线性代数答案(人大出版社,第四版)赵树嫄主编

线性代数习题习题一（A ）1，（6）2222222222212(1)4111(1)2111t tt tt t t t tt t --+++==+--++ （7）1log 0log 1b a ab =2，（3）－7（4）04，23410001k k k k k -=-=，0k =或者1k =．5，23140240,0210xx x x x x x=-≠≠≠且．8,（1）4 （2）7 （3）13（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1)2n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.12，（1）不等于零的项为132234411a a a a =（2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3）211234215352153421510006123061230002809229092280921000280921000c c r r --=（4）将各列加到第一列，2()2()2()x y yx y D x y x yx x y xy++=+++12()11y x y x y xy x yx+=+---12()00y x yx y x y x yx+=+---332()x y =-+ 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到1111111111110222 (811)11002211110002-===-----.（2）433221,,r r r r r r ---…431111111112340123 (113)610013614102001410r r -==（3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3）2134312441224011201120112042413541350355016423223123312304830010522051205102110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+4334433424241120112*********164016401641010100021002100027202110013700114r r r r r r r r r r r r ------+---------------341120016410011400027r r ----↔--270=-20，第一行加到各行得到上三角形行列式，1230262!0032000nn n n n=L L L L L L L L L21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -110(1)1010x x x xx x xn x x x x x x x -L L LL L L L L L L 从第二行开始各行减去第一行得到 1111000(1)(1)(1)(1)(1)0000000n n n n xxx xx n x n x x n x x x-----=--=----LL LL L L LL L L22，最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式11223122313112101001()()...()000101n n n nn n n n x a a a a a a a x a a a a a x a a a x a x a x a x a ------------=----L L L L L L L L L L L23，按第一列展开122110311000111111110000000000000000000000n n n nnna a a a D a a a a a a a +--=-+LL L L L L LL L L L L L L L L L L L L L L LL1122243111111111110000000000000000...(1)0000000000n nn a a a a a a a a +--++-L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LL012234134123112011..................()nn n n n n i ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -==----=-∑24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n 列加第n-1列，最后按第一行展开。

D =12200 (000) (00)....................................000 (1)21...11n n a a a a a ---1200 (000)0...00....................................000 (01)23...1na a a nn --=-+ 12(1)(1)...n n n a a a =-+.25，（1）21432222221123112312220100(1)(4)0231523152319004r r r r x x x x x x ----=--=--垐垐?噲垐?12x x =±=± （2）各行之和相等… （3）与22题类似…（4）当0,1,2,3,...2x n =-时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。

28，414243441401401402112(6)212(6)0301806001111111111A A A A --+++==--=--=-29,111213141111d c b b A A A A b b bbcd a d+++=其中1，3两行对应成比例，所以为零.32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开12340111111231011111122001111130001112000011111n n x x n x D x x n x x x x xxx xxx----==--L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LL1111111111101111(1)0001100011n xx x +--=--L L L L L L L L L L L 11121,2 (1)000000100000010000(1)(1)001000000000011i i r r n n n i n x x x x x x x x x x+-++-=---−−−−→-=--←−−−−-LL L L L L L 33，按第一列展开100000000000000000000000000000n a b ab a b a b a a D a a b a b baba-−−−−→=←−−−−L L L L L L L L L L L L L L L L L L 按第一列展开阶10000000000000000n b ab ab bb ab+L L L L L L L L L ＋（－1）1n n na b +=+（－1） 34，原方程化为21211123122(2)(4)00212002x x x x x x xx==--….35,12341111001111111111110011111111r r r r xx x x x y yyyy--+--−−−→←−−−+--2211001100111100000110011111100x x xyxyx y y y--===--＝0解得0x =或者0y =36，11111213(21)(11)(12)(31)(32)(31)48141918127-=++-+--=--（范德蒙行列式） 37，解122322222222211()()11a b x b x a a xb ax a x a c c x a b x aa b b a x b a b c cx a b x a a b b x a a b b +++--++---=----------- 2121111()()00()()()x ar r a x b a x a b a x b a x a b x a a bx a a b b ++--++=---++-------- ()()()()x a b a x b x b a =++---40，（3）D=63，D 1=63，D 2=126， D 3=189123123x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ （6）D=20，D 1=60，D 2=-80， D 3=-－20，D 4=2012343411x x x x =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ 42，∵22106912412458201822---=---23233330182205--=-=-=--∴原方程仅有零解。

43，令112211310211211kk k k --=---(2)(1)6k k =---2340k k =--=， 得 1k =-或4k =；故当1k =-或4k =时原齐次方程组有非零解。

44，原齐次方程组的系数行列式1120011310(2)(1)0211211k k k k k k -+-=-=+-≠--即当1k ≠且2k ≠-时原齐次方程组仅有零解。

习题二（A）2，（1）1315 3828237913 A B⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦－（2）141387 2325252165 A B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＋－－（3）311140401335 x B A-⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（4）由(2A—Y)+2(B—Y)=0得3Y=2（A+B）∴2()3Y A B=+55332020231133⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10102233440033222233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3，因为232420274x u vA B Cx y y v+-+⎡⎤+-==⎢⎥-++-+⎣⎦得方程组2302724040x ux yvy v+-=⎧⎪-++⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩解得x＝－5，y＝－6，u＝4，v＝－25，（2）1041 431⎡⎤⎢⎥⎣⎦－－－（3）123246369⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦14（7）1051176291516153202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦－－－＝11，（1）设a cXb d⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝，则25461321a cb d-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2525463321a b c d a b c d ++-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，得到方程组 25432a b a b +=⎧⎨+=⎩解得20a b =⎧⎨=⎩， 与25631c d c d +=⎧⎨+=⎩－解得238c d =⎧⎨=⎩－.22308X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＝. （2）54245974X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－＝－－2－－ （3）设x X y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝，111221131116x y z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 2236x y z x y z x y z +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩，解得132x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩于是132X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝. 13．设所有可交换的矩阵为a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则11110101a b a b c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， a c b d a a b c d c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦解得0abc d a⎧⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩从而0a b X a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 16，（3）因为111111000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以11110000n⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （4）因为21111111201010101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦用数学归纳法可以推得 1110101nn ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （5）因为2111111221121111112211⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故可以推出111111111...211111111nn -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 20，334()mA m A m m m -=-=-=- 21，122(2)2T T n T n n A A mA m A m +===.28，因为()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为对称矩阵.因为()()T T T T T T AA A A AA ==，所以T AA 为对称矩阵.31, (1)，原矩阵为12111224123431324442112032A A A B A B A B B B A A A B A B A B B -⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，其中 1112021111A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]1224121010111101112A B A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+-=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； [][]3100331A B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦；[][][][][][]3244103210220A B A B ⎡⎤+=+-=+-=-⎢⎥⎣⎦；（3），记原矩阵为00aII cI I bI dI ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有 00aI I cI I bI dI ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2222aI acI IcI bdI ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ ()aIacIIc bd I ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦0010001a aca ac c bd c bd ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦．33，312313234242A A A A A A A A --=--- 1231234288A A A A A A =-=-=-34，（2）因为0a bad bc c d =-≠，所以11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. （4）因为1A =-，故可逆.*143153164A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，1143153164A ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （6）因为12...0n A a a a =≠,故可逆. 1211...(12...)ii i i n A a a a a a i n -+==,23*121 (00)nn a a a A a a a -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭O,111100n a A a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O . 40, (1)1254635462231321122108X -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (211101131111135422243221043211145212511112531974122X -⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎣⎦) (3)11103311122111121133323611166211022X -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 42, 由2AX I A X +=+得到2AX X A I -=-,()()()A I X A I A I -=-+,1()()()()I A I A I X A I A I ----=--()A I +201140022X A I -⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 44, 两边同乘以121()()()(...)k k I A I A I A I A A A I A I ----=-++++=-=. 45, 由2240A A I --=得到()(3)A I A I I +-=,于是A I +可逆并且1()3A I A I -+=-. 51, 因为12A -=, 1*1113112216(3)22()33327A A A A A A A ------=-=-=-=-. 52, 1113112()2()(2)(8)3122T T A B B A B A -----=-=-=-⋅⋅=-.53, (3),初等行变换得到21321123123313513112112112101100321055011011010120012003001001r r r r r r r r r r r r --+-+----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→-−−→-−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(6),131310101300000121050100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 54, (1)23122112312223100110010101021110010043120011011121001011011043120r r r r r r r r r r ↔↔-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23421334101021100143011011010153001164001164r r r r r r r +-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦, 所以 1223143110153121164---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. (4), 135710001002013110012301000123010000120010001200100001000100010001--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000131120010001210010001200010001--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,11357131120012301210012001200010001----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 55, (1),41544154200410026158200401540154⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 10254X A B -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦. (2), 111111111013025202520016101301220122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 10091009001601014010140016⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 19146X A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 56,101301101301100522110110011211010432012014001223001223--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→----→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 1522(2)432223B A I A ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 57, (1) 1234123412450411110120000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,秩为2. (3)11210112101121011210224200000000000030013061103041000400004003001030010300100000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 秩为3.(4)秩为3.58, 初等行变换得到111111121010231001λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦,因为秩为2必有 10λ-=, 1λ=.59，111111110112001100123100001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦当1,()2;a r A ==当1,()3a r A ≠=．60, 1121112112101423110464A a a b b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦, 因为()2r A =,所以第二第三两行成比例从而得到464142b a --==-解得1a =-, 2b =-习题三（A ）1，用消元法解下列线性方程组 （1）123123123123233350433136x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩解2133131361313613136315031500834180153(,)4113411301353270135327131362133072915072915A b -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1313613136131360153015301530012120011001100660*******------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，回代， 131361231001015301530102001100110011000000000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，方程组有唯一解：123121x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2）1234123412342121255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=⎩解：1211112111(,)12111000221215500064A b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦1211100022000010-⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．（3）123412341234101222x x x x x x x x x x x x ⎧⎪-+-=⎪--+=⎨⎪⎪--+=-⎩解： （A ，ｂ）＝111111111111111111110002210011213000001122003322⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11100210011200000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得到同解方程组1212343411221122x x x x x x x x ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪→⎨⎨⎪⎪-==+⎪⎪⎩⎩ 设21x c =，42x c =，则得到一般解为112132421212x c x c x c x c ⎧=+⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩ （6）1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩解：A ＝1103111031113111210022210222142634066150000932424702210500000------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦7113111061501110110261100010001330000000000⎡⎤---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，得到同解的方程组13523545706506103x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪-=⎪⎩， 13523545765613x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩令31x c =，52x c =， 得到112212314252765613x c c x c c x c x c x c ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩2， 确定a,b 的值使下列线性方程组有解，并求其解（2）12312321231ax x x x ax x a x x ax a⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩解： 方程的系数行列式D=21111(1)(2)11a a a a a =-+当2a ≠-且a ≠１时，0D ≠,方程有唯一解,2121111(1)(1)1D aa a a a a==--+，2221111(1)1aD aa a a==-， 2232111(1)(1)11a D a a a a a ==-+，于是得1223121212a x a x a a a x a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩＋2+当1a =时,方程组为1231x x x ++=，1231x x x ＝－－＋，方程组有无穷多解，1122132+1x c c x c x c=--⎧⎪=⎨⎪=⎩；当2a =时，方程组为123123123212224x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，其增广矩阵为（A ， b ）＝211121111212121211240003--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，r(A)=2,r(A ，b)=3,方程组无 解．补充，1232312321(1)0(1)32ax bx x b x x ax bx b x b++=⎧⎪-+=⎨⎪++-=-⎩解：2121(,)0110011013200122ab a b A b b b a b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦①0,1a b ≠≠±当时有唯一解，此时，增广矩阵为5302201122001b a b b b b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦１＋ｂ－０＋－＋１＋500201122001b a b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦１＋ｂ－０＋－＋１＋，解为123521221b x a x b b x b -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(１＋ｂ)－＋－＋＋； ②当a ≠0,且b=1时,有无穷多解，1230c x a x c x -⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩１③当a =0,且b=1有无穷多解，12310x c x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩④a =0,且b=-1有无穷多解，123130x c x x =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩3, (1) 12343254(23,18,17)αααα+-+= (2) 123452(12,12,11)αααα+--=4，（1）(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=--=---=-，（2）13511275)(3,5,7,9)(1,5,2,0)(7,5,,)22222ηαβ-=--=-=(36，（1）（a ）设112233k k k αααβ++=，得123(1,0,1)(1,1,1)(0,1,1)(3,5,6)k k k ++--=-化为方程组123110301151116k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 112311030113110115111514111610169k k k ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴ 12311149βααα=-++（b ）对矩阵123TT TT αααβ⎡⎤⎣⎦进行初等行变换：1103100110115010141116019-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦可得 12311149βααα=-++（2） 123425βεεεε=-++． 9，由题设得到112233*********αβαβαβ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴1112233*********αβαβαβ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝123110221102211022βββ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦即1121122αββ=+，2231122αββ=+，3131122αββ=+． 10，（1）矩阵为1021231235025025012102025000-⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，可知312522ααα=-- ；线性相关．（2）矩阵为1321321321120012013327002000114101300⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，线性无关． 11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于 11220nn a a a ≠L ，线性无关．12，由对应向量构成的矩阵112233*********βαβαβα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵ 211113000--=，∴1β,2β3β 线性相关．13, 证明:令11212312312()()...(...)0s s k k k k ααααααααα++++++++++=, 整理得到1122(...)(...)...0s s s s k k k k k ααα+++++++++=.因为12,,...,s ααα线性无关, 所以有12...0...0. 0s ss k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪=⎩, 解得1200.........0s k k k =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩, 从而向量组11212,,...,...s αααααα++++线性无关.14，令212060111kk k k =--=-２，k=3,-2当≠≠k 3且k -2时，线性无关；当k=3或-2时，线性相关．16，（1）对矩阵1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换，得到10021002010101010013001311100000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， ∴123,,ααα是极大线性无关组，412αα=－233αα+（2）对矩阵1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换，得到101310131013011201120112110301160000000000000014111101020000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1013100101120102001400140000000000000000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 123,,ααα是极大线性无关组, 41234αααα=+-17，对1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换，得到（1）11511151115171123027401223181027400001397041480000--⎡⎤----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴ 12,αα是极大线性无关组；并且3123722ααα=-，4122ααα=+（2）1114311143113210226221355011313156702262--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦10212011310000000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,αα是极大线性无关组；并且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=-- 20，（1）对系数矩阵进行变换得12471247100021210510150120312400020001A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组 112323440020200x x x x x x x x ==⎧⎧⎪⎪-=→=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 令31x =, 得12340210x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩．0210V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即为基础解系． (2) 121111211121123054()32112044251220100Ab ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－－－－－－3－5－－－－4－5－－－1－ 17100281211115011000102800415001000002800000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－－－8－5－得方程组454551342172815281528x x x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=++⎨⎪-⎪=⎪⎩－－．令4510x x =⎧⎨=⎩得到123121212x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩－－：再令4501x x =⎧⎨=⎩得到123785858x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩-⎪于是基础解系为121212,781210015858ξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．(3) 1211112111211110533()17550966321105522Ab --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦－－－－3－5－6－1 101111000011110100000111001000021100011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得到方程组12345000x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩令51x =得41x =，得到基础解系为00011ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 23，对系数或增广矩阵进行变换得（1）21112047200152103001201012013601360012222500000000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组 141424243434215021512012202x x x x x x x x x x x x -==⎧⎧⎪⎪-=→=⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩ ，令42x c =得到1234152442x cx c x cx c=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．基础解系为152442v c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，其中c 为任意常数．（2）111117110117321132000000012262301026235433112001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10015160000000102623001000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦得方程组 145145245245335165162623262300x x x x x x x x x x x x x x --=-=+-⎧⎧⎪⎪++=→=--+⎨⎨⎪⎪==⎩⎩， 对应的齐次线性方程组为14524535260x x x x x x x =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩令4500x x =⎧⎨=⎩，得特解123451623000x x x x x =-⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩，再令4510x x =⎧⎨=⎩得1234512010x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩，4501x x =⎧⎨=⎩，得1234556001x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩,基础解系为1526,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦原方程组的通解为1216152326000010001U c c -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1c ，2c 为任意常数．(3)，21314151,,1354011354011322110032111113043121411130451212111101431r r r r r r r r Ab ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥←−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－－－－－2（）＝－2－－－5－－－－－7－－－－－－－235454517,8107535003210016126120032201431r r r r r ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－2－1－－－22425412107535013100860032000000r r r r r +↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－4－－2－6－3－2－1341323233,74,3100535010310010000002000000r r r r r r r r --++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－2－2－13142445132110000100535201031101001200100000100010001112000112000000000000r r r r r r --+-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－2 得到方程组1525345121120112x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎩－－＝－－，特解01010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝，基础解系12120121υ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＝－， 于是全部解是120112()0011021c c R ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＋－． 24, 2113112112(,)112112011011211301133A b λλλλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－ 21121120110011000310031λλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－－－－2－－（）－（－1）（＋2）（）讨论如下：（1） 当2λ＝－时，方程组无解； （2） 当21λλ≠≠－且－时有唯一解； （3） 当时有无穷多解：此时方程组为1232x x x =＋＋－．基础解系为111001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－，，特解为00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－2，全部解为121211010(,)001c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－2－－＋为任意实数．25，将增广矩阵化为T 阵，得11223344551110001100001100011000011000110000110001111i i i a a a a a a a a a a ==-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑，可知 当且仅当51i i i a ==∑＝0时方程组有解；一般解为112345223453345445x a a a a x x a a a x x a a x x a x =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩即112342234334445x a a a a cx a a a c x a a c x a c x c=++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎪=⎩（c 为任意实数）习题四（A ）1，（1）由221(2)1012I A λλλλ---==--=--得到特征值为121,3λλ==．11λ=以代入，得方程组121210112x I A X x λ--⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦，12120x x x x -=⎧⎨-=⎩--， 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦１它的基础解系是，－111λ⎡⎤≠=⎢⎥⎣⎦11１ｃ(ｃ0)是对应于特征值的全部特征向量．－ 121212332101320x I A X x x x x x λλ=--⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦-=⎧⎨+=⎩２以代入，得方程组- 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦１它的基础解系是， 231λ⎡⎤≠=⎢⎥⎣⎦22１ｃ(c 0)是对应于特征值的全部特征向量． （2）由5635631111121022I A λλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦2593(2)111(2)(2)001λλλλλ--⎡⎤⎢⎥→-+-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝0，1,2,32,λ=12312323631210121x I A X x x λλ=--⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦以代入，得方程组即12320x x x +-=，211001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它的基础解系是，, 2110,01-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1212ｃ+ｃ（ｃｃ不全为零） 1λ=，２，３是对应于特征值２的全部特征向量．（3）11122122I A λλλλλλλλλλλ---==-+--+-－１－１－１－１－1－１－１－１－１11－１11－１110-0－１110-0231(2)(2)(2)11λλλλλ+=-=-+－1－3－１－１－１110000＝0特征值为1,2,342,2λλ==-．以1,2,32λ=代入得1100010001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11基础解系是，, 12311100(,,)010001c c c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦２３11不全为零． 12λ=，２，３是对应于特征值的全部特征向量2λ=４以－代入，得1111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦基础解系，42λ=-对应于特征值的全部特征向量是11(0)11-⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦44c c ．(4), 201001010010110I A λλλλλλλ---=-=--- 22(1)(1)(1)(1)0λλλλ=--=-+=, 得到 1,231,1λλ==-,当1,21,λ=13x x =,得到基础解系011,001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,对应的全部特征向量为12011001c c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(12,c c 不全为零), 当31λ=-时, 解方程组1320x x x =-⎧⎨=⎩得到基础解系101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 全部特征向量为3310(0)1c c -⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3，由题设，0AX X λ=（1）0()()()kA X k AX k X λ==，即kA 的特征值为0k λ． （2）由A 可逆，00λ≠1110010110()()()A AX A X A X A X XA X Xλλλλ------====1A -的特征值为10λ-．（3）00() 1.I A X IX AX X X X X λλ+=+=+=+0(1)X λ=+ I A +的特征值为01λ+．4，设0AX X λ=，2220002002000()()()A AA X A AX A X AX X X Xλλλλλλλλ=====∵　∴ ＝＝∴ ＝0或１5, 以0λ=代入0220003030022002xx I A λλλλ---+-=-=-=---,得到2x =. 代入222203032222I A λλλλλλλ-----=-=-----22(3)(3)(4)022λλλλλλ--=-=--=--,解得1230,3,4λλλ===. 所以其他特征值为233,4λλ==.8，如果A 可逆，则1A -存在，并且11()()A AB A A A BA BA --== ∴ AB BA :．。