy -4x 2+y 2-6y )÷2y=(2y 2-4xy -6y )÷2y=y -2x -3，当x =-1，y =2时，原式=2-2×(-1)-3=1．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．20.(2023春•碑林区校级月考)先化简再求值：[(3a +b )2-(3a +b )(3a -b )]÷2b ，其中a =-13，b =-2．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【详解】[(3a +b )2-(3a +b )(3a -b )]÷2b=(9a 2+6ab +b 2-9a 2+b 2)÷2b=(6ab +2b 2)÷2b=3a +b ，当a =-13，b =-2时，原式=3×-13+(-2)=-1+(-2)=-3．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．类型三、分式的混合运算21.(2023•九龙坡区模拟)计算：(1)(x +y )2-x (2y -x )；(2)a -1+4a a -1 ÷2a 2-2a 2-2a +1．【分析】(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【详解】(1)(x +y )2-x (2y -x )=x 2+2xy +y 2-2xy +x 2=2x 2+y 2；(2)a -1+4a a -1 ÷2a 2-2a 2-2a +1=(a -1)2+4a a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=a 2-2a +1+4a a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=(a +1)2a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=a +12．【点睛】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．22.(2023春•泸县校级月考)化简x +1x 2-2x +1÷1-21-x ．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】x +1x 2-2x +1÷1-21-x =x +1(x -1)2÷1-x -21-x =x +1(x -1)2•1-x -1-x=x +1(x -1)2•-(x -1)-(x +1)=1x -1．【点睛】本题考查了分式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．23.(2023春•海陵区校级月考)计算：(1)a 2a -b -b 2a -b；(2)a +1-4a -5a -1 ÷1a -1-2a 2-a．【分析】(1)根据同分母分式相减，然后对分子分解因式，再约分即可；(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【详解】(1)a 2a -b -b 2a -b=a 2-b 2a -b=(a +b )(a -b )a -b=a +b ；(2)a +1-4a -5a -1 ÷1a -1-2a 2-a=(a +1)(a -1)-(4a -5)a -1÷a -2a (a -1)=a 2-1-4a +5a -1•a (a -1)a -2=(a -2)2a -1•a (a -1)a -2=a (a -2)=a 2-2a ．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．24.(2023春•沙坪坝区校级月考)计算：(1)(x +1)(4x -3)-(2x -1)2；(2)2x -1x +1-x +1 ÷x -2x 2+2x +1．【分析】(1)首先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式进行运算，然后合并同类项即可；(2)根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可．【详解】(1)原式=4x 2-3x +4x -3-(4x 2-4x +1)=4x 2-3x +4x -3-4x 2+4x -1=5x -4；(2)原式=2x -1x +1-(x -1)(x +1)x +1 ÷x -2(x +1)2=2x -1-(x 2-1)x +1×(x +1)2x -2=2x -x 2x +1×(x +1)2x -2=-x 2-x ．【点睛】本题主要考查了整式运算和分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．25.(2023•宾阳县一模)先化简，再求值：x +1x -2 ×2x -4x -1，其中x =2+1．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案．【详解】原式=x 2-2x +1x -2×2(x -2)x -1=(x -1)2x -2•2(x -2)x -1=2(x -1)=2x -2，当x =2+1时，原式=2(2+1)-2=22+2-2=22．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属于基础题型．26.(2023•秦都区校级二模)先化简，再求值：2m m +1-1 ÷m 2-m m +1，其中m =3．【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】=2m m +1-m +1m +1 ÷m (m -1)m +1=m -1m +1⋅m +1m (m -1)=1m ．当m =3时，原式=13．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．27.(2023•喀什地区模拟)先化简，再求值：x 2-1x 2-2x +1+x +1x -1⋅1-x 1+x ，其中x =-2．【分析】先算乘法，然后再算加法，最后代入求值．【详解】原式=(x +1)(x -1)(x -1)2+(-1)=x +1x -1-1=x +1x -1-x -1x -1=2x -1，当x =-2时，原式=2-2-1=-23．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．28.(2023•福田区模拟)先化简：3x x -2-x x +2 ⋅x 2-4x ，并在-2，0，1，2中选一个合适的数求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．【详解】原式=3x (x +2)(x +2)(x -2)-x (x -2)(x -2)(x +2)⋅(x -2)(x +2)x =3x 2+6x -x 2+2x (x -2)(x +2)•(x -2)(x +2)x =2x 2+8x (x -2)(x +2)•(x -2)(x +2)x =2x (x +4)(x -2)(x +2)•(x +2)(x -2)x =2(x +4)=2x +8；又分母不能为0，∴x 不能取-2，0，2，当x =1时，原式=2×1+8=10．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．29.(2023春•平城区校级月考)(1)计算：(1-tan60°)2+-230+6×2；(2)先化简，再求值：1-x x +2 ÷x +2x -2-8x x 2-4，其中x =2+2．【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、零次幂、二次根式的乘法法则计算，即可求解；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】(1)(1-tan60°)2+-230+6×2=|1-3|+1+12=3-1+1+23=33；(2)1-x x +2 ÷x +2x -2-8x x 2-4=x +2x +2-x x +2 ÷(x +2)2(x +2)(x -2)-8x (x +2)(x -2)=2 x+2÷x2+4x+4(x+2)(x-2)-8x(x+2)(x-2)=2 x+2÷x2-4x+4 (x+2)(x-2)=2 x+2÷(x-2)2 (x+2)(x-2)=2 x+2÷x-2 x+2=2 x+2⋅x+2 x-2=2x-2，当x=2+2时，原式=22+2-2=22=2．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．也考查了二次根式的乘法运算，特殊角的三角函数值．30.(2023春•东营区校级月考)(1)计算：(-1)2017-27+(4-π)0+|3-3|+(sin60°)-1．(2)先化简分式：x2-2x+4x-1+2-x÷x2-41-x，然后在0，1，2中选一个合适的代入求值．【分析】(1)根据二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂、绝对值的性质计算；(2)根据分式的混合运算法则把化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算，得到答案．【详解】(1)原式=-1-33+1+3-3+32 -1=3-43+233=3-1033；(2)原式=x2-2x+4x-1+2x-2-x2+xx-1•1-x(x+2)(x-2)=x+2 x-1•1-x (x+2)(x-2)=12-x，由题意得：x≠1和±2，当x=0时，原式=12-0=12．【点睛】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．。

专题30 代数几何综合问题-中考数学压轴题精品专题练(第二期)

专题30 代数几何综合问题-中考数学压轴题精品专题练(第二期)

一、选择题1．（2017四川省乐山市，第10题，3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数x y 6=的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是（ ）A ．52-B ．211-C ．51-D ．241- 2．（2017四川省内江市，第11题，3分）如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，33），∠ABO =30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为（ ）A ．（32，332）B ．（2，332）C ．（332，32）D ．（32，3﹣332） 3．（2017临沂，第14题，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数k y x=（x ＞0）的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10．若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是（ ）A ．62B ．10C ．226D ．2294．（2017山东省威海市，第12题，3分）如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为（﹣4，0），点B 在y 轴上，若反比例函数xk y =（k ≠0）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为（ ）A ．x y 3=B ．x y 4=C ． x y 5=D ．xy 6= 5．（2017新疆乌鲁木齐市，第10题，4分）如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线3y x =上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．52B ．62C ． 21022D ．26．（2017江苏省泰州市，第6题，3分）如图，P 为反比例函数k y x=（k ＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数y =﹣x ﹣4的图象于点A 、B ．若∠AOB =135°，则k 的值是（ ）A．2B．4C．6D．87．（2017甘肃省兰州市，第15题，4分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．2548．（2017甘肃省天水市，第10题，4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B 出发，以3c m/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1c m/s的速度沿BA﹣AC 方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C ．D ．9．（2016山东省济南市）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =90°，AB =AD =5，BC =4，M 、N 、E 分别是AB 、AD 、CB 上的点，AM =CE =1，AN =3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB ﹣BE 向点E 运动，同时点Q 从点N 出发，以相同的速度沿折线ND ﹣DC ﹣CE 向点E 运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2016山东省济宁市）如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB =45，反比例函数48y x=在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于（ ）A ．60B ．80C ．30D ．4011．（2016广西梧州市）如图所示，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0），直线x =﹣0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD =MC ，连接AC 、BC 、AD 、BD，某同学根据图象写出下列结论：①a﹣b=0；②当﹣2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0你认为其中正确的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③12．（2016浙江省湖州市）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4B．174C．32D．2513．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C 点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y 与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．14．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA 上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．1215．（2015乐山）如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．212D．172二、填空题16．（2017江苏省南通市，第18题，3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．17．（2017浙江省温州市，第16题，5分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．18．（2017浙江省湖州市，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数1yx=和9yx=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交1yx=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是．19．（2017金华，第16题，4分）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S （m2）（1）如图1，若BC=4m，则S= m2．（2）如图2，现考虑在（1）中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．20．（2016四川省眉山市）如图，已知点A是双曲线6yx=在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线kyx=上运动，则k的值是．21．（2016浙江省湖州市）已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数4yx-=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若127 9SS=，则b的值是．22．（2016浙江省衢州市）如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数kyx=（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于．（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是．23．（2016湖北省鄂州市）如图，直线l：43y x=-，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为．24．（2016福建省龙岩市）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．25．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线12y x=于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和12y x=于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）26．（2016黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC nB n的对角线交点的坐标为．27．（2015庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．28．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．三、解答题29．（2017江苏省连云港市，第26题，12分）如图，已知二次函数23yax bx （a ≠0）的图象经过点A（3，0），B （4，1），且与y 轴交于点C ，连接AB 、AC 、BC ．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M ，请直接写出圆心M 的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA 方向平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别记为点A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的外接圆记为⊙M 1，是否存在某个位置，使⊙M 1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．30．（2017河南省，第23题，11分）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ． （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ． ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．31．（2017浙江省台州市，第24题，14分）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程2520x x -+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c ++= （a ≠0，24b ac -≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？32．（2017浙江省宁波市，第25题，12分）如图，抛物线21144y x x c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y轴交于点B ，连结AB ，点C （6，152）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ． （1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．33．（2017浙江省湖州市，第24题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C （m ，0）是线段A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线L 1：211y ax b x c =++（a ＜0）经过点A ，C ，顶点为D ，抛物线L 2：222y ax b x c =++（a ＜0）经过点C ，B ，顶点为E ，AD ，BE 的延长线相交于点F ．（1）若a =12-，m =﹣1，求抛物线L 1，L 2的解析式； （2）若a =﹣1，AF ⊥BF ，求m 的值；（3）是否存在这样的实数a （a ＜0），无论m 取何值，直线AF 与BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．34．（2017浙江省绍兴市，第24题，14分）如图1，已知□ABCD ，AB ∥x 轴，AB =6，点A 的坐标为（1，-4），点D 的坐标为（-3，4），点B 在第四象限，点P 是□ABCD 边上一个动点．（1） 若点P 在边BC 上，PD =CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB 、AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q ，落在直线1y x =-上，求点P 的坐标．（3） 若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标（直接写出答案）．35．（2017衢州，第24题，12分）在直角坐标系中，过原点O 及点A （8，0），C （0，6）作矩形OABC 、连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF ．已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒．（1）如图1，当t =3时，求DF 的长．（2）如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值．（3）连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．36．（2017金华，第24题，12分）如图1，在平面直角组坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O （0，0），A （3，33、B （9，53），C （14，0），动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA ﹣AB ﹣BC 运动，在OA 、AB 、BC 上运动的速度分别为3，3，52（单位长度/秒），当P 、Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． （1）求AB 所在直线的函数表达式；（2）如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值；（3）在P 、Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．37．（2017海南省，第24题，16分）抛物线23y ax bx =++ 经过点A （1，0）和点B （5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x =+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．38．（2017天门，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的边AD 在x 轴上，点C 在y 轴的负半轴上，直线BC ∥AD ，且BC =3，OD =2，将经过A 、B 两点的直线l ：y =﹣2x ﹣10向右平移，平移后的直线与x 轴交于点E ，与直线BC 交于点F ，设AE 的长为t （t ≥0）．（1）四边形ABCD 的面积为 ；（2）设四边形ABCD 被直线l 扫过的面积（阴影部分）为S ，请直接写出S 关于t 的函数解析式；（3）当t =2时，直线EF 上有一动点，作PM ⊥直线BC 于点M ，交x 轴于点N ，将△PMF 沿直线EF 折叠得到△PTF ，探究：是否存在点P ，使点T 恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2017湖北省十堰市，第25题，12分）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A （1，0），B （m ，0），与y 轴交于C ．（1）若m =﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使103ACE ACD S S ∆∆=，求点E 的坐标； （3）如图2，设F （﹣1，﹣4），FG ⊥y 于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使∠OBP =∠FPG ？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．40．（2017湖北省咸宁市，第24题，12分）如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB =OC =6．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠F AB =∠EDB 时，求点F 的坐标；（3）平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ =12MN 时，求菱形对角线MN 的长．41．（2017湖北省恩施州，第24题，12分）如图，已知抛物线2y ax c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点F （0，2）的直线l ：y =kx +2与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P 为y 轴上一点，以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是菱形，设点P （0，m ），求自然数m 的值；（4）若k =1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得△QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．42．（2017湖北省武汉市，第24题，12分）已知点A （﹣1，1）、B （4，6）在抛物线2y ax bx =+上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ；（3）如图2，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度2个单位长度；同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．43．（2017湖北省荆州市，第25题，12分）如图在平面直角坐标系中，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．44．（2017湖北省荆门市，第24题，12分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N．（1）求点C的坐标；（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．45．（2017湖北省襄阳市，第25题，13分）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线24y ax bx =++过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．46．（2017湖北省鄂州市，第22题，9分）如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于B 、F ）一点，⊙O 的切线MA 与FB 的延长线交于点M ；P 为AM 上一点，PB 的延长线交⊙O 于点C ，D 为BC 上一点且P A =PD ，AD 的延长线交⊙O 于点E ．（1）求证：BE CE =；（2）若ED 、EA 的长是一元二次方程0552=+-x x 的两根，求BE 的长；（3）若MA =62sin ∠AMF =13，求AB 的长．47．（2017湖北省鄂州市，第24题，12分）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使ACD PAC S S ∆∆=21，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．48．（2017湖北省随州市，第25题，12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y =ax ﹣a 为抛物线 2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“梦想直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（2017黄冈，第24题，14分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）．（1）当t =1s 时，求经过点O ，P ，A 三点的抛物线的解析式； （2）当t =2s 时，求tan ∠QP A 的值；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM =2AM 时，求t （s ）的值；（4）连接CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．50．（2017湖北省黄石市，第25题，10分）如图，直线l ：y =kx +b （k ＜0）与函数4y x=（x ＞0）的图象相交于A 、C 两点，与x 轴相交于T 点，过A 、C 两点作x 轴的垂线，垂足分别为B 、D ，过A 、C 两点作y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ；直线AE 与CD 相交于点P ，连接DE ，设A 、C 两点的坐标分别为（a ，4a）、（c ，4c），其中a ＞c ＞0． （1）如图①，求证：∠EDP =∠ACP ；（2）如图②，若A 、D 、E 、C 四点在同一圆上，求k 的值；（3）如图③，已知c =1，且点P 在直线BF 上，试问：在线段AT 上是否存在点M ，使得OM ⊥AM ？请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．51．（2017湖南省岳阳市，第24题，10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点B （3，0），C （0，﹣2），直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点，P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN ∥y 轴交l 于点N ，求PM +PN 的最大值． （3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．52．（2016四川省自贡市）抛物线()240y x ax b a =-++>与x 轴相交于O 、A 两点（其中O 为坐标原点），过点P （2，2a ）作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （其中B 、C 不重合），连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ． （1）32a =时，求抛物线的解析式和BC 的长； （2）如图1a >时，若AP ⊥PC ，求a 的值； （3）是否存在实数a ，使12AP PN =，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．53．（2016山东省泰安市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数2y ax bx c =++的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．54．（2016山东省济南市）如图1，▱OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，OC =5，反比例函数my x=（x ＞0）的图象经过点A （1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；（2）如图2，过BC 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接AP 、OP ． ①求△AOP 的面积；②在▱OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．55．（2016山东省济宁市）已知点P （0x ，0y ）和直线y =kx +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k-++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离． 解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7． 所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d 0021kx y b k -++23(1)271k ⨯--++1010．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由；（3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．56．（2016广西河池市）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．57．（2016广西百色市）正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线L 经过O 、P 、A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O 、P 、A 三点坐标； ②求抛物线L 的解析式；（2）求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．58．（2016广西贵港市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP =∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．59．（2016广西贺州市）如图，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（10，8），沿直线OD 折叠矩形，使点A 正好落在BC 上的E 处，E 点坐标为（6，8），抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、E 三点．（1）求此抛物线的解析式； （2）求A D 的长；（3）点P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标．60．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第26题，13分）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交的于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点（P 不与C ，B 两点重合），过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．61．（2016内蒙古赤峰市）（12分）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．62．（2016内蒙古赤峰市）（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．63．（2016吉林省）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，以OB 为边向上作等边三角形AOB ，抛物线l ：2y ax bx c =++经过点O ，A ，B 三点． （1）当m =2时，a = ，当m =3时，a = ；（2）根据（1）中的结果，猜想a 与m 的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x 轴的平行线交抛物线l 于P 、Q 两点，PQ 的长度为2n ，当△APQ 为等腰直角三角形时，a 和n 的关系式为 ；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB 与△APQ 的面积比．64．（2016天津市）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B （0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A ′BO ′，点A ，O 旋转后的对应点为A ′，O ′，记旋转角为α． （1）如图①，若α=90°，求AA ′的长； （2）如图②，若α=120°，求点O ′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后的对应点为P ′，当O ′P +BP ′取得最小值时，求点P ′的坐标（直接写出结果即可）65．（2016四川省凉山州）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；。

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1.如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=的图象的两个交点．
x m
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b ﹣=0的解；
x m
（3）求△AOB 的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣＜0的解集．
x m
解：（1）∵B （2，﹣4）在y=上，
∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵点A （﹣4，n ）在y=﹣上，
∴n=2．
∴A （﹣4，2）．
∵y=kx+b 经过A （﹣4，2），B （2，﹣4），
∴．解得：．
∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣2．
（2）：∵A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数
y=的图象的两个交点，
x m ∴方程kx+b ﹣=0的解是x 1=﹣4，x 2=2．
x m
（3）∵当x=0时，y=﹣2．
∴点C （0，﹣2）．
∴OC=2．
∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6；
（4）不等式kx+b ﹣＜0的解集为﹣4＜x ＜0或x ＞2．x m
2.如图，反比例函数y ＝的图象与一次函数
y ＝kx+b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为m x
(n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标．
解：(1)把点A(2，6)代入y ＝，得m ＝12，则y ＝．
m
x 12
x 把点B(n ，1)代入y ＝，得n ＝12，则点B 的坐标为(12，1)．
12
x 由直线y ＝kx+b 过点A(2，6)，点B(12，1)得，解得，
26
121k b k b 1
27k b 则所求一次函数的表达式为y ＝x+7．
1
2(2)如图，直线AB 与y 轴的交点为P ，设点E 的坐标为(0，m)，连接AE ，BE ，
则点P 的坐标为(0，7)．∴PE ＝|m －7|．
∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝10，∴×｜m －7|×(12－2)＝10．
1
2∴|m －7|＝2．∴m 1＝5，m 2＝9．
∴点E 的坐标为(0，5)或(0，9)．
3.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直与x 轴，垂足为点B ，反比例函数y=（
x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ，OB=4，AD=3，
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）求cos ∠OAB 的值；
（3）求经过C 、D 两点的一次函数解析式．
解：（1）设点D 的坐标为（4，m ）（m ＞0），则点A 的坐标为（4，
3+m ），
∵点C 为线段AO 的中点，
∴点C 的坐标为（2，）．
∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，
∴，解得：．
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）∵m=1，
∴点A的坐标为（4，4），
∴OB=4，AB=4．
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA==4，cos∠OAB===．
（3））∵m=1，
∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．
设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，
则有，解得：．
∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．
4.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠０）的图形与反比例函数y=（k≠０）的图象交于第二、四象限内的
A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．
解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得
AH=4．即A（﹣4，3）．
由勾股定理，得
AO==5，
△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；
（2）将A点坐标代入y=（k≠０），得
k=﹣4×3=﹣12，。

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