华东师大版八年级上册数学课件：14.1 勾股定理最新课件PPT
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是__锐__角__
钝角三角形
较短的两条边的平方和 __小_于__最长边的平方
62++ 72< 102 最长边所对的角是
__钝_角_____
6cm ⑵
5cm
13cm
12cm （3）
直角三角形
52++122 ==132
较短的两条边的平方和 __等__于__最长边的平方 最长边所对的角是 ___直__角_
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
b，斜边为c，那么有 a2 + b2 = c2
小组探究
试用小木棒拼出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分 类）
（1）5，6，7
若 c2≠a2++b2 则△ABC不是直角三角形。
例题解析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各 三角形是否是直角三角形:
(1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9
解 : 因为 2 5 2 = 2 4 2 + 7 2 , 分析：由3勾7 股2 =定理3 5的2 逆+ 定1 2理2 ，, 判断三角形是 不和是是直否角等1 三于3 2角最形大1，边1 只的2 +要平9看方2两。, 条较小边的平方
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠ _B_=_9_0_0 ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条
边长的三个正整数，称为勾股数.
最常用的勾股数：勾3、股4、弦5
挑战自我
1、请你写出三组勾股数；
如：3、4、5; 5、12、13； 7、24、25； 9、40、41 --(2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1)（ n为正整数） 3、4、5；8、6、10；15、8、17； 24、10、26；--( n2-1、2n、n2+1)（ n为大于1的正整数）
（3）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形
(4)如果一个三角形的三边 a ,b ,c
满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形吗??
据说,古埃及人曾用下面 的方法画直角：
他们用13个等距的结 巴一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳 子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结 和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处。
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
锐角三角形
（2）6，7，10
钝角三角形
（3）5，12，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
大
欢迎领导同仁莅临指导
欢迎指导
老导领师好
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。
2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否 为直角三角形。
复习回顾 引入新课
直角三角形的性质
(1)有一个角是直角wk.baidu.com (2)两个锐角互余 ；
(3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； (5)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么 它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中 一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理； 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
知识再认
设AB是△ABC中三边中最长边，则有
❖ AC2+BC2<AB2 → ∠ACB为钝角
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三
5
边分别为3、4、5． 3
满足关系:
32＋42＝52．
4
那么围成的三角形是
直角三角形．
预习展示
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5 （1）这三组数都满足a2+b2 = c2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
A
古埃及人的做法：
4
5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
C3
A′
B 我们作Rt△A′B′C′， 使A′C′=AC，B′C′=BC
4
C′ 3
这两个三角形有什么关系？
B′
全等
理论证明
A
A′
已知：△ABC中， BC=a、 AC=b、AB=c, b
c
b
且 a2＋b2＝c2．
求证： ∠C=90°
如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（即一个三角形的两条较短的边的平方和等于 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。）
最长边(c)所对的角是直角
勾股定理
互为逆定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
定理与逆定理
所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为 边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长 的三角形不是直角三角形。
小试牛刀
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三
角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠ _A_=_9_0_0;
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
钝角三角形
较短的两条边的平方和 __小_于__最长边的平方
62++ 72< 102 最长边所对的角是
__钝_角_____
6cm ⑵
5cm
13cm
12cm （3）
直角三角形
52++122 ==132
较短的两条边的平方和 __等__于__最长边的平方 最长边所对的角是 ___直__角_
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
b，斜边为c，那么有 a2 + b2 = c2
小组探究
试用小木棒拼出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分 类）
（1）5，6，7
若 c2≠a2++b2 则△ABC不是直角三角形。
例题解析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各 三角形是否是直角三角形:
(1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9
解 : 因为 2 5 2 = 2 4 2 + 7 2 , 分析：由3勾7 股2 =定理3 5的2 逆+ 定1 2理2 ，, 判断三角形是 不和是是直否角等1 三于3 2角最形大1，边1 只的2 +要平9看方2两。, 条较小边的平方
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠ _B_=_9_0_0 ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条
边长的三个正整数，称为勾股数.
最常用的勾股数：勾3、股4、弦5
挑战自我
1、请你写出三组勾股数；
如：3、4、5; 5、12、13； 7、24、25； 9、40、41 --(2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1)（ n为正整数） 3、4、5；8、6、10；15、8、17； 24、10、26；--( n2-1、2n、n2+1)（ n为大于1的正整数）
（3）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形
(4)如果一个三角形的三边 a ,b ,c
满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形吗??
据说,古埃及人曾用下面 的方法画直角：
他们用13个等距的结 巴一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳 子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结 和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处。
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
锐角三角形
（2）6，7，10
钝角三角形
（3）5，12，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
大
欢迎领导同仁莅临指导
欢迎指导
老导领师好
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。
2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否 为直角三角形。
复习回顾 引入新课
直角三角形的性质
(1)有一个角是直角wk.baidu.com (2)两个锐角互余 ；
(3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； (5)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么 它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中 一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理； 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
知识再认
设AB是△ABC中三边中最长边，则有
❖ AC2+BC2<AB2 → ∠ACB为钝角
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三
5
边分别为3、4、5． 3
满足关系:
32＋42＝52．
4
那么围成的三角形是
直角三角形．
预习展示
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5 （1）这三组数都满足a2+b2 = c2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
A
古埃及人的做法：
4
5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
C3
A′
B 我们作Rt△A′B′C′， 使A′C′=AC，B′C′=BC
4
C′ 3
这两个三角形有什么关系？
B′
全等
理论证明
A
A′
已知：△ABC中， BC=a、 AC=b、AB=c, b
c
b
且 a2＋b2＝c2．
求证： ∠C=90°
如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（即一个三角形的两条较短的边的平方和等于 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。）
最长边(c)所对的角是直角
勾股定理
互为逆定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
定理与逆定理
所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为 边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长 的三角形不是直角三角形。
小试牛刀
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三
角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠ _A_=_9_0_0;
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；