高三第二次月考试题文科数学
华南师大附中高三第二次月考数学(文)试题(答案不全)
学必求其心得，业必贵于专精2012—2013年华南师大附中高三综合测试(二）试题数学（文科)本卷共20小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =( ）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1,2}--C ．{0,1}D ．{10}-，2、设a ∈R ,若i i a 2)(-（i 为虚数单位)为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3、一组数据20,30,40,50,50,60,70,80的平均数、中位数、众数的大小关系是A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数=中位数=平均数4、若 ]2,4[ππθ∈，47sin =θ，则θ2sin =（ ）A 。
错误! B. －错误! C. 错误! D. －错误!5、设 S n 为等差数列 {a n ｝ 的前 n 项和，若S 3 = 3,S 6 = 24，则a 9 =（ ）A. 13 B 。
14 C 。
15 D 。
166、已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a-=（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．±17、函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A.[0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5]D.[6π5，π］8、已知xx f )21()(=，其反函数为)(x g 则)(2x g 是（ ）A 。
奇函数且在),0(+∞上是增函数;B.偶函数且在),0(+∞上是增函数; C 。
奇函数且在)0,(-∞上是增函数；D.偶函数且在)0,(-∞上是增函数；9、△ABC 中，∠C = 60°，且CA = 2，CB = 1，点M 满足 错误!= 2错误!,则 错误!·错误!=（ )A. 4 + 错误! B 。
高三第二次月考(文)数学试卷
高三第二次月考 文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。
）1．已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()=A C B B C A u u ( ) A ．∅ B ．{}|0x x ≤ C ．{}|1x x >- D ．{}|01x x x >≤-或 2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3·a 8·a 13)=6，则a 1·a 15的值为（ ）A.100B.1 000C.10000D.103．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个 4．命题：“若220a b +=，（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a ，b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠5．函数1)(2++=x ax x f 有极大值的充要条件是（ ）A ．0a <B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥ 6．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为（ ）A ． (2,3)7.已知⎨⎧-∈+=)0,1[1)(2x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是 （ ）8．若数列{}n a 满足11221,2,(3)n n n a a a a n a --===≥，则17a 等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．9872- A .f (x -1)的图象 B .f (-x )的图象 C .f (︱x ︱)的图象 D . ︱f (x )︱的图象9. 已知数列{a n }满足a 0=1，a n =a 0+a 1+a 2+…+a n-1(n≥1)，则当n≥1时，a n 等于( )A.n2 B.2)1(+n n C. 12-n D. 12-n10.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x -=，则有（ ）A ．(0)(2)(3)g f f <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ． (2)(3)(0)f f g <<11．数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是 ( )A 、7B 、8C 、9D 、1012．定义域为R 的函数0)()(,2,12|,2|lg )(2=+⎩⎨⎧=≠-=x bf x f x x x x x f 的方程若关于恰有5个不同的实数解)(,,,,,5422154321x x x x x f x x x x x ++++则等于（ ）A ．0B ．221gC ．231gD ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
山西省大同市第一中学2020届高三下学期3月月考数学(文)试题 Word版含解析
故选： .
【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生 计算能力和空间想象能力.
10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是
18.如图，在四棱锥 中， 为平行四边形， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于 点，连接 ，在 中， ，得到证明.
（2）计算 ，根据等体积法得到 ，计算得到答案.
【详解】（1）连接 交 于 点，连接 ，
【详解】 ，故 ，则 ，
故 .
故选：B.
【点睛】本题考查了回归方程的中心点，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合．若点 是角 终边上一点，则 （ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得 的值，再利用两角差的正切公式，求得 的值．
一､选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考《文科》数学(解析版)
内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =（ ）A. 32B. 53-C. 53D. 32-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量坐标的线性运算得c得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数k 的值.【详解】解：因为向量()1,2a =r ，()1,1b = ，所以()1,2c a kb k k =+=++ ，又b c ⊥，所以120b c k k ⋅=+++= ，解得32k =-.故选：D.2. 复数13i2iz -=+的虚部为（ ）A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数13i (13i)(2i)17i 17i 2i (2i)(2i)555z -----====--++-故z 的虚部为75-.故选：A ．3. 若集合{1A =-，0，1}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则A B = （ ）A. {0} B. {1}C. {0，1}D. {0，1}-【答案】D 【解析】【分析】把A 中元素代入B 中解析式求出y 的值，确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：把A 中=1x -，0，1代入B 中得：0y =，1，即{0B =，1}，则{0A B = ，1}-，故选：D ．4. 若变量x 、y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+取最大值时的最优解是（ ）A. 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线20x y +=，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.2z x y =+可化为20x y z +-=，平移直线20x y +=，当其经过点C 时，目标函数2z x y =+取得最大值，联立21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得13x =，23y =，故最优解是12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.5. 若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.6. 如图是函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象的一部分，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象可确定()f x 最小正周期T ，由此可得ω；根据712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ；由()0f =可求得A ，由此可得()f x .【详解】由图象可知：()f x 最小正周期23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==；又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()73262k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()23k k πϕπ=+∈Z ，又02πϕ<<，3πϕ∴=，()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()0sin 3f A A π=== ，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7. 已知向量,a b 的夹角为4π，且1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A.B. 3C. D. 1【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.【详解】由()123122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，22323122a a b a b b -⋅+⋅-= ，2213122a a b b +⋅-= ，21164cos 31224b b π+⨯⋅-=，230b -= ，(30b += ，解得b = b 在向量a 方向上的投影为cos 14b π= ，故选：D.8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率π≈（ ）A.6320B.3310C.7825D.9429【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即268104r =+-=，由几何概型得2222140682π⨯≈⨯⨯，从而3310π≈.故选：B.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A. 28h B. 28.5hC. 29hD. 29.5h【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h.故选：B .10. 已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先根据()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦，得到()2f x =或1()2f x =-，然后利用导数分析0x ≥时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.【详解】由()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，得()2f x =或1()2f x =-.当0x ≥时，2()121212(1)f x x x x x '=-=-，所以当(0,1)x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0,()'>f x f x 单调递增，所以1x =时，()f x 有极小值(1)4611f =-+=-.又0x <时，()x f x e =，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知：函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为3.故选：B .11. 已知()f x 是定义在R 上的函数满足(4)()f x f x -=-，且满足(31)f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A. 函数()f x 图象关于直线=2x 对称B. 函数()f x 的周期为2C. 函数()f x 关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D. (2023)0f =【答案】D 【解析】【分析】对于A.令2x x =+代入(4)()f x f x -=-即可判断.对于C.可考虑图像平移或者将3x 换元进行判断.对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出(2023)f 【详解】因为函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线2x =对称，A 错误；因为(31)f x -为奇函数，所以(31)(31)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故C 错误;由()(4)f x f x =--与()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---，即(4)(2)f x f x -=--，故(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故D 正确．故选:D的的12. 已知关于x 的不等式(e )e ->x x x x m m 有且仅有两个正整数解（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（ ）A. 43169(,]5e 4eB. 3294(,4e 3eC. 43169[,5e 4eD. 3294[,e 3e 4【答案】D 【解析】【分析】问题转化为2(1)e x x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，讨论0m ≤、0m >并构造()(1)f x m x =+、2()ex x g x =，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.【详解】当0x >时，由2e e 0xxx mx m -->，可得2(1)ex x m x +<（0x >），显然当0m ≤时，不等式2(1)ex x m x +<在(0,)+∞恒成立，不合题意；当0m >时，令()(1)f x m x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，令2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，故(0,2)上()0g x '>，(2,)+∞上()0g x '<，∴()g x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，又(0)(0)0f m g =>=且x 趋向正无穷时()g x 趋向0，故()240,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，(),()f x g x 图象如下：由图知：要使()()f x g x <有两个正整数解，则()()()()()()11{2233f g f g f g <<≥，即2312e 43e 94e m m m ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得32944e 3e m ≤<．故选：D【点睛】关键点点睛：问题转化为2(1)ex x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1289log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ ．【答案】116##516【解析】【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.【详解】112388893111log 2log 8log 84236⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：116.14. 曲线123x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】530x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义即得.【详解】由123x y x -=+，得22(23)2(1)5(23)(23)x x y x x +--'==++，所以切线的斜率为255(23)k ==-+，所以所求的切线方程为(2)5[(1)]y x --=--，即530x y -+=.故答案为：530x y -+=.15. 已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】725##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325α+=-，由诱导公式π2πsin(2cos(263αα+=-+，即可求值.【详解】22ππ167cos(212sin 12332525αα⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪⎝⎭，而πππ2π7sin(2cos(2)cos(2)662325ααα+=-++=-+=.故答案为：72516. 已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，令3x k πωπ+=，Z k ∈，可得52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，可得f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而有5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令3x k πωπ+=，Z k ∈，得x ＝33k ππω-，Z k ∈，∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为53πω，83πω，【∴52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得542ω≤<，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，∴52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈，令k ＝0，f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴5,,42466ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1003ω<≤，综上，ω的取值范围是51023ω≤≤.故答案为：510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin sin ,2A Ca b A b +==.（1）求角B 的大小；（2）求2a c -的取值范围.【答案】（1）3π（2）()0,6【解析】【分析】（1）结合A C B π+=-，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简26a c A π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合A 的范围即得解【小问1详解】A CB π+=- ，sinsin 2B a b A π-∴=cos sin 2B a b A ∴=sin cos sin sin 2B A B A ∴=cos sin 2sin cos 222B B B B ∴==1sin 22B ∴=，又B 为锐角,263B B ππ∴==【小问2详解】由正弦定理4sin sin sin a b c A B C ====，214sin ,4sin 4sin 4sin 2sin 32a A c C A A A A A π⎫⎛⎫∴===-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，128sin 2sin 6sin cos 2a c A A A A A A A ⎫∴-=--=-=-⎪⎪⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由锐角ABC ，故20,0232A C A πππ<<<=-<故(),sin ,20,6626A A a c πππ⎛⎛⎫<<∴-∈∴-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +=，424S S =．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）()2111n T n =-+【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组求出1a 和d ，进而求出n a 及n S ；（2）利用（1）求出n b ，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11125124344(2)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()21212n n n S n n -⨯=⨯+=．【小问2详解】由（1）得：+121n a n =+，21(1)n S n +=+，则()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+()22222222111111122331114n n =-+-+-+⋅⋅-+⋅+()2111n =-+..19. 已知()2ex x a f x -=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）1a ≥【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【小问1详解】当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-，()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==，所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.【小问2详解】()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第x 天12345人数y （单位：万人）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.300.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r ≥，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）（2）求参与预售人数y 与预售的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.参考数据：()()()55211460, 6.78i i i i i y y x x y y ==-=--=≈∑∑，附：相关系数()()()121ˆˆˆ,n i i i n i i x x y y r b ay bx x x ==--===--∑∑【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2）ˆ 6.641.2yx =+，146.8万人【解析】【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数r 可得；（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令16x =代入计算可得估计值．【小问1详解】由表中数据可得1234545566468723,6155x y ++++++++====，所以()52110i i x x =-=∑又()()()55211460,66i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑所以0.970.75nx x y y r --==≈>所以该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得()()()12166ˆ 6.610ni ii n i i x x y y b x x ==--===-∑∑则ˆˆ61 6.6341.2a y bx=-=-⨯=所以ˆ 6.641.2yx =+令16x =，可得ˆ 6.61641.2146.8y=⨯+=（万人）故预测2022年2月20日该电商平台预售人数146.8万人21. 已知()()2e 2ln x f x x a x x =-+（1）当e a =时，求()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； （2）当0e ≤<a ，0个零点；当e a =或a<0，1个零点；e a >，2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数()()e 2e x f x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，可得()10f '=，令()e e x g x x x =-，利用导数说明()g x 的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得()()2ln e 2ln 0x x f x a x x +=-+=，令2ln t x x =+，则问题转化为e t at =，R t ∈，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.【小问1详解】解：因为e a =，0x >，()()2e e 2ln x f x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x x x x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e xg x x x =-，()()2e 1e 0x g x x x '=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0x g x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()e e 0x g x x x =->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增【小问2详解】解：因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 零点转化为()()2ln e 2ln e 0x x t f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，的设()e t g t at =-，则()e tg t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当a<0时，()e 0t g t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或a<0时，1个零点；e a >时，2个零点；【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线1C 的参数方程为e e e e t tt t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 、曲线2C 分别交于两点A ，B ，点(40)P ， ，求△PAB 的面积.【答案】（1）24ππ(cos 244ρθθ=-<<（2）【解析】【分析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;（2）联立方程，分别求得点A ，B 的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】由e e e et tt t x y --⎧=+⎨=-⎩消去参数t ，得224x y -=,因为e e 2t t -+≥，所以曲线1C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的极坐标方程为24ππ()cos 244ρθθ=-<< ；【小问2详解】由2π64cos2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:A ρ=所以曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于点A π)6，由π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得:B ρ=， 所以曲线π(0)6θρ=>与曲线2C :4cos ρθ=交于点B π6，则PAB S =△PA PBS S -△O △O 1π4()sin 26B A ρρ=⨯⨯-=选修4-5：不等式选讲23. 己知函数()221f x x a x a =+++-．（1）当0a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）32a ≤-或1a ≥．【解析】【分析】（1）分0x ≥，102x -≤<，12x <-三种情况打开绝对值，求解即可；（2）打开绝对值，将函数()f x 写成分段函数，结合单调性求解即可【小问1详解】()21f x x x=++当0x ≥时，()312f x x =+≥，解得13x ≥，当102x -≤<时，()12f x x =+≥，解得x ∈∅，当12x <-时，()312f x x =--≥，解得1x ≤-，所以不等式()2f x >的解集为()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】因为222172()12148(0222a a a a a +++++--==>，故212a a +>-所以()2222231,11,2131,2x a a x a a f x x a a x a a x a a x ⎧⎪++-≥⎪+⎪=+++-≤<⎨⎪+⎪---+<-⎪⎩所以函数()f x 在1,2a +⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减，在1,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以函数()f x 在R 上的最小值为21122a a f a ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．所以2122a a ++≥，即223(23)(1)0a a a a +-=+-≥解得32a ≤-或1a ≥。
高三文科数学第二次月考模拟训练(2)
高三文科数学第二次月考选填题模拟训练（2）满分：75分 时间：45分钟一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，共50分。
）1.复数23()1i i-=+（ ） A. 34i - B.34i -+ C. 34i -- D.34i + 2.设集合A =｛x |－3＜x ＜1｝，B =｛x |log 2|x |＜1｝则A ∩B 等（ ）A ．（－3，0）∪（0，1）B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－2，1）D ．（－2，0）∪（0，1）3.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 84.给出下列五个命题：①将A B C 、、三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为12y x =-，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4 。
其中真命题为（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．②③④D ．③④⑤ 5.将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是 A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．2sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)6y x π=- 6.已知α是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 5αα+=，则2sin 2cos αα+的值为（ ） A ．35-B ．825-C ．3325D ．35-或825-7.在△ABC 中，4cos 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为 （ ） A.65 B.3 C.125D.6 8.设0.33log 3,2,log sin 6a b c ππ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341x ,22)(2x x x x x f 的图象与函数)1ln()(-=x x g 的图象的公共点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(1,]4C ．7[,)4+∞D ．7(1,)4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11.在集合{|,1,2,3,,10}6n x x n π==中任取一个元素，所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是_________． 12.函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间为__________．13.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___． 14.已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线32:C y ax bx d =++（,,a b d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++=_________．15.已知p ：“对任意的[2,4]x ∈，2log 0x a -≥”；:q “存在x R ∈，2220x ax a ++-=”若,p q均为命题，而且“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是。
2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第二次月考文科数学试卷
2021年湖南省长沙长郡中学高三上学期第二次月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合1|28,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}|11,B x x m x R =-<<+∈，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是 ．2．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项公式n a =____________.3．给出下列关于互不相同的直线,,m n l 和平面,αβ的四个命题： ①,,,m l A A m l m αα⊂=∉点则与不共面；②//,//,,,l m l m n l n m n ααα⊥⊥⊥、是异面直线，且则；③,,,//,//.//l m l m A l m ααββαβ⊂⊂=若点则；④//,//,//,//.l m l m αβαβ若则其中真命题是_____________（填序号）4．已知线段AB 两个端点 ()()2,3,3,2A B ---,直线l 过点 ()1,2P 且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围为________________.5．已知圆C 过双曲线且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________.6．定义在区间[],a b 上的函数()y f x =，'()f x 是函数()f x 的导数，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()'()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为[],a b 上的“中值点”．下列函数：①()21,f x x =+②2()1f x x x =-+，③()()ln 3f x x =+，④中在区间[]2,2-上的“中值点”多于一个的函数是___________（请写出你认为正确的所有结论的序号）[二、单选题7．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R8．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球12,O O ，这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切，球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切，则两球在正方体的面11AAC C 上的正投影是A ．B ．C ．D ． 9．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-( ) A ．25 B ．3510- C ．31010- D 25 10．已知()()()()130f x a x x a =--<，定义域为D ，任意,m n D ∈，点(),()P m f n 组成的图形为正方形，则实数a 的值为A ． 1-B ． 2-C ． 3-D ．4-11．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=,若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是 A ．20 B ． 18 C ． 16 D ． 912．一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是A ．321-B ．26C ．4D ．5 13．已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )A ．13B ．23C ．23D ．22314．函数()f x 的导函数是'()f x ，若对任意的x R ∈，都有()2'()0f x f x +<成立，则A ．(2ln 2)(2ln 3)32f f < B ． (2ln 2)(2ln 3)32f f > C ． (2ln 2)(2ln 3)32f f = D ．无法比较15．在平面直角坐标系xOy 中，点()5,0A ，对于某个正实数k ，存在函数()2()0f x ax a =>，使得OA OQ OP OA OQ λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（λ为常数），这里点,P Q 的坐标分别为()()1(,1),()P f Q k f k ，，，则k 的取值范围为A ．()2,+∞B ． ()3,+∞C ． [)4,+∞D ．[)8,+∞三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的图像的一部分如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()(2)y f x f x =++的最小正周期和最值．17．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -， 求:F ABCD F CBE V V --18．已知以点C 2(,)t t （t ∈R ，t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．19．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，且5714,20a a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证： 20．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−√3,0)、F 2(√3,0)，椭圆上的点P 满足∠PF 1F 2=900，且ΔPF 1F 2的面积为S ΔPF 1F 2=√32． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点Q(1,0)的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线AN 与直线x =4的交点为R ，证明：点R 总在直线BM 上．21．（本小题满分14分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像在点()2,(2)f 处的切线的倾斜角为45，对于任意的[]1,2t ∈，在区间(),3t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；（3ln n n ⨯⨯<参考答案1．2+∞（，）【解析】 试题分析：1|28,{|13}2x A x x R x x ⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭＜＜，因为x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，所以13m +＞，即2m ＞．所以实数m 的取值范围是2+∞（，）考点：充分条件和必要条件的应用2．102-n【解析】试题分析：由已知得,811-==S a 当2≥n 时102)1(9)1(9221-=-+---=-=-n n n n n S S a n n n ，对n=1也适用，故n a =102-n ． 考点：数列通项公式．3．①②③【解析】试题分析：由题意①m ⊂α，l∩α=A ，A ∉m ，则l 与m 不共面，此条件是异面直线的定义的符号表示，故正确； ②l 、m 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α，此条件下可以在α找到两条相交线，使得它们都与n 垂直，故可得n ⊥α，此命题正确；③若l ⊂α，m ⊂α，l∩m=A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β，此命题是面面平行的判定定理的符号表示式，故正确；④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ，在此条件下，l 与m 两条直线平行、相交、异面都有可能，故此命题是假命题．故答案为①②③考点：空间中直线与平面之间的位置关系.4．5k ≤-或1k【详解】试题分析：如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足k≥k PB ;或k≤k PA ，根据斜率公式可知k PA =, k PB =则l 的斜率k 的取值范围为k≤-5或k≥1故答案为k≤-5或k≥1．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.5．316 【解析】试题分析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±374）. ∴它到中心（0，0）的距离为d==+911216316. 故答案为：316 考点：双曲线的简单性质.6．①④【解析】试题分析：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a ，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a ，b]的两个端点连线的斜率值．对于①，根据题意，在区间[a ，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x ）=2，满足f （b ）-f （a ）=f′（x ）（b-a ），∴①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a ，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确； 对于③，f （x ）=ln （x+3）在区间[a ，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；对于④，∵f′（x ）2)21(3-=x ，且f （2）-f （-2）=19,2-（-2）=4; ∈±=⇒=⨯-∴121921194)21(32x x [-2，2]，∴存在两个“中值点”，④正确． 故答案为：①④考点：导数的运算．7．C【解析】试题分析：不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域是由A （1，1），B （-1，1），C （0，-1）围成的三角形区域（包含边界）．∵直线ax+by=1与1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，∴a ，b 满足：⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101,010101b b a b a b b a b a 或．（a ，b ）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．设z=2a+3b ，平移直线z=2a+3b ，当直线经过点A 1（0，1）时，z 最大为z=3， 当经过点B 1时，z 最小，由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=--120101b a b a b ，即B 1（-2，-1）， 此时z=-4-3=-7，故2a+3b 的取值范围是（-7，3）．故选：C考点：简单线性规划的应用．8．B【解析】试题分析：由题意可以判断出两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切，排除C 、D ，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A ；B 正确；故选B考点：简单空间图形的三视图．9．A【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得2224sin sin cos ααπα+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【详解】解：∵tan （α4π+）1112tan tan αα+==-，则tan α13=-， ∵tan αsin cos αα=，sin 2α+cos 2α＝1，α∈（2π-，0）， 可得 sinα= ∴()2222cos cos 44sin sin cos sin sin αααααππαα++==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin sin cos ααα+=sin α＝（）= 故选A ．【点睛】 本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题．10．D【解析】试题分析：要使函数有意义，则a （x-1）（x-3）≥0，∵a ＜0，<br />∴不等式等价为（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，∴定义域D=[1，3]，∵任意m ，n ∈D ，点P （m ，f （n ））组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f （1）=f （3）=0，∴函数的最大值为2，即a （x-1）（x-3）的最大值为4， 设f （x ）=a （x-1）（x-3）=ax 2-4ax+3a ， ∴当x=2时，f （2）=-a=4， 即a=-4， 故选：D ．考点：函数的定义域及其求法． 11．B 【解析】试题分析：由23,30ABAC ⋅=得⇒=3230cos 04=1300==∆S ABC 从而有：x ＞0，y ＞0，且x+y=21，所以2x+2y=1,=+∴y x 41×1=（2x+2y ）y x x y 8210++= 又x ＞0，y ＞0 ∴y x 41+∴y x x y 8210++=≥yxx y 82210⨯+=10+8=18 当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+y x xy y x 8221，即当⎪⎩⎪⎨⎧=-=121y x （舍） 或⎪⎩⎪⎨⎧==3161y x 时等号成立，取得最小值18 故选B考点：基本不等式． 12．C 【详解】由反射定律得点A （-1，1）关于x 轴的对称点B （-1，-1）在反射光线上，当反射光线过圆心（2，3）时，最短距离为|BC|-R=故光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为4． 故选C ．考点：直线与圆的位置关系． 13．D 【解析】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得 k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0. 设交点的横坐标分别为x A ,x B , 则x A +x B =28k-4,① x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.② ∴将②代入①得x B =283k -2, x A =283k -4+2=283k -2. 故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D. 14．B 【解析】试题分析：令h （x ）=xf （2lnx ），则h′（x ）=f （2lnx ）+xf′（2lnx ）=f （2lnx ）+2f′（2lnx ） ∵对任意的x ∈R 都有f （x ）+2f′（x ）＜0成立， ∴f （2lnx ）+2f′（2lnx ）＜0，即h′（x ）＜0，h （x ）在定义域上单调递减， ∴h （2）＞h （3），即2f （2ln2）＞3f （2ln3）．故选：B ．考点：导数的运算． 15．A 【解析】试题分析：由题设知，点P （1，a ），Q （k ，ak 2），A （5，0）， ∴向量),,1(a OP =),0,5(=OA ),,(2ak k OQ =),0,1(=∴OAOA ),11,11(2222ka ka OQOQ ++=∴又因为OA OQ OP OA OQ λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭（λ为常数）， 22221)111(1ka ak a ka +=⇒++=∴λλ．两式相除得2,2)1(02112222>=-∴>=-⇒+=-k a k k a k k a k 且，110,1222<-<-=∴a a k 且 2122>-=∴a k 故选A ．考点：平面向量的综合题． 16．（1）);44sin(2)(ππ+=x x f ；（2）最小正周期是8，22,22min max -==y y ． 【解析】试题分析： （1）由图象知，A 、T 的值，求出ω及φ的值，即得f （x ）的解析式； （2）由三角恒等变换，化简函数y ，求出它的最小正周期与最值． 试题解析：（1）由图象知，A=2， ∵482πωωπ=∴=∵函数f （x ）的图象过点（1，2）， ∴ππφπk 2214+=+⨯；4,2πφπφ=∴<);44sin(2)(ππ+=∴x x f（2）由题意，函数]4)2(4sin[2)44sin(2ππππ++++=x x y x x x 4cos 22)44cos(2)44sin(2πππππ=+++=∴最小正周期是8，22,22min max -==y y ．考点：1．由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2．三角函数的周期性及其求法． 17．（1）证明：平面平面,, 平面平面=，平面，平面，…………… 2分 又为圆的直径，，平面…………………… 4分（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形， …………………… 6分 ，又平面，平面，平面……… 8分 (3)过点作于，平面平面，平面，， ………… 10分平面，，……………11分． 【解析】 （1）证明：平面平面,,平面平面=，平面， 平面，,……… 2分 又为圆的直径，，平面．……… 5分（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形， ……… 7分，又平面，平面，平面．……… 9分（3）过点作于，平面平面， 平面，，……… 11分平面，，……… 13分． ……… 14分18．（1）证明见解析（2）圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5 【分析】（1）先求出圆C 的方程（x －t ）2＋22)y t-（＝t 2＋24t，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB 的面积为定值；（2）根据212t =t 得到t ＝2或t ＝－2，再对t 分类讨论得到圆C 的方程． 【详解】（1）证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋24t. 设圆C 的方程是（x －t ）2＋22)y t-（＝t 2＋24t ， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．（2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以212t =t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1），OC ，此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为（－2，－1），OC C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d>.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（1） a n =3n-1；nn b 312⋅=；（2）祥见解析． 【解析】试题分析：（1）由题设条件知92,3221==b b ，22n n b S =-，;2)(211n n n n n b S S b b =--=---311=⇒-n n b b 此可求出数列{b n }的通项公式． （2）数列{a n }为等差数列，公差3)(2157=-=a a d ，可得a n =3n-1．从而n n n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=，由此能证明数列{c n }的前n试题解析：（1）数列{a n }为等差数列，公差3)(2157=-=a a d ，可得a n =3n-1．由22n n b S =-，令n=1，则b 1=2-2S 1，又S 1=b 1， 所以,321=b b 2=2-2（b 1+b 2），则922=b 当n≥2时，由22n n b S =-，可得;2)(211n n n n n b S S b b =--=---．即311=-n n b b 所以{b n }是以为321=b 首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=． （2）由（1）得n •b n =2（3n-1）•n 31.273312727]31)13(318315312[2132<-⨯-=⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-n n n n n n T考点：１．等差数列与等比数列的综合． 20．（1）x 24+y 2=1；（2）祥见解析．【解析】试题分析：（1）由已知，可求，，故方程为x 24+y 2=1；（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −1),M(x,y)、N(x 2,y 2),R(4,y 0)，由{y =k(x −1)x 24+y 2=1 得(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0，由A,N,R 共线，得y 0=6y 2x 2+2，又，则(x 1−1)(x 2+2)−3(x 2−1)(x 1−2)=−2x 1x 2+5(x 1+x 2)−8，代入可得结论．试题解析：（1）由题意知：|F 1F 2|=2c =2√3， ∵椭圆上的点P 满足∠PF 1F 2=900，且S ΔPF 1F 2=√32， ∴S ΔPF 1F 2=12|F 1F 2|·|PF 1|=12×2√3×|PF 1|=√32， ∴|PF 1|=12,|PF 2|=√|F 1F 2|2+|PF 1|2=72．∴2a =|PF 1|+|PF 2|=4,a =2 又∵c =√3，∴b =√a 2−c 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1， （2）由题意知A(−2,0)、B(2,0)， ①当直线l 与x 轴垂直时，M(1,√32)、N(1,−√32)，则AN 的方程是：y =−√36(x +2)，BM 的方程是：y =−√32(x −2)，直线AN 与直线x =4的交点为R(4,−√3)，∴点R 在直线BM 上．（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −1),M(x,y)、N(x 2,y 2),R(4,y 0)， 由{y =k(x −1)x 24+y 2=1 得(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8k 21+4k2,x 1x 2=4k 2−41+4k 2．，A,N,R 共线，∴y 0=6y 2x2+2．又，需证明B,M,R 共线，需证明2y 1−y 0(x 1−2)=0，只需证明2k(x 1−1)−6k(x 2−1)x 2+2(x 1−2)=0，若k =0，显然成立，若k ≠0，即证明(x 1−1)(x 2+2)−3(x 2−1)(x 1−2)=−2x 1x 2+5(x 1+x 2)−8=−2(4k 2−4)1+4k 2+5×8k 21+4k 2−8=0成立．∴B,M,R 共线，即点R 总在直线BM 上． 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意直线斜率不存在的情况及不要忽视判别式的作用．21．（1）当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f （x ）不是单调函数； （2）337-＜m ＜-9；（3）祥见解析． 【解析】试题分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x ）；②解f′（x ）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a 的讨论情况；（2）点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a 值，代入得g （x ）的解析式，由t ∈[1，2]，且g （x ）在区间（t ，3）上总不是单调函数可知：⎪⎩⎪⎨⎧>'<'<'0)3(0)2(0)1(g g g ，于是可求m 的范围．（3）与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．试题解析：（1）)0(,)1()(>-='x xx a x f （2分） 当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f （x ）不是单调函数（4分）（2）12)2(=-='af 得a=-2，f （x ）=-2lnx+2x-3 ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴g'（x ）=3x 2+（m+4）x-2（6分）∵g （x ）在区间（t ，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2 ∴⎩⎨⎧>'<'0)3(0)(g t g （8分）由题意知：对于任意的t ∈[1，2]，g′（t ）＜0恒成立，所以有：⎩⎨⎧<'<'0)2(0)1(g g ，337-∴＜m ＜-9（10分）（3）令a=-1此时f （x ）=-lnx+x-3，所以f （1）=-2， 由（1）知f （x ）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x ∈（1，+∞）时f （x ）＞f （1），即-lnx+x-1＞0， ∴lnx ＜x-1对一切x ∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n ∈N*，则有0＜lnn ＜n-1，n n n n 1ln 0-<<∴ ∴ln 22⋅ln33⋅ ln 44⋅ln n n ⋅12<⋅23⋅34⋅11n n n-⋅= （n≥2，n ∈N*） 考点：１．利用导数研究函数的单调性；２．利用导数研究曲线上某点切线方程．。
济宁一中2015届高三上学期第二次月考试题(数学文)
济宁一中2012级2014——2015年度上学期第二次月考数学试卷（文科） 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一 选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
）1.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a 等于 A.2B.12C.12-D.2-2若集合A={}21x y y =+，B={x 则()B A C R ⋂A ]3,1⎡-⎣B (),3-∞-C [)3,1--D (),0-∞3命题甲：若R y x ∈,，则|x|>1是x>1是充分而不必要条件；命题乙：函数2|1|--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则 A ．“甲或乙”为假 B ．“甲且乙” 为真 C ．甲真乙假 D ．甲假乙真 4已知正项等比数列满足：7652a a a =+，若存在两项使得，则的最小值为( )A. B. C.D. 不存在5若a ，b 是夹角为3π的单位向量，2,m a b =-n a b =+，则m n = A 1 B -32 C 72D -16函数7已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<8某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能（ ）A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形9已知函数a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则ba的值为（ ）A.32-B.2-C.2-或23D. 不存在10设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()12xf x ⎛=- ⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程(x)f -log (x 2)a +=0（0a >且1a ≠）有四个零点，则a 的取值范围是（ ） A.1,14⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,4C.()1,8D.()8,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.山东中学联盟网11 已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则__________ 12设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a5=0 13函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a的最小值为_____________14已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OAOB 的最大值为________________15给出如下四个命题：①若向量a ,b 满足a b <0，则a 与b 的夹角为钝角；②命题“若,21a b a b a -＞则＞”的否命题为“若,21a b a b a ≤≤-则”；③“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+≤”；④向量共线,的充要条件：存在实数λλ=，使得.其中正确的命题的序号是__________三 解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）山东省中学联盟 已知：函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，a 为实常数．(1) 求)(x f 的最小正周期； (2))(x f 在]36[ππ，-上最大值为3，求a 的值 17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式n a 及前ｎ项的和S n ； （2）若n T =123n a a a a ++++，求n T18．(本小题满分12分)设锐角ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 1cos 2a c cb += (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围..19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S20（本小题满分13分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C()(010)35kx x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.21．（本小题满分14分） 设函数21()ln 2.2f x x ax bx =+- (Ⅰ)当3,1a b =-=时，求函数)(x f 的最大值；(Ⅱ)令21()()22a F x f x ax bx x =-++（132x ≤≤），其图象上存在一点00(,)P x y ，使此处切线的斜率12k ≤，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)当0a =，12b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．第二次月考文科数学答案选择题AADAB BBDAD 填空题11 3k =- 12 5 13 4π14 2 15 2, 解答题16 解：（1） a x xx f +++⋅=2sin 322cos 12)(2分=2sin(2x )a 16π+++4分∴π=T6分（2）由（1）得(x)f = sin(2x )a 16π+++且由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 可得26x π+∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8分∴ sin(2x )6π+∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10分则3112)(max =++⨯=a x f11分 ∴0=a12分17 解（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得11466261575a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 解得 1203a d =-⎧⎨=⎩ 2分∴1(n 1)d 203(n 1)3n 23n a a =+-=-+-=-4分∴n S =1(a a )2n n +=(3n 43)2n -=23432n n- 6分 （2）由（1）得7n ≤时，n a <0，n ≥8时，n a >0 7分当7n ≤时，n T =(-12n a a a ++)=24332n n - 9分当8n ≥时，n T =(-127a a a ++)(+8n a a +)=n S 2-7S =23433082n n -+11分中学联盟网∴n T =2243323433082n n n n ⎧-⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩ 78n n ≤≥ 12分18 解(1)cos a c +12c b = 由余弦定理得 222122a b c ac b ab +-+= 2分22222a b c bc b ∴+-+= 3分 222b c a bc ∴+-= 1c o s2A ∴= 4分0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5分 3A π∴=6分（2）由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===7分sin )b c B C ∴+=+2s i n s i n (B )3B π⎤=+-⎥⎣⎦3(sinB)322=+12(sinB cosB)22=+ 2sin(B )6π=+9分,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭sin 62B π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦10分2b c ⎤∴+∈⎦11分 1,3l a b c ⎤∴=++∈⎦12分1920 解：（Ⅰ）设陋热层厚度为cm x ， 由题设，每年能源消耗费用为C()35kx x =+ 再由C(0)8=，得k=40，因此40C()35x x =+………………………………………………………3分 而建造费用为1C ()6x x =. 4分最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20C()C ()2066(010)3535f x x x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++……………………………………6分 （Ⅱ）222400'()6,'()06(35)5)f x f x x x =-==++2400令即(3. 解得255,3x x ==-（舍去）……………………………………………………………………………9分 当05'()0,510x f x x <<<<<时,当 时， '()0,f x >故5x =时，()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+. 12分 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元 13分21 解：(Ⅰ)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，当3,1a b =-=时，23()ln 22f x x x x =--， 21132()32x xf x x x x--'=--=……………………2分由 ()0f x '>，得23210x x +-<，解得113x -<<由 ()0f x '<，得23210x x +->，解得13x >或1x <- 0x >，()f x ∴在1(0,)3单调递增，在1(,)3+∞单调递减；所以()f x 的极大值为15()ln 336f =--，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)1()ln ,[,3]2a F x x x x =+∈，则有00201(),2x a k F x x -'==≤在01[,3]2x ∈上有解，∴a ≥200min 1()2x x -+，01[,3]2x ∈ 22000111(1)222x x x -+=--+所以 当03x =时，02021x x +-取得最小值9333,222a -+=-∴≥-……………8分(Ⅲ)10,2a b ==时,(x)lnx x f =+，22(x)x mf =有唯一实数解即22(lnx x)x m +=有唯一实数解 9分当ln x x +0=时，显然不成立，设ln x x +0=的根为01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当ln x x +0≠时，22ln x m x x=+有唯一解，此时x >0x记2(x)ln x h x x=+2222(lnx x)x x (1)2ln (x)(lnx x)(ln )x x x x xh x x ++--+'==++ 10分当()0,1x ∈时，(x 1)x -<0,2ln x x <0,(x)h '<0 当(1,)x ∈+∞时，(x 1)x ->0，2ln x x >0,(x)h '>0(x)h ∴在()0,1x 上递减，()1,+∞上递增。
2022炎德英才大联考高三月考试卷二文科数学(全国卷)
D.函 数 F(J)的 图象 向右平移案后 ,得 到 函数 g(r)的 图象 ,则 g(r)为 偶 函数
10.已 知 夕=lg e,乃 =20· 3,c=log2,vt,则 下列 不 等式 正确 的是
A.c(<乃 ((伤
B.a<3((c
C,曰 <c<<沙
D.c·((G<(3
11.如 图 ,在 △ABC中 ,zBAC=号 ,A0=2D鼠 P为 CD上 一点 ,且 满足
15.已 知 P为 圆(J+1)2+y2=1上 任 意一 点 ,A、 B为 直线 3￡ +4y-7=o上 的两个 动点 ,且 |AB|=4,则 △PAB面积 的最大值是
文科数学试题 第 2页 (共 4页 )
,点 E为 BD中 点 ,过 点 E作 球
O的 截面 ,则 所得截 面圆面积 的取值范 围是 三 、解答题 :本 大题共 70分 .解 答 应 写 出文字说 明 、证 明过程或演算 步 骤,第 17~21题 为 必 考
18.(本 小题 满分 12分 ) 某科 技公 司研 发 了一 项新 产 品 丸 经过 市 场 调研 ,对 公 司 1月 份 至 6月 份 销 售 量及 销 售 单 价 进 行 统计 ,销 售 单 价 工(千 元 )和 销售 量 y(千 件 )之 间 的一组 数 据 如 下表 所示 :
月份 i
4
△
销售单价
zJ.riyi— 27· r· y
参考公式:回 归直线方程s=8J+a,其 中3= i=1
∑J:— ″I2
i==l
5
5
参考数据:Σ riyi=392,Σ J;=502.5.
19.(本 小题 满分 12分 )
广东省佛山市石门中学2014届高三上学期第二次月考文科数学试卷(解析版)
广东省佛山市石门中学2014届高三上学期第二次月考文科数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集为R ，集合{}11A x x =-<<，{}0B x x =≥，则()R AB ð等于（ ）A.{}01x x ≤< B.{}0x x ≥ C.{}1x x ≤- D.{}1x x >- 【答案】C 【解析】 试题分析：{}11A x x =-<<，{}0B x x =≥，{}1A B x x ∴=>-，(){}1R A B x x ∴=≤-ð，选C.考点：集合的交集与补集运算.2．过点()1,0且与直线220x y --=垂直的直线方程是（ ）A.210x y --=B.210x y -+=C.220x y +-=D.210x y +-= 【答案】C 【解析】试题分析：根据垂直直线系的直线的方程的特点，不妨设所求直线的方程为20x y C ++=，由于该直线过点()1,0，则有21002C C ⨯++=⇒=-，故过点()1,0且与直线220x y --=垂直的直线方程是220x y +-=，选C.考点：垂直直线系的方程 3．已知函数()()sin 2f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 D.函数()f x 是奇函数【答案】D 【解析】 试题分析：()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期为2π，且函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，函数()f x 是偶函数，它的图象关于直线0x =对称，故选D.考点：1.诱导公式；2.三角函数的基本性质 4．复数12z i =+，z 是z 的共轭复数，则zz对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：12z i =+，12z i ∴=-，()()()212123434121212555i z ii i z i i i ----∴====--++-，所对应的点的坐标为34,55⎛⎫--⎪⎝⎭，位于第三象限，故选C. 考点：1.共轭复数；2.复数的除法；3.复数的几何意义5．下列四类函数中，具有性质“对任意的0x >，0y >，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅” 的是（ ）A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数 【答案】C 【解析】试题分析：对于A 选项，取()2fx x=，则()()2222f x y x y x xy y +=+=++，()()22f x f y x y ⋅=，则()f x y +与()()f x f y ⋅不一定相等；对于B 选项，取()2l o g f x x =，则()221l o g 3f +=，而()()21100f f ⋅=⨯=，则()()()2121f f f +≠⋅；对于C 选项，设()x f x a =（0a >且1a ≠），则()()()x y x y f x y a a a f x f y ++==⋅=⋅，故C 选项符合条件；对于D 选项，()cos f x x =，()f x y +=()cos cos cos sin sin x y x y x y =+=-，()()cos cos f x f y x y ⋅=，则()f x y +与()()f x f y ⋅不一定相等，故选C.考点：函数的基本运算6．“9>k ”方程“19422=-+-ky k x 表示双曲线”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：方程“19422=-+-k y k x 表示双曲线，则()()490k k --<，即()()490k k -->，解得4k <或9k >，故“9>k ”方程“19422=-+-ky k x 表示双曲线”的充分不必要条件，选A.考点：1.双曲线的方程；2.充分必要条件7．等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是 （ ）A.90B.100C.145D.190 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，由于2a 是1a 和5a 的等比中项，则2215a a a =，即()()21114a d a a d +=+，整理得22111242d a d a d d a d +=⇒=，由于0d ≠，所以12212d a ==⨯=，故数列{}n a 的 前10项之和为10111091010451014521002S a d a d ⨯=+=+=⨯+⨯=，选B. 考点：1.等比中项；2.等差数列求和8．直线:0l x =被圆2220x y x +-=截得的弦长为 （ ）A.1B.C.【答案】D 【解析】试题分析：将圆的方程化为标准式得()2211x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径长为1，故圆心到直线l的距离12d==，故直线l被圆截得的弦长为= D.考点：1.点到直线的距离；2.勾股定理9．在ABC∆中，90C∠=，(),1AB k=，()2,3AC=，则cos A的大小为（）B.2C.4【答案】B【解析】试题分析：90C∠=，AC BC∴⊥，即0A CB C⋅=，而()()()2,3,12,2B C A C A B k k=-=-=-，()22321020AC BC k k∴⋅=⨯-+⨯=-=，解得5k =，()5,1AB∴=，521313AB AC∴⋅=⨯+⨯=，25AB==，22AC==，cos cos,26AB ACA AB ACAB AC⋅∴===⋅=，故选B.考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积10．半径不等的两定圆1O、2O无公共点（1O、2O是两个不同的点），动圆O与圆1O、2O 都内切，则圆心O轨迹是（）A.双曲线的一支B.椭圆或圆C.双曲线的一支或椭圆或圆D.双曲线一支或椭圆【答案】D【解析】试题分析：设定圆1O、2O的半径分别为1r、2r，不妨设12r r>，由于两定圆1O、2O无公共点，则圆1O、2O相离或内含，设动圆O的半径为r，则11OO r r=-，22OO r r=-，若定圆1O 、2O 相离，则1212OO r r >+，则定圆1O 、2O 同时内切于动圆O ，则1r r >，2r r >，则11OO r r =-，22OO r r =-，则()()2121121212OO OO r r r r r r r r OO -=---=-<+<，此时动点O 的轨迹是双曲线的一支；若定圆2O 内含于圆1O ，则1212OO r r <-，此时动圆O 内切于定圆1O ，定圆2O 内切于动圆O ，则21r r r <<，则111OO r r r r=-=-，222OO r r r r =-=-，()()12121212OO OO r r r r r r OO ∴+=-+-=->，此时动点O 的轨迹是椭圆，故选D. 考点：1.两圆内切；2.椭圆与双曲线的定义二、填空题11．函数()y f x =的图象与函数()3log 0y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x = .【答案】3x. 【解析】试题分析：由反函数的定义知，函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，则()3x f x =.考点：反函数的定义12．已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________.【答案】2-. 【解析】试题分析：由于0t >，241114442t t y t t t t t -+∴==-+=+-≥=-，当且仅当1t t =时，上式取等号，由于0t >，解得1t =，即当1t =时，函数241t t y t-+=取最小值2-.考点：基本不等式13．椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =真命题是：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率e = .【解析】试题分析：双曲线的离心率c e a =====考点：1.双曲线的离心率；2.类比推理 14．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换3x xy x'=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线2299x y ''+=，则曲线C 的参数方程是 .【答案】cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.【解析】试题分析：将3x x y y'=⎧⎨'=⎩代入方程2299x y ''+=得，()22399x y +=，化简得221x y +=，故曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.考点：1.坐标变换；2.圆的参数方程15．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若12PB PA =，13PC PD =，则BCAD的值为__________.【答案】6【解析】试题分析：由于四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，且AB 、CD 的延长线交于点P ，则PBC PDA ∠=∠，PCB PAD ∠=∠，~PBC PAD ∴∆∆，BC PB PC AD PD PA ∴==，由于122PB PA PB PA =⇒=，13PC PD =3PD PC ⇒=，由割线定理得PB PA PC PD ⋅=⋅，即2223PB PC PB PC =⇒=，BC PBAD PD∴=13236PB PC PC ==⋅=. 考点：1.相似三角形；2.割线定理三、解答题16．在锐角ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2c =，22sin C -22cos 1C =.求：（1）ABC ∆外接圆半径； （2）当512B π=时，求a 的大小.【答案】（1）ABC ∆（2）a = 【解析】试题分析：（1）先利用同角三角函数的平方关系算出2sin C 的值，并结合角C 的范围求出角C 的值，最后利用正弦定理求出ABC ∆的外接圆半径；（2）由角B 、C 的值结合三角形的内角和定理求出角A ，然后利用正弦定理求出a 的值. 试题解析：（1）222sin cos 1C C -=，即()22232sin 21sin 1sin 4C C C --=⇒=，因为C 为锐角，则sin 0C >，所以sin C =，3C π∴=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，由正弦定理得22sin c R C ===，解得R =故ABC ∆外接圆的半径为3； （2）当512B π=，51234A B C πππππ=--=--=，由正弦定理得sin 2sin sin sin 2a c c A a A C C =⇒==⨯=考点：1.正弦定理；2.三角形的内角和定理 17．已知函数()2cos f x a x x =+，a R ∈. （1）当22a =时，求()y f x =在2x π=处的切线方程；（2）若()f x 在[]0,π内单调递增，求a 的取值范围. 【答案】（1）曲线()y f x =在2x π=处的切线方程为2y x π=+；（2）实数a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞.【解析】试题分析：（1）先将22a =代入函数()f x 的解析式，求出()f x '，从而求出2f π⎛⎫⎪⎝⎭和2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值，最后利用点斜式写出曲线()y f x =在2x π=处的切线方程；（2）将()f x 在[]0,π内单调递增等价转化为()2max sin a x ≥进行求解，进而求出参数a 的取值范围.试题解析：（1）当22a =时，()2cos f x x x =+，则()2sin f x x '=-，2cos 222f ππππ⎛⎫∴=⨯+= ⎪⎝⎭，2sin 122f ππ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，故曲线()y f x =在2x π=处的切线方程为2y x ππ-=-，即2y x π=+；（2）由于函数()f x 在[]0,π内单调递增，则不等式()0f x '≥在区间[]0,π上恒成立，()2cos f x a x x =+，()2sin f x a x '∴=-，则不等式2sin 0a x -≥在区间[]0,π上恒成立，即2sin a x ≥在区间[]0,π上恒成立，即()2max sin a x ≥在区间[]0,π上恒成立，而函数sin y x =在2x π=处取得最大值1，于是有21a ≥，解得1a ≤-或1a ≥，故实数a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞.考点：1.利用导数求函数的切线方程；2.函数的单调性；3.不等式恒成立；4.参数分离法 18．已知二次函数()()2f x x ax a a R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式()()12f x f x >成立. 数列{}n a 的通项公式为()()131n a n N f n *=∈+-. （1）求函数()f x 的表达式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）()()22442f x x x x =-+=-；（2）()()235412n n nS n n +=++.【解析】试题分析：（1）首先根据二次函数()f x 的开口方向以及不等式()0f x ≤的解集只有一个元素这些条件得到0∆=，结合函数()f x 在区间()0,+∞上的单调性得出a 的值，进而求出函数()f x 的解析式；（2）先求出数列{}n a 的通项公式()1111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求数列{}n a 的前n 项和n S . 试题解析：（1）()2f x x ax a =-+，且不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，则()22440a a a a ∆=--=-=，解得0a =或4a =，又由于定义域内存在120x x <<，有()()12f x f x >，则函数()f x 在区间()0,+∞上不是增函数，因此0a ≠，所以4a =，()()22442f x x x x ∴=-+=-；（2）()()()()2211111113122232111n a f n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪+-++⎝⎭+--+-， 所以121111111111111123224222213n n S a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()213233233522124212412n n n nn n n n n n ⎡⎤+++=-=-=⎢⎥++++++⎣⎦. 考点：1.二次函数的解析式；2.裂项相消法求和19．椭圆以坐标轴为对称轴，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭、()2,0-.记其上顶点为A ，右顶点为B . （1）求圆心在线段AB 上，且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程； （2）在椭圆位于第一象限的弧AB 上求一点M ，使MAB ∆的面积最大.【答案】（1）圆的方程为()223124x y ⎛-+-= ⎝⎭； （2）当点M 的坐标为⎭，MAB ∆的面积最大. 【解析】试题分析：（1）先将椭圆的方程为221mx ny +=，利用待定系数法求出椭圆的方程，并求出椭圆的焦点坐标，利用圆与坐标轴相切于焦点，且圆心在线段AB 上，从而求出圆心的坐标以及圆的半径，进而求出圆的方程；（2）法一是根据参数方程法假设点M 的坐标，并计算出点M 到线段AB 的距离d 和线段AB 的长度，然后以AB 为底边，d 为MAB ∆的高计算MAB ∆的面积的代数式，并根据代数式求出MAB ∆的面积的最大值并确定点M 的坐标；法二是利用MAB ∆的面积取最大值时，点M处的切线与线段AB 平行，将切线与椭圆的方程联立，利用0∆=确定切线的方程，进而求出点M 的坐标.试题解析：（1）设椭圆的方程为221mx ny +=，则有91441m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故椭圆的方程为22143x y +=，故上顶点(A ，右顶点()2,0B ，则线段AB的方程为12x +=2y += 由于圆与坐标轴相切于椭圆的焦点，且椭圆的左焦点为()11,0F -，右焦点为()21,0F ，若圆与坐标轴相切于点1F ，则圆心在直线1x =-上，此时直线1x =-与线段AB 无交点， 若圆与坐标轴相切于点2F ，则圆心在直线1x =上，联立12x y =⎧⎪+=解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即圆的圆心坐标为⎛ ⎝⎭，半径长为2r ==， 故圆的方程为()223124x y ⎛-+-= ⎝⎭； （2）法一：设点M 的坐标为()2cos θθ，且02πθ<<， 点M到线段AB的距离d ====， 02πθ<<，则3444πππθ<+<，故s i n 124πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故02s i 214πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，1d πθ⎤⎛⎫+- ⎪⎥∴=，而AB ==则111224MABS AB d πθπθ∆⎤⎛⎫+- ⎪⎥⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭故当42ππθ+=时，即当4πθ=时，MAB ∆此时点M的坐标为2⎫⎪⎪⎭； 法二：设与AB20y p ++=， 当此直线与椭圆相切于第一象限时，切点即所求M 点，由2220143y p x y ++=⎨+=⎪⎩得：226120x p ++-=①令①中0∆=，有：()212240p⨯-=，又直线过第一象限，故0p <，解得p =-此时由①有x == 代入椭圆方程，取0y >，解得2y =.故M ⎭. 考点：1.椭圆的方程；2.圆的方程；3.三角形的面积20．如图示：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M .（1）当点A 在第二象限，且到准线距离为54时，求AB ；（2）证明：AB MF ⊥. 【答案】（1）254AB =；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）先利用抛物线的定义求出点A 的坐标，然后利用直线l 过点A 和点F 求出直线l 的方程，然后将直线l 和抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义求出弦AB 的长；（2）先求出曲线C 在点A 和点B 的切线方程，并求出两切线的交点M 的坐标，验证0FM BA ⋅=进而得到MF AB ⊥.试题解析：（1）抛物线C 的方程为24x y =，则其焦点坐标为()0,1F ， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则有1151144y y +=⇒=， 由于点A 在第二象限，则10x <，将114y =代入24x y =得，211x =，解得11x =-， 故点A 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线l 的方程为314y x =+，变形得4433x y =-， 代入抛物线的方程并化简得241740y y -+=，由韦达定理得12174y y +=， 1217252244AB y y ∴=++=+=； （2）设直线l 的方程为1y kx =+，将1y k x =+代入抛物线的方程并化简得2440x kx --=，()()()224441610k k ∆=--⨯-=+>对任意k R ∈恒成立，由韦达定理得124x x k +=，124x x =-，将抛物线的方程化为函数解析式得，24x y =，则2x y '=，故曲线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即22111422x x x x y -=-，即21124x x x y =-①，同理可知，曲线C 在点B 处的切线方程为22224x x x y =-②，联立①②得，12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，故点M的坐标为()2,1k -，()()()2,10,12,2FM k k ∴=--=-，而()()()()()112211221212,,,1,1,BA x y x y x kx x kx x x kx kx =-=+-+=--，()()()()()1212121222220FM AB k x x kx kx k x x k x x ∴⋅=⋅-+-⋅-=⋅--⋅-=，MF AB ∴⊥.考点：1.抛物线的定义；2.焦点弦长的计算；3.切线方程；4.平面向量的数量积 21．已知函数()2ln 3f x x ax x =+-，且在1x =时函数取得极值.（1）求()f x 的单调增区间； （2）若()()2210g x x x x =-->，（Ⅰ）证明：当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的上方； （Ⅱ）证明不等式()()()2218ln 123n n n N *->⨯⨯⨯⨯∈恒成立.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用函数()f x 在1x =处取得极值，由()10f '=求出a 的值，进而求出()f x '的解析式，解不等式()0f x '>，从而得出函数()f x 的单调增区间；（2）（Ⅰ）构造新函数()()()h x f x g x =-，利用导数证明不等式()0h x <在区间()1,+∞上成立，从而说明当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的上方；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论证明当2n ≥时，1ln n n ->，由此得到1ln 2>，2ln 3>，，1ln n n ->，结合累加法得到()()()111ln232n n n +-->⨯⨯⨯，再进行放缩得到2221124n n n n n ⎛⎫-=-+>-> ⎪⎝⎭()2ln 23n ⨯⨯⨯，从而证明()()2218ln 123n n ->⨯⨯⨯⨯.试题解析：（1）()2ln 3f x x ax x =+-，()123f x ax x'∴=+-，函数()f x 的定义域为()1,+∞，由于函数()f x 在1x =处取得极值，则()112301f a a '=+-=⇒=，()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'∴=+-==， 解不等式()0f x '>，得102x <<或1x >， 故函数()f x 的单调增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞；（2）（Ⅰ）构造函数()()()()()22ln 321ln 1h x f x g x x x x x x x x =-=+----=-+，其中1x >，()1110x h x x x-'=-=<，故函数()h x 在区间()1,+∞上单调递减， 则对任意1x >，则()()10h x h <=，即()()0f x g x -<，即()()f x g x <， 即当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的上方；（Ⅱ）先证当2n ≥时，1l nn n ->，由（Ⅰ）知，当2n ≥且n N *∈时，()l n 10h n n n =-+<，故有1ln n n ->，由于1ln 2>，2ln 3>，，1ln n n ->，上述1n -个不等式相加得()()()111ln232n n n +-->⨯⨯⨯，即()()12l n 23n n n ->⨯⨯⨯， 即()22ln 23n n n ->⨯⨯⨯，由于()222112ln 2324n n n n n n ⎛⎫-=-+>->⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，上述不等式两边同时乘以4得()()2218ln 123n n ->⨯⨯⨯⨯.考点：1.函数的极值与单调区间；2.函数不等式的证明；3.累加法；4.数列不等式的证明.。
2012届高三第二次月考试题(数学文)+
2012届高三年级第二次月考数学试题（文科）（考试范围：集合与简易逻辑、不等式（含绝对值不等式）、函数、导数、三角函数及解三角形、数列、平面向量、立体几何、直线和圆）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷 （选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合}21|{},|{<<=<=x x B a x x A 且R =B C A R ,则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≤aB ．1<aC ．2≥aD ．2>a2．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ）A ．1B ．13-C ．23- D ．2-3．设平面向量(1,2),(1,)a b m ==-，若//a b ，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．24．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④5．已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z=13y x -+的最大值 （ ）A ．3B ．76 C ．13D ．-236．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④x x y 2⋅=的图象（部分）如下，则按照从左到右图像对应的函数序号安排正确的一组是 （ ） A ．①④③② B ．④①②③ C ．①④②③． D ．③④②①7．已知f （x ）=(3)4,1log ,1a x a x x x a--≥⎧⎨⎩ 是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（-∞,3）C ．（ 35,3） D ．（1,3）8．已知三条不重合的直线m 、n 、l 与两个不重合的平面α、β，有下列命题：[ ] ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α．其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积是 （ ）A． B． C ．50πD ．200π10．若点P在曲线上移动，经过点P 的切线的倾斜角为，x则角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．12．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知数列1-,1a ,2a ,4-成等差数列,1-,1b ,2b ,3b ,4-成等比数列，则212b a a -的值为14．若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相离，则m 的取值范围是 ．15．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），11B A B C B A B C B D+=，则四边形ABCD 的面积是16．下面四个命题：①函数sin ||y x =的最小正周期为π；②在△ABC 中，若0>⋅，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数2log (2)(01)a y x a a =+->≠且的图象必经过点（3，2）；④cos sin y x x =-的图象向左平移4π个单位，所得图象关于y 轴对称； ⑤若命题“2,0x R x x a ∃∈++<”是假命题，则实数a 的取值范围为1[,)4+∞；其中所有正确命题的序号是 。
宁夏银川重点名校2023届高三上学期第二次月考数学(文)试题及答案
2023届高三年级第二次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者2．已知2i z =+，则(i)z z -= A ．2i - B ．12i +C ．62i -+D ．62i -3．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为 A ．0 B ．0.12C ．0.23-D ．41log 24．已知{}n a 是等差数列，172a a +=-，32a =，则{}n a 的公差d 等于 A ．3B ．4C ．-3D ．-45．设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2020f x = A ．sin x B ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．若110a b<<，则下列不等式成立的是 A ．a b ab -> B ．a b ab -< C ．b a ab -> D ．b a ab -<7．若x ，y 满足约束条件423x y x y y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．6B ．10C ．14D ．188．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]9．函数()ln e e x xy -=+的图像大致是A ．B ．C ．D ．10．已知实数,0x y >，且11y x+=，则12x y +的最小值是A ．6B ．322+C ．232+D ．1211．已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x exx f x ，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为A ．72(,)(,)2e e -∞--+∞B ．72](,2e e--C ．72(,)2e e--D ．72(,(,2])e e-∞--+∞12．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，如果()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设1ln2n n n x a x +=-且11a =，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S = A ．202221-B ．202222-C ．20221122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2022122⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a =______.14．若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是___________.15．数列121321,,,,n n a a a a a a a ---⋯-，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a =________.16．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________． 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
重庆一中高2013级12-13学年高三(上)第二次月考——数学文WORD
秘密★启用前2012年重庆一中高2013级高三上期第二次月考数 学 试 题 卷（文科）2012.10一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知{}{}21,,log 1A x x x N B x x =>-∈=<，则AB =（ ） A 、{}0,1 B 、{}1C 、{}21x x -<<D 、{}22x x -<< 2、向量()()1,2,1,0a b ==-，若()a b a λ+⊥，则实数λ等于（ ）A 、5-B 、52CD 、53、设{}n a 是等差数列，246a a +=，则这个数列的前5项和等于（ ）A 、12B 、13C 、15D 、18 4、函数ln x y x=的图像大致是（ ）A B C D5、若“01x <<”是“()()20x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()1,0-B 、[]1,0-C 、(][),01,-∞+∞D 、()(),10,-∞-+∞6、已知数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中{}n n S a 为的前n 项和），则6a =（ ）A 、31-B 、32-C 、62-D 、63- 7、已知3sin ,5αα=是第二象限的角，且()tan 1αβ+=，则tan β的值为（ ） A 、7- B 、7 C 、34- D 、348、设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=，则11x y +的最大值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、已知,m n 分别是两条不重合的直线，,a b 分别垂直于两个不重合的平面,αβ，有以下四个命题：①若,//m a n b ⊥，且αβ⊥，则//m n ；②若//,//m a n b ，且αβ⊥，则m n ⊥；③若//,m a n b ⊥，且//αβ，则m n ⊥；④若,m a n b ⊥⊥，且αβ⊥，则//m n 。
2019-2020学年贵州省贵阳一中高三第二学期月考(文科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．52．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．164．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.56．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．07．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．48．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+111．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函数的零点个数为．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为．15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝．16．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝．三、解答题（共70分.）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．5【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的元素个数．解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}，∴A∩B的元素个数为6．故选：C．2．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数相等的定义计算即可．解：（2+i）（y+yi）＝y+3yi，所以3y＝1，x＝y＝，故选：D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．16【分析】先根据数量积求出•＝4，再求模长的平方，进而求得结论．解：因为平面向量，满足||＝4，||＝2，∵（+2）＝24⇒+2•＝24⇒•＝4，则|﹣2|2＝﹣4•+4＝42﹣4×4+4×22＝16；∴|﹣2|＝4；故选：B．4．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】判定出p真q假⇒￢p为假，￢q为真，①③为真命题．解：令f（x）＝e x﹣x，利用导数可求得当x＝0时，f（x）＝e x﹣x＝1，1是极小值，也是最小值，从而可判断p为真命题，命题q为假命题．故①p∨q为真；②p∧q为假；③p∧￢q为真；④￢p∨q为假．所有真命题的编号是①③．故选：A．5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【分析】由图可得服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低判断A；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小判断B；再求出患者服药一段时间后指标x低于100的频率判断C；直接由图象判断D．解：由图可知，服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低，∴A说法正确；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，∴B说法不对；以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，∴C说法正确；这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，∴D说法正确．故选：B．6．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．0【分析】由题意利用诱导公式求得2α＝2kπ﹣，可得sin2α的值．解：由诱导公式及，可得cos（+α）＝cos（+α），可得（舍去），或（+α）+（+α）＝2kπ，k∈Z，即2α＝2kπ﹣，∴sin2α＝﹣1，故选：A．7．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，求出A的坐标，代入椭圆方程求解即可．解：直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB是等腰直角三角形，解得m＝±，不妨A取，A点在椭圆上，代入椭圆，可得，解得b＝2，故选：B．8．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由函数图象可得A，利用周期公式可求ω，由f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，结合范围|φ|＜，可求φ，可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而化简g（x）解析式由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．由图可知，，，所以把f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象．故选：D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形【分析】画出图形，通过特殊位置判断截面形状即可．解：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE＞CF时，截面是梯形，故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+1【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序框图中应填的内容．解：取n＝1，有S＝a＝1，即a1＝1，不能进入循环，判断框应是i＜n进入循环；进入循环后第一次加上的应该是a2＝2a1+1，所以先算a＝2a+1．故选：A．11．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】有题意BO垂直平分AC∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以∠AOB为60°，求出渐近线的斜率，即得出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出a，c的关系，即求出离心率．解：依题意，一条渐近线是x轴与另一条渐近线的对称轴，OB垂直平分AC，∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以渐近线的倾斜角是60°或120°，所以渐近线的斜率为，即＝，c2＝a2+b2，所以离心率e＝＝＝＝2，故选：C．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先求导，再f'（1）＝0得2a+b﹣2＝0且△＞0，所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a），（a≠﹣1）利用二次函数图象和性质求出答案．解：f'（x）＝x2+2ax+b﹣3，f'（1）＝0⇒2a+b﹣2＝0，若函数f（x）有一个极值点，则△＝4a2﹣4（b﹣3）＝4a2﹣4（2﹣2a﹣3）＝4a2+4（2a+1）＝4（a+1）2＞0所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a）＝，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的零点个数为3．【分析】条件等价于函数与y＝x2的图象交点个数，数形结合即可．解：令，分别作与y＝x2的图象如图，又因为指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即f（x）有3个零点，故答案为3．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为5π．【分析】根据已知条件定出球心的位置，然后求出球的半径，代入球的表面积公式可求．解：如图，由已知，在底面ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，由PA⊥底面ABCD，易得△PAC，△PBC，△PCD都是直角三角形，所以球心是PC的中点，，S＝4πR2＝5π．故答案为：5π15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝3．【分析】设BD＝x，由已知结合锐角三角函数定义及余弦定理分别表示cos A，建立关系x的方程，可求．解：如图，设BD＝x，则由余弦定理可得，，又由余弦定理可得，7＝BC2＝9x2，＝13x2﹣3，即7＝6+x2，解得x＝1，∴AB＝3．故答案为：116．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝2．【分析】根据题意，分析可得f（x）是以4为周期的奇函数，结合函数的解析式分析可得，解可得a＝2，分析可得f（2）的值，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4为周期的奇函数，又由当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），则，解可得a＝2，又由f（x）是以4为周期的奇函数，则f（2）＝f（﹣2）且f（2）+f（﹣2）＝0，则f （2）＝0，故a+f（a）＝2+f（2）＝2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．【分析】（1）先利用每组的频率×该组区间的中点值再相加求出平均值的估计值，再处于总时间5小时，即可得到所求的结果；（2）由直方图，算出[25，35）和[35，45）这两组的概率，再相加即可得到样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率，以样本估算总体，进而得出每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为30×0.1+40×0.18+50×0.3+60×0.25+70×0.12+80×0.05＝52.6，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为；（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．【分析】（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，求出数列的通项公式即可．（2）记，利用函数图象结合函数的单调性推出当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，得到结果即可．解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得，解得或，当a1＝1，d＝2时，满足条件；当时，不满足条件，舍去，综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2），记，f（x）在（﹣∞，4.5）与（4.5，+∞）上都是增函数（图象如图3），对数列，当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为﹣11．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．【分析】（1）设A，B，P的坐标，求出直线AP，BP的方程，因为两条直线的交点P，可得直线AB的方程为：，整理可得恒过（0，2）点；（2）因为AB为直径的圆过点M（2，1），所以，由（1）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线AB的斜率，即求出P的坐标，即求出直线AB，进而求出圆心坐标．解：（1）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（b，﹣2），过点A，P的直线方程为，同理过点B，P的直线方程为，因为点P是两切线的交点，所以，即y＝2bx+2恒过（0，2）．（2）解：设直线AB为y＝kx+2（k＝2b），与抛物线方程联立得x2﹣kx﹣2＝0，其中△＞0，x1x2＝﹣2，x1+x2＝k，因为M（2，1）在AB为直径的圆上，所以，即（x1﹣2，y1﹣1）（x2﹣2，y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝0，整理得（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得k＝1或k＝﹣3．当k＝1时，，圆心为，半径，圆的标准方程为；当k＝﹣3时，，圆心为，半径，圆的标准方程为．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．【分析】（1）设M是AC的中点，则DM⊥AC，且，从而DM⊥平面ABC，由EF⊥平面ABC，得DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，推导出MF∥AB，DE∥AB，由此能证明A，B，E，D四点共面．（2）D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC，从而EF⊥AC，AC⊥BC，进而AC⊥平面BCE，由V B﹣CDE＝V D﹣BCE．能求出三棱锥B﹣CDE的体积．解：（1）证明：如图4，设M是AC的中点，因为DA＝DC＝3，所以DM⊥AC，且，因为平面ACD⊥平面ABC，交线为AC，DM⊂平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又EF⊥平面ABC，所以DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，在△ABC中，M，F是AC，BC的中点，所以MF∥AB，所以DE∥AB，从而A，B，E，D四点共面．（2）解：由（1），所以D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC⇒EF⊥AC，又AC⊥BC⇒AC⊥平面BCE，所以D到平面BCE的距离为，△BCE的面积，故三棱锥B﹣CDE的体积为．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，根据函数的单调性求出b的值即可．解：（1）f'（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a），当a＝1时，f'（x）＝（x﹣1）2≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，在（a，1）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当a＞1时，在（1，a）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上单调递增．（2）当a≠1时，函数有两个极值和，若函数f（x）有三个不同的零点⇔f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，又因为a的取值范围恰好是，所以令g（a）＝（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）恰有三个零点，若a＝3时，g（3）＝﹣6b（6b+8），b＝0或；当b＝0时，g（a）＝a2（3a﹣1）（a﹣3）＞0，解得符合题意；当时，g（a）＝（a3﹣3a2+8）（3a﹣9）＝0，则a3﹣3a2+8＝0不存在这个根，与题意不符，舍去，所以b＝0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化简可得所求；（2）由题意可设直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值．解：（1）因为，所以ρ﹣ρsinθ＝2，则，即＝y+2，两边平方整理得x2＝4y+4；由P点的极坐标，可得P点的直角坐标x＝ρcosθ＝0，y＝ρsinθ＝1，所以P（0，1）．（2）由题意设直线l的参数方程为（t为参数），与曲线C的方程x2＝4y+4联立，得，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣32，所以＝＝，而，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）将f（x）写成分段函数式，讨论x≤0时，0＜x＜2时，x≥2时，不等式的解，再求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（m）＝0，且x＞m恒成立，求得m的范围，检验可得所求范围．解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x+2）+|x|（x﹣2）＝，当x≤0时，﹣2x2+2x+4＜0⇒x＜﹣1；当0＜x＜2时，﹣2x+4＜0⇒x＞2矛盾；当x≥2时，2x2﹣2x﹣4＜0⇒﹣1＜x＜2矛盾，综上，x＜﹣1，则f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}；（2）对任意的x＞1时，因为f（m）＝0，f（x）＞0＝f（m），所以x＞m，则m≤1，当m≤1，x＞1时，x﹣m＞0，则f（x）＝（x﹣m）（x+2）+x（x﹣m）＞0恒成立，所以m的取值范围是m≤1．。
甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2022-2023学年高三下学期2月建标考试数学(文科)试题(2)
一、单选题二、多选题1.等比数列的前项和，若对任意正整数等式成立，则的值为（ ）A ．-3B ．1C ．-3或1D ．1或32. 若圆锥的母线长为，侧面积为，则其体积为（ ）A．B．C．D．3.已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）A．B．C．D．4. 已知，设，，，则（ ）A．B．C．D．5.已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是（ ）A．B．C．D．6. 若全集，集合，函数的定义域为，则（ ）A．B．C．D．7. 如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成的角为（）A．B．C．D．8. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(，为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）A ．9℃B ．12℃C ．18℃D ．20℃9. 若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．10. 为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2022-2023学年高三下学期2月建标考试数学（文科）试题(2)甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2022-2023学年高三下学期2月建标考试数学（文科）试题(2)三、填空题四、解答题A ．本次成绩不低于80分的人数的占比为75％B ．本次成绩低于70分的人数的占比为5％C ．估计本次成绩的平均分不高于85分D．本次成绩位于的人数是其他人数的3倍11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则是上的减函数B．若，则有两个零点C ．若，则D ．若，则曲线上存在相异两点M ，N 处的切线平行12. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）A．B ．1C ．0D ．213.已知数列的前n项和，则的最大值为___________.14. 已知函数，，实数，满足，则的最值是________．15. 点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为________.16. 在直角坐标系中，已知是以原点O 为圆心，半径长为2的圆，点，角x（单位：弧度）的始边为射线，终边与交于点B ，点B 的纵坐标y 关于角x 的函数为．(1)写出函数的解析式；(2)将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值，并写出取得最值时自变量x 的值．17. 已知函数f (x )＝x 3﹣x 2+ax （a ∈R ）.（1）当a ＝2时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数y ＝f （x ）在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围.18.已知数列满足，且．(1)求的值；(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，，E 为PB 的中点，______．从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．(1)求证：四边形ABCD是直角梯形．(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为的中点.(1)过作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由；(2)设分别为棱上一点，与均不重合，且，求三棱锥体积的最大值.21. 已知函数在区间的值域为.（1）求实数的取值范围；（2）若，，求的值.。
2022届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学(文)试题解析.docx
银川一中2022届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.集合尸={1,2}的真子集的个数是（ ）A. 7B. 3C. 4D. 8【答案】B 【解析】根据真子集个数的计算方法，求得正确选项. 解：集合尸有两个元素，所以真子集个数为22-1 = 3. 故选：B2 复数 z =「r ，贝01 |z| =（）2-1A.季B. 1C. ^5D. 5【答案】A 【解析】3.已知命题p:3xeR,sinx<l ；命题V XG R ,此21,则下列命题中为真命题的是（）A . PE【答案】A【解析】 由正弦函数的有界性确定命题P 的真假性，由指数函数的知识确定命题0的真假性，由此确定正确选项.D.利用复数除法运算化简z,由此求得|z|.故选：A解：由于sin0=0,所以命题。
为真命题；由于y = e'在R上为增函数，国20,所以e w>e°=l，所以命题0为真命题;所以PE 为真命题，-P^<3 > 一i（pvg）为假命题.故选：A.4.已知等比数｛qj满足％。
7=3。
4。
3，则数列｛%｝的公比0=（）1 1A. 2B. —C. 3D.—3 2【答案】C【解析】根据题意代入等比数列通项公式可得a-" =3a；q\化简即可得解.解：由题意可得。
「苛=3。
含5,可得0 = 3.故选：Cx<45.若x, y满足约束条件< 2x + y>10,则z = x—v的最大值为（）y<4A. -1B. 0C. 2D. 10【答案】C【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解.解：作出可行域，如图△A3C内部（含边界），作直线l：x-y=O, 在直线x-V = z中-z是直线的纵截距，向下平移时纵截距减小，z增大.因此平移直线Z,当Z过A（4,2）时，z = x-y = 2为最大值.故选:C.y A【答案】B【解析】7通过平方将原式变形得到2sinacosa =-—,再结合正弦二倍角公式即可求解.94构轧因为sin a-cos a =—,32 2 1所以两边平方得sin a-2sinacosa + cos a -一，9又因为sin? + cos2 a =1，77所以一2sinocosa = —,艮|12sinacosa =——，9 97所以sin 2a = 2sin a cos a = ~—故选：B7.己知函数/(x) = 2'，在［1,9］上随机取一个实数则使得/(x0)<8成立的概率为( )1 1 1 2A. —B. —C. —D.—8 4 3 3【答案】B【解析】首先求不等式的解集，再根据区间长度，求几何概型的概率.解：由/(x0)<8,得2改<8,解得x0<3,在区间［1,9〕上随机取一实数知则实数％满足不等式a _i i/U)<8的概率为P = o.9— 1 4故选:B8.下列不等式恒成立的是( )A. a-+b- < 2abB. a2+b2 > -labC. a + b> -2^\ab\D. a + b< 2^|tzZ?|【答案】B【解析】由基本不等式，可判定A不正确；由a2 +b2 +2ab = (a + by>Q ,可判定B正确；根据特例，可判定C、D 不正确；解：由基本不等式可知a2+b2>2ab>故A不正确；由a2 +b2 > —lab > 可得a2 +b2 + 2ab > 0 > 即(a + Z?)2 > 0 恒成立，故B 正确；当a = -l,b = -l时，不等式不成立，故C不正确；当a = O,b = 1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.9.在数列｛%｝中，弓=上，。
河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考(9月)试题 文
河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考（9月）试题 文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}|02A x x =<<，13|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =( )A ．{}|0x x >B ．1|09x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|02x x << D ．1|29x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ）A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D ．[3,9]3．已知x 、y R ∈，若:224x yp +>，:2q x y +>，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，00132016xx +=；命题:,(0,)q a b ∀∈+∞，11,a b b a++中至少有一个不小于2。
则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．设，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>6．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-7．已知函数()()()1,0ln 2,20a x a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+-<≤⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 2a <B ．ln 2a ≤C ．0a >D ．12ln <≤a 8．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A B C D9.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,1]--B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞10．已知函数521log (21),(,3)()21022,[3,)x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-+∈+∞⎩，若方程()f x m =有4个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=( ) A ．12B ．16C ．18D ．2011．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与)1()1(x f x f +=-成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100912．已知函数()31443f x x x =-+在区间()225,a a -上存在最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2,2-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()()2322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为__________.14．已知函数21()3ln 2f x x ax x =+-在区间1[,2]3上是增函数，则实数a 的取值范围为 15．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()(1)f x f x y f x '>=+且是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为16．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设p ：实数a 满足不等式3113a -≥（），:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点. （1）若p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，求实数a 的取值范围；20001202020192019,2019log ,2020log ===c b a（2）若p q ∧为真命题，并记为r ，且t ：12a m >+或a m <，若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.19．（本小题满分12分）某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位:千元)与市场供应量p (单位:万件)之间近似满足关系式:2))(1(2b x kt p --=,其中k 、b 均为常数.当关税税率75%t =时,若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q (单位:万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq -=,当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.20．（本小题满分12分）已知函数()()()()2ln 0,f x a x x a g x x =+>=．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．求实数a 的值；（2）对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x 且12x x <，都有()()()()2121f x f x g x g x -<-成立．试求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数R m x m x x f ∈+-=,ln )1()(2.若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求12)(x x f 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈.（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.高三2022年秋期第二次月考文科数学答案DDABCA BBDDAD 13.7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 14.8[,)9+∞ 15.(,2)-∞ 16.1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭16.若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13-作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 17.解：若p 为真，则3a ≤， 又21'()(3)33f x x a x =+-+，若q 为真，令0∆≤，则15a ≤≤；（1）由p q⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，则p ⌝与q 一真一假 若p ⌝为真，q 为假，则351a a a >⎧⎨><⎩或，5a ∴>若p ⌝为假，q 为真，则315a a ≤⎧⎨≤≤⎩，13a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围为5a >或13a ≤≤ ；（2）若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m <又t 是r ⌝的必要不充分条件，1132m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，512m ∴≤≤. 18.（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数，故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x xx k ，化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ， 所以k 的取值范围是(],0∞-．19.（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩，22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎨--=⎩解得，5,1b k == （2）当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=所以221(1)(5)1125(5)10x t x x t x x x--=-=+=++-⇒- 而25()f x x x =+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 最小值414， 故当4x =时，关税税率的最大值为500%. 20.（1）∵()()ln f x a x x =+,∴()11f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'， ∴ ()12f a '=， 又()1f a =，∴()f x 的图象在1x =处的切线方程为()21y a a x -=-， 即2y ax a =-，由22y ax a y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得得220,x ax a -+= 则2440a a ∆=-=，解得 1a =；（2）由条件可知()()()()()221112f x g x f x g x x x -<-<，设()()()()2ln F x f x g x a x x x =-=+-，则由条件可得()F x 在[]1,2上单调递减， ∴ ()()2120a x x F x x+-'=≤在[]1,2上恒成立，∴ ()2120a x x +-≤在[]1,2上恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立， ∵ 22221111124x x x =≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当x 2=时等号成立。
陕西省宝鸡市教育联盟2020-2021学年高三上学期第二次月考文科数学试题
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，从而得到函数的解析式.
【详解】
解：由图象可得 ，再根据 ，可得 ，
所以 ，
再根据五点法作图可得 ，求得 ，
故函数的解析式为 .
故选：C.
11．C
【分析】
利用偶函数有 求参数 ，写出 解析式，易知 的区间单调性并可得 ， ，结合偶函数即可求 解集.
（2）由题意可求范围 ，利用正弦函数的性质即可求解其值域.
【详解】
解：（1）
，
令 ， ，解得 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
故函数 的单调递增区间为： ， ，
单调递减区间为： ， .
（2）当 时， ，
可得 ，
可得 ，故函数 的值域为 .
22．（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求出导函数 ，根据 分类讨论确定 和 的解，确定增减区间；
陕西省宝鸡市教育联盟2020-2021学年高三上学期第二次月考文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题：“ ”的否定是（）
A．“ ”B．“ ”
C．“ ”D．“ ”
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
（2）不等式变形为 ，引入新函数 ，利用导数求得 的最小值后可得结论，需要对 再次求导确定其正负．
【详解】
解；（1）函数 的定义域为 ， .
①当 时， ，此时函数 在 上单调递增，增区间为 ；
②当 时，令 ，可得 ， 得 或 ，此时函数 的减区间为 ，增区间为 ， ；
③当 时，令 ，可得 ， 得 或 ，此时函数 的减区间为 ，增区间为 ， ；
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届高三第二次月考试题
文科数学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．要从已编号（1-50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ) A 、5、10、15、20、25 B 、3、13、23、33、43 C 、1、2、3、4、5 D 、2、4、8、16、22 2．一个样本的方差是])15()15()15[(10
1
S 21022212-+⋅⋅⋅+-+-=
x x x ，则这个样本的平均数与样本容量分别是（ ）
A ．10，10
B ．6，15
C ．15．10
D ．由1021x x ,x ⋅⋅⋅确定，10
3． 2,,,,x R x x x ∈-则组成的集合中，元素最多有（ ）个
A ．2 B.3 C.4 D.5
4．已知集合{}
21(),1,log ,1,2
x
A y y x
B y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩
⎭
则B A ⋂等于（ ）
A ．∅
B ． {}
01y y << C ．112y
y ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D ． 102y y ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭
5．a 、b 为实数，集合},{1a
b
M =，},{0a N =，x x f →:表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍
为x ，则a+b = （ ） A ． 1- B ． 0 C ． 1，或2 D ． 1±
6．已知⎩⎨⎧<--≥+-=)
0()
0()(2
2x x
x x x x x f ，则不等式02)(>+x f 解集是（ ）
A ．)2,2(-
B ．),2()2,(∞+⋃--∞
C ．)1,
1(- D ．),
1()1,
(∞+⋃--∞
7．若函数b x a x a ax x f +-+-+=)2(27)1()(23的图象关于原点中心对称，则)(x f
A ．在[-3，3]上为增函数
B ．在),3[+∞上为增函数，在]3,(--∞上为减函数
C ．在]3,3[-上为减函数
D ．在]3,(--∞ ),3[+∞上为增函数
8．已知实系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），（在）下列结论中正确的为（ ）
A.Δ＝b 2
-4ac ≥0是这个方程有实根的充分条件
B.Δ＝b 2
-4ac ≥0是这个方程有实根的必要条件
C.Δ＝b 2
-4ac ≥0是这个方程有实根的充要条件
D.Δ＝b 2
-4ac ＝0是这个方程有实根的充分条件
9．∞
→n lim
)11(--+n n n 等于（ ）
A ．1
B ．0
C ．
2
1 D ．不存在
10．若方程021411
=+⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x
有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,∞-
B ．)2,(--∞
C ．()2,3--
D ．()0,3- 二、填空题：（本题每小题4分，共24分）
11．若原命题为：若p 则q ；则其逆命是为_________;否命题为_________；逆否命题为_________。
若原命题是真命题，则_________一定为真命题. 12．“a ＜b ”是“ac 2＜bc 2”的_________条件.（a 、b 、c 都为实数）
13．无穷数列155n
⎧⎫⎪⎪
⎛⎫+-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
的极限是___________
14． 垂直于直线 2x －6y +1 = 0且与曲线3231y
x x 相切的直线方程的一般形式为
_______________________
15．函数)(x f y =在定义域)0,(-∞内存在反函数，且=-=--)3(,2)1(1
2
f x x x f 则
16．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg ）与其运费（元）由如图的一次函数图像确定，那么乘
客免费可携带行李的最大重量为 ___________。
答题卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（本题每小题4分，共24分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案
三、解答题（本题17—20小题每题12分，21、22小题每题14分，共76分） 17．已知A ＝{}
210,0,,,3x x B x ax x b A B A B R x φ⎧+⎫
<=-+≥==⎨⎬-⎩⎭
求实数a 、b 的值。
18．记函数f(x)=1
3
2++-
x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B. (1) 求A ；
(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.
19．设2≠∈a R b a 且、，定义在区间),(b b -内的函数x
ax
x f 211lg )(++=是奇函数。
（1）求b 的取值范围； （2）讨论函数)(x f 的单调性。
20．已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式
2220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求实数a 的取值范围。
21、已知函数
2
32
8
()log
1
mx x n
f x
x
++
=
+
的定义域为R，值域为[0,2],求m、n的值。
22、某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.
(Ⅰ)将2002年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；
(Ⅱ)该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?。
(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
参考答案
二、填空题：（本题每小题4分，共24分）
11、若q 则p ；若非p 则非q ；若非q 则非p ；逆否命题. 12、必要不充分. 13．5 . 14、3x+y ＋2=0 . 15、－2 . 16、19kg. 三、解答题：（本题共76分）
17．13
,22
a b =
=- 18． 解：(1)2－13++x x ≥0, 得1
1
+-x x ≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥
2
1
或a≤－2, 而a<1, ∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪[2
1
,1] ）
20、
]22222:20(2)(1)021
021
1,1,||1||1,||1220.224
80.02,""||10"""|100a x ax ax ax a x x a a x a a a
x ax a y x ax a x a a a p q a a p q a a a a +-=+-=≠∴=-=
⎡∈-≤≤∴≥⎣++≤=++∴∆=-=∴=∴≥=∴-<<<解由，得，
显然或故或“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或命题或为真命题"时或命题或为假命题
的取值范围为或}
{1< 21、m ＝n ＝5
22、解：（Ⅰ）由题意：13+=
-
t k x 将1
2
3,21,0+-=∴===t x k x t 代入 当年生产x (万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x ＋3＝32（3－1
2
+t ）＋3， 当销售x （万件）时，年销售收入＝150%［32（3－12+t ＋3］＋t 2
1 由题意，生产x 万件化妆品正好销完
∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费
即)
1(235
982+++-=t t t y （t ≥0）
（Ⅱ）∵)13221(
50+++-=t t y ≤50－162＝42万件当且仅当1
32
21+=
+t t 即t ＝7时，y max ＝42
∴当促销费定在7万元时，利润增大.。