应用多元统计分析 习题解答
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
第三章 多元正态总体参数的检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵.
若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.
证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得
Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),
(2x12
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
f (x; , ) a
a0 (2 ) p/ 2 |
(x )1
|1/ 2 ,当0 a
(x )
1
ba02
时,
其中 b2 2 ln[a(2 ) p/2 | |1/ 2 ] 2 ln[aa0 ] 0, 20
第二章 多元正态分布及参数的估计
因 0,的特征值记为1 2 p 0, i对应
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
(完整版)应用多元统计分析课后答案_朱建平版
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1ax b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；（3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇部分习题解答(00004)市公开课金奖市赛课一等奖课件
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
应用多元统计分析课后题答案
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
μ)
1 n 1
n i 1
E(Xi
-
μ)(
X i
-
μ)
nE(X
μ)(X
μ)
Σ
。
故 S 为 Σ 的无偏估计。 n 1
2.9.设 X(1) , X(2) , ..., X(n) 是从多元正态分布 X ~ N p (μ, Σ) 抽出的一个简单随机样本，试求 S
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
2(d c)(x1 a)x2 d dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
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0 8
X (2)
X
(3)
0
X (5) CL4
第11页 11
第六章 聚类分析
② 合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离 D2=3.
0 D(3) 10
9
0 8
0
X (3)
CL4 CL3
③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D3=8.
D(4) 100
0
X (3) CL2
④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=10.
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
( p) )
n2p nr2
D
2 pk
nq2 nr2
Dq2k
n p nq nr2
(X
(k)
X
( p) )'( X
(k)
X
( p)
X
( p)
X
(q) )
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
(q)
X
(q)
X
( p) )
第26页 26
故d*是一个距离.
第5页
5
第六章 聚类分析
(4) 设d (1)和d (2)是距离, 令d * d (1) • d (2).
d *虽满足前2个条件,但不一定满足三角不等式.
下面用反例来说明d *不一定是距离.
设di(j1)
d (2) ij
X (i) X ( j) (m 1), 则di*j
X (i) X ( j)
D
2 pk
nq nr
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max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
(完整版)多元统计分析课后练习答案
第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
应用多元统计分析课后答案
-4454.39
-62.75
9
3.41
0.04
0.2
67.86
98.51
1.25
-11.25
-11.43
10
1.16
0.01
0.54
43.7
100
1.03
-87.18
-7.41
11
30.22
0.16
0.4
87.36
94.88
0.53
729.41
-9.97
12
8.19
0.22
0.38
30.31
应用多元统计分析课后答案
第五章聚类分析
5.1判别分析和聚类分析有何区别？
答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
有序聚类就是解决样品的次序不能变动时的聚类分析问题。如果用 表示 个有序的样品，则每一类必须是这样的形式，即 ，其中 且 ，简记为 。在同一类中的样品是次序相邻的。一般的步骤是（1）计算直径{D（i,j）}。（2）计算最小分类损失函数{L[p(l,k)]}。(3)确定分类个数k。（4）最优分类。
5.7检测某类产品的重量，抽了六个样品，每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法，重心法进行聚类分析。
应用多元统计分析试题及答案.doc
一、填空题：1、多元统计剖析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法 .2、回归参数明显性查验是查验解说变量对被解说变量的影响能否著.3、聚类剖析就是剖析怎样对样品（或变量）进行量化分类的问题。
往常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。
4、相应剖析的主要目的是追求列联表行要素A和列要素B的基本剖析特点和它们的最优联立表示。
5、因子剖析把每个原始变量分解为两部分要素：一部分为公共因子，另一部分为特别因子。
6、若x( ): N P( ,),=1,2,3 .n且互相独立，则样本均值向量x 听从的散布为 _ x ~N(μ，Σ /n)_。
二、简答1、简述典型变量与典型有关系数的观点，并说明典型有关剖析的基本思想。
在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间拥有最大的有关系数。
选用和最先精选的这对线性组合不有关的线性组合，使其配对，并选用有关系数最大的一对，这样下去直到两组之间的有关性被提取完成为止。
被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的有关系数称为典型有关系数。
2、简述相应剖析的基本思想。
相应剖析，是指对两个定性变量的多种水平进行剖析。
设有两组要素A和B，此中要素 A 包括 r 个水平，要素 B 包括 c 个水平。
对这两组要素作随机抽样检查，获得一个 rc 的二维列联表，记为。
要追求列联表列要素 A 和行要素 B 的基本剖析特点和最优列联表示。
相应剖析即是经过列联表的变换，使得要素 A和要素 B 拥有平等性，进而用同样的因子轴同时描绘两个要素各个水平的情况。
把两个要素的各个水平的情况同时反应到拥有同样坐标轴的因子平面上，进而获得要素 A 、 B 的联系。
3、简述费希尔鉴别法的基本思想。
从 k 个整体中抽取拥有 p 个指标的样品观察数据，借助方差剖析的思想结构一个线性鉴别函数系数：确立的原则是使得整体之间差别最大，而使每个整体内部的离差最小。
将新样 品的 p 个指标值代入线性鉴别函数式中求出 值，而后依据鉴别必定的规则，就能够鉴别新的样品属于哪个整体。
应用多元统计课后答案解析
2(d c)(x 1 a)x 2 (b a)2(d c)2 2[(b a )(X 2 c) 2(X 1 a )(X 2 c)] (b a)2(d c)2dx 22(d c)(x.| a)x 222~(b a) (d c) c2[(b a)t 2(X 1 a)t]2 2 (b a) (d c)dt 2(d c)(x-i a)x 22 2(b a) (d c)所以d c2 2(b a) (d c) o2 2[(b a)t 2(X 1 a)t ] 第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X !,X 2^|X p )的联合分布密度函数是-个p 维的函数，而边际分布讨论是 X (X i ,X 2」||X p)的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量(X 1 X 2)服从二元正态分布，写出其联合分布。
其中 a X 1 b , c X 2 d 。
求(1 )随机变量X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差；(2) 随机变量X 1和X 2的协方差和相关系数； (3) 判断X 1和X 2是否相互独立。
(1)解：随机变量 X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差;2[(d c)(x-i a) (b a)(x 2 c) 2(x 1 a)(x 2c)]2 2(b a) (d c)id解：设(X 1 X 2)的均值向量为口 ，协方差矩阵为21；，则其联合分布密度函数为21/21f(X).2-2.3已知随机向量(X 1f(X 1,X 2)型21122 2exp口)2112 2 2(X口)。
X 2) c)(X 的联合密度函数为a) (b a)(X 2c) 2 2(b a) (d c)2(X 1 a)(x 2 c)] dx(C d)(b a)36COV(N，X2)X i X2(3)解：判断X i和X2是否相互独立。
X i 和X2 由于f(X!,X2) f x,X i) f x,(X2)，所以不独立。
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第10页 10
第八章 因子分析
8-3 验证下列矩阵关系式(A为p×m阵)
(1) (I AD1A)1 AD1A I (I AD1A)1;
(2) ( AA D)1 D1 D1A(I AD1A)1 A1D1;
(3) A( AA D)1 (Im AD1A)1 AD1.
解：利用分块矩阵求逆公式求下列分块矩阵逆：
(3) 主成份分析是将主成份表示为原变量线性 组合,而因子分析是将原始变量表示为公因子和 特殊因子线性组合,用假设公因子来“解释”相 关阵内部依赖关系.
这两种分析办法又有一定联系.当预计办法采 用主成份法,因子载荷阵A与主成份系数相差一 个倍数;因子得分与主成份得分也仅相差一个常 数.这种情况下可把因子分析当作主成份分析推 广和发展.
并计算误差平方和Q(2).
解 : m 2的因子模型的主成分解为:
0.8757 0.1802
A(
1l1,
2
l2
)
0.8312
0.4048,
0.7111 0.6950
第7页
7
第八章 因子分析
D
0.2007 0 0
0 0.1452
0
0.0100131
则m 2的正交因子模型为
X1 0.8757F1 0.1802F2 1 X 2 0.8312F1 0.4048F2 2 X 3 0.7111F1 0.6950F2 3
p
m
p
S ilili ilili ilili
i 1
i 1
i m 1
其中1 2 p 0 为S特性值，li为相应原则
特性向量。
第14页 14
第八章 因子分析
设A,D是因子模型主成份预计,即
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4.7067
取a 1 A1( (1) (2) )
d
1 65 1381
3323 ,
则aAa
1,
且a满足 : Ba Aa ( d 2 ).
12
第五章 鉴别分析
判别效率(a) aBa 4.7067.
aAa
Fisher线性判别函数为u( X ) aX
1 89765
(32
X1
33X
2 判别准则为 判X G1 , 当W ( X ) 0,
判X G2 , 当W ( X ) 0, 试求错判概率P(2 |1)和P(1| 2).
解 : 记a 1 ( (1) (2) ),W ( X ) ( X )a是X的
线性函数,当X
G1时,W
(
X
)
~
N1
(1,
2 1
), 且
20
第五章 鉴别分析
20 20
时,
u
(
X
(1)
)
1 89765
(32,33)
20 20
4.3390
因u( X (1) ) 4.3390 u* , 判X (1) G2.
当X (1)
15 20
时,
u
(
X
(2)
)
1 89765
(32,33)1250
3.8050
因u( X (2) ) 3.8050 u* 判X (2) G1.
其中W ( X ) a( X *)
( X * )1( (1) (2) ) ,
* 1 ( (1) (2) ).
2 10
第五章 鉴别分析
5-4 设有两个正态总体G1和G2,已知(m=2)
(1)
1105, (2)
多元统计复习题答案
多元统计复习题答案一、单项选择题1. 多元统计分析中，用于描述多个变量之间关系的统计方法是（）。
A. 相关分析B. 聚类分析C. 因子分析D. 主成分分析答案：C2. 以下哪个不是多元统计分析中常用的降维方法？（）A. 主成分分析B. 因子分析C. 聚类分析D. 典型相关分析答案：C3. 在多元统计分析中，用于识别数据集中的异常值或离群点的统计方法是（）。
A. 马氏距离B. 箱线图C. 相关系数D. 卡方检验答案：B二、多项选择题1. 多元统计分析中，以下哪些方法可以用来进行变量选择？（）A. 逐步回归B. 岭回归C. 偏最小二乘回归D. 主成分分析答案：A|B|C2. 多元统计分析中，以下哪些方法可以用来进行数据的分类？（）A. 判别分析B. 聚类分析C. 因子分析D. 典型相关分析答案：A|B三、判断题1. 多元统计分析中的因子分析可以用于变量的降维。
（对）2. 多元统计分析中的主成分分析和因子分析是完全相同的方法。
（错）3. 多元统计分析中的聚类分析可以用于识别数据集中的异常值。
（错）四、简答题1. 简述多元统计分析中主成分分析（PCA）的主要步骤。
答：主成分分析的主要步骤包括：数据标准化、计算协方差矩阵、求解特征值和特征向量、选择主成分、构造主成分得分。
2. 描述多元统计分析中判别分析的应用场景。
答：判别分析在多元统计分析中主要应用于根据已有的分类变量来预测新样本的分类，例如在医学诊断、市场细分、信用评分等领域。
五、计算题1. 给定一组数据，计算其主成分得分。
答：首先需要对数据进行标准化处理，然后计算协方差矩阵，接着求解特征值和特征向量，最后根据特征值的大小选择前几个主成分，并计算对应的得分。
2. 利用判别分析对一组数据进行分类，并给出分类结果。
答：首先需要确定分类的依据，然后计算各类别的判别函数，接着对新样本进行判别分析，最后根据判别得分将样本分类到相应的类别中。
应用多元统计分析试题及答案
一、填空题：1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法.2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著.3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。
通常聚类分析分为 Q型聚类和R型聚类。
4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。
5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。
6、若()(,), Px N αμα∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布为_x~N(μ，Σ/n)_。
二、简答1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。
在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。
选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。
被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。
2、简述相应分析的基本思想。
相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。
设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。
对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。
要寻求列联表列因素A和行因素B 的基本分析特征和最优列联表示。
相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。
把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。
3、简述费希尔判别法的基本思想。
从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数：确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。
将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。
应用多元统计分析课后答案_暴强整理
第二章2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
设X =(X 1,X 2，⋯X p )′是p 维随机向量，称由它的q （<p ）个分量组成的子向量X(i)=(X i1,X i2，⋯X iq )′的分布为X 的边缘分布，相对地把X 的分布称为联合分布。
当X 的分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )时，X (1)的分布函数即边缘分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )=P(X 1≤x 1,⋯X q ≤x q ,X q+1≤∞,⋯X p ≤∞) = F (x 1,x 2，⋯x q ,∞,⋯∞)当X 有分布密度f （x 1,x 2，⋯x p ）则X (1)也有分布密度，即边缘密度函数为：f （x 1,x 2，⋯x q ）=∫⋯+∞−∞∫f （x 1,x 2，⋯x p ）dx q+1⋯d +∞−∞x p 2.2 设随机向量X =(X 1,X 2)′服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X 1,X 2各自的边缘密度函数。
联合分布密度函数12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−12(1−ρ2)[(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+f (x 1,x 2)=(x 2−μ2)2σ22]} ， x 1>0,x 2>00 , 其他(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+(x 2−μ2)2σ22=(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+(x 2−μ2)2σ22+ρ2(x 1−μ1)2σ12−ρ2(x 1−μ1)2σ12=[ρ(x 1−μ1)σ1−(x 2−μ2)σ2]2+（1−ρ2）(x 1−μ1)2σ12所以指数部分变为−12{[11√1−ρ2σ1−22√1−ρ2σ2]2+(x 1−μ1)2σ12}令t=22√1−ρ2σ2−11√1−ρ2σ1 ∴dt =√1−ρ2σ22∴f (x 1)=∫f (x 1,x 2)+∞−∞dx 2=12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−(x 1−μ1)22σ12∫exp(+∞−∞−12t 2√1−ρ22dt =√2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] √2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] ， x 1>0f (x 1)=0 ，其他 同理， √2πσ2exp[−(x 2−μ2)22σ22] ， x 2>0f (x 2)=0 ，其他2.3 已知随机向量X =(X 1,X 2)′的联合分布密度函数为f (x 1,x 2)=2[(d−c )(x 1−a )+(b−a )(x 2−c )−2(x 1−a)(x 2−c)(b−a)2(d−c)2,其中,a ≤x 1≤b,c ≤x 2≤d 。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第七章习题解答
04
习题4解答
题目
• 题目：在多元线性回归中，如果 一个自变量与其他自变量高度相 关，那么这个自变量是否应该被 包括在回归模型中？为什么？
解答
01
解答：在多元线性回归中，如果一个自变量与其他自变量 高度相关，那么这个自变量是否应该被包括在回归模型中 ，需要视具体情况而定。
解答
• 当$x < 0$时，$P(X \leq x) = \frac{1}{2}e^{x}$，所以$p(x) = \frac{1}{2}e^{x}$。
解答
• 接下来，我们计算期望值
• 当$x \geq 0$时，$E(X) = \int{0}^{\infty}xp(x)dx = \int{0}^{\infty}\frac{1}{2}xe^{-xdx} = \frac{1}{2}e^{-x}|_{0}^{\infty} = 0$。
• 因此，$E(X) = 0$。
01
03 02
解答
• 当$x \geq 0$时，$P(X^2 \leq x) = P(X \leq \sqrt{x}) = \frac{1}{2}e^{-\sqrt{x}}$，所以 $p_1(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}$。
答案
证明过程如上所述，结论 正确。
证明过程如上所述，结论 正确。
证明过程如上所述，结论 正确。
答案1
答案2
答案3
03
习题3解答
题目
题目：设随机变量$X$的 分布函数为$F(x) = begin{cases}
0 & x notin mathbf{R}
frac{1}{2}e^{-|x|} & x in mathbf{R}
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
类似地有
1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65 x1 14 x1 49 ) 2
f 2 ( x2 )
X 2 ~ N (3,2).
f (x , x )dx
1 2 1
1 2 2
e
1 ( x2 3) 2 4
10
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
9
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
u1 x1 4 令 u2 x2 3
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第六章习题解答
目录
习题一：多元线性回归分析 习题二：主成分分析 习题三：因子分析 习题四：聚类分析
01
习题一：多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
总结词：多元线性回归模型是用来研究多个自变量与因变量之间线性关系的统计方法。
多元线性回归模型的参数估计
总结词：参数估计是多元线性回归模型建立的重要步骤，常用的方法有最小二乘法和加权最小二乘法等。
步骤4
重新计算每个聚类的中心，并更新聚类中心。
步骤5
重复步骤3和4，直到聚类中心收敛或达到预设的最大迭代次数。
算法
常见的聚类算法包括K-means、层次聚类、DBSCAN等。
聚类分析的步骤与算法
感谢您的观看
THANKS
01
主成分在几何上表示数据集的投影方向，即数据在各主成分上的投影点形成的直线方向。
02
第一主成分是数据点散布最广的方向，第二主成分是数据点散布次广的方向，以此类推。
主成分的几何意义
03
习题三：因子分析
因子分析的基本概念
因子分析是一种多元统计分析方法，用于从一组变量中提取公因子，并对这些公因子进行解释。
习题四：聚类分析
聚类分析的目标是发现数据的内在结构，以便对数据进行更深入的理解和分类。
聚类分析广泛应用于数据挖掘、模式识别、图像处理等领域。
聚类分析是一种无监督学习方法，通过将数据点或观测值分组，使得同一组（即聚类）内的数据尽可能相似，而不同组之间的数据尽可能不同。
聚类分析的基本思想
设$X = {x_1, x_2, ..., x_n}$为数据集，其中每个$x_i$是一个$p$-维向量。
正的因子载荷表示正相关，负的因子载荷表示负相关。
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第六章部分习题解答
第六章 聚类分析
6-1 证明下列结论:
(1) 两个距离的和所组成的函数仍是距离;
(2) 一个正常数乘上一个距离所组成的函数
仍是距离;
(3)设d为一个距离,c>0为常数,则 d * d
仍是一个距离;
d c
(4) 两个距离的乘积所组成的函数不一定是
距离;
证明 :(1)设d(1)和d(2)为距,离 令dd(1) d(2).
D r ( L )k m D p ( L 1 ) i , k D q ( L n 1 ) k ) D (p ( L 1 ) q D ( L )( k p ,q )
设第L+1步从类间距离矩阵 D(L) Di(L j) 出发，
20
第六章 聚类分析
因Dr(Lk) Dp (L q1) DL (kp,q)
D(0)
D(1)
0 4 6
0 9
0
16
7 3
10 5
0 8
0
① 合并{X(1),X(4)}=CL4,并类距离 D1=1.
0
D(2)
92 32
65
2
0 52 136
2
0 100
2
X(2) X(3) 0CX(L54)
14
第六章 聚类分析
② 合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离 D2=3.
(k)
X ( p) )'(X
( p)
X
(q) )
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'(X
( p)
X
(q) )
np nr
D
2 pk
nq nr
Dq2k
n p nq nr2
D
2 pq
27
第六章 聚类分析
解二:因样品间的距离定义为欧氏距离,利用
X(r)
1 nr
npX(p)
nqX(q)
Dr2k ( X (k) X (r) )'( X (k) X (r) )
di*kdk*,j对一i,切 k, j.
故d*=ad是一个距离. (3) 设d为一个距离,c>0为常数,显然有
①
di*j
dij dij c
0,且仅当 X(i)
X( j)时di*j
0;
②
di*j
dij dij c
dji dji c
d*ji,对一切 i, j;
4
第六章 聚类分析
③
d
* ij
d ij dij c
X1
X4
X2
X5
X3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Average Distance Between Clusters
16
第六章 聚类分析
6-4 利用距离平方的递推公式
D k 2 r p D p 2 kq D q 2 kD p 2 q|D p 2 k D q 2|k
来证明当γ＝0,αp≥0,αq≥0,αp+αq+β≥1时,系统聚类中的类 平均法、可变类平均法、可变法、Ward法的单调性.
1.10.250.85
23
第六章 聚类分析
当把A与{B，C}并为一类时，并类距离
D 20 .8 5 0 .92 1 2D 1
故重心法法不具有单调性。
A
并类过程如下：
B
C
D(1) 0
1.1 0
110..01C B AD(2) 0
0.8 0
5GAr
D(3) 0
24
第六章 聚类分析
6-7 试推导重心法的距离递推公式(6.3.2);
pq(1)nnrp
(1)nq
nr
11
故可变类平均法具有单调性。
18
第六章 聚类分析
对于可变法，因
p0,qp12120,1q21210,(11)
故可变法具有单调性。
对于离差平方和法，因
0,p
nk nr
np nk
0,q
nk nr
nq nk
0,
pqnnkr
np nk
nk nr
nq nk
nk nr nk
a dbc
n
n
(xtixi)2 (xtjxj)2
(ab)c(d) (ac)b(d)
t1
t1
(6.2.2)
9
第六章 聚类分析
利用两定量变量夹角余弦的公式：
n
xti xtj
cosij
t 1 n
n
其中
xt2i
xt2j
t 1
t 1
n
n
n
xti xtj a, xt2iab, xt2jac
t 1
t1
xi)2
n
t1
xt2i
nxi2
abnab2 n
(ab)[n(ab)]1(ab)(cd)
nn8源自第六章 聚类分析n (xtj
t1
xj)2
n
t1
xt2j
nx2j
acnac2 n
(ac)[n(ac)]1(ac)(bd)
n
n
故二值变量的相关系数为：
n
Cij(7)
(xtixi)x(tjxj)
t1
Dr2k
np nr
2
(X (k)
X
(
p)
)'(
)
nq nr
2
(X (k)
X (q))'( )
npnq nr2
(X
(k)
X
( p) )'( X
(k)
X
(q) )
npnq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
( p) )
n2p nr2
Dp2k
nq2 nr2
Dq2k
npnq nr2
(X (k)
Dr2kn nrpDp 2kn nq r Dq2knn pn r2qDp 2q
解一: 利用
X(r)
1 nr
npX(p)nqX(q)
如果样品间的距离定义为欧氏距离,则有
Dr2k(X(k) X(r))('X(k) X(r))
npnrnq
X(k)
np nr
X(p)
nq nr
X(q)'
25
第六章 聚类分析
11
故离差平方和法具有单调性。
19
第六章 聚类分析
6-5 试从定义直接证明最长和最短距离法的单调性.
证明：先考虑最短距离法：
设第L步从类间距离矩阵
D D (L1)
(L1) ij
D(L1) pq
miD ni(L j1)
故合并Gp和Gq为一新类Gr，这时第L步的并类距离:
DL Dp(Lq1)
且新类Gr与其它类Gk的距离由递推公式可知
证明：设第L次合并Gp和Gq为新类Gr后,并类距离DL ＝ Dpq,且必有Dpq2≤Dij2 . 新类Gr与其它类Gk的距离平方的
递推公式 ,当γ＝0,αp≥0,αq≥0, αp+αq+ β ≥1 时
D k 2 rp D p 2 k q D q 2 k D p 2 q (p q ) D p 2 q D p 2q
t1
t1
故有 ci(j9)co ijs(ab a )a (c) (6.2.3)
10
第六章 聚类分析
6-3 下面是5个样品两两间的距离阵
0
D(0)
D(1)
4 6
0 9
0
16
7 3
10 5
0 8
0
试用最长距离法、类平均法作系统聚类，并画出谱系
聚类图.
解:用最长距离法:
① 合并{X(1),X(4)}=CL4,
X
(k)
1 nr
(np X ( p) nq X (q) )
X (k) X (k) 2 np X (k) X ( p) 2 nq X (k) X (q)
nr
nr
1 nr2
n
2 p
X
( p) X
( p)
2npnq X
( p) X
(q)
nq2 X
(q) X
(q)
28
第六章 聚类分析
利用 X(k)X(k) n1r npX(k)X(k) nqX(k)X(k)
④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=10.
12
第六章 聚类分析
最长距离法的谱系聚类图如下:
Name of Observation or Cluster
X1
X4
X2
X5
X3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Maximum Distance Between Clusters
13
第六章 聚类分析
用类平均法:
n
(xti xi)(xtj xj )
rij
t1 n
n
(xti xi)2
(xtj xj )2
t1
t1
7
第六章 聚类分析
n
(xti xi)(xtj
t1
n
xj) xtixtj
t1
nxixj
anabac nn
1[an(ab)(ac)]1[a(abcd)(ab)(ac)]
n
n
adbc n
n
(xti
nq2 nr2
n1r2(nqnr
nqnp);nnr2p2