高考数学一轮复习 9-1 直线的方程 新人教A版

若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2
x＝__________，
的中点 M 的坐标为(x，y)，则
此公式
y＝__________，
为线段 P1P2 的中点坐标公式．
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诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
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(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( × )
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解析 (1)当 cos θ＝0 时，方程变为 x＋3＝0，其倾斜角为
π 2 ；当
cos
θ≠0 时，由直线方程可得斜率 k＝－cos1 θ.
∵cos θ∈[－1，1]且 cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，
＋∞)，
即 tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又 α∈[0，π)， ∴α∈π4 ，π2 ∪π2 ，3π4 .
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考点一 直线的倾斜角与斜率
ห้องสมุดไป่ตู้
【例1】 (1)设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直
线l的倾斜角α的范围是
()
A．[0，π) C.π4 ，3π 4
B.π4 ，π2 D.π4 ，π2 ∪π2 ，3π 4
(2)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)， B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围是 ________．
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．
( ×)
(3)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.
( ×)
(4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．
( ×)
(5)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)
表示．
( ×)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都 可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． ( √ )
轴正向与直线l_向__上__方向之间所成的角α叫做直线l的
倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它 的倾斜角为__0_；③范围：直线的倾斜角α的取值范围 是__[0_，__π__)_．
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(2)直线的斜率 π
①定义：当直线 l 的倾斜角 α≠ 2 时，其倾斜角 α 的正
切值 tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母
_y_－__y0_＝__k_(_x_－__x_0)_ 线
_yy_2－－__yy_11_＝__xx_2－－__xx_11_
与两坐标轴均不垂 直的直线
截距式
纵、横 截距
__xa_＋__by_＝__1__
不过原点且与两坐 标轴均不垂直的直 线
一般式
Ax＋By＋C＝
0(A2＋B2≠0)
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所有直线
3.线段的中点坐标公式
综上知，倾斜角的范围是π4 ，3π4 ，故选 C.
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(2)法一 如图所示， kPA＝－2－1－（0－1）＝－1， kPB＝1－（ 2－－01）＝1， 由图可观察出：直线 l 倾斜角 α 的范围是3π 4 ，π∪ 0，π4 .
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法二 由题意知，直线l存在斜 率．设直线l的斜率为k，则直 线l的方程为y＋1＝kx， 即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或
答案 (1)C (2)3π 4 ，π∪0，π4
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规律方法 (1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值 范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时， 常借助正切函数 y＝tan x 在[0，π)上的单调性求解， 这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的； (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围
第1讲 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直 线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌 握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几 何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般 式)，了解斜截式与一次函数的关系.
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知识梳理
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x
π 时，应注意倾斜角为 2 时，直线无斜率．
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【训练1】 (1)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是
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2．直线 3x－y＋a＝0(a 为常数)的倾斜角为
()
A．30° B．60° C．150° D．120°
解析 直线的斜率为 k＝tan α＝ 3，又因为 0°≤α＜ 180°，所以α＝60°.
答案 B
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3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过 ()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0， 在 y 轴上的截距－CB>0，故直线经过一、二、四象限，不经 过第三象限． 答案 C
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4．已知直线 l 经过点 P(－2，5)，且斜率为－34，则直线 l 的
方程为
()
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
解析 由点斜式，得 y－5＝－34(x＋2)，即 3x＋4y－14＝0. 答案 A
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5．(人教A必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相 等的直线方程为________． 解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为 0 时，设直线方程为xa＋ay＝1，则2a＋3a＝1， 解得 a＝5.所以直线方程为 x＋y－5＝0. 答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
k 表示，即 k＝__t_a_n_α__； ②斜率公式：经过两点yP2－1(xy11，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直 线的斜率公式为k＝___x_2－__x_1__．
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2．直线方程的五种形式
名称 斜截式 点斜式 两点式
几何条件 纵截距、
斜率 过一点、
斜率
过两点
方程
适用条件
__y_＝__k_x_＋__b__ 与x轴不垂直的直
深度思考 第(2)小题同 学们的解法应该多数是 求kPA，kPB，再根据图 象观察出倾斜角α的范
其中一点在直线l上，
围，但是还有一种方法
∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，
不妨试一试，在线性规
即2(k＋1)(k－1)≤0，
划中提到过．
∴－1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是3π4 ，π∪0，π4 .