高三第二次月考试题文科数学
华南师大附中高三第二次月考数学(文)试题(答案不全)
学必求其心得，业必贵于专精2012—2013年华南师大附中高三综合测试(二）试题数学（文科)本卷共20小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =( ）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1,2}--C ．{0,1}D ．{10}-，2、设a ∈R ,若i i a 2)(-（i 为虚数单位)为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3、一组数据20,30,40,50,50,60,70,80的平均数、中位数、众数的大小关系是A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数=中位数=平均数4、若 ]2,4[ππθ∈，47sin =θ，则θ2sin =（ ）A 。
错误! B. －错误! C. 错误! D. －错误!5、设 S n 为等差数列 {a n ｝ 的前 n 项和，若S 3 = 3,S 6 = 24，则a 9 =（ ）A. 13 B 。
14 C 。
15 D 。
166、已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a-=（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．±17、函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A.[0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5]D.[6π5，π］8、已知xx f )21()(=，其反函数为)(x g 则)(2x g 是（ ）A 。
奇函数且在),0(+∞上是增函数;B.偶函数且在),0(+∞上是增函数; C 。
奇函数且在)0,(-∞上是增函数；D.偶函数且在)0,(-∞上是增函数；9、△ABC 中，∠C = 60°，且CA = 2，CB = 1，点M 满足 错误!= 2错误!,则 错误!·错误!=（ )A. 4 + 错误! B 。
高三第二次月考(文)数学试卷
高三第二次月考 文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。
）1．已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()=A C B B C A u u ( ) A ．∅ B ．{}|0x x ≤ C ．{}|1x x >- D ．{}|01x x x >≤-或 2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3·a 8·a 13)=6，则a 1·a 15的值为（ ）A.100B.1 000C.10000D.103．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个 4．命题：“若220a b +=，（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a ，b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠5．函数1)(2++=x ax x f 有极大值的充要条件是（ ）A ．0a <B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥ 6．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为（ ）A ． (2,3)7.已知⎨⎧-∈+=)0,1[1)(2x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是 （ ）8．若数列{}n a 满足11221,2,(3)n n n a a a a n a --===≥，则17a 等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．9872- A .f (x -1)的图象 B .f (-x )的图象 C .f (︱x ︱)的图象 D . ︱f (x )︱的图象9. 已知数列{a n }满足a 0=1，a n =a 0+a 1+a 2+…+a n-1(n≥1)，则当n≥1时，a n 等于( )A.n2 B.2)1(+n n C. 12-n D. 12-n10.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x -=，则有（ ）A ．(0)(2)(3)g f f <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ． (2)(3)(0)f f g <<11．数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是 ( )A 、7B 、8C 、9D 、1012．定义域为R 的函数0)()(,2,12|,2|lg )(2=+⎩⎨⎧=≠-=x bf x f x x x x x f 的方程若关于恰有5个不同的实数解)(,,,,,5422154321x x x x x f x x x x x ++++则等于（ ）A ．0B ．221gC ．231gD ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
山西省大同市第一中学2020届高三下学期3月月考数学(文)试题 Word版含解析
故选： .
【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生 计算能力和空间想象能力.
10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是
18.如图，在四棱锥 中， 为平行四边形， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于 点，连接 ，在 中， ，得到证明.
（2）计算 ，根据等体积法得到 ，计算得到答案.
【详解】（1）连接 交 于 点，连接 ，
【详解】 ，故 ，则 ，
故 .
故选：B.
【点睛】本题考查了回归方程的中心点，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合．若点 是角 终边上一点，则 （ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得 的值，再利用两角差的正切公式，求得 的值．
一､选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考《文科》数学(解析版)
内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =（ ）A. 32B. 53-C. 53D. 32-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量坐标的线性运算得c得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数k 的值.【详解】解：因为向量()1,2a =r ，()1,1b = ，所以()1,2c a kb k k =+=++ ，又b c ⊥，所以120b c k k ⋅=+++= ，解得32k =-.故选：D.2. 复数13i2iz -=+的虚部为（ ）A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数13i (13i)(2i)17i 17i 2i (2i)(2i)555z -----====--++-故z 的虚部为75-.故选：A ．3. 若集合{1A =-，0，1}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则A B = （ ）A. {0} B. {1}C. {0，1}D. {0，1}-【答案】D 【解析】【分析】把A 中元素代入B 中解析式求出y 的值，确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：把A 中=1x -，0，1代入B 中得：0y =，1，即{0B =，1}，则{0A B = ，1}-，故选：D ．4. 若变量x 、y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+取最大值时的最优解是（ ）A. 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线20x y +=，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.2z x y =+可化为20x y z +-=，平移直线20x y +=，当其经过点C 时，目标函数2z x y =+取得最大值，联立21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得13x =，23y =，故最优解是12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.5. 若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.6. 如图是函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象的一部分，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象可确定()f x 最小正周期T ，由此可得ω；根据712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ；由()0f =可求得A ，由此可得()f x .【详解】由图象可知：()f x 最小正周期23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==；又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()73262k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()23k k πϕπ=+∈Z ，又02πϕ<<，3πϕ∴=，()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()0sin 3f A A π=== ，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7. 已知向量,a b 的夹角为4π，且1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A.B. 3C. D. 1【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.【详解】由()123122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，22323122a a b a b b -⋅+⋅-= ，2213122a a b b +⋅-= ，21164cos 31224b b π+⨯⋅-=，230b -= ，(30b += ，解得b = b 在向量a 方向上的投影为cos 14b π= ，故选：D.8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率π≈（ ）A.6320B.3310C.7825D.9429【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即268104r =+-=，由几何概型得2222140682π⨯≈⨯⨯，从而3310π≈.故选：B.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A. 28h B. 28.5hC. 29hD. 29.5h【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h.故选：B .10. 已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先根据()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦，得到()2f x =或1()2f x =-，然后利用导数分析0x ≥时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.【详解】由()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，得()2f x =或1()2f x =-.当0x ≥时，2()121212(1)f x x x x x '=-=-，所以当(0,1)x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0,()'>f x f x 单调递增，所以1x =时，()f x 有极小值(1)4611f =-+=-.又0x <时，()x f x e =，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知：函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为3.故选：B .11. 已知()f x 是定义在R 上的函数满足(4)()f x f x -=-，且满足(31)f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A. 函数()f x 图象关于直线=2x 对称B. 函数()f x 的周期为2C. 函数()f x 关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D. (2023)0f =【答案】D 【解析】【分析】对于A.令2x x =+代入(4)()f x f x -=-即可判断.对于C.可考虑图像平移或者将3x 换元进行判断.对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出(2023)f 【详解】因为函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线2x =对称，A 错误；因为(31)f x -为奇函数，所以(31)(31)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故C 错误;由()(4)f x f x =--与()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---，即(4)(2)f x f x -=--，故(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故D 正确．故选:D的的12. 已知关于x 的不等式(e )e ->x x x x m m 有且仅有两个正整数解（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（ ）A. 43169(,]5e 4eB. 3294(,4e 3eC. 43169[,5e 4eD. 3294[,e 3e 4【答案】D 【解析】【分析】问题转化为2(1)e x x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，讨论0m ≤、0m >并构造()(1)f x m x =+、2()ex x g x =，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.【详解】当0x >时，由2e e 0xxx mx m -->，可得2(1)ex x m x +<（0x >），显然当0m ≤时，不等式2(1)ex x m x +<在(0,)+∞恒成立，不合题意；当0m >时，令()(1)f x m x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，令2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，故(0,2)上()0g x '>，(2,)+∞上()0g x '<，∴()g x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，又(0)(0)0f m g =>=且x 趋向正无穷时()g x 趋向0，故()240,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，(),()f x g x 图象如下：由图知：要使()()f x g x <有两个正整数解，则()()()()()()11{2233f g f g f g <<≥，即2312e 43e 94e m m m ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得32944e 3e m ≤<．故选：D【点睛】关键点点睛：问题转化为2(1)ex x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1289log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ ．【答案】116##516【解析】【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.【详解】112388893111log 2log 8log 84236⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：116.14. 曲线123x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】530x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义即得.【详解】由123x y x -=+，得22(23)2(1)5(23)(23)x x y x x +--'==++，所以切线的斜率为255(23)k ==-+，所以所求的切线方程为(2)5[(1)]y x --=--，即530x y -+=.故答案为：530x y -+=.15. 已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】725##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325α+=-，由诱导公式π2πsin(2cos(263αα+=-+，即可求值.【详解】22ππ167cos(212sin 12332525αα⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪⎝⎭，而πππ2π7sin(2cos(2)cos(2)662325ααα+=-++=-+=.故答案为：72516. 已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，令3x k πωπ+=，Z k ∈，可得52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，可得f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而有5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令3x k πωπ+=，Z k ∈，得x ＝33k ππω-，Z k ∈，∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为53πω，83πω，【∴52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得542ω≤<，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，∴52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈，令k ＝0，f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴5,,42466ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1003ω<≤，综上，ω的取值范围是51023ω≤≤.故答案为：510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin sin ,2A Ca b A b +==.（1）求角B 的大小；（2）求2a c -的取值范围.【答案】（1）3π（2）()0,6【解析】【分析】（1）结合A C B π+=-，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简26a c A π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合A 的范围即得解【小问1详解】A CB π+=- ，sinsin 2B a b A π-∴=cos sin 2B a b A ∴=sin cos sin sin 2B A B A ∴=cos sin 2sin cos 222B B B B ∴==1sin 22B ∴=，又B 为锐角,263B B ππ∴==【小问2详解】由正弦定理4sin sin sin a b c A B C ====，214sin ,4sin 4sin 4sin 2sin 32a A c C A A A A A π⎫⎛⎫∴===-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，128sin 2sin 6sin cos 2a c A A A A A A A ⎫∴-=--=-=-⎪⎪⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由锐角ABC ，故20,0232A C A πππ<<<=-<故(),sin ,20,6626A A a c πππ⎛⎛⎫<<∴-∈∴-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +=，424S S =．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）()2111n T n =-+【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组求出1a 和d ，进而求出n a 及n S ；（2）利用（1）求出n b ，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11125124344(2)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()21212n n n S n n -⨯=⨯+=．【小问2详解】由（1）得：+121n a n =+，21(1)n S n +=+，则()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+()22222222111111122331114n n =-+-+-+⋅⋅-+⋅+()2111n =-+..19. 已知()2ex x a f x -=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）1a ≥【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【小问1详解】当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-，()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==，所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.【小问2详解】()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第x 天12345人数y （单位：万人）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.300.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r ≥，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）（2）求参与预售人数y 与预售的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.参考数据：()()()55211460, 6.78i i i i i y y x x y y ==-=--=≈∑∑，附：相关系数()()()121ˆˆˆ,n i i i n i i x x y y r b ay bx x x ==--===--∑∑【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2）ˆ 6.641.2yx =+，146.8万人【解析】【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数r 可得；（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令16x =代入计算可得估计值．【小问1详解】由表中数据可得1234545566468723,6155x y ++++++++====，所以()52110i i x x =-=∑又()()()55211460,66i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑所以0.970.75nx x y y r --==≈>所以该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得()()()12166ˆ 6.610ni ii n i i x x y y b x x ==--===-∑∑则ˆˆ61 6.6341.2a y bx=-=-⨯=所以ˆ 6.641.2yx =+令16x =，可得ˆ 6.61641.2146.8y=⨯+=（万人）故预测2022年2月20日该电商平台预售人数146.8万人21. 已知()()2e 2ln x f x x a x x =-+（1）当e a =时，求()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； （2）当0e ≤<a ，0个零点；当e a =或a<0，1个零点；e a >，2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数()()e 2e x f x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，可得()10f '=，令()e e x g x x x =-，利用导数说明()g x 的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得()()2ln e 2ln 0x x f x a x x +=-+=，令2ln t x x =+，则问题转化为e t at =，R t ∈，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.【小问1详解】解：因为e a =，0x >，()()2e e 2ln x f x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x x x x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e xg x x x =-，()()2e 1e 0x g x x x '=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0x g x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()e e 0x g x x x =->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增【小问2详解】解：因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 零点转化为()()2ln e 2ln e 0x x t f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，的设()e t g t at =-，则()e tg t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当a<0时，()e 0t g t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或a<0时，1个零点；e a >时，2个零点；【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线1C 的参数方程为e e e e t tt t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 、曲线2C 分别交于两点A ，B ，点(40)P ， ，求△PAB 的面积.【答案】（1）24ππ(cos 244ρθθ=-<<（2）【解析】【分析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;（2）联立方程，分别求得点A ，B 的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】由e e e et tt t x y --⎧=+⎨=-⎩消去参数t ，得224x y -=,因为e e 2t t -+≥，所以曲线1C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的极坐标方程为24ππ()cos 244ρθθ=-<< ；【小问2详解】由2π64cos2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:A ρ=所以曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于点A π)6，由π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得:B ρ=， 所以曲线π(0)6θρ=>与曲线2C :4cos ρθ=交于点B π6，则PAB S =△PA PBS S -△O △O 1π4()sin 26B A ρρ=⨯⨯-=选修4-5：不等式选讲23. 己知函数()221f x x a x a =+++-．（1）当0a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）32a ≤-或1a ≥．【解析】【分析】（1）分0x ≥，102x -≤<，12x <-三种情况打开绝对值，求解即可；（2）打开绝对值，将函数()f x 写成分段函数，结合单调性求解即可【小问1详解】()21f x x x=++当0x ≥时，()312f x x =+≥，解得13x ≥，当102x -≤<时，()12f x x =+≥，解得x ∈∅，当12x <-时，()312f x x =--≥，解得1x ≤-，所以不等式()2f x >的解集为()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】因为222172()12148(0222a a a a a +++++--==>，故212a a +>-所以()2222231,11,2131,2x a a x a a f x x a a x a a x a a x ⎧⎪++-≥⎪+⎪=+++-≤<⎨⎪+⎪---+<-⎪⎩所以函数()f x 在1,2a +⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减，在1,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以函数()f x 在R 上的最小值为21122a a f a ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．所以2122a a ++≥，即223(23)(1)0a a a a +-=+-≥解得32a ≤-或1a ≥。
高三文科数学第二次月考模拟训练(2)
高三文科数学第二次月考选填题模拟训练（2）满分：75分 时间：45分钟一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，共50分。
）1.复数23()1i i-=+（ ） A. 34i - B.34i -+ C. 34i -- D.34i + 2.设集合A =｛x |－3＜x ＜1｝，B =｛x |log 2|x |＜1｝则A ∩B 等（ ）A ．（－3，0）∪（0，1）B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－2，1）D ．（－2，0）∪（0，1）3.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 84.给出下列五个命题：①将A B C 、、三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为12y x =-，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4 。
其中真命题为（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．②③④D ．③④⑤ 5.将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是 A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．2sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)6y x π=- 6.已知α是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 5αα+=，则2sin 2cos αα+的值为（ ） A ．35-B ．825-C ．3325D ．35-或825-7.在△ABC 中，4cos 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为 （ ） A.65 B.3 C.125D.6 8.设0.33log 3,2,log sin 6a b c ππ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341x ,22)(2x x x x x f 的图象与函数)1ln()(-=x x g 的图象的公共点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(1,]4C ．7[,)4+∞D ．7(1,)4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11.在集合{|,1,2,3,,10}6n x x n π==中任取一个元素，所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是_________． 12.函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间为__________．13.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___． 14.已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线32:C y ax bx d =++（,,a b d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++=_________．15.已知p ：“对任意的[2,4]x ∈，2log 0x a -≥”；:q “存在x R ∈，2220x ax a ++-=”若,p q均为命题，而且“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是。
2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第二次月考文科数学试卷
2021年湖南省长沙长郡中学高三上学期第二次月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合1|28,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}|11,B x x m x R =-<<+∈，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是 ．2．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项公式n a =____________.3．给出下列关于互不相同的直线,,m n l 和平面,αβ的四个命题： ①,,,m l A A m l m αα⊂=∉点则与不共面；②//,//,,,l m l m n l n m n ααα⊥⊥⊥、是异面直线，且则；③,,,//,//.//l m l m A l m ααββαβ⊂⊂=若点则；④//,//,//,//.l m l m αβαβ若则其中真命题是_____________（填序号）4．已知线段AB 两个端点 ()()2,3,3,2A B ---,直线l 过点 ()1,2P 且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围为________________.5．已知圆C 过双曲线且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________.6．定义在区间[],a b 上的函数()y f x =，'()f x 是函数()f x 的导数，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()'()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为[],a b 上的“中值点”．下列函数：①()21,f x x =+②2()1f x x x =-+，③()()ln 3f x x =+，④中在区间[]2,2-上的“中值点”多于一个的函数是___________（请写出你认为正确的所有结论的序号）[二、单选题7．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R8．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球12,O O ，这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切，球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切，则两球在正方体的面11AAC C 上的正投影是A ．B ．C ．D ． 9．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-( ) A ．25 B ．3510- C ．31010- D 25 10．已知()()()()130f x a x x a =--<，定义域为D ，任意,m n D ∈，点(),()P m f n 组成的图形为正方形，则实数a 的值为A ． 1-B ． 2-C ． 3-D ．4-11．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=,若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是 A ．20 B ． 18 C ． 16 D ． 912．一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是A ．321-B ．26C ．4D ．5 13．已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )A ．13B ．23C ．23D ．22314．函数()f x 的导函数是'()f x ，若对任意的x R ∈，都有()2'()0f x f x +<成立，则A ．(2ln 2)(2ln 3)32f f < B ． (2ln 2)(2ln 3)32f f > C ． (2ln 2)(2ln 3)32f f = D ．无法比较15．在平面直角坐标系xOy 中，点()5,0A ，对于某个正实数k ，存在函数()2()0f x ax a =>，使得OA OQ OP OA OQ λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（λ为常数），这里点,P Q 的坐标分别为()()1(,1),()P f Q k f k ，，，则k 的取值范围为A ．()2,+∞B ． ()3,+∞C ． [)4,+∞D ．[)8,+∞三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的图像的一部分如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()(2)y f x f x =++的最小正周期和最值．17．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -， 求:F ABCD F CBE V V --18．已知以点C 2(,)t t （t ∈R ，t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．19．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，且5714,20a a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证： 20．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−√3,0)、F 2(√3,0)，椭圆上的点P 满足∠PF 1F 2=900，且ΔPF 1F 2的面积为S ΔPF 1F 2=√32． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点Q(1,0)的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线AN 与直线x =4的交点为R ，证明：点R 总在直线BM 上．21．（本小题满分14分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像在点()2,(2)f 处的切线的倾斜角为45，对于任意的[]1,2t ∈，在区间(),3t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；（3ln n n ⨯⨯<参考答案1．2+∞（，）【解析】 试题分析：1|28,{|13}2x A x x R x x ⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭＜＜，因为x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，所以13m +＞，即2m ＞．所以实数m 的取值范围是2+∞（，）考点：充分条件和必要条件的应用2．102-n【解析】试题分析：由已知得,811-==S a 当2≥n 时102)1(9)1(9221-=-+---=-=-n n n n n S S a n n n ，对n=1也适用，故n a =102-n ． 考点：数列通项公式．3．①②③【解析】试题分析：由题意①m ⊂α，l∩α=A ，A ∉m ，则l 与m 不共面，此条件是异面直线的定义的符号表示，故正确； ②l 、m 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α，此条件下可以在α找到两条相交线，使得它们都与n 垂直，故可得n ⊥α，此命题正确；③若l ⊂α，m ⊂α，l∩m=A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β，此命题是面面平行的判定定理的符号表示式，故正确；④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ，在此条件下，l 与m 两条直线平行、相交、异面都有可能，故此命题是假命题．故答案为①②③考点：空间中直线与平面之间的位置关系.4．5k ≤-或1k【详解】试题分析：如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足k≥k PB ;或k≤k PA ，根据斜率公式可知k PA =, k PB =则l 的斜率k 的取值范围为k≤-5或k≥1故答案为k≤-5或k≥1．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.5．316 【解析】试题分析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±374）. ∴它到中心（0，0）的距离为d==+911216316. 故答案为：316 考点：双曲线的简单性质.6．①④【解析】试题分析：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a ，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a ，b]的两个端点连线的斜率值．对于①，根据题意，在区间[a ，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x ）=2，满足f （b ）-f （a ）=f′（x ）（b-a ），∴①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a ，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确； 对于③，f （x ）=ln （x+3）在区间[a ，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；对于④，∵f′（x ）2)21(3-=x ，且f （2）-f （-2）=19,2-（-2）=4; ∈±=⇒=⨯-∴121921194)21(32x x [-2，2]，∴存在两个“中值点”，④正确． 故答案为：①④考点：导数的运算．7．C【解析】试题分析：不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域是由A （1，1），B （-1，1），C （0，-1）围成的三角形区域（包含边界）．∵直线ax+by=1与1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，∴a ，b 满足：⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101,010101b b a b a b b a b a 或．（a ，b ）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．设z=2a+3b ，平移直线z=2a+3b ，当直线经过点A 1（0，1）时，z 最大为z=3， 当经过点B 1时，z 最小，由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=--120101b a b a b ，即B 1（-2，-1）， 此时z=-4-3=-7，故2a+3b 的取值范围是（-7，3）．故选：C考点：简单线性规划的应用．8．B【解析】试题分析：由题意可以判断出两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切，排除C 、D ，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A ；B 正确；故选B考点：简单空间图形的三视图．9．A【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得2224sin sin cos ααπα+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【详解】解：∵tan （α4π+）1112tan tan αα+==-，则tan α13=-， ∵tan αsin cos αα=，sin 2α+cos 2α＝1，α∈（2π-，0）， 可得 sinα= ∴()2222cos cos 44sin sin cos sin sin αααααππαα++==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin sin cos ααα+=sin α＝（）= 故选A ．【点睛】 本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题．10．D【解析】试题分析：要使函数有意义，则a （x-1）（x-3）≥0，∵a ＜0，<br />∴不等式等价为（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，∴定义域D=[1，3]，∵任意m ，n ∈D ，点P （m ，f （n ））组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f （1）=f （3）=0，∴函数的最大值为2，即a （x-1）（x-3）的最大值为4， 设f （x ）=a （x-1）（x-3）=ax 2-4ax+3a ， ∴当x=2时，f （2）=-a=4， 即a=-4， 故选：D ．考点：函数的定义域及其求法． 11．B 【解析】试题分析：由23,30ABAC ⋅=得⇒=3230cos 04=1300==∆S ABC 从而有：x ＞0，y ＞0，且x+y=21，所以2x+2y=1,=+∴y x 41×1=（2x+2y ）y x x y 8210++= 又x ＞0，y ＞0 ∴y x 41+∴y x x y 8210++=≥yxx y 82210⨯+=10+8=18 当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+y x xy y x 8221，即当⎪⎩⎪⎨⎧=-=121y x （舍） 或⎪⎩⎪⎨⎧==3161y x 时等号成立，取得最小值18 故选B考点：基本不等式． 12．C 【详解】由反射定律得点A （-1，1）关于x 轴的对称点B （-1，-1）在反射光线上，当反射光线过圆心（2，3）时，最短距离为|BC|-R=故光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为4． 故选C ．考点：直线与圆的位置关系． 13．D 【解析】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得 k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0. 设交点的横坐标分别为x A ,x B , 则x A +x B =28k-4,① x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.② ∴将②代入①得x B =283k -2, x A =283k -4+2=283k -2. 故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D. 14．B 【解析】试题分析：令h （x ）=xf （2lnx ），则h′（x ）=f （2lnx ）+xf′（2lnx ）=f （2lnx ）+2f′（2lnx ） ∵对任意的x ∈R 都有f （x ）+2f′（x ）＜0成立， ∴f （2lnx ）+2f′（2lnx ）＜0，即h′（x ）＜0，h （x ）在定义域上单调递减， ∴h （2）＞h （3），即2f （2ln2）＞3f （2ln3）．故选：B ．考点：导数的运算． 15．A 【解析】试题分析：由题设知，点P （1，a ），Q （k ，ak 2），A （5，0）， ∴向量),,1(a OP =),0,5(=OA ),,(2ak k OQ =),0,1(=∴OAOA ),11,11(2222ka ka OQOQ ++=∴又因为OA OQ OP OA OQ λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭（λ为常数）， 22221)111(1ka ak a ka +=⇒++=∴λλ．两式相除得2,2)1(02112222>=-∴>=-⇒+=-k a k k a k k a k 且，110,1222<-<-=∴a a k 且 2122>-=∴a k 故选A ．考点：平面向量的综合题． 16．（1）);44sin(2)(ππ+=x x f ；（2）最小正周期是8，22,22min max -==y y ． 【解析】试题分析： （1）由图象知，A 、T 的值，求出ω及φ的值，即得f （x ）的解析式； （2）由三角恒等变换，化简函数y ，求出它的最小正周期与最值． 试题解析：（1）由图象知，A=2， ∵482πωωπ=∴=∵函数f （x ）的图象过点（1，2）， ∴ππφπk 2214+=+⨯；4,2πφπφ=∴<);44sin(2)(ππ+=∴x x f（2）由题意，函数]4)2(4sin[2)44sin(2ππππ++++=x x y x x x 4cos 22)44cos(2)44sin(2πππππ=+++=∴最小正周期是8，22,22min max -==y y ．考点：1．由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2．三角函数的周期性及其求法． 17．（1）证明：平面平面,, 平面平面=，平面，平面，…………… 2分 又为圆的直径，，平面…………………… 4分（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形， …………………… 6分 ，又平面，平面，平面……… 8分 (3)过点作于，平面平面，平面，， ………… 10分平面，，……………11分． 【解析】 （1）证明：平面平面,,平面平面=，平面， 平面，,……… 2分 又为圆的直径，，平面．……… 5分（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形， ……… 7分，又平面，平面，平面．……… 9分（3）过点作于，平面平面， 平面，，……… 11分平面，，……… 13分． ……… 14分18．（1）证明见解析（2）圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5 【分析】（1）先求出圆C 的方程（x －t ）2＋22)y t-（＝t 2＋24t，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB 的面积为定值；（2）根据212t =t 得到t ＝2或t ＝－2，再对t 分类讨论得到圆C 的方程． 【详解】（1）证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋24t. 设圆C 的方程是（x －t ）2＋22)y t-（＝t 2＋24t ， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．（2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以212t =t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1），OC ，此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为（－2，－1），OC C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d>.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（1） a n =3n-1；nn b 312⋅=；（2）祥见解析． 【解析】试题分析：（1）由题设条件知92,3221==b b ，22n n b S =-，;2)(211n n n n n b S S b b =--=---311=⇒-n n b b 此可求出数列{b n }的通项公式． （2）数列{a n }为等差数列，公差3)(2157=-=a a d ，可得a n =3n-1．从而n n n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=，由此能证明数列{c n }的前n试题解析：（1）数列{a n }为等差数列，公差3)(2157=-=a a d ，可得a n =3n-1．由22n n b S =-，令n=1，则b 1=2-2S 1，又S 1=b 1， 所以,321=b b 2=2-2（b 1+b 2），则922=b 当n≥2时，由22n n b S =-，可得;2)(211n n n n n b S S b b =--=---．即311=-n n b b 所以{b n }是以为321=b 首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=． （2）由（1）得n •b n =2（3n-1）•n 31.273312727]31)13(318315312[2132<-⨯-=⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-n n n n n n T考点：１．等差数列与等比数列的综合． 20．（1）x 24+y 2=1；（2）祥见解析．【解析】试题分析：（1）由已知，可求，，故方程为x 24+y 2=1；（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −1),M(x,y)、N(x 2,y 2),R(4,y 0)，由{y =k(x −1)x 24+y 2=1 得(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0，由A,N,R 共线，得y 0=6y 2x 2+2，又，则(x 1−1)(x 2+2)−3(x 2−1)(x 1−2)=−2x 1x 2+5(x 1+x 2)−8，代入可得结论．试题解析：（1）由题意知：|F 1F 2|=2c =2√3， ∵椭圆上的点P 满足∠PF 1F 2=900，且S ΔPF 1F 2=√32， ∴S ΔPF 1F 2=12|F 1F 2|·|PF 1|=12×2√3×|PF 1|=√32， ∴|PF 1|=12,|PF 2|=√|F 1F 2|2+|PF 1|2=72．∴2a =|PF 1|+|PF 2|=4,a =2 又∵c =√3，∴b =√a 2−c 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1， （2）由题意知A(−2,0)、B(2,0)， ①当直线l 与x 轴垂直时，M(1,√32)、N(1,−√32)，则AN 的方程是：y =−√36(x +2)，BM 的方程是：y =−√32(x −2)，直线AN 与直线x =4的交点为R(4,−√3)，∴点R 在直线BM 上．（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −1),M(x,y)、N(x 2,y 2),R(4,y 0)， 由{y =k(x −1)x 24+y 2=1 得(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8k 21+4k2,x 1x 2=4k 2−41+4k 2．，A,N,R 共线，∴y 0=6y 2x2+2．又，需证明B,M,R 共线，需证明2y 1−y 0(x 1−2)=0，只需证明2k(x 1−1)−6k(x 2−1)x 2+2(x 1−2)=0，若k =0，显然成立，若k ≠0，即证明(x 1−1)(x 2+2)−3(x 2−1)(x 1−2)=−2x 1x 2+5(x 1+x 2)−8=−2(4k 2−4)1+4k 2+5×8k 21+4k 2−8=0成立．∴B,M,R 共线，即点R 总在直线BM 上． 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意直线斜率不存在的情况及不要忽视判别式的作用．21．（1）当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f （x ）不是单调函数； （2）337-＜m ＜-9；（3）祥见解析． 【解析】试题分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x ）；②解f′（x ）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a 的讨论情况；（2）点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a 值，代入得g （x ）的解析式，由t ∈[1，2]，且g （x ）在区间（t ，3）上总不是单调函数可知：⎪⎩⎪⎨⎧>'<'<'0)3(0)2(0)1(g g g ，于是可求m 的范围．（3）与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．试题解析：（1）)0(,)1()(>-='x xx a x f （2分） 当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f （x ）不是单调函数（4分）（2）12)2(=-='af 得a=-2，f （x ）=-2lnx+2x-3 ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴g'（x ）=3x 2+（m+4）x-2（6分）∵g （x ）在区间（t ，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2 ∴⎩⎨⎧>'<'0)3(0)(g t g （8分）由题意知：对于任意的t ∈[1，2]，g′（t ）＜0恒成立，所以有：⎩⎨⎧<'<'0)2(0)1(g g ，337-∴＜m ＜-9（10分）（3）令a=-1此时f （x ）=-lnx+x-3，所以f （1）=-2， 由（1）知f （x ）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x ∈（1，+∞）时f （x ）＞f （1），即-lnx+x-1＞0， ∴lnx ＜x-1对一切x ∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n ∈N*，则有0＜lnn ＜n-1，n n n n 1ln 0-<<∴ ∴ln 22⋅ln33⋅ ln 44⋅ln n n ⋅12<⋅23⋅34⋅11n n n-⋅= （n≥2，n ∈N*） 考点：１．利用导数研究函数的单调性；２．利用导数研究曲线上某点切线方程．。
济宁一中2015届高三上学期第二次月考试题(数学文)
济宁一中2012级2014——2015年度上学期第二次月考数学试卷（文科） 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一 选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
）1.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a 等于 A.2B.12C.12-D.2-2若集合A={}21x y y =+，B={x 则()B A C R ⋂A ]3,1⎡-⎣B (),3-∞-C [)3,1--D (),0-∞3命题甲：若R y x ∈,，则|x|>1是x>1是充分而不必要条件；命题乙：函数2|1|--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则 A ．“甲或乙”为假 B ．“甲且乙” 为真 C ．甲真乙假 D ．甲假乙真 4已知正项等比数列满足：7652a a a =+，若存在两项使得，则的最小值为( )A. B. C.D. 不存在5若a ，b 是夹角为3π的单位向量，2,m a b =-n a b =+，则m n = A 1 B -32 C 72D -16函数7已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<8某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能（ ）A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形9已知函数a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则ba的值为（ ）A.32-B.2-C.2-或23D. 不存在10设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()12xf x ⎛=- ⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程(x)f -log (x 2)a +=0（0a >且1a ≠）有四个零点，则a 的取值范围是（ ） A.1,14⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,4C.()1,8D.()8,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.山东中学联盟网11 已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则__________ 12设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a5=0 13函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a的最小值为_____________14已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OAOB 的最大值为________________15给出如下四个命题：①若向量a ,b 满足a b <0，则a 与b 的夹角为钝角；②命题“若,21a b a b a -＞则＞”的否命题为“若,21a b a b a ≤≤-则”；③“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+≤”；④向量共线,的充要条件：存在实数λλ=，使得.其中正确的命题的序号是__________三 解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）山东省中学联盟 已知：函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，a 为实常数．(1) 求)(x f 的最小正周期； (2))(x f 在]36[ππ，-上最大值为3，求a 的值 17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式n a 及前ｎ项的和S n ； （2）若n T =123n a a a a ++++，求n T18．(本小题满分12分)设锐角ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 1cos 2a c cb += (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围..19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S20（本小题满分13分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C()(010)35kx x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.21．（本小题满分14分） 设函数21()ln 2.2f x x ax bx =+- (Ⅰ)当3,1a b =-=时，求函数)(x f 的最大值；(Ⅱ)令21()()22a F x f x ax bx x =-++（132x ≤≤），其图象上存在一点00(,)P x y ，使此处切线的斜率12k ≤，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)当0a =，12b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．第二次月考文科数学答案选择题AADAB BBDAD 填空题11 3k =- 12 5 13 4π14 2 15 2, 解答题16 解：（1） a x xx f +++⋅=2sin 322cos 12)(2分=2sin(2x )a 16π+++4分∴π=T6分（2）由（1）得(x)f = sin(2x )a 16π+++且由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 可得26x π+∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8分∴ sin(2x )6π+∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10分则3112)(max =++⨯=a x f11分 ∴0=a12分17 解（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得11466261575a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 解得 1203a d =-⎧⎨=⎩ 2分∴1(n 1)d 203(n 1)3n 23n a a =+-=-+-=-4分∴n S =1(a a )2n n +=(3n 43)2n -=23432n n- 6分 （2）由（1）得7n ≤时，n a <0，n ≥8时，n a >0 7分当7n ≤时，n T =(-12n a a a ++)=24332n n - 9分当8n ≥时，n T =(-127a a a ++)(+8n a a +)=n S 2-7S =23433082n n -+11分中学联盟网∴n T =2243323433082n n n n ⎧-⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩ 78n n ≤≥ 12分18 解(1)cos a c +12c b = 由余弦定理得 222122a b c ac b ab +-+= 2分22222a b c bc b ∴+-+= 3分 222b c a bc ∴+-= 1c o s2A ∴= 4分0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5分 3A π∴=6分（2）由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===7分sin )b c B C ∴+=+2s i n s i n (B )3B π⎤=+-⎥⎣⎦3(sinB)322=+12(sinB cosB)22=+ 2sin(B )6π=+9分,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭sin 62B π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦10分2b c ⎤∴+∈⎦11分 1,3l a b c ⎤∴=++∈⎦12分1920 解：（Ⅰ）设陋热层厚度为cm x ， 由题设，每年能源消耗费用为C()35kx x =+ 再由C(0)8=，得k=40，因此40C()35x x =+………………………………………………………3分 而建造费用为1C ()6x x =. 4分最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20C()C ()2066(010)3535f x x x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++……………………………………6分 （Ⅱ）222400'()6,'()06(35)5)f x f x x x =-==++2400令即(3. 解得255,3x x ==-（舍去）……………………………………………………………………………9分 当05'()0,510x f x x <<<<<时,当 时， '()0,f x >故5x =时，()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+. 12分 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元 13分21 解：(Ⅰ)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，当3,1a b =-=时，23()ln 22f x x x x =--， 21132()32x xf x x x x--'=--=……………………2分由 ()0f x '>，得23210x x +-<，解得113x -<<由 ()0f x '<，得23210x x +->，解得13x >或1x <- 0x >，()f x ∴在1(0,)3单调递增，在1(,)3+∞单调递减；所以()f x 的极大值为15()ln 336f =--，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)1()ln ,[,3]2a F x x x x =+∈，则有00201(),2x a k F x x -'==≤在01[,3]2x ∈上有解，∴a ≥200min 1()2x x -+，01[,3]2x ∈ 22000111(1)222x x x -+=--+所以 当03x =时，02021x x +-取得最小值9333,222a -+=-∴≥-……………8分(Ⅲ)10,2a b ==时,(x)lnx x f =+，22(x)x mf =有唯一实数解即22(lnx x)x m +=有唯一实数解 9分当ln x x +0=时，显然不成立，设ln x x +0=的根为01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当ln x x +0≠时，22ln x m x x=+有唯一解，此时x >0x记2(x)ln x h x x=+2222(lnx x)x x (1)2ln (x)(lnx x)(ln )x x x x xh x x ++--+'==++ 10分当()0,1x ∈时，(x 1)x -<0,2ln x x <0,(x)h '<0 当(1,)x ∈+∞时，(x 1)x ->0，2ln x x >0,(x)h '>0(x)h ∴在()0,1x 上递减，()1,+∞上递增。
2022炎德英才大联考高三月考试卷二文科数学(全国卷)
D.函 数 F(J)的 图象 向右平移案后 ,得 到 函数 g(r)的 图象 ,则 g(r)为 偶 函数
10.已 知 夕=lg e,乃 =20· 3,c=log2,vt,则 下列 不 等式 正确 的是
A.c(<乃 ((伤
B.a<3((c
C,曰 <c<<沙
D.c·((G<(3
11.如 图 ,在 △ABC中 ,zBAC=号 ,A0=2D鼠 P为 CD上 一点 ,且 满足
15.已 知 P为 圆(J+1)2+y2=1上 任 意一 点 ,A、 B为 直线 3￡ +4y-7=o上 的两个 动点 ,且 |AB|=4,则 △PAB面积 的最大值是
文科数学试题 第 2页 (共 4页 )
,点 E为 BD中 点 ,过 点 E作 球
O的 截面 ,则 所得截 面圆面积 的取值范 围是 三 、解答题 :本 大题共 70分 .解 答 应 写 出文字说 明 、证 明过程或演算 步 骤,第 17~21题 为 必 考
18.(本 小题 满分 12分 ) 某科 技公 司研 发 了一 项新 产 品 丸 经过 市 场 调研 ,对 公 司 1月 份 至 6月 份 销 售 量及 销 售 单 价 进 行 统计 ,销 售 单 价 工(千 元 )和 销售 量 y(千 件 )之 间 的一组 数 据 如 下表 所示 :
月份 i
4
△
销售单价
zJ.riyi— 27· r· y
参考公式:回 归直线方程s=8J+a,其 中3= i=1
∑J:— ″I2
i==l
5
5
参考数据:Σ riyi=392,Σ J;=502.5.
19.(本 小题 满分 12分 )
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届高三第二次月考试题
文科数学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．要从已编号（1-50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ) A 、5、10、15、20、25 B 、3、13、23、33、43 C 、1、2、3、4、5 D 、2、4、8、16、22 2．一个样本的方差是])15()15()15[(10
1
S 21022212-+⋅⋅⋅+-+-=
x x x ，则这个样本的平均数与样本容量分别是（ ）
A ．10，10
B ．6，15
C ．15．10
D ．由1021x x ,x ⋅⋅⋅确定，10
3． 2,,,,x R x x x ∈-则组成的集合中，元素最多有（ ）个
A ．2 B.3 C.4 D.5
4．已知集合{}
21(),1,log ,1,2
x
A y y x
B y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩
⎭
则B A ⋂等于（ ）
A ．∅
B ． {}
01y y << C ．112y
y ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D ． 102y y ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭
5．a 、b 为实数，集合},{1a
b
M =，},{0a N =，x x f →:表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍
为x ，则a+b = （ ） A ． 1- B ． 0 C ． 1，或2 D ． 1±
6．已知⎩⎨⎧<--≥+-=)
0()
0()(2
2x x
x x x x x f ，则不等式02)(>+x f 解集是（ ）
A ．)2,2(-
B ．),2()2,(∞+⋃--∞
C ．)1,
1(- D ．),
1()1,
(∞+⋃--∞
7．若函数b x a x a ax x f +-+-+=)2(27)1()(23的图象关于原点中心对称，则)(x f
A ．在[-3，3]上为增函数
B ．在),3[+∞上为增函数，在]3,(--∞上为减函数
C ．在]3,3[-上为减函数
D ．在]3,(--∞ ),3[+∞上为增函数
8．已知实系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），（在）下列结论中正确的为（ ）
A.Δ＝b 2
-4ac ≥0是这个方程有实根的充分条件
B.Δ＝b 2
-4ac ≥0是这个方程有实根的必要条件
C.Δ＝b 2
-4ac ≥0是这个方程有实根的充要条件
D.Δ＝b 2
-4ac ＝0是这个方程有实根的充分条件
9．∞
→n lim
)11(--+n n n 等于（ ）
A ．1
B ．0
C ．
2
1 D ．不存在
10．若方程021411
=+⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x
有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,∞-
B ．)2,(--∞
C ．()2,3--
D ．()0,3- 二、填空题：（本题每小题4分，共24分）
11．若原命题为：若p 则q ；则其逆命是为_________;否命题为_________；逆否命题为_________。
若原命题是真命题，则_________一定为真命题. 12．“a ＜b ”是“ac 2＜bc 2”的_________条件.（a 、b 、c 都为实数）
13．无穷数列155n
⎧⎫⎪⎪
⎛⎫+-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
的极限是___________
14． 垂直于直线 2x －6y +1 = 0且与曲线3231y
x x 相切的直线方程的一般形式为
_______________________
15．函数)(x f y =在定义域)0,(-∞内存在反函数，且=-=--)3(,2)1(1
2
f x x x f 则
16．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg ）与其运费（元）由如图的一次函数图像确定，那么乘
客免费可携带行李的最大重量为 ___________。
答题卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（本题每小题4分，共24分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案
三、解答题（本题17—20小题每题12分，21、22小题每题14分，共76分） 17．已知A ＝{}
210,0,,,3x x B x ax x b A B A B R x φ⎧+⎫
<=-+≥==⎨⎬-⎩⎭
求实数a 、b 的值。
18．记函数f(x)=1
3
2++-
x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B. (1) 求A ；
(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.
19．设2≠∈a R b a 且、，定义在区间),(b b -内的函数x
ax
x f 211lg )(++=是奇函数。
（1）求b 的取值范围； （2）讨论函数)(x f 的单调性。
20．已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式
2220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求实数a 的取值范围。
21、已知函数
2
32
8
()log
1
mx x n
f x
x
++
=
+
的定义域为R，值域为[0,2],求m、n的值。
22、某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.
(Ⅰ)将2002年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；
(Ⅱ)该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?。
(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
参考答案
二、填空题：（本题每小题4分，共24分）
11、若q 则p ；若非p 则非q ；若非q 则非p ；逆否命题. 12、必要不充分. 13．5 . 14、3x+y ＋2=0 . 15、－2 . 16、19kg. 三、解答题：（本题共76分）
17．13
,22
a b =
=- 18． 解：(1)2－13++x x ≥0, 得1
1
+-x x ≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥
2
1
或a≤－2, 而a<1, ∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪[2
1
,1] ）
20、
]22222:20(2)(1)021
021
1,1,||1||1,||1220.224
80.02,""||10"""|100a x ax ax ax a x x a a x a a a
x ax a y x ax a x a a a p q a a p q a a a a +-=+-=≠∴=-=
⎡∈-≤≤∴≥⎣++≤=++∴∆=-=∴=∴≥=∴-<<<解由，得，
显然或故或“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或命题或为真命题"时或命题或为假命题
的取值范围为或}
{1< 21、m ＝n ＝5
22、解：（Ⅰ）由题意：13+=
-
t k x 将1
2
3,21,0+-=∴===t x k x t 代入 当年生产x (万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x ＋3＝32（3－1
2
+t ）＋3， 当销售x （万件）时，年销售收入＝150%［32（3－12+t ＋3］＋t 2
1 由题意，生产x 万件化妆品正好销完
∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费
即)
1(235
982+++-=t t t y （t ≥0）
（Ⅱ）∵)13221(
50+++-=t t y ≤50－162＝42万件当且仅当1
32
21+=
+t t 即t ＝7时，y max ＝42
∴当促销费定在7万元时，利润增大.。