小学数学五年级《排列组合》练习题(含答案)

《排列组合》练习题（含答案）

内容概述

加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，在之前的学习中，我们已经对它们有所了解，

对于加乘原理我们只需要记住：加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关！

排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：

①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.

本讲主要巩固加强此部分知识，注重排列组合的综合应用. 排 列

在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n 个不同的元素中任取出m 个（m ≤n ）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．

从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中

取出m 个元素的排列数，我们把它记做（m ≤n ），

.

其中

.

【例1】 4名男生和2名女生去照相，要求两各女生必须紧挨着站在正中间，有几种排法？

分析：分两步进行，先安排两个女生有2

2P 种方法，4个男生站的位置有4

4P 种方法，共有

2424P P ⨯=2×1×4×3×2×1=48(种)，故有48种排法．

【巩固】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?

m n

p m (1)(2) (1)

m n p n n n n m =---+14444244443

共个数

!(1) (1)

n n P n n n ==⨯-⨯⨯

分析：把4个空车位看成一个整体，（4个空车位看成一样的）与8辆车一块儿进行排列．

.

【前铺】讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！

计算：（1）321414P P - ； （2）53

633P P - 分析：（1）321414P P -=14×13×12-14×13=2002 ； （2）53

633P P -=3×（6×5×4×3×2）-3×2×1=2154 .

【例2】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果同类书可以分开，一共有多少种排法？（只写出表达式，不用计算）

分析：每种书内部任意排序，分别有4

4P ，5

5P ，3

3P 种排法，然后再排三种类型的顺序，有3

3

P 种排法，整个过程分4步完成．4

4P ×5

5P ×3

3P ×3

3P =103680(种)．如果同类书可以分开，就相当于4+5+3=12本书随意排，有12

12P 种排法.

【例3】 用0，1，2，3，4可以组成多少个没重复数字的三位数？

分析：（法1）在本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1，2，3，4这四个数字中选择1个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有2

4P 种方法．由分步计数原理得，三位数的个数是：4×2

4P =48(个)． （法2）：从0，1，2，3，4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0．从0，1，2，3，4这五个数字中任选三个数字的排列数为3

5P ，其中首位是0的三位数有2

4P 个．三位数的个数是：3

5P -2

4P =5×4×3-4×3=60-12=48(个)．

不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么全排列再剔出不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．

【前铺】（1）用1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位数? （2）用1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？ 分析：（1）要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成

=5×4×3=60种没有重复数字的三位数．

（2）没有要求数字不能重复，所以不能直接用

来计算，分步考虑，用乘法原理可得：5

99362880

P =3

5P 3

5P

×5×5=125（个）.

注意“重复”和“没有重复”的区别！

【巩固】用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数? 分析：小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自

然数，且不能作两位数、三位数的首项．1112

4444569P P P P +⨯+⨯=（个）.很自然的知道

需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也需要考虑．

【例4】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?

分析：先排独唱节目，四个节目随意排，有=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱

节目，有三个节目，两个位置，对应

=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个

合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．

【例5】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.

分析：（1）7

75040P =（种）.

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．6

6720P =（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6

6P =1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．

552240P ⨯= (种)．

（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，

25552400P P ⨯=（种）.

（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个

人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．7

75040P =（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×5

5P ×2=2880(种)．排队问题，

4

4P 2

3P