华东师大版八年级上册数学课件：14.1 勾股定理最新课件PPT
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最新华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理PPT
可以发现，按（1）（3）所画的三角形都是直角三角 形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不 是直角三角形.
这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都
满足a2+b2=c2.
对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
直角边： a 和 b 斜边 ： c
探索直角三角形三边的关系 A
b
c
C
a
B
想一想
如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图 中用阴影画出的三个正方形， 两个小正方形P、 Q的面积之和与 大正方形R的面积有什么关系?
（1）三个正方形的面积关系： Sp + SQ = SR
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2+ BC2 = AB2 (直角边)2 + (直角边)2 = (斜边)2
练一练 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶
上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这
一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
解：在Rt△ABC中，
BC2 =52 -42 =9，
BC>0
4
BC=3(km)
C
B
4
答：飞机飞过的距离是 A
3 km.
如图，△ABC中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D， AC=12，BC=9， 求：CD的长.
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被
选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
做一做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的
这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都
满足a2+b2=c2.
对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
直角边： a 和 b 斜边 ： c
探索直角三角形三边的关系 A
b
c
C
a
B
想一想
如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图 中用阴影画出的三个正方形， 两个小正方形P、 Q的面积之和与 大正方形R的面积有什么关系?
（1）三个正方形的面积关系： Sp + SQ = SR
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2+ BC2 = AB2 (直角边)2 + (直角边)2 = (斜边)2
练一练 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶
上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这
一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
解：在Rt△ABC中，
BC2 =52 -42 =9，
BC>0
4
BC=3(km)
C
B
4
答：飞机飞过的距离是 A
3 km.
如图，△ABC中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D， AC=12，BC=9， 求：CD的长.
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被
选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
做一做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的
14.1 勾股定理(第2课时)(课件)八年级数学上册(华东师大版)
(1) a=3，b=4，c=5； (2) a=5，b=12，c=13； (3) a=8，b=15，c=17.
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
A
A
B
53
A 4C
12 13 5
15
17
讲授新课
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
(1) a=3，b=4，c=5；(2) a=5，b=12，c=13；(3) a=8，b=15，c=17.
3，4，5；
2．判断勾股数的方法：
6，8，10；
(1)确定是不是三个正整数；
5，12，13；
(2)确定最大数；
8，15，17；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
7，24，25； 9，40，41；
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
直角三角形吗？
导入新课
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的 第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到 一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
讲授新课
知识点一 直角三角形的判定
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
北
C
B
A
课堂小结
直角三角 形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边
长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形
勾 股 数 ： 满 足 a2+b2=c2 的 三个正整数
八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
1勾股定理的应用PPT课件(华师大版)
分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否
通过，只要比较距厂门中线0.8米处的
高度与车高即可.如图所示，点D在离厂
门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相
交于点H.
讲授新课
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD OC 2 OD2 12 0.82 0.6，
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解： 设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
可见高度上有0.4米的余量，因此卡
车能通过厂门.
讲授新课
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的
顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到
地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，
∠ABC =90°，BC=8米，AB＋
AC=16米．若设AB=x米，则
AC=(16-x)米，然后根据勾股定理
90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB·BC＋
AC·AD＝ ×4×3＋ ×5×12＝36.
∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
讲授新课
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示
第14章 勾股定理复习 华东师大版数学八年级上册课件1
谢谢
一、知识要点
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形。
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
结论变形
c2=a2 + b2
cb
由上可知：已知直角三角形
a
的任意两边可求第三边 。
填空题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=____1_3______； ②若a=15，c=25，则b=___2_0_______； ③若c=61，b=60，则a=__1_1_______； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=___2_4____。
2.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
3 .如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、 B、 C、 D的面积和是______。
49cm2
4.已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为 △ABC的三条角平分线的交点，OF⊥BC，OE ⊥AC，OD⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三
角形的面积为（ B ）
A、56 B、48 C、40 D、32
解答题
1.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
华师大版八年级数学上册第十四章勾股定理PPT教学课件全套
解： 在 Rt△ABC 中， 斜边不确定， 这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
图 14－1－3
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90°， BC ＝ 12， AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
图 14－1－4
图 14－1－5
图 14－1－6
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
解：(1)如图 14－1－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15， BC＝8.由勾股定理， 得 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289， ∴ AB＝17. (2)∵∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9 ，∴ AB2＝BC2 ＋AC2＝122＋92＝225, ∴AB＝15. (3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100. (4)由勾股定理可知： 直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积， 故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
华东师大版八年级上册数学课件：14.1 勾股定理最新课件
锐角三角形
（，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
华师大版初中数学八年级上册14.1勾股定理第一课时课件 (共15张PPT)
教师寄语
----李老师与同学们共勉
创设情景
它标志着我 国古代数学 的成就！
弦图
这个弦图里由那些 基本图形组成？它 蕴涵了怎样的数学 知识呢？你想知道 些什么呢？
探索新知
观察图1-1，着色的三个 正方形的面积，然后思考 他们之间的面积有什么样 的数量关系。 9 个小方格 正方形A中含有___ 9 个单位面 即A的面积是____ 积； 9 个小方 正方形B中含有____ 9 个单 格，即B的面积是____ 位面积； 18 个小方 正方形C中含有____ 格，即C的面积是____ 18 个单 位面积；
直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方。
3、应用勾股定理解决生活中实际问题
分类作业 促进发展
必做题：教材P111习题1、2题
同步练习（直角三角形三边关系）
选做题：利用我们今天所学的知识设 计一个图案
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 而是我们怎么知道什么。—毕达哥拉斯
索
11/1/2018
数学世界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
A
C
B
图1-5
图1-6
勾股定理
勾
a
弦c
股 b
我们发现直角三角形两 直角边的平方和等于斜 边的平方，如果用a、b 和c分别表示直角三角形 的两直角边和斜边，那 么一定有a2+ b2= c2 这种关系我们称为勾股 定理。
----李老师与同学们共勉
创设情景
它标志着我 国古代数学 的成就！
弦图
这个弦图里由那些 基本图形组成？它 蕴涵了怎样的数学 知识呢？你想知道 些什么呢？
探索新知
观察图1-1，着色的三个 正方形的面积，然后思考 他们之间的面积有什么样 的数量关系。 9 个小方格 正方形A中含有___ 9 个单位面 即A的面积是____ 积； 9 个小方 正方形B中含有____ 9 个单 格，即B的面积是____ 位面积； 18 个小方 正方形C中含有____ 格，即C的面积是____ 18 个单 位面积；
直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方。
3、应用勾股定理解决生活中实际问题
分类作业 促进发展
必做题：教材P111习题1、2题
同步练习（直角三角形三边关系）
选做题：利用我们今天所学的知识设 计一个图案
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 而是我们怎么知道什么。—毕达哥拉斯
索
11/1/2018
数学世界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
A
C
B
图1-5
图1-6
勾股定理
勾
a
弦c
股 b
我们发现直角三角形两 直角边的平方和等于斜 边的平方，如果用a、b 和c分别表示直角三角形 的两直角边和斜边，那 么一定有a2+ b2= c2 这种关系我们称为勾股 定理。
华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件
D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆
华东师大版八年级上册 14.1.1 直角三角形三边的关系 勾股定理 课件
解：由题可得
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
第14章 勾股定理-思维图解+项目学习 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度 ．
∵ 圆柱底面的直径 BC = 8，圆柱的高AB=9，∴ 该长度
最短的金属丝的长为 2AC=2 + （） =2 + =30
．
项目学习
［点拨］ 圆柱的侧面展开图是一个长方形，例题中长方
形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，此类问题就是
解
先假设结论的反面是正确的
勾
股
定
理
反
证
法
步骤
然后通过演绎推理，推出与基本
事实、已证的定理、定义或已知
条件相矛盾
从而说明假设不成立，
进而得出原结论正确
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
最短路线问题
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
应
用
常见
问题
在生活中的应用：如方位角问题，
折叠问题，旗杆折断问题，方案
设计问题等
在数学问题中的应用
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
直
角
三
角
形
的
判
定
勾股定理的逆定理
勾股数
如果三角形的三边长 a，
b，c 有关系 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三
角形，且边c所对的长的三个正整数
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
第 14 章 勾股定理
课标领航·核心素养学段目标
∵ 圆柱底面的直径 BC = 8，圆柱的高AB=9，∴ 该长度
最短的金属丝的长为 2AC=2 + （） =2 + =30
．
项目学习
［点拨］ 圆柱的侧面展开图是一个长方形，例题中长方
形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，此类问题就是
解
先假设结论的反面是正确的
勾
股
定
理
反
证
法
步骤
然后通过演绎推理，推出与基本
事实、已证的定理、定义或已知
条件相矛盾
从而说明假设不成立，
进而得出原结论正确
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
最短路线问题
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
应
用
常见
问题
在生活中的应用：如方位角问题，
折叠问题，旗杆折断问题，方案
设计问题等
在数学问题中的应用
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
直
角
三
角
形
的
判
定
勾股定理的逆定理
勾股数
如果三角形的三边长 a，
b，c 有关系 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三
角形，且边c所对的长的三个正整数
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
第 14 章 勾股定理
课标领航·核心素养学段目标
华东师大版八年级上册数学课件华师大版八年级数学上14.1.1勾股定理课件共17张ppt
米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什 么吗？
58
我们通常所说的29英
寸或74厘米的电视机，
46
是指其荧屏对角线的
长度
∵ 582 462 5480 742 5476
∴荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错。 灿若寒星
课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
观察图2
(1)正方形P中含有（） 个小9方格，即P的面积 是（）平方厘米。9
(2)正方形Q中含有（） 小方1格6 ，即Q的面积 是（）平方厘米。16
（每一格表示1平方厘米）
图2
(3)正方形R中含有（）2个5 小方格，即R的面积 是（）平方2厘5 米。
灿若寒星
SP=1
SR=2
你能发现图1中三个正方
形P，Q，R的面积之间有
灿若寒星
规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度 尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
画BC=5cmAC=12cm
量得AB=13cm
C
B
因为52+122=132
所以BC2+AC2=AB2
即：直角三角形两 直角边的平方和等 于斜边的平方。
灿若寒星
课堂练习
1.在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=c,BC=，AC=b
（1）已知=a10，b=6，求c；
B
（2）已知ba=5，c=6，求.
a
a C=?6
=1?0
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得
58
我们通常所说的29英
寸或74厘米的电视机，
46
是指其荧屏对角线的
长度
∵ 582 462 5480 742 5476
∴荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错。 灿若寒星
课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
观察图2
(1)正方形P中含有（） 个小9方格，即P的面积 是（）平方厘米。9
(2)正方形Q中含有（） 小方1格6 ，即Q的面积 是（）平方厘米。16
（每一格表示1平方厘米）
图2
(3)正方形R中含有（）2个5 小方格，即R的面积 是（）平方2厘5 米。
灿若寒星
SP=1
SR=2
你能发现图1中三个正方
形P，Q，R的面积之间有
灿若寒星
规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度 尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
画BC=5cmAC=12cm
量得AB=13cm
C
B
因为52+122=132
所以BC2+AC2=AB2
即：直角三角形两 直角边的平方和等 于斜边的平方。
灿若寒星
课堂练习
1.在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=c,BC=，AC=b
（1）已知=a10，b=6，求c；
B
（2）已知ba=5，c=6，求.
a
a C=?6
=1?0
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得
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如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么 它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中 一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理； 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
知识再认
设AB是△ABC中三边中最长边，则有
❖ AC2+BC2<AB2 → ∠ACB为钝角
锐角三角形
（2）6，7，10
钝角三角形
（3）5，12，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
b，斜边为c，那么有 a2 + b2 = c2
小组探究
试用小木棒拼出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分 类）
（1）5，6，7
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为 边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长 的三角形不是直角三角形。
小试牛刀
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三
角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠ _A_=_9_0_0;
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
（3）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形
(4)如果一个三角形的三边 a ,b ,c
满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形吗??
据说,古埃及人曾用下面 的方法画直角：
他们用13个等距的结 巴一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳 子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结 和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处。
如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（即一个三角形的两条较短的边的平方和等于 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。）
最长边(c)所对的角是直角
勾股定理
互为逆定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
定理与逆定理
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三
5
边分别为3、4、5． 3
满足关系:
32＋42＝52．
4
那么围成的三角形是
直角三角形．
预习展示
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5 （1）这三组数都满足a2+b2 = c2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠ _B_=_9_0_0 ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条
边长的三个正整数，称为勾股数.
最常用的勾股数：勾3、股4、弦5
挑战自我
1、请你写出三组勾股数；
如：3、4、5; 5、12、13； 7、24、25； 9、40、41 --(2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1)（ n为正整数） 3、4、5；8、6、10；15、8、17； 24、10、26；--( n2-1、2n、n2+1)（ n为大于1的正整数）
是__锐__角__
钝角三角形
较短的两条边的平方和 __小_于__最长边的平方
62++ 72< 102 最长边所对的角是
__钝_角_____
6cm ⑵
5cm
13cm
12cm （3）
直角三角形
52++122 ==132
较短的两条边的平方和 __等__于__最长边的平方 最长边所对的角是 ___直__角_
A
古埃及人的做法：
4
5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
C3
A′
B 我们作Rt△A′B′C′， 使A′C′=AC，B′C′=BC
4
C′ 3
这两个三角形有什么关系？源自B′全等理论证明
A
A′
已知：△ABC中， BC=a、 AC=b、AB=c, b
c
b
且 a2＋b2＝c2．
求证： ∠C=90°
若 c2≠a2++b2 则△ABC不是直角三角形。
例题解析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各 三角形是否是直角三角形:
(1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9
解 : 因为 2 5 2 = 2 4 2 + 7 2 , 分析：由3勾7 股2 =定理3 5的2 逆+ 定1 2理2 ，, 判断三角形是 不和是是直否角等1 三于3 2角最形大1，边1 只的2 +要平9看方2两。, 条较小边的平方
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
大
欢迎领导同仁莅临指导
欢迎指导
老导领师好
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。
2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否 为直角三角形。
复习回顾 引入新课
直角三角形的性质
(1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余 ；
(3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； (5)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理； 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
知识再认
设AB是△ABC中三边中最长边，则有
❖ AC2+BC2<AB2 → ∠ACB为钝角
锐角三角形
（2）6，7，10
钝角三角形
（3）5，12，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
b，斜边为c，那么有 a2 + b2 = c2
小组探究
试用小木棒拼出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分 类）
（1）5，6，7
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为 边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长 的三角形不是直角三角形。
小试牛刀
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三
角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠ _A_=_9_0_0;
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
（3）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形
(4)如果一个三角形的三边 a ,b ,c
满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形吗??
据说,古埃及人曾用下面 的方法画直角：
他们用13个等距的结 巴一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳 子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结 和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处。
如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（即一个三角形的两条较短的边的平方和等于 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。）
最长边(c)所对的角是直角
勾股定理
互为逆定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
定理与逆定理
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三
5
边分别为3、4、5． 3
满足关系:
32＋42＝52．
4
那么围成的三角形是
直角三角形．
预习展示
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5 （1）这三组数都满足a2+b2 = c2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠ _B_=_9_0_0 ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条
边长的三个正整数，称为勾股数.
最常用的勾股数：勾3、股4、弦5
挑战自我
1、请你写出三组勾股数；
如：3、4、5; 5、12、13； 7、24、25； 9、40、41 --(2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1)（ n为正整数） 3、4、5；8、6、10；15、8、17； 24、10、26；--( n2-1、2n、n2+1)（ n为大于1的正整数）
是__锐__角__
钝角三角形
较短的两条边的平方和 __小_于__最长边的平方
62++ 72< 102 最长边所对的角是
__钝_角_____
6cm ⑵
5cm
13cm
12cm （3）
直角三角形
52++122 ==132
较短的两条边的平方和 __等__于__最长边的平方 最长边所对的角是 ___直__角_
A
古埃及人的做法：
4
5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
C3
A′
B 我们作Rt△A′B′C′， 使A′C′=AC，B′C′=BC
4
C′ 3
这两个三角形有什么关系？源自B′全等理论证明
A
A′
已知：△ABC中， BC=a、 AC=b、AB=c, b
c
b
且 a2＋b2＝c2．
求证： ∠C=90°
若 c2≠a2++b2 则△ABC不是直角三角形。
例题解析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各 三角形是否是直角三角形:
(1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9
解 : 因为 2 5 2 = 2 4 2 + 7 2 , 分析：由3勾7 股2 =定理3 5的2 逆+ 定1 2理2 ，, 判断三角形是 不和是是直否角等1 三于3 2角最形大1，边1 只的2 +要平9看方2两。, 条较小边的平方
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
大
欢迎领导同仁莅临指导
欢迎指导
老导领师好
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。
2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否 为直角三角形。
复习回顾 引入新课
直角三角形的性质
(1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余 ；
(3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； (5)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它