2011【李永乐】考研数学全真模拟经典400题(数一、数二、数三)
数3--11真题答案
2011年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）D 二、填空题（9）3e (13)x x + （10）(12ln 2)(d d )x y +− （11）2y x =− （12）4π3（13）213y （14）22()μμσ+ 三、解答题 （15）12−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）x C ++. （18）略.（19）24(),01(2)f x x x =−.（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他.（Ⅱ）|1, 0<2,22(|)0, X Y y x y yf x y ⎧<<−⎪−=⎨⎪⎩其他.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】A ．【解答】根据收敛级数性质：收敛级数任意添加括号仍收敛，故A 正确. （4）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质可知应选B ． （5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E.即12,=AP B P B =E ,所以 1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ．（6）【答案】C ．【解答】由于123,,ηηη是=Ax β的三个线性无关的解，所以3121,ηηηη−−是Ax =0的两个线性无关的解，即Ax =0的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除A ，B 选项. 又因为232ηη−是Ax =0的解，不是=Ax β的解，故排除D 选项，因此选C.（7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】D ．【解答】因为()()111111((,))λ===⋅⋅===∑∑n ni i i i X E E T E E n n X X n n()112111111()()11−−==⎛⎫=+=+ ⎪−−⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 111(1)()()11i n n E X E X n n n λ⎛⎫=⋅−+=+ ⎪−⎝⎭ 所以()()12E T E T <又因为，()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n()11221121111()()1(1)()−−==+⋅+−−==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T222211(1)1()()(1111)λλλ=⋅−⋅+⋅⎛⎫=+=+ ⎪−−⎝−⎭n D X D X n n n n n n由于当2n ≥时，21111n n n<+− ，所以()()12D T D T <，故选D.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】()3e13xx +.【解答】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3e x x =⋅,所以有()()3e 13xf x x '=+.（10）【答案】()()12ln 2d d x y +−. 【解答】当1y =时，ln(1)(1)exx x z x +=+=，则11(1)(ln(1))2ln 211xx x x x z x x x=='=+⋅++=++当1x =时，1ln(1)11(1)ey y yz y+=+=，则21112111()ln(1)1111(1)12ln 2yy y y y y y yz yy==⋅−⋅−+⋅+'=+⋅=−−.则 ()1,1d (12ln 2)d (12ln 2)d z x y =+−+或()()d 12ln 2d d z x y =+−. （11）【答案】2y x =−.【解答】πtan e 4yx y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有()2πsec 1e 4y x y y y ⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭,将0,0x y ==代入上式，有()211πcos 4y y ''+=解得 ()0,02y '=−,故切线方程为2y x =−. （12）【答案】4π3. 【解答】()2222114πd π1d π.3V y x x x ==−=⎰⎰（13）【答案】213y .【解答】由()1r =A 知零特征值的重数为2. 又因为A 中各行元素之和为3,所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3是它的特征值.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．解：()01lim ln 1x x x x →−−+201lim x x x →−=20x →= 2220002(sin )sin 1cos 1111lim lim lim 0222222x x x x x x x x x x x x →→→−−−−==−=−=−=−. （16）（本题满分10分）解：因为[(),(,)]z f x y f x y =+，所以121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ()()()()211122,,(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x y∂'''''=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂ ()()()(){}112222(,),,(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()212,,f x y f x y f x y '''+++⋅⎡⎤⎣⎦又()1,12=f 为(),f u v 的极值，所以()()121,11,10''==f f .所以，()()()211212112,22,21,1.x y zf f f x y==∂'''''=+⋅∂∂（17）（本题满分10分）解：令t =2x t =,d 2d x t t =x 2arcsin ln 2d t t t t t +=⋅⎰()22arcsin ln d t t t =+⎰2222arcsin 22ln 2d tt t t t t t t t=⋅−+⋅−⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =++−+.证：令4π()4arctan 3f x x x =−+24()11f x x '=−+. 由()0f x '=得x =(0f =，所以x =.当x <时，()0f x >且单调递减；当x <<时，()0f x >且单调递增；所以，在区间(−∞上只有一个实根x =又当x >()f x单调递减，且8π03f =−>， ()4πlim lim 4arctan .3x x f x x x →+∞→+∞⎛=−+=−∞ ⎝所以，由零点定理可知，存在唯一一点)0x ∈+∞，使()00f x =,所以方程4π4arctan 03x x −+=恰有两实根.（19）（本题满分11分） 解：因为()d d d ()d tt t xD f x y x y x f x y y −''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()d ()d ()()t xtx f x y y f u u f t f x −''+==−⎰⎰()d d (()())d ()()d tttD f x y x y f t f x x tf t f x x '+=−=−⎰⎰⎰⎰所以201()()d ()d d ()2ttD tf t f x x f t x y t f t −==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=−f t f t t ,解方程得2d 12()e (2)t t C f t C t −−⎰==− 由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24(),01(2)f x x x =−.（20）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.（22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===.即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） covXY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由条件可知曲线所围成的面积1G S =，所以(,)X Y 的联合概率密度为1,(),(,)0,x,y G f x y ∈⎧=⎨⎩其他.当01x <<时，0()(,)d 1d xX f x f x y y y x +∞−∞===⎰⎰，当12x <时，20()(,)d 1d 2xX f x f x y y y x +∞−−∞===−⎰⎰，X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其它.（Ⅱ）当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)d 1d 22y Y yf y f x y x x y +∞−−∞===−⎰⎰.当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<−⎪−==⎨⎪⎩其他.。
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数1--11真题答案
2011年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B 二、填空题（9）ln(1+ （10）esin xx − （11）4 （12）π（13）1 （14）22()μμσ+ 三、解答题 （15）12e−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）1k >时,原方程有三个根.1k 时,原方程有一个根. （18）略. （19）a .（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）22011()n i i X n σμ==−∑.（Ⅱ）22()E σσ=，422()D nσσ=.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】易知该曲线与x 轴有四个交点(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),且1x <时，0y >；当12x <<时，0y <；当34x <<时，0y >；当4x >时，0y >. 根据以上结论描绘出曲线y 的大致图形为： 故选择答案C ．（2）【答案】C ． 【解答】因为1nn a∞=∑发散，而1(1)nn n a ∞=−∑收敛，所以1n n n a x ∞=∑的收敛域是[1,1)−,因此1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域是[0,2)故选择答案C ．（3）【答案】A ． 【解答】(0,0)(0,0)()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x ∂''=⋅==∂(0,0)(0,0)()()(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=22(0,0)(0,0)()ln ()(0)ln (0)0,z A f x f y f f x ∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]()0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂22222(0,0)(0,0)()()[()][(0)]()(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f yf y f ''''∂−''''==⋅=−=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>. 故正确答案选A. （4）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，应选B ． （5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E 即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ． （6）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ． （7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】B ．【解答】因为{}{}()()max ,,min ,,22X Y X Y X Y X YU X Y V X Y ++−+−−====所以UV XY =. 又,X Y 相互独立，所以()E UV =EX EY ⋅，故答案选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】(ln 1.【解答】(ππ440sec d ln |sec tan |ln 1s x x x x ===+=+⎰.（10）【答案】e sin xy x −=.【解答】d d e (e cos e d )x x xy x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以esin xy x −=.（11）【答案】4.【解答】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+,22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+,故2(0,2)2|4F x ∂=∂. （12）【答案】π.【解答】设S 是平面=+z x y 上位于柱面221x y +=内的部分，S 在xOy 平面上的投影为22{(,)|1}D x y x y =+，由斯托克斯公式，得22d d d d d d d d d 22L Sy z z x x yy xz x x y z x y z y xzx∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰d d d d d d (1)d d πSDy y z x z x x y x y x y =++=−−=⎰⎰⎰⎰.（13）【答案】1.【解答】二次型矩阵为1131111a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,其特征值为0,1,4,所以0,1a =|A |=.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：1e 10ln(1)lim x x x x −→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦0ln(1)1lim[1].e 1e x x x x →+−−=2ln(1)limex x xx →+−=22201()2lim ex x x o x x x →−+−=12e .−=（16）（本题满分10分） 解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂[]{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+ 又()g x 在1x =可导，且为极值，所以(1)0g '=，所以21111211d (1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y=='''''=++（17）（本题满分10分）解：易知0x =为方程的一个实根.当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−则()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=. 令()2arctan 1=−+xg x x x ,则 ()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++,()g x 单调递增.又(0)0g =,所以当0x <时，有()0g x <，从而()'0f x <； 当0x >时，有()0g x >，从而()'0f x >. 又，()00lim lim1arctan x x x f x k k x →→=−=−,()lim lim arctan x x xf x k x→±∞→±∞=−=+∞,所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −时，则()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内均无零点.综上所述，当1k >时，原方程有三个根；当1k 时，原方程有一个根.（18）（本题满分10分） 证：（Ⅰ）设1()ln(1),[0,]f x x x n=+∈. 显然()f x 在1[0,]n上满足拉格朗日中值定理:111111()(0)ln(1)ln1ln(1),(0,)1f f n n n n nξξ−=+−=+=⋅∈+当1(0,)nξ∈时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++， 111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n<++，所以11ln(1)01n n −+<+得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln(1)ln nnn k k a n n k k ===−>+−∑∑，而，11112341ln(1)ln ()ln()ln(1)123nnk k k n n k k n==+++==⋅⋅=+∑∏， 所以，11111ln ln(1)ln ln(1)ln 0nnn k k a n n n k k n ===−>+−>+−>∑∑.因此，数列{}n a 有下界. 由单调有界定理可知，数列{}n a 收敛.（19）（本题满分11分） 解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x yf x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y x f x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（20）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2r =A ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T2300⎧=⎨=⎩αααα，即131300x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===；即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） cov XY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分） 解：总体X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞（Ⅰ）似然函数 202()22211()(;)i x nn i i i L f x μσσσ−−==⎡⎤==⎥⎥⎦∏∏， 取对数 222211ln ()ln(2π)ln ()222nii n n L x σσμσ==−−−−∑，求导 22022221d ln ()1[()]d()22()nii L n x σμσσσ==−+−∑，令22d ln ()0d()L σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑， 故2σ的最大似然估计量为22011()ni i X n σμ==−∑.（Ⅱ）20~(,)i X N μσ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑. ()()()222222011111().n i i E E X E Y E Y n n n n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑ ()()()22244402222111112()2.n i i D D X D Y D Y n n nn n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑。
考研数学(数学三)模拟试卷400(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)满足f”(x)+x[f’(x)]2—sin x，且f’(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极小值．B．x(0)是f(x)的极大值．C．在点(0，f(0))左侧邻域内，曲线y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线y=f(x)是凸的．D．在点(0，f(0))左侧邻域内，曲线y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线y=f(x)是凹的．正确答案：D解析：由f”(x)+x[f’(x)]2=sin x，有f”(0)=0．再由f”‘(x)+[f’(x)]2+2xf’(x)f”(x)=cos x，得f”‘(0)=1，所以=1。
由极限的保号性知，存在x=0的去心邻域且x＞0时，f”(x)＞0．故应选(D)．2．设f(x)在区间(—∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )A．恒为正．B．恒为负．C．与x同号．D．与x异号．正确答案：C解析：作积分变量代换，令x—t=u，得f(x)=∫x0f(u)sin(x—u)d(一u)+x=∫0xf(u)sin(x一u)du+x =sin x．∫0xf(u)cos udu一cos x．∫0xf(u)sin udu+x，f’(x)=cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．cos x．f(x)+sin x．∫0xf(u)sin udu一cos x．sin x．f(x)+1 =cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．∫0xf(u)sin udu+1，f”(x)=—sin x．∫0xf(u)cos udu+cosx．f(x)+cos2x．∫0xf(u)sin udu+sin2x．f(x) =f(x)一f(x)+x=x．3．设f(x)=一sinπx+(3x—1)2，则在区间(一∞，+∞)上，f(x)的零点个数( )A．正好1个．B．正好2个．C．正好3个．D．多于3个．正确答案：B解析：f(0)=1＞0，＜0，f(1)=4＞0，所以至少有2个零点．又f’(x)=一πcos πx+6(3x一1)，f”(x)=π2sin πx+18＞0，所以至多有2个零点，故正好有2个零点．4．设f(x)=x4sin+xcosx(x≠0)，且当x=0时，f(x)连续，则( )A．f”(0)=0，f”(x)在x=0处不连续．B．f”(0)=0，f”(x)在x=0处连续．C．f”(0)=1，f”(x)在x=0处不连续．D．f”(0)=1，f”(x)在x=0处连续．正确答案：A解析：5．设A是n阶矩阵(n＞1)，满足Ak=2E，k＞2，E是单位矩阵，A*是A 的伴随矩阵，则(A*)k ( )A．E．B．2E．C．2k—1E．D．2n—1E．正确答案：D解析：Ak=2E，｜Ak｜=｜2E｜=2n，｜A｜=，得A*=｜A｜A—1，则(A*)k=(｜A｜A—1)k=｜A｜k(Ak)—1=｜A｜k(2E)—1=｜A｜kE=2n—1E，故应选(D)．6．设A是3阶矩阵，｜A｜=1，a11=一1，aij=Aij，其中Aij是A中元素aij的代数余子式，则线性非齐次方程组AX=的唯一解是( ) A．(1，0，0)T．B．(0，0，一1)T．C．(1，1，1)T．D．(一1，1，1)T．正确答案：A解析：将｜A｜按第1行展开，｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132，因｜A｜=1，a11=一1，故得a12=a13=A12=A13=0．故应选(A)．7．设(X，Y)为二维连续型随机变量，则下列公式各项都有意义的条件下(Df(x，y)=fX(x)Y(x)；②fX(x)=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x｜y)dx；③fX｜Y(x｜y)=；④P{X＜Y)=∫—∞+∞fX(y)fY(y)dy，其中FX(y)=∫—∞yfX(x)dx．必定成立的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：①需要独立条件才成立；②应该为fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x｜y)dy；③fX|Y(x｜y)成立；④需要独立条件．8．设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，则EY= ( ) A．1．B．1+．C．1一．D．．正确答案：B解析：填空题9．设f(x)=，则f[f(x)]=_________．正确答案：解析：由f(x)的表达式，有最后，分别写出自变量的取值范围，易见第4式中＞1与x＞1的交集为空集，故化简为如答案所示。
2011考研数学(三)真题及答案详解 零分下载
2011年考研数学（三）真题及答案详解一．选择题1.已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332lim x x fx fx x→-=（A ）()'20f- （B ）()'0f -(C) ()'0f(D)03．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是（A ）若1n n u ∞=∑收敛，则()2121n n n u u ∞-=+∑收敛（B ）若()2121n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ）若1n n u ∞=∑收敛，则()2121n n n u u ∞-=-∑收敛（D ）若()2121n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛4．设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是（A ）I J K <<（B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记110011001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A = （A ）12P P （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+-7．设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x +8．设总体X 服从参数为λ()0λ>的泊松分布，()12,,,2n X X X n ≥ 为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量111nii T X n==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑（A ）1212,ET ET D T D T >> （B ）1212,ET ET D T D T >< （C ）1212,ET ET D T D T <> （D ）1212,ET ET D T D T <<二、填空题9．设0()lim (13)xt t f x x t →=+，则()f x '=10．设函数(1)xyx z y=+，则(1,0)dz=11．曲线tan()4yx y e π++=在点(0,0)处的切线方程为12．曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为13．设二次型123(,,)Tf x x x x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准为14．设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =三、解答题15．求极限0lim ln(1)x x x →+16.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)f =是(,)f u v 的极值，[](),(,)z f xy f xy =+。
李永乐400题
从上周开始做400题，到现在做的差不多了，说说偶的一些感觉~1，400题里的试卷，基本上见不到那种不用笔算就能得出答案的题目2，400题并没有传说中的那么难，它只是把一些看起来很难弄的题目集合在一起而已3，要不要做400题，这个因人而异，偶的看法是做第一套题，如果分数不能达到三位数，就没有做的必要了。
与其自我打击，不如多花点时间补补基础。
4，全书如果看的很明白的话，400题每套题都不应该低于120（也就是错一道选择题，一道填空题，两道大题），事实上，400题不少题目是全书里例题的变体，一部分选择题和填空题来自于660。
5，400题非常适合进行查漏补缺，这个比单纯的看课本效率要高多了，至少偶通过400题发现了自己很多的缺陷（初等函数的Maclaurin展开式，Fourier奇偶延拓，高阶非齐次微分方程解系等）6，不一定要连续的做一套试卷，400题里面的题目计算量和思考量都相当大，连续三个小时的高密度做题会导致效率和准确率的大幅度下降（考研真题根本达不到这种程度）。
因此可以在上午用一个小时做选择填空，下午两个小时做大题。
（偶就是这么整的）7，400题可以训练出很强的解题思路和应对复杂计算量的能力，偶感觉在做400题的这一周里，水平要比以前上了一个台阶。
8，400题有些大题的答案是比较"丑陋"的，所以在算出一个很怪异的式子抑或是数字时，不用自我怀疑。
9，做了400题再看真题，那感觉...真的很不一样。
当然真题还是有必要做的10，做错的题目要进行总结，指定时间内做不出来的题目不要立刻看答案，再仔细想一想，独立完成一道很难的题目可以带来很大的成就感。
首先，感觉必须重视”基本概念、基本原理和基本方法“的掌握个人认为应该如此:1、心气和平，事理通达；胜不骄，败不馁。
现在我不想撕卷子了。
2、熟能生巧。
现在多做了几套，思维迁移地快多了。
3、总结归纳。
每一题对照着知识点归纳总结，感觉概念清晰了许多。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第三行得
⎛1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
单位矩阵，记
P1
=
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，
P2
=
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
，则
A
=
(
)
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
(A) P1P2
(B) P1 −1P2
(C) P2P1
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，所以可排除 A，B
选项.
又因为 Aη2 −η3 = 0 ，所以 η2 −η3 是 Ax = 0 的解，不是 Ax = β 的解，故排除 D 选项，
2
2
因此选 C.
事实上，由于η1,η2 ,η3 是 Ax = β 的三个线性无关的解，所以η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，亦即 3 − r( A) ≥ 2 ，
故 r( A) ≤ 1.由于 A ≠ 0 ，所以 r( A) ≥ 1，故 r( A) = 1.这样， Ax = 0 的基础解系中正好有 2
个线性无关的解，由此知η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的一个基础解系.
数学(三)试题 第 5页 (共 4 页)
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(11)
曲线
tan
⎛ ⎜
⎝x+来自y+π 4
⎞ ⎟ ⎠
=
e
y
在点
(
0,0
2011考研数学一模拟题集参看答案解析
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
(9)函数 在点 处沿曲面 在点 处且平面的法矢量方向（指向 轴正向）的方向导数为。
(10) 方程 满足 的特解为。
(11) 。其中 为 。
(12) 。
(13)设 是三阶矩阵，已知 ， 与 相似，则 的相似对角形为。
(3)B
解：因级数 是 删除前1000项而得，故当 收敛时，去掉有限项依然收敛，因此 收敛，
若 ，则存在正整数 ，使得 是， 不变号。若 ，有正项级数的比值判别法知 发散。同理可知，如果 ，则正项级数 发散，因此 发散。故②③正确，选B
（4）A
解： ，因 ，则
，故 。而
，故 ，所以
【也可以用泰勒公式计算】
（II）求参数 的最大似然估计量；
（III）说明由最大似然估计法所得 的估计量是否为无偏估计量。
考研数学一模拟题（二）参考答案
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）A
解：设 ，则
所以，
(2)B
解：由于函数可导（除 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。
解：（I） ；
所以 ，得
（II）
，得
（III）
所以
因此 是 的无偏估计量
若要 在 处连续，必须 ，即
故 ， 为任意实数时， 在 处连续。
（II）若要 在 处可导，则必须 在 处连续（ ），且
所以
所以 ， 时， 在 处可导
考研数学(数学一)模拟试卷400(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在点x＝a处可导，则＝( )。
A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：解＝[1－(－1)]f’(a)＝2f’(a)，仅(B)入选。
2．函数f(x，y)＝x2y3在点P(2，1)处沿方向l＝i＋j的方向导数为( )。
A．16B．C．28D．正确答案：B解析：仅(B)入选。
3．设平面曲线L：，y≥0，其所围成的区域分别记为D和D1，则有( )。
A．B．C．D．正确答案：A解析：4．设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(R>0)的上半球的上侧，则下列表示式正确的是( )。
A．B．C．D．正确答案：B解析：解一用S1与S2分别表示S的右半部分与左半部分，则其中D表示曲面S1与S2在平面zOx上的投影区域：x2＋z2≤R2，z≥0，仅(B)入选。
解二由上述结论，即可看出选项(B)正确。
这是因为S关于坐标平面zOx对称，而y为奇函数，故，因y2为偶函数，故。
同理，(因x＝xy0，z＝zy0都可看成y 的偶函数)。
5．A是三阶矩阵，P是三阶可逆矩阵，，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0，则P应是( )。
A．[α1，α2，α1＋α3]B．[α2，α3，α1]C．[α1＋α2，－α2，2α3]D．[α1＋α2，α2＋α3，α1]正确答案：C解析：解一因(A)中向量α1＋α3是A的不同特征值的特征向量的线性组合，故不是A的特征向量，排除(A)。
(B)中α3，α1的排列顺序与其对角阵中特征值的排列顺序不一致，排除(B)。
(D)中α2＋α3不是A的特征向量，排除(D)，仅(C)入选。
解二因为α1＋α2，－α2仍是λ＝1的特征向量，2α3仍是λ＝0的特征向量，且与其对角阵中特征值的排列顺序一致，仅(C)入选。
6．设A，B，C，D是4个四阶矩阵，其中A≠O，｜B｜≠0，｜C｜≠0，D≠O，且满足ABCD＝O。
李永乐经典400题(WORD)
（三）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）(1) 设f(x)在[0，+）∞连续，0,0,1)(lim >>=+∞→c a x x f x a为常数，则=+∞→⎰-)()(lim 0x f ds s f e ex xcs cx.(2) 曲线1ln 2=+y y x 在点(1,1)处的法线方程是 . (3) 曲线xe x y 1)3(-+=的斜渐近线方程是 .(4)以知),(y x z z =满足),(,s i n )0,(,)0,(,22y x z x y x z e x z x yx x 则=∂∂==∂∂= . (5) 行列式16002630331401---= . (6) 以知向量组T T T a a a )1,6,13,1(,)5,,1,2(,)2,1,1321-+=-=-=ααα，（线性相关，则α= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 下列命题中正确的是【 】(A) 若连续在连续，则在00)()(x x x f x x x f ==(B) 若0)]()([0lim )(000=--+→=h x f h x f h x x x f 连续，则在(C) 若不连续在不连续，则在连续，在000)()()()(x x x g x f x x x g x x x f === (D) 设连续在则000)(,0)]()([0limx x x f h x f h x f h ==--+→ (8) 当0→x 时，下面几个无穷小量中阶数最高的是【 】 (A)2211x x --+ (B) x x sin tan -(A) 53254x x x -+ (D)⎰-xtdt cos 10sin(9) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=,0,,0,1c o s)(22x x x xx x f 则下列结论正确的是 【 】(A) )(x f 有间断点(B) )(x f 在(-+∞∞,)上连续，但在(-+∞∞,)上有不可导的点 (C) )(x f 在(-+∞∞,)上处处可导，但)(x f ‘在(-+∞∞,)上不连续 (D) )(x f 在(-+∞∞,)上连续(10) 设点(0,1)是曲线c bx ax y ++=23的拐点，则系数c b a ,,满足【 】(A) 1,2,1==-=c b a (B) 1,0,0==≠c b a(C) 0,1,1===c b a (D) 1,0,==c b a 可为任意实数(11)微分方程x x x y y sin 4cos 2''-=+满足初始条件1)0()0('==y y 的特解点附近的图形是在0)(==x x f y【 】(A) (B) (C) (D) (12) dxx x xx )sin 1||(21123+-⎰-=【 】 (A)31 (B) 34 (C)1 ( D) 21(13) 设b 为常数，积分dx xx bx x )11(122-+++⎰∞+收敛，则该积分值为 【 】 (A)2ln 21 (B) 3ln 21(C) 2ln (D) ln3 (14)以知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+a a a a a a a a a a 22141322221,那么，秩r(A)为【 】(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 不能确定，与a 有关三、解答题（本题共9小题，满分94分。
李永乐数学全书练习题
李永乐数学全书练习题1. 函数的性质- 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求其顶点坐标。
- 判断函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上的单调性。
- 计算函数 \( h(x) = \sqrt{x} \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
2. 极限的概念- 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
- 判断极限 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \) 是否存在，并给出理由。
- 计算极限 \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \)。
3. 导数与微分- 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的一阶导数。
- 判断函数 \( g(x) = e^x \) 是否在其定义域内处处可导。
- 计算函数 \( h(x) = \ln(x) \) 在 \( x = e \) 处的微分。
4. 积分的计算- 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。
- 求函数 \( f(x) = 2x \) 的原函数。
- 计算定积分 \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \)。
5. 级数的收敛性- 判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
- 计算无穷几何级数 \( \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n \) 的和。
- 判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} \) 是否发散。
6. 多元函数的微分- 求函数 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的偏导数。
- 计算函数 \( u = \ln(x) + \ln(y) \) 的全微分。
考研数学(数学二)模拟试卷400(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则( )．A．对任意x，f’(x)＞0B．对任意x，f’(一x)≤0C．函数f(一x)单调增加D．函数一f(一x)单调增加正确答案：D解析：由于y=一f(-x)的图形与y=f(x)的图形关于原点对称，当x1＞x2时，有f(x2)＞f(x2)，则函数一f(一x)必单调增加．f(x)单调增加，但其导数不一定满足f’(x)＞0，也可能有f’(x)=0．例如y=x3单调增加，但y’(0)=3x2｜x=0=0．至于函数f(-x)与f(x)是两个不同函数，它是否单调增加及其导数是否小于0不得而知，故A、B、C不成立，仅D入选．2．曲线的拐点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：先求出y’与y’’：因．在(一∞，+∞)上连续，且在的两侧y’’变号，故均为的拐点．另外在x=0处y’’不存在，但在x=0的两侧少变号，因此(0，0)也是曲线的拐点．此外再无其他拐点．仅D入选．3．设f(x)=min{1，x2)，则∫0xf(t)dt等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当｜x｜≤1时，f(x)=min{1，x2)=x2，则仅B入选．4．若函数f(x)的一个原函数为arctanx，则∫xf(1一x2)dx=( )．A．arctan(1-x2)+CB．C．xarctan(1-x2)+CD．正确答案：B解析：由题设f(x)=(arctanx)’，于是仅B入选．5．=( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：故仅C入选．6．设方程exy+y2=cosx确定y为x的函数，则=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：在所给方程两边对x求导，求解时应注意y是x的函数，得到exy(y+xy’)+2yy’=一sinx，y’(xexy+2y)+yexy=一sinx，故仅B入选．7．若两向量组的秩相等，那么必有( )．A．两组向量可以互相线性表示B．两组都是线性相关组C．两组都是线性无关组D．如从某组中任取单个向量放入到另一组中，所得新向量组都线性相关，则这两组向量能互相线性表示正确答案：D解析：对于选项D．考虑向量组(I)α1,α2……αs；向量组(Ⅱ)β1β2……βs，若从α1,α2……αs中任取一个放入向量组(Ⅱ)中后线性相关，则向量组(I)可以由向量组(Ⅱ)线性表示．又秩(I)=秩(Ⅱ)，由上述结论知，向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价．从而向量组(Ⅱ)也可由向量组(I)线性表示．仅D入选．8．设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由可知矩阵A的特征值是3，一3，0，故秩(A)=2．二次型XTAX的正、负惯性指数均为1．A中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；C中矩阵的特征值为3，一3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也相似，不符合题意．而B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为p=2，负惯性指数q=0，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．对于D，记其矩阵为D，由可知D的特征值为1，一1，0．XTAX与XTDX的正、负惯性指数一样，所以它们合同，但不相似(因特征值不同)，符合题意．仅D入选．填空题9．=____________(a，b为常数)．正确答案：10．设f(t=e2，且∫0xf(t)dt=xf(ux)则=____________．正确答案：11．曲线y=lnx在点___________处曲率半径最小．正确答案：令Rx’=0得显然，当时，Rx’＞0；当时，Rx’＜0．由一阶导数判别法可知，为R(x)的极小值点．又因驻点唯一，该极小值也是R(x)的最小值，故曲线y=lnx在点处的曲率半径最小．12．如右图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线．g(x)是线性函数，则∫02f(g(x))dx=___________.正确答案：由上图易知，线性函数g(x)的斜率由于f(x)是以2为周期的周期函数，由其性质①与②得到∫17f(t)dt=∫12.2+3f(t)dt=∫02+3f(t)dt=3∫02f(t)dt根据定积分的几何意义知13．设f(x，y)连续，且其中D是由y=x，y=0,x=1所围成的区域，则fxy’’(x，y)=____________．正确答案：14．设A，B是n阶方阵，且AB=BA，其中试求矩阵B=__________．正确答案：设B=[bij]n×n，AB=[cij]n×n，BA=[dij]n×n，显然cij=ibij，dij=jbij．又因AB=BA，故ibij=jbij(i，j=1，2，…，n)，其中，当i≠j时，有(i一j)bij=0，故bij=0(i≠j)．因此解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
Qchoqn考研数学冲刺之李永乐经典400题和其他
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔考研数学冲刺之李永乐经典400题和其他谨以此文，纪念难忘的考研岁月。
考研初试告捷，已经是将近一年前的事情了。
我是一个很敏感的人，很小的事情也会在我心里掀起波澜，激起很多感想。
但同时我又是一个懒惰的人，总是懒于动笔去记录这些感受，所以尽管在考研成功之后曾雄心勃勃的立志要写很多文章，写出来的东西却是寥寥无几，后来也就渐渐封笔了。
几日前无意点进考研版，看到这里热火充满紧张的讨论，想起了一年前的自己，便想写点什么，一来纪念自己考研一周年，二来给正在奋斗的后来者们一些建议，作为新年礼物。
看到关于400题讨论的帖子，我的内心难免又涌起很多感触。
对于要考公共数学的人来说，冲刺阶段必然是要做数学套题的。
李永乐400题是我在去年考研之前，除考研真题外做过的唯一的数学套题。
由于网上对它的评价非常好，选用这个资料的人很多。
那时有人说自己做李400每套都140分以上，甚至还有几套满分。
或许对于这样的个例或者是别有用心的夸张我可以不去理会，但看到那些“从80分进步到了130以上”一类比较务实的帖子时，听到我一个考重庆大学的同学每套都120分左右的时候，我却会从心里自卑和难过，因为我从来没有一套题在规定的时间内做超过120分，第一套只得了80来分，后面有几套100分左右，几套110多分。
想到自己在即将到来的考试中和我的竞争对手们的差距，我感到十分沮丧，也曾一度失去信心。
我花了很多时间来研究做过的题目，每套题目都要用好几天，其间用真题模拟来鼓舞信心，用穿插其他的科目来调节心情，听音乐以放松神经。
因为进度很慢，在考试之前我也没有做完李400，而且我做的最后一套也仅仅勉强得了120，但是我的考研数学得了146分。
这让我很高兴，因为我惊喜的发现，在考研数学这个重要的科目上，我顶多比那些李400全部满分的牛人低4分。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
2011 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．已知当 x→0 时，函数 f（x）＝3sinx－sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（ ）。
从而 k＝3，ck（k－1）（k－2）＝24；即 k＝3，c＝4。
2．设函数 f（x）在 x＝0 处可导，且 f（0）＝0，则 lim x2 f (x) 2 f (x3 ) （ ）。
x0
x3
A．－2f′（0）
B．－f′（0）
C．f′（0）
D．0
【答案】B
【考点】极限的计算
【
解
析
】
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x
) lim x x0
f (x) x
f (0)3 2 f (0) 2 f (x x3
)
2
f (x) f (0)
f (x3) f (0)
lim x0
x
2 lim x0
x3
f (0) 2 f (0) f (0)
故选 B 项。
3．设{un}是数列，则下列命题正确的是（ ）。
∞，＋∞）上积分为 1 的条件，故选 D。
8．设总体 X 服从参数为 λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自该总
体的简单随机样本，则对于统计量
T1
1 n
n i 1
Xi
T2
1 n 1
n1 i 1
C．f1（x）F2（x）
2011年考研数一模拟1答案
2 21 数一模考1答案(15)求极限(1) B (2) C ( 3) D(4) B(5) D(6) B(7) B (8) A二、填空题/c 、 1237(9) a -(10) 9(4)(11) 1.(12)(13)) 3312、选择题 15—23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置 (14)1三、解答题: 【解】：lim X x.XlimX X X X(根式有理化)lim X (16) 求微分方程 2y '' y(0) 的解(y')2,y'(0)令 y' p ,则y''2pdprli iu ，得到——udyy 为关于y 的一阶线性方程|x 02 2p (0) [ y' (0)]1ce y所以 u |Xy (o)cey(0)2 1 ce 20.1, dydxC 1,y(0) 2,得到f X 得解曲1(17)设函数f (X)在闭区间［0,1］上连续,在开区间 (0,1)内大于零，并满足•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2又由已知条件得旋转体的体积为5时，旋转体体积最小.—sinx k 在开区间(0,—)内根的个数，并证明你的结论2 2【解】设f(x) x —sinx,23axf (x) f (x)X 2(a 为常数)，又曲线yf(x)与x 1, y 0所围的图形S 的面积值为2，求函数y2f(x),并问a 为何值时，图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小 【解】由题设知，当 x 0时, xf (x) f (x) 3a x 2 d f (x) dx 3a 2 根据此并由f (x)在点x 0处的连续性，得 f(x)23axCx,x [0,1]V (a) 又因V(a)/ 1 2(a 30 / 1 1、 15 3a1f 2(x)dx5.1 (a) — 0 153 2ax 2(42a)x dx则 f(x)在[0,—]上连续.由 f (x)21(3ax 2 2Cx)dx』ax 32)|01 a 2即 因此C 4 a.3 2ax2f(x)(4 a)x.(18)就k 的不同取值情况，确定方程跨校考研全程辅导专家2得f(x)在(0,—)内的唯一的驻点x 02—cosx 0, 22 arc cos —由于当x (0, X o)时，f (x) 0,所以f(x)在［0, x o］上单调减少，在［X。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查：二、填空题（15）12-（16）()()()2112122,22,21,1zf f f x y∂'''''=+⋅∂∂ （17）x C +（18）略 （19）24(),01(2)f x x x =≤≤- （20）（I ） 5a =；（II ） 112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-（21）（I ） A 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为()1110k k α≠，()2220k k α≠，()3330k k α≠ （II ）001000100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（22）（I ）(),X Y 的概率分布为（II ） Z XY =的概率分布为（III ） 0ρ=XY（23）（Ⅰ）, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它.；（Ⅱ）|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其它.一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）k=1, c =4 （B ） k=1,c =-4 （C ） k=3,c =4 （D ） k=3,c =-4【答案】 （C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】★★★【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx-→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ )(4)](!3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x xx x f +=+--+-=-=故3,4==k c ，选（C ）.（2）已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ） -()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0.【答案】（B ） 【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故应选（B ）（3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （ ）（A ）若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 （B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ） 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 （D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【考点】级数的基本性质【难易度】★★ 【详解】解析：由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.（4）设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I <<【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<0sin cos cot x x x <<<<，因此lnsin x <444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）（5）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = （ ）（A ） 12P P （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ）121-P P 【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（6）设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为（ ）（A ） 23121()2k ηηηη++-（B ）23121()2k ηηηη-+-（C ）23121231()()2k k ηηηηηη++-+- （D ）23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】（C ）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解【难易度】★★★【详解】解析：1213,ηηηη--为0=Ax 的解，因为321,,ηηη线性无关，故1213,ηηηη--线性无关，232ηη+为β=Ax 的解，故β=Ax 的通解为)()(212213132ηηηηηη-+-++k k 所以应选（C ）.（7）设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）（A ）1()f x 2()f x （B ）22()f x 1()F x （C ）1()f x 2()F x （D ）1()f x 2()F x +2()f x 1()F x【答案】（D ）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】★★ 【详解】解析：[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.（8）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 （ ）（A ）1ET >2ET ,1DT >2DT （B ）1ET >2ET ,1DT <2DT （C ）1ET <2ET ,1DT >2DT （D ）1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】（D ）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质【难易度】★★★【详解】解析：由于12,,,n X X X 是简单随机样本，0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，且12,,,n X X X 相互独立，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n i n i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .（10） 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★ 【详解】解析：两边取对数得ln ln(1)x xz y y=+， 由一阶微分形式不变性，两边求微分得dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy yx yxdx y x y y x dy y x dx y y x yxd y x y x d y x dz z ])()1ln([])()1ln(1[)111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(122222+-+-++++=+-+++-+=+++=将1x =，1y =，2)1,1(=z 代入得()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-（11） 曲线tan 4y x y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法 【难易度】★★ 【详解】解析：两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4(sec 2π，所以在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.（12）曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【难易度】★★ 【详解】 解析：()2222111V y dx x dx πππ==-=⋅⎰⎰（13） 设二次型()123,,Tf x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★【详解】解析：A 的各行元素之和为3，即1113111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以13λ=是A 的一个特征值.又因为二次型Tx Ax 的秩1)(==A r 230λλ⇒==.因此，二次型的标准形为：213y .（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【难易度】★★ 【详解】解析：因为(),~X Y ()22,;,;0μμσσN，所以2~(,)X N μσ，2~(,)Y N μσ,2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX又因为0=ρ，所以X ，Y 相互独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅22()μμσ=+。