基于复变函数和积分变换的狄利克雷积分证法简介
狄利克雷定理证明
狄利克雷定理是复变函数论中的一个重要定理，它描述了复平面上的一个区域内所有解析函数的等价性。
这个定理的证明涉及到复分析和拓扑学的一些基本原理和方法。
首先，我们需要了解狄利克雷定理的基本内容。
它指出，在复平面的某个区域内，如果一个函数在其定义域内解析，那么它可以通过一个无穷级数来表示，该级数的项数只取决于区域的直径，而不取决于函数的振幅。
换句话说，对于一个给定的区域，总可以找到一个唯一的无穷级数来表示所有在该区域内解析的函数。
接下来，我们可以通过以下步骤来证明狄利克雷定理：
1. 定义函数空间：首先，我们需要定义一个函数空间，其中包含所有在区域内解析的函数。
这个空间可以通过定义函数的某种性质（例如，函数的连续性、可微性等）来构造。
2. 构造收敛级数：对于任何一个在给定区域内解析的函数，我们可以找到一个无穷级数，它收敛到该函数。
这个级数的项数只取决于区域的直径，而不取决于函数的振幅。
具体来说，我们可以通过选择一个足够小的邻域，使得在该邻域内解析的所有函数都可以用该级数表示。
3. 唯一性证明：为了证明该级数是唯一的，我们需要证明任何两个收敛到同一函数的无穷级数必须是相等的。
这可以通过比较两个级数的项数和系数来实现。
4. 拓扑学应用：最后，我们可以将该定理与拓扑学结合起来，证明任何两个收敛到同一函数的无穷级数必须是相等的。
这是因为任何两个收敛到同一函数的无穷级数都必须在某个点上相等，而这个点可以通过将两个级数进行比较来找到。
综上所述，通过定义函数空间、构造收敛级数、证明唯一性和应用拓扑学原理，我们可以证明狄利克雷定理。
这个定理在复变函数论中具有重要的意义和价值。
狄利克雷问题的解
引言复平面上积分公式及其应用，主要是通过学习Cauchy 积分有关理论的基础上，推导Poisson 积分公式和Schwarz 积分公式，再结合共形映射的相关理论知识，研究不同区域上Dirichlet 问题的解。
在一般的教材中，只是单纯的介绍了上半平面和单位圆周上的Poisson 积分公式和Schwarz 积分公式的构造，而对其他常见区域上Dirichlet 问题的解却没有给出推导，缺乏系统性和完善性。
我们能否仿照着去推导？其他区域上的Poisson 积分和Schwarz 积分是否亦有类似的结论？本文主要对这些问题加以探究，就是要在深入分析上半平面和单位圆周区域的Dirichlet 问题的解的推导过程中，总结出一般规律和方法，对上半圆周区域，心形区域，两圆所构成的角形区域上的Poisson 积分和Schwarz 积分进行构造，这些成果在理论和应用中很有意义。
1复平面上的积分公式1.1复平面上的积分公式本小节内容参考了文献[1]，[2].定理1.1.1（Cauchy 积分公式） 设区域D 的边界是周线或复周线C ，()f z 在D 内解析，在=D+C D 上连续，则1()(),()2C f f z d z D i zζζπζ=∈-⎰. 定义1.1.1 设函数()f z 在圆K : z R <内解析，在闭圆上连续，则对于K 内任一点i z re ϕ=，根据Cauchy 积分公式，有201()1e ()(Re ).22e i i i i Rf R f z d f d i z R reθπθθθζζζθπζπ===--⎰⎰(1-1)点z 关于圆周R ζ=的对称点22,i R R e z r zϕ*==因为点z *在圆周的外部，所以201()10(Re ).22Re i i i i Rf re d f d i z re θπθθϕζζζθπζπ*===--⎰⎰(1-2)从(1-1)减去(1-2)，得201Re e ()(Re )[],2Re e i i i i i i i r f z f d re r Re θθπθθϕθϕθπ=---⎰经过一些计算，即得222221()(Re ),22cos()i R r u iv f z f d R Rr rπθθπθϕ-+==--+⎰比较上式两端的实部，得到公式222221(,)(Re ),22cos()i R r u r u d R Rr r πθϕθπθϕ-=--+⎰(1-3)上式也可写成222221()(Re ),22cos()i R r u z u d R Rr rπθθπθϕ-=--+⎰(1-4)特别，对于单位圆来说，1R =上式变为22211()(e ),212cos()i r u z u d r rπθθπθϕ-=--+⎰(1-5)公式(1-3)，(1-4)，(1-5)均称为对于圆的Poisson 积分。
狄利克雷函数与欧拉公式的应用
狄利克雷函数与欧拉公式的应用狄利克雷函数是数学中的一种函数，以法国数学家狄利克雷的名字命名，是数论、分析数学等领域重要的基础工具之一。
欧拉公式则是一条广为人知的数学公式，将自然对数e、虚数单位i、正弦函数和余弦函数联系起来，具有深刻的数学意义和广泛的应用。
狄利克雷函数和欧拉公式之间存在着一定的联系，本篇文章将介绍它们的基本概念和应用，并探讨它们之间的关系。
一、狄利克雷函数的概念和性质狄利克雷函数是由狄利克雷定义的一种函数，常用符号为L(s,χ)，其中s为实数或复数，χ是某一给定的完全平方数模的特殊字符。
狄利克雷函数具有一些重要的性质，包括：1、L函数是复变函数，可以定义在复数域上。
2、L函数是幂级数的形式。
3、L函数可以用数论方法研究。
对于特定的χ值，L函数与数论中一些重要的数学问题有着密切的联系。
二、欧拉公式的定义和性质欧拉公式是数学中的一条著名公式，由瑞士数学家欧拉所提出，它是三角函数和指数函数之间的基本关系。
欧拉公式的表述为：e^ix=cos(x)+isin(x)其中，e表示自然常数，i表示虚数单位，x表示实数。
欧拉公式具有一些重要的性质，包括：1、欧拉公式将自然对数e、虚数单位i、正弦函数和余弦函数联系在了一起。
它是数学中重要的基本公式之一。
2、欧拉公式能够提供一种简洁且优雅的表达方式，能够在许多数学领域得到广泛的应用。
三、狄利克雷函数和欧拉公式的关系狄利克雷函数和欧拉公式之间存在着一定的联系。
尤其是当χ取值为1时，L函数和欧拉公式之间的关系更加紧密。
具体来说，当χ=1时，L函数可以表示为：L(s,1)= Σ(n=1,∞) 1/ns将L函数展开成幂级数的形式，得到：L(s,1)= Σ(n=1,∞) n^-s = Σ(n=1,∞) e^(-sln(n))在欧拉公式中，取x=-sln(n)，则有：e^(-sln(n))=cos(-sln(n))+isin(-sln(n))将cos(x)和sin(x)与L函数结合，可以得到：L(s,1)= Σ(n=1,∞) cos(-sln(n))+isin(-sln(n))这个式子其实表明了高元素周期函数E(x)与复幂函数的关系，其中E(x)为欧拉常数的周期函数。
狄利克雷积分 复变
狄利克雷积分复变
（实用版）
目录
1.狄利克雷积分的概念
2.复变的基本概念
3.狄利克雷积分与复变的关系
4.狄利克雷积分在复变函数中的应用
正文
狄利克雷积分是实变函数中的一个重要概念，它是指对一个函数在区间上的积分，该函数在该区间上除了在某一点不连续外，其他地方都连续。
而在复变函数中，狄利克雷积分同样具有重要的意义。
复变函数是实变函数在复数域上的推广，它的基本概念包括复数、复平面、复解析函数等。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复平面是实部和虚部构成的坐标系，复解析函数则是在复平面上的函数。
狄利克雷积分与复变函数有着密切的联系。
在复变函数中，狄利克雷积分被用来描述函数在某个区域内的积分，特别是在解析函数的积分问题中。
例如，设 f(z) 是一个在区域 D 内有界的解析函数，那么我们可以通过狄利克雷积分来求解该函数在 D 区域内的积分。
在狄利克雷积分在复变函数中的应用中，常常需要利用复分析的方法来解决。
例如，求解复平面上的柯西积分，就是利用了狄利克雷积分的概念。
另外，在一些复变函数的积分问题中，也可以通过引入狄利克雷积分的概念，将问题转化为实变函数的积分问题，从而简化问题的求解。
总的来说，狄利克雷积分在复变函数中扮演了重要的角色，它为复变函数的积分提供了有力的工具。
复变 积分变换
d
e
jnt
cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jnt dt
2
(n 0,1,2, )
1-1 傅立叶积分公式
傅里叶积分公式
f (t) 1
(
)e
jt
d
2
1
2
f
( )e j d e jt d
1-1 傅立叶积分公式
[傅里叶积分定理]若 f (t) 在任何有限区间上
满足狄利克雷条件，并且在无限区间 ,
狄利克雷积分:
sin d
0
2
[例1-2]证明
cost d et
0 12
2
(t 0)
1-2 傅立叶变换
傅里叶积分公式：
f (t) 1
2
f
( )e j
d e
jt d
傅里叶变换：
F() f (t)e jt dt F() Fˆ[ f (t)]
傅立叶逆变换：
,
2n (2n 1)
a
a
,
(2n 1) (2n 2)
a
a
n 0,1,2,
第3节 单位脉冲函数
1、物理意义 2、定义 3、性质 4、导数及其性质 5、广义傅立叶变换
第3节 单位脉冲函数
1、单位脉冲函数的物理意义： （1）集中质量的密度； （2）电学中的集中电荷。
第3节 单位脉冲函数
g(x)
1 x2
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频 谱
1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
fT (t)
a0 2
(an
n1
狄利克雷
狄利克雷（1805～1859）Dirichlet(2010-09-25 00:43:32)分类：工作篇标签：校园狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德国数学家。
对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。
1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。
中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。
回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。
1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。
1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。
1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。
1837年，他构造了狄利克雷级数。
1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。
1846年，使用抽屉原理。
阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。
1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。
狄利克雷Dirichlet, Peter Gustav Lejeune（1805~1859）狄利克雷(Dirichlet, Peter Gustav Lejeune)德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根。
狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯（Gauss）为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。
狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物。
复变函数与积分变换 第8.2 单位脉冲函数
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
积分dirichlet判别法
积分dirichlet判别法一、背景介绍积分Dirichlet判别法是数学中的一种重要工具，广泛应用于实变函数、复变函数、实数集、复数集等领域。
它以数学家Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet的名字命名，是他在数学分析领域的重要贡献之一。
二、基本原理积分Dirichlet判别法的基本原理是通过将一个函数的等式或不等式转化为积分不等式，从而得到函数的性质或特征。
这种方法不仅可以应用于实函数，也可以推广到复函数的情况。
三、应用领域1. 实变函数中的应用：积分Dirichlet判别法可以用来证明不等式的成立。
例如，在函数的连续性和可微性问题中，可以通过积分Dirichlet判别法来推导极限关系，进而得到一些重要的结果。
2. 复变函数中的应用：在复变函数的研究中，积分Dirichlet判别法被广泛应用于解析函数、调和函数、全纯函数等的性质研究，以及复变函数在物理学中的应用。
3. 数学分析中的应用：积分Dirichlet判别法还可以用于处理一些数学分析中的特殊函数，如Gamma函数和Zeta函数等。
通过将这些特殊函数的积分形式转化为积分不等式，可以得到它们的性质和特征。
四、数学推导积分Dirichlet判别法的具体数学推导较为复杂，需要借助复杂的数学符号和运算。
简单地说，该方法利用积分运算的性质和技巧，通过对函数的积分形式进行变换和估计，得到函数的性质和特征。
五、举例说明以求解一个实变函数的性质为例，假设有一个函数f(x)，要证明f(x)在某个区间上连续或可微。
可以通过将f(x)表示为积分形式，然后利用积分Dirichlet判别法对积分进行估计和变换，最终得到f(x)的性质。
六、总结积分Dirichlet判别法是一种重要的数学分析工具，它基于积分运算的特性和技巧，在实变函数、复变函数、数学分析等领域有广泛应用。
通过将函数的等式或不等式转化为积分不等式，可以得到函数的性质和特征。
狄利克雷原理证明 概述及解释说明
狄利克雷原理证明概述及解释说明1. 引言1.1 概述狄利克雷原理是数学中的一项基本原理，在物理学和工程学等领域也有重要应用。
它是法国数学家狄利克雷（Pierre-Simon Laplace）所提出的，被认为是边界值问题解决方法的基石之一。
狄利克雷原理可以帮助我们更好地理解和描述物体或系统中的电场、磁场等分布情况。
1.2 文章结构本文将按以下结构组织内容，以便系统地介绍和解释狄利克雷原理证明相关的概念和应用：1) 引言：对文章主题进行简要交代，并阐述文章结构。
2) 狄利克雷原理证明的基本概念：详细介绍狄利克雷原理的定义及其应用示例，以便读者正确理解和把握该原理。
3) 狄利克雷原理证明的历史背景与发展：回顾相关学术成果，并探讨该原理在物理学与工程领域中的应用与拓展。
4) 罗勃特定律试验与狄利克雷原理证明之间的联系与解释说明：简述罗勃特定律试验及其结果，并基于狄利克雷原理进行物理机制分析。
5) 结论：总结狄利克雷原理证明的重要性和应用价值，并展望未来的研究方向与挑战。
1.3 目的本文旨在向读者介绍狄利克雷原理证明相关的概念、历史背景以及与罗勃特定律试验之间的联系。
通过对研究领域内的学术成果回顾与分析，文章将对狄利克雷原理证明的重要性和应用价值进行深入探讨。
读者可以通过阅读本文来了解并加深对狄利克雷原理证明这一主题的理解，以及在实际问题求解中如何应用该原理。
2. 狄利克雷原理证明的基本概念:狄利克雷原理是19世纪初法国数学家狄利克雷提出的一项重要定理。
它主要描述了在某些特定条件下，通过给定边界上的函数值，可以唯一确定一个定义在该区域内部的调和函数。
在实际应用中，这个原理被广泛运用于解决各种物理问题。
2.1 狄利克雷原理的定义:狄利克雷原理指出，在一个有界区域内，如果边界上的函数值已知，并且满足一定条件（例如连续性、有界性等），则存在唯一的调和函数，它在该区域内满足拉普拉斯方程并与给定边界上的函数值相吻合。
狄利克雷积分的分析学计算方法
狄利克雷积分的分析学计算方法作者：沈明瑒于倩陶元红来源：《教育教学论坛》2018年第20期摘要：本文探讨了狄利克雷积分的计算方法，综合整理了前人运用分析学知识计算此积分的方法。
由于此积分的被积函数不能直接求出其原函数，所以不能直接利用牛顿莱布尼茨公式计算其结果。
本文整理的五种方法利用数学分析中反常积分、分部积分的相关定理，对被积函数进行变形、展开、还原逐步得到积分结果。
关键词：狄利克雷积分;反常积分;分部积分中图分类号：O411 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2018）20-0202-02在高等数学及实际问题中常常出现一些计算极为复杂的或者原函数不能简单地用初等函数表示出来的广义积分，例如本文要探讨的狄利克雷积分I=dx，它也是物理学中有阻尼自由振动方程中常常用到的一个重要积分。
本文综合整理了5种运用分析学知识求解此积分的方法，主要运用反常积分的连续性、可微性、可积性以及分部积分的有关定理，通过构造一个类似的函数求出原函数，再逐步还原，最终求解出的积分。
本文整理的五种计算方法分别分布在后文内容中的四个算法之内。
在华东师范大学出版的《数学分析》[1]中，I=dx的积分采用的是算法一，主要依赖于在被积函数中添加e项，类似的方法在裴礼文著的《数学分析中的典型问题与方法》[2]和熊大国著的《积分变换》[3]中也有体现。
算法二与算法一相似，利用函数e，将狄利克雷积分转化为二重积分从而进行计算。
算法三通过构造新的分段函数f（x），来获得该函数积分与狄利克雷积分的关系，这种方法许多作者都已有研究，见文献[4-6]。
算法四主要运用了文章[4]中的一个特别的引理，采用分部积分的方法计算出最终结果。
虽然有些积分不能直接计算出其原函数进行求解，但是我们依然可以运用已学知识对函数进行变形，求解其类似函数的积分值再反代回去，得到结果。
所以在学习中，我们一定要注重知识的灵活运用，融会贯通。
希望本文综合的这五种方法可以给读者灵感，从而解决更多的积分问题。
狄利克雷定理的证明
狄利克雷定理的证明work Information Technology Company.2020YEAR为证明定理本身，我先证明几个引理。
引理1(Bessel 不等式)：若函数()f x 在[,]ππ-上可积，则有2222011()()2n n n a a b f x dx πππ∞=-++≤∑⎰ 证明：设201()(cos sin )2mm n n n a S x a nx b nx ==++∑ 显然：222[()()]()2()()()m m mf x S x dx fx dx f x S x dx Sx dx ππππππππ-----=-+⎰⎰⎰⎰ (*)其中，1()()()(()cos ()sin )2mm nnn af x S x dx f x dx a f x nxdx b f x nxdx ππππππππ=----=++∑⎰⎰⎰⎰由傅立叶级数系数公式可以知道：22201()()()2mmn n n f x Sx dx a a b ππππ=-=++∑⎰2222220011()[(cos sin )]()22mmm n n n n n n a S x dx a nx b nx dx a a b ππππππ==--=++=++∑∑⎰⎰ 以上各式代入(*)式，可以得到：22222010[()()]()()2mm n n n f x S x dx f x dx a a b ππππππ=--≤-=--+∑⎰⎰另222201()()2mn n n a a b f x dx ππππ=-++≤∑⎰这个结果对于m N ∀∈均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据此可知“22201()2mn n n a a b ππ=++∑”这个级数的部分和有界，则引理1成立。
引理2：若函数()f x 是2T π=的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和()m S x 可改写为：1sin()12()()2sin2m m u S x f x u du u πππ-+=+⎰ 证明：设201()(cos sin )2mm n n n a S x a nx b nx ==++∑ 111()[(()cos )cos (()sin )sin ]2m n f x dx f x nxdx nx f x nxdx nx ππππππππ=---=++∑⎰⎰⎰ 111sin()111112()[cos ()]()[cos ]()222sin2xmmn n x m uf u n u x du f x t nt dt f x u du u πππππππππ-==----+=+-=++=+∑∑⎰⎰⎰我在下边给出一个比楼主强的结论！收敛定理：设()f x 是[,]a b 的按段光滑函数,如果它满足:(1) 在[,]a b 只有有限个第一类间断点, 在补充定义后它可积（应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数）。
含参变量瑕积分的狄利克雷判别法
含参变量瑕积分的狄利克雷判别法
【实用版】
目录
1.狄利克雷判别法的概念
2.含参变量瑕积分的定义
3.狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用
4.结论
正文
一、狄利克雷判别法的概念
狄利克雷判别法是一种数学分析方法，用于判断一个函数是否可积。
该方法是由 19 世纪德国数学家狄利克雷提出的，对于解决许多实际问题具有重要意义。
二、含参变量瑕积分的定义
含参变量瑕积分是指在给定区间上对一个含有参数的函数进行积分，其中参数可以取遍一个给定的范围。
这种积分形式在数学分析和实际应用中十分常见。
三、狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用
在含参变量瑕积分中，狄利克雷判别法可以判断一个函数是否满足瑕积分的条件。
具体来说，如果一个函数在某个区间上满足狄利克雷条件，那么这个函数在这个区间上就是瑕积分的。
狄利克雷判别法的具体应用步骤如下：
1.求出函数的导数。
2.判断导数在给定区间上的符号。
3.根据符号判断函数在该区间上是否满足狄利克雷条件。
四、结论
狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用，为解决实际问题提供了一种有效的方法。
通过判断函数是否满足狄利克雷条件，我们可以更好地理解和计算含参变量瑕积分。
狄利克雷积分的证明
狄利克雷积分的证明
狄利克雷积分的证明是一个复杂的过程，需要使用复变函数和微积分的知识。
以下是一个简单的证明过程：
设函数f(z)在区域D内解析，且在D的边界上连续。
根据柯西定理，f(z)在D内解析的充分必要条件是f(z)在D内连续且可微。
因此，f(z)在D的边界上也连续且可微。
设D的边界为C，取C上的一个点z_0，并设z_0在D
的内部。
根据柯西定理，f(z)在C上可微，因此f(z)在C上存在一个导数f'(z)，且f'(z)在C上连续。
根据导数的定义，f'(z)是f(z)关于z的偏导数之和。
由于f(z)在C上连续，因此f(z)在C上有界。
设|f(z)|的最大值为M，则f'(z)的最大值为|f'(z)|=M。
根据积分的定义，狄利克雷积分是C上的线积分，可以表示为：
∫_C f(z) dz = ∫_0^2π f(z_0+re^(iθ)) r cos(θ) dθ
其中r为C的半径，z_0为C的中心。
由于f(z)在C上连续，因此f(z_0+re^(iθ))在[0,2π]上连续。
根据连续函数的积分性质，∫_0^2π f(z_0+re^(iθ)) r cos(θ) dθ的值为有限数。
因此，狄利克雷积分的结果是一个有限数，即证明了狄利克雷积分的存在性。
狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用（已处理）
狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用狄利克雷(Dirichlet)函数性质及应用作者指导教师马永传摘要:狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数有着许多特殊的性质,它在数学分析、实变函数与泛函分析、复合函数等诸多领域均有十分广泛的应用,在数学发展过程中起过重要的作用。
本文将在性质与应用两个方面对狄利克雷函数进行讨论。
关键词:狄利克雷函数;性质;应用;反例函数概念最早出现在世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》年中。
他定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的。
世纪德国著名数学家莱布尼茨年在一篇手稿里使用了“函数”这一概念。
后来, 莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”的概念。
在数学史上, 这是一大进步, 它使得人们可以从数量上描述运动了。
当时的函数指的是可以用解析式表示的函数,但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了。
历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷()。
这也促成了微积分的严格性的开始。
事实上,如果严格性没有进入定义,那就无法在推理中体现严格性。
当时, 数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象。
狄利克雷在年给出了下面的著名函数(后人称为狄利克雷函数):这个函数具有三个特点:1没有解析式:使函数概念从解析式中解放了出来。
2没有图形:使函数概念从几何直观中解放了出来。
3没有实际背景:使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。
狄利克雷函数的出现,表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来。
这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。
1 狄利克雷函数及其性质狄利克雷 [德]函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。
1.1 狄利克雷函数的相应定义(1)对任意令,则称为定义在实数上的狄利克雷函数.(2)对任意令,则称为定义在实数上的狄利克雷拓展函数.(3)一般地,广义的狄利克雷函数可定义为:其中为实数,.1.2 狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的性质1.周期性定理1.1 任意的非零有理数都是及的周期;但是任何的无理数都不是的周期.证由对任意有理数,有故任意的有理数都是及的周期.对任意的无理数,有故任何的无理数都不是和.2.有界性定理1.2 都是有界函数.证由故知且,所以都是有界函数.3.奇偶性定理1.3 都是偶函数.证由且知负号不改变数的有理性及无理性,所以可得所以且,故及都是偶函数.4.单调性定理1.4 及在实数集的任何区间上都不具有单调性.证对,在区间上由实数的稠密性知,在区间上存在无数个有理数及无数个无理数.不妨设,、为无理数,为有理数,.则,;,;故可知在实数集的任何区间上都不具有单调性.5.连续性定理1.5 对于及都不存在.证对任意小的由实数的稠密性知在内存在一组递增的有理数组存在一组递增的无理数组且 .又易得可知及不存在,故和不存在.定理1.6 及在上处处不连续.证:由定理1.5知对于及都不存在.故知,又由在上处处不连续.6.可积性定理1.7 及在任何区间上非可积.证由对于的一个分割,任取点,,并作和式: 由实数的稠密性知,当取为有理数时,,则;而取为无理数时,;故在任何区间上非可积.由对于的一个分割,任取点,,并作和式: 当分别取有理数和无理数时,的值互为相反数且都不为零.故在任何区间上非可积.综上可知, 及在任何区间上非可积.2 狄利克雷函数的应用数学中的反例,是用以否定错误命题而举的例子。
复变函数与积分变换第6章—积分变换
0 cos t sin t 因此 d / 2 2 2 0 e t
t0 t 0 t 0
其他例题见课本
四、δ函数及其傅立叶变换 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外, 还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中, 除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量 （点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的 冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受 具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学 中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了 这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如 点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术 中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量 那样,用统一的方式来加以解决.
t 0
1
于是 (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 1 jt 1 jt (t ) F [1] e d e d 2 (t ) 2
例1 证明：1和2 ()构成傅氏变换对. 证：若F()=2 (), 由傅氏逆变换可得
6.1
傅里叶变换
一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
一个以 2l 为周期的函数 f ( x) ， 若在区间[l , l ]满足狄利克
雷条件： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有 限个极值点，则 f ( x) 在[l , l ]上可展开为傅里叶级数
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
由上面两个函数的变换可得
e e
j t
d t 2 ( ) d t 2 ( 0 )
狄利克雷积分的分析学计算方法
算法一：反常积分的可微性
引理1[1] 设函数f和fx在[a，b]×[c，+∞）上连续，若I
+∞
+∞
乙 乙 （x）= （f x，y）dy在[a，b]上收敛，积分 fx（x，y）dy在
c
c
[a，b] 上 一 致 收 敛 ，则 函 数 I（x）在 [a，b] 上 可 微 ，且
+∞
乙 I′（x）= fx（x，y）dy。 c
过构造一个类似的函数求出原函数，再逐步还原，最
终求解出
sinx x
的积分。
本文整理的五种计算方法分别分布在后文内容
中的四个算法之内。在华东师范大学出版的《数学分
乙 析》[1]中，I=
+∞ 0
sinx x
dx的积分采用的是算法一，主要依
赖于在被积函数中添加e-αx项，类似的方法在裴礼文
著的《数学分析中的典型问题与方法》[2]和熊大国著的
乙 显然，函数I（α）=
+∞
e-αx
sinx
dx（α≥0）和其关
0
x
于α的偏导都在区域D=[0，+∞）×[0，+∞）上连续，又
乙 积 分
+∞
e -αx
sinx
dx（α ≥0）在 区 域 [0，+∞）上 一 致
0
x
收敛，由引理1知积分（I α）可与导数换序，即I′（α）=
乙 蓸 蔀 乙 +∞ 鄣 0 鄣α
e-αx
sinx x
dx=
+∞
e-αxsinxdx=-
1
，再由
0
1+α2
乙 lim
α→∞
I（α）=0
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1 2
College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan Wuhan Foreign Languages School, Wuhan Email: wwb178@
2sin t = 由傅里叶变换的对称性质： F t
令w= 0，∫
+∞ −∞
∫−∞
+∞
2sin t −iwt t 2π f ( − w= e d= ) t
2 π, w < 1 0, w > 1
+∞ sin x 2sin t π dt = 2 π ，即 ∫ dx = 。 0 t 2 x
5. 结论
狄利克雷积分 ∫
+∞ 0
sin x dx 是积分学中著名的积分，许多重要积分的计算最后都化为此积分，本文在 x
传统的狄利克雷积分证明进行了改进，并在此基础上，将复变函数与积分变换、傅里叶变换相结合，提 出了两种新的狄利克雷积分证明的方法，较好的简化了狄利克雷积分证明的复杂度。
基金项目
国家自然科学基金(11201354)。
r r r
r →0 →0 , 2 πr
故 lim ∫ ϕ ( z )dz = 0 ，即 lim ∫ c c
r →0
r
r →0
r
eiz dz = −iπ ，代入(2)式中有 z
∫0
r →0
r
+∞
sin x π dx = x 2
该证明方法比较复杂，上述证明中 lim ∫ ϕ ( z )dz = 0 可以改良为如下证明： c
98
97
基于复变函数和积分变换的狄利克雷积分证法简介
证明：因为 ϕ ( z ) 在整个复平面上处处解析，故其和积分路径无关，只与起点和终点有关，则
= ∫c ϕ ( z )dz
r
→0 . ∫− r ϕ ( z ) dz
r →0
+r
3. 基于复变函数与积分变换的狄利克雷积分证明
第三种证明方法是本文新提出的方法，利用像函数的积分性质进行证明，证明方法如下： 证明三：像函数的性质为：如果 f ( t ) 的拉普拉斯变换 L f ( t ) = F ( s ) , ∫s F ( s ) ds 收敛，则
Keywords
Dirichlet Integral, Formula of Laplace Transform, Formula of Fourier Transform
基于复变函数和积分变换的狄利克雷积分证法 简介
王文波1汉外校，武汉 Email: wwb178@
Received: Mar. 3rd, 2014; revised: Apr. 1st, 2014; accepted: Apr. 10th, 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
参考文献 (References)
[1] [2] [3] [4] [5] 张瑰, 张梅 (2005) 对 Dirichlet 积分的几种简便证明. 高等数学研究, 4, 28-29, 30. 张元林 (2003) 积分变换. 高等教育出版社, 北京, 9-10, 83-84, 38-39. 西安交通大学高等数学研究室 (2003) 复变函数. 高等教育出版社, 北京, 168-170. 匡继昌 (2012) Dirichlet 积分九种解法的思路分析. 高等数学研究, 4, 61-66. 范金华 (2012) Dirichlet 积分的两种计算方法. 高等数学研究, 1, 69-70.
2. 传统的狄利克雷积分证明方法与改进
1, t ≤ 1 第一个证明方法是利用 f ( t ) = 傅里叶积分表达式来证明。 0, t > 1 1, t ≤ 1 证明一：函数 f ( t ) = 的傅里叶积分表达式为： 0, t > 1
1 +∞ +∞ 1 +∞ 1 eiwt dw eiwt dw f (= τ ) e−iwτ dτ ( cos wτ − i sin wτ ) dτ ∫ ∫ ∫ ∫ −∞ −∞ −∞ − 1 2π 2π +∞ sin w 1 +∞ 1 1 iwt cos wτ dτ = ∫= e dw π ∫−∞ w ( cos wt + i sin wt )dw 0 π ∫−∞ f (t ) = =
∫c
r
iθ 0 ire eiz dz dz = d z z + ϕ = −iπ + ∫c ϕ ( z )dz ( ) ∫cr z ∫cr ∫π reiθ dθ + ∫cr ϕ ( z )dz = r z
ϕ ( 0 ) = i ，当 z 充分小时， ϕ ( z ) ≤ 2 ，当 r 充分小时，
= ds ∫c ϕ ( z )dz ≤ ∫c ϕ ( z ) ds ≤ 2∫ c
(1)
∫
eiz eiz eiz dz 的值就可以了。 的洛朗展式为： dz = 0 ，剩下只要求出 ∫ cr z z z
eiz 1 1 z i n z n −1 = + i − + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ = +ϕ (z) , 2! z z n! z
ϕ ( z )=
z i n z n −1 1 + i − + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ 在 z = 0 是解析的， z n! 2!
收稿日期：2014年3月3日；修回日期：2014年4月1日；录用日期：2014年4月10日
摘
要
本文介绍了复变函数和积分变换里狄利克雷积分的三种证法，并利用傅里叶变换的对称性质证明出了狄
95
基于复变函数和积分变换的狄利克雷积分证法简介
利克雷积分。
关键词
狄利克雷积分，拉普拉斯变换，傅里叶变换
1. 引言
当 t = 0 ，就有 ∫
+∞
0
sin w π dw = 。 2 w
下面要介绍的第二种证法是用柯西–古萨定理和约当引理来证明。 +∞ sin x 1 +∞ sin x 证明二： ∫0 x dx = 2 ∫−∞ x dx ,
96
基于复变函数和积分变换的狄利克雷积分证法简介
ix +∞ e = ∫−∞ x dx
Abstract
This article introduced three proof methods of Dirichlet integral through complex function and integral transform, and gave another method for proving Dirichlet integral using symmetrical property of Fourier transform.
ix − it r e Re eix dx = ∫ dt = − ∫ dx ， R t r x −R x − ix ix R e −e eiz eiz dz + ∫c dz + ∫r dx = 0 ，即 r z z x
∫C
由约当引理二可知 lim
R →+∞ CR
r
R sin x eiz eiz dz + ∫ dz + 2i ∫ dx = 0, c r r z z x
Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 95-98 Published Online May 2014 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2014.43014
Proof Methods of Dirichlet Integral Based on Complex Function and Integral Transform
sin t
+∞
L= ( sin t ) ds
ds ∫0 = s2 + 1
+∞
1
s0 arctan =
+∞
π 2
可以看出，基于像函数的性质进行证明非常简单，很大程度上简化了狄利克雷积分证明的复杂度。
4. 基于复变函数与积分变换的狄利克雷积分证明
本文提出的另一种方法是基于复变函数和傅里叶变换进行证明的，方法如下： 1, t < 1 证法四： f ( t ) = 的傅里叶变换为 0, t > 1 +∞ − iwt +1 1 2sin wt = F ( w) 2 ∫0 cos wtdt = ∫−∞ e dt = ∫−1 ( cos wt + i sin wt )dt = w
狄利克雷积分 ∫
+∞ 0
sin x dx 在工程技术，阻尼振动中有广泛的应用，其被积函数不能用初等函数表示， x
不能直接计算[1]-[3]。文[4]介绍了 9 种算法，大致是通过二重积分、级数、等式、收敛因子法计算出 +∞ sin x π ∫0 x dx = 2 。本文介绍了四种狄利克雷积分证明方法，其中证法一和二是两种经典的证明方法[5]，本 文对证法二进行了适当的改进，在一定程度上简化了其证明的复杂度；证法三和四是本文在传统证明方 法的基础上，将复变函数与积分变化、傅里叶变换相结合提出的两种新的证明方法，与传统的证明方法 相比，本文提出的方法较好的改善了狄利克雷积分证明的复杂度，而且在不同条件下都可进行有效的推 广。本文介绍的狄利克雷积分的四种证明方法详细证明过程如下。