《机械工程测试技术基础》(第三版,熊诗波等主编)课后答案

信号及其描述习题1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。

画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==∑+∞-∞=,3,2,1,0;)(0n eC t x n tjn nω式中：所以：幅值频谱：相位频谱：傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。

1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms解：1.3求指数函数 的频谱。

解：[]()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰⎰⎰,6,4,2;0,5,3,1;2cos 12111)(1)(1200002002002022000000000000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππππωωππωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞-∞=,7,5,3,1;2)(0n en A j t x t jn n ωπ⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;222n n A C C C nI nR n π⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n πππϕωππωμ2;2sin 1)(lim 0000000====⎰⎰∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2sin 1)(10020002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰⎰ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααfj Adt eAe dt e t x f X ftj t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞--1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:令:2)单位阶跃函数的频谱:1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

解：fj dt eedt eedtet x f X t x e t x ftj tft j t ft j t ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(022*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===⎰⎰⎰∞+---∞--→--→fj dt eedt et x f X t x e t x ftj t ft j tππααπαα21lim )()(;)(lim )(02022202=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰∞+--→--→⎩⎨⎧≥<=T t T t t t x ;0;cos )(0ω()[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 212cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft j t f j t f j T T TT ft j ft j1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。

试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。

示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？ 解：当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μx 和均方值φx 2和概率密度函数p (x )解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）=arcsin(x (t )/ x 0)等式两边对x 求导数：)0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x tαωα()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===-∞+---+∞-+∞∞--⎰⎰⎰)(21)(21222sin )()(002022200200f f j f f j j dte e e je dtet f edt e t x f X ft j t f j t f j t ft j tft j παπαππππαπαπ[]())22(21)22(2121)(2cos )()()(0022220200f f F f f F dte ee tf dtet f t f dt et x f X ftj t f j t f j ft j ft j ππππππππππ-++=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅==-∞+∞---+∞∞-+∞∞--⎰⎰⎰2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？解：()()()ωωωτωωX Y j j H =+=+=135.0111 ()()2277.01135.011⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πωωA当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59% 当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33% 当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8% 2.3求周期信号()()45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为()105.01+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。

解： 利用叠加原理及频率保持性解题()()()45100sin 2.09010sin 5.0+++=t t t x()()()22005.01111ωτωω+=+=A ，()()ωωφ005.0arctg -=101=ω，()11=ωA ，()86.21-ωφ()()86.29010sin 15.01-+⋅⨯=t t x ，1002=ω ，()89.02=ωA ，()57.262-=ωφ)(1)(11122002000t x x x t x x dx dt -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωω)(1221lim lim 1lim )(22000t x x dx dt T T t x T T x x p x x T x -=⋅=∆⋅∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=→∆∞→→∆π()()4557.26100sin 89.02.02+-⋅⨯=t t y()()()43.18100sin )178.0(14.8710sin 5.0+-++=∴t t t y2.7将信号t ωcos 输入一个传递函数为()121+=s s H 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出()t y 的表达式。

解： ()()()90sin cos +==t t t x ωω()11+=s s H τ，()()211τωω+=A ，()τωφarctg -=()()()()τωωτωarctg t t y -++=90sin 112=()()τωωτωarctg t -+cos 1122.8求频率响应函数()()2176157753601.013155072ωωω-++j j 的系统对正弦输入()()t t x 8.62sin 10=的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式 ()()()()[]22221nn n j j j a H ωωξωωτωωω+++⋅=()()()()()21256125621256101.01222⨯+⨯+-⋅+=ωξωωj j ∴ ()()2157753617612568.621101.08.6211222⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯+=ωA7.199.069.1=⨯= 对正弦波，122107.12=⨯==A u x2.9试求传递函数分别为2224.15.1n n S S ωω++和22224.141nn n S S ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）解： ()()()ωωω21H H H ⋅= ()1735.05.35.11+=+=S S H ω，31=S ()22224.141nn nS S H ωωωω++=，412=S 12341321=⨯=⋅=S S S2.10想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解： 由振幅误差()%511||00≤-=-=-=ωA A AA A A E II I∴ ()%95≥ωA 即 ()()%95112=+=τωωA ，()95.01002112=⨯+t π，s 41023.5-⨯=τ当πππω1005022=⨯==f ，且s 41023.5-⨯=τ时()()%7.981001023.51124≈⨯⨯+=-πωA∴ 此时振幅误差%3.1%7.9811=-=E ()()3.91001023.54-≈⨯⨯-=-πωφarctg2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比14.0=ξ，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其振幅比()ωA 和相角差()ωϕ各为多少？若该装置的阻尼比可改为7.0=ξ，问()ωA 和()ωϕ又将作何种变化？解： 作频率为400Hz 的正弦力测试时 ()2222411⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n nA ωωξωωω()222280040014.0480040011⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31.1≈()212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n arctg ωωωωξωϕ 2800400180040014.02⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-=arctg6.10-≈ 当阻尼比改为7.0=ξ时 ()()97.08004007.04800400112222≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωA() 4380040018004007.022-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-=arctg ωϕ即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。